人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行学案

   8.5.28.5.2直线与平面平行的性质

导学案

编写：廖云波      初审：谭光垠      终审：谭光垠  廖云波

【学习目标】

1.理解线面平行的性质定理，并能应用定理解决有关问题

2.会用文字、符号、图形三种语言准确地描述线面平行的性质定理，并能证明一些空间位置关系的简单命题．

【自主学习】

知识点1 

【合作探究】

探究一  线面平行性质定理的理解

【例1】下列说法中正确的是(　　)

①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；

②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；

③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；

④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．

A．①②③④　B．①②③　　C．②③④　　D．①②④

【答案】　D

[解析]　①根据线面平行的性质定理可知：直线与平面内的无数条直线平行，正确．

②根据线面平行的定义，直线与平面平行，则直线与平面内的任何直线无公共点，正确．

③可以作无数个平面与直线平行，错误．

④根据直线l与平面α内一定点可以确定一个平面β，则平面α与平面β的交线与直线l平行，且在平面α内，正确，所以选D.

归纳总结：

【练习1】若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a、b、c…，那么这些交线的位置关系为(　　)

A．都平行

B．都相交且一定交于同一点

C．都相交但不一定交于同一点

D．都平行或交于同一点

【答案】A

解析：因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.

探究二  线面平行性质定理的应用

【例2】如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．

[证明]　因为AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，

所以AB∥MN.

又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，

所以AB∥PQ，所以MN∥PQ.

同理可证NP∥MQ.

所以四边形MNPQ为平行四边形．

归纳总结：应用线面平行的性质定理可以得到线线平行.解此类题的关键是找到过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线需要作出辅助平面.必要时，可反复应用线面平行的判定定理和性质定理进行平行关系的转化

【练习2】求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．

证明：如图，直线a、l，平面α、β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β.

过a作平面γ交平面α于b.

∵a∥α，

∴a∥b.

同样过a作平面δ交平面β于c，

∵a∥β，∴a∥c，则b∥c.

又∵b⊄β，c⊂β，

∴b∥β.

又∵b⊂α，α∩β＝l，∴b∥l.

又∵a∥b，∴a∥l.

课后作业

A组 基础题

一、选择题

1．如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则(　　)

A．GH∥SA

B．GH∥SD

C．GH∥SC

D．以上均有可能

【答案】　B

解析　因为GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B.

2．直线a∥平面α，P∈α，过点P平行于a的直线(　　)

A．只有一条，不在平面α内

B．有无数条，不一定在α内

C．只有一条，且在平面α内

D．有无数条，一定在α内

【答案】　C

解析　由线面平行性质定理知过点P平行于a的直线只有一条，且在平面α内，故选C.

3．过平面α外的直线l作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为(　　)

A．都平行

B．都相交但不一定交于同一点

C．都相交且一定交于同一点

D．都平行或都交于同一点

【答案】　D

解析　分l∥α和l与α相交两种情况作答，对应的结果是都平行或都交于同一点．

4．如图，四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则(　　)

A．MN∥PD

B．MN∥PA

C．MN∥AD

D．以上均有可能

【答案】　B

5．已知正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为(　　)

A．1  B.  C.  D.

【答案】　C

解析　如图，连接AD1，AB1，∵PQ∥平面AA1B1B，

平面AB1D1∩平面AA1B1B＝AB1，

PQ⊂平面AB1D1，∴PQ∥AB1，

∴PQ＝AB1＝＝.

6．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是(　　)

A．E，F，G，H一定是各边的中点

B．G，H一定是CD，DA的中点

C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC

D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC

【答案】　D

解析　由于BD∥平面EFGH，所以有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.

7.如图，四棱锥S－ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为(　　)

A．2＋   B．3＋

C．3＋2   D．2＋2

【答案】　C

解析　∵CD∥AB，CD⊄平面SAB，

∴CD∥平面SAB.

又平面CDEF∩平面SAB＝EF，∴CD∥EF，

又CD∥AB，∴AB∥EF.

∵SE＝EA，∴EF为△ABS的中位线，

∴EF＝AB＝1，

又DE＝CF＝，

∴四边形DEFC的周长为3＋2.

二、填空题

8.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.

【答案】　a

解析　∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，

∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝，

故PQ＝＝DP＝.

9.如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝______.

【答案】　m∶n

解析　∵AC∥平面EFGH，

∴EF∥AC，GH∥AC，

∴EF＝HG＝m·，

同理EH＝FG＝n·.

∵四边形EFGH是菱形，

∴m·＝n·，

∴AE∶EB＝m∶n.

10.如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是______．

【答案】　平行四边形

解析　∵AB∥α，平面ABC∩α＝EG，∴EG∥AB.同理FH∥AB，∴EG∥FH.又CD∥α，平面BCD∩α＝GH，∴GH∥CD.同理EF∥CD，∴GH∥EF，∴四边形EFHG是平行四边形．

11．如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，过C1，E，F的截面的周长为________．

【答案】　4＋6

解析　由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF，所以截面周长为EF＋FB＋BC1＋C1E＝4＋6.

三、解答题

12.如图，已知E，F分别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值．

解　如图，连接BD交AC于点O1，连接OM.

因为PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM，

所以PC∥OM，所以＝.

在菱形ABCD中，

因为E，F分别是边BC，CD的中点，所以＝.

又AO1＝CO1，所以＝＝，

故PM∶MA＝1∶3.

13．如图所示，已知正三棱柱ABC－A′B′C′中，D是AA′上的点，E是B′C′的中点，且A′E∥平面DBC′.试判断D点在AA′上的位置，并给出证明．

解　点D为AA′的中点．证明如下：

取BC的中点F，连接AF，EF，如图．

设EF与BC′交于点O，易证A′E∥AF，A′E＝AF，易知A′，E，F，A共面于平面A′EFA.

因为A′E∥平面DBC′，A′E⊂平面A′EFA，且平面DBC′∩平面A′EFA＝DO，所以A′E∥DO.

在平行四边形A′EFA中，

因为O是EF的中点(因为EC′∥BF，且EC′＝BF)，

所以点D为AA′的中点．

B组 能力提升

一、选择题

1.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，在下列命题中，错误的为(　　)

A．AC⊥BD

B．AC∥截面PQMN

C．AC＝BD

D．异面直线PM与BD所成的角为45°

【答案】　C

解析　由题意知PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM，则AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，故D正确；C是错误的，故选C.

2．(多选题)如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，

下列命题中，正确的有(　　)

A．BM∥平面DE B．CN∥平面AF

C．平面BDM∥平面AFN D．平面BDE∥平面NCF

【答案】ABCD　[展开图可以折成如图①所示的正方体．

图①　　　　　　　　图②

在正方体中，连接AN，如图②所示．

∵AB∥MN，且AB＝MN，

∴四边形ABMN是平行四边形．

∴BM∥AN.∴BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF，∴AB正确；

图③

如图③所示，连接NF，BE，BD，DM，CF，可以证明BM∥平面AFN，BD∥平面AFN，则平面BDM∥平面AFN，同理可证平面BDE∥平面NCF，所以CD正确．]

二、填空题

3.如图，四棱锥P­ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E、F分别是AB、CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，ED与AF相交于点H，则GH＝________.

【答案】　

[因为ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，

AB＝CD，因为E、F分别是AB、CD的中点，

所以AE＝FD，又∠EAH＝∠DFH，

∠AEH＝∠FDH，所以△AEH≌△FDH，

所以EH＝DH.

因为平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，

平面PED∩平面PEC＝PE，所以GH∥PE，

所以G是PD的中点，因为PA＝PB＝AB＝2，

所以PE＝2×sin 60°＝.所以GH＝PE＝.]

三、解答题

4.如图，四边形ABCD为矩形，A，E，B，F四点共面，且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，∠BAE＝∠AFB＝90°.

求证：平面BCE∥平面ADF.

[证明]　∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，

又BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，

∴BC∥平面ADF.

∵△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，

且∠BAE＝∠AFB＝90°，

∴∠BAF＝∠ABE＝45°，∴AF∥BE，

又BE⊄平面ADF，AF⊂平面ADF，

∴BE∥平面ADF.

又BC⊂平面BCE，BE⊂平面BCE，

BC∩BE＝B，

∴平面BCE∥平面ADF.

5．如图①所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P－ABCD，如图②所示．

求证：在四棱锥P－ABCD中，AP∥平面EFG.

证明　在四棱锥P－ABCD中，E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD.

∵AB∥CD，∴EF∥AB.

∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，

∴EF∥平面PAB.

同理EG∥平面PAB.

又EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面PAB.

∵AP⊂平面PAB，∴AP∥平面EFG.

6．如图①，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P­ABCD，如图②.

图①　　　　　　　　　图②

求证：在四棱锥P­ABCD中，AP∥平面EFG.

[证明]　在四棱锥P­ABCD中，E，

F分别为PC，PD的中点，

∴EF∥CD．

∵AB∥CD，∴EF∥AB．

∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，

∴EF∥平面PAB．

同理EG∥平面PAB．

又EF∩EG＝E，EF⊂平面EFG，

EG⊂平面EFG，

∴平面EFG∥平面PAB．

∵AP⊂平面PAB，

∴AP∥平面EFG.