人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直学案

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 8.6.2直线与平面垂直的判定
导学案
编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波
【学习目标】
1.掌握直线与平面垂直的定义
2.握直线与平面垂直的判定定理，并能应用判定定理证明直线和平面垂直
【自主学习】
知识点1 直线与平面垂直的定义
1．如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，
记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．
2．过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，
叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．
过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．
知识点2 直线与平面垂直的判定定理
1．文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．
2．图形语言：如右图所示．

3.符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.
知识点3 直线与平面所成的角
1．如图，一条直线l和一个平面α相交，但不与这个平面垂直，
这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．

2．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．
3．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
4．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；
一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°.
直线与平面所成角θ的取值范围是0°≤θ≤90°.

【合作探究】
探究一 直线与平面垂直的定义及判定定理
【例1】下列说法中正确的个数是(　　)
①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；
②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；
③如果直线l不垂直于平面α，则平面α内没有与l垂直的直线；
④如果直线l不垂直于平面α，则平面α内也可以有无数条直线与l垂直．
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】　D
[解析]　由直线和平面垂直的判定定理知①正确；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当l与平面α不垂直时，l可能与平面α内的无数条直线垂直，故③不对，④正确．

归纳总结：
(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交.
(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.


【练习1】如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(　　)

A．异面 B．平行
C．垂直 D．不确定
【答案】C
解析：因为BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，
所以BA⊥l，同理BC⊥l，
又BA∩BC＝B，所以l⊥平面ABC.
因为AC⊂平面ABC，所以l⊥AC.

探究二 直线与平面垂直的证明
【例2】如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：

(1)BC⊥平面PAB；
(2)AE⊥平面PBC；
(3)PC⊥平面AEF.
[分析]　本题是证线面垂直问题，要多观察题目中的一些“垂直”关系，看是否可利用．如看到PA⊥平面ABC，可想到PA⊥AB、PA⊥BC、PA⊥AC，这些垂直关系我们需要哪个呢？我们需要的是PA⊥BC，联系已知，问题得证．
[证明]　(1)∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.
又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.
(2)∵BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE.
∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，
∴AE⊥平面PBC.
(3)∵AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，
∴AE⊥PC.
∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，∴PC⊥平面AEF.
归纳总结：线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直，途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直.推证线线垂直时注意分析几何图形，寻找隐含条件

【练习2】如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA＝AD.求证：

(1)CD⊥PD；
(2)EF⊥平面PCD.
证明：(1)因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
所以CD⊥PA.
又在矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，
所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.
(2)如图，取PD的中点G，连接AG，FG，
又因为F是PC的中点，所以GF綉CD，

所以GFAE.
所以四边形AEFG是平行四边形，
所以AG∥EF.
因为PA＝AD，G是PD的中点，
所以AG⊥PD，所以EF⊥PD，
因为CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD.
所以CD⊥AG.所以EF⊥CD.
因为PD∩CD＝D，所以EF⊥平面PCD.
探究三 直线与平面所成的角
【例3】在正方体ABCD­A1B1C1D1中．
(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．
[分析]　(1)求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线．(2)中过A1作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求．
[解]　(1)∵直线A1A⊥平面ABCD，
∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，
设A1A＝1，则AC＝，
∴tan∠A1CA＝.
(2)如图，连接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，

∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1.
又BB1∩B1D1＝B1，
∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.
∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角．
在Rt△A1BO中，A1O＝A1C1＝A1B，
∴∠A1BO＝30°.
即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.

归纳总结：求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤：(1)确定斜线与平面的交点(斜足)；(2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形

【练习3】如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB.

(1)求证：CD⊥平面PAB；
(2)求直线PC与平面PAB所成的角．
解：解法1：(1)证明：如图，连接CO，由3AD＝DB知，点D为AO的中点．又因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.由AC＝BC知，∠CAB＝60°，所以△ACO为等边三角形．故CD⊥AO.

因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，所以PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD，由PD⊂平面PAB，AO⊂平面PAB，且PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB.
(2)由(1)知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角，又△AOC是边长为2的正三角形，所以CD＝.
在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝，
所以tan∠CPD＝＝，所以∠CPD＝30°，
即直线PC与平面PAB所成的角为30°.
解法2：(1)证明：因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.
在Rt△ABC中，由AB＝4,3AD＝DB，AC＝BC，得DB＝3，BC＝2，所以＝＝，则△BDC∽△BCA，所以∠BCA＝∠BDC，即CD⊥AO.
因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，
所以PD⊥平面ABC.
又CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD.
由PD⊂平面PAB，AO⊂平面PAB，
且PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB.
(2)由(1)知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角．
在Rt△PCD中，PD＝BD＝3，CD＝＝，
所以tan∠CPD＝＝，所以∠CPD＝30°，
即直线PC与平面PAB所成的角为30°.


课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．下列说法中正确的个数是(　　)
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α；
③若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α；
④若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α.
A．4 B．2 C．3 D．1
【答案】　B
解析　对于①②不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以①②是错误的；易知③④是正确的．
2．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是(　　)
①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．
A．①③ B．② C．②④ D．①②④
【答案】　A
解析　由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面．而②④图形中的两边不一定相交，故该直线与它们所在的平面不一定垂直．
3．如果一条直线l与平面α的一条垂线垂直，那么直线l与平面α的位置关系是(　　)
A．l⊂α B．l⊥α
C．l∥α D．l⊂α或l∥α
【答案】　D
解析　结合正方体模型，直线l与平面α的位置关系是平行或在平面内，故选D.
4．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　)
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
【答案】　C
解析　∵OA⊥OB，OA⊥OC且OB∩OC＝O，
∴OA⊥平面OBC.
5．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是(　　)

A．平行
B．垂直相交
C．垂直但不相交
D．相交但不垂直
【答案】　C
解析　连接AC.因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论错误的是(　　)
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D
D．异面直线AD与CB1所成的角为45°
【答案】　C
解析　由正方体的性质得BD∥B1D1，且BD⊄平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，故A正确；因为BD⊥平面ACC1A1，所以AC1⊥BD，故B正确；异面直线AD与CB1所成的角即为AD与DA1所成的角，故为45°，所以D正确．
7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为(　　)
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】　C
解析　如图，当DO⊥平面ABC时，三棱锥D－ABC的体积最大．

∴∠DBO为直线BD和平面ABC所成的角，
∵在Rt△DOB中，OD＝OB，
∴直线BD和平面ABC所成的角大小为45°.
8．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)
A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
【答案】　B
解析　根据定理，两条平行线中一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，故选B.
二、填空题
9．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)
【答案】　∠A1C1B1＝90°
解析　如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)

10．如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，且∠ABC＝30°，PA＝AB，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为________．

【答案】　2
解析　因为PA⊥平面ABC，所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角．在△PAC中，AC＝AB＝PA，所以tan∠PCA＝＝2.
11．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝______.

【答案】　90°
解析　∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.
又∵MN⊥B1M，∴MN⊥平面C1B1M.
又C1M⊂平面C1B1M，
∴MN⊥C1M，∴∠C1MN＝90°.
三、解答题
12．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AD＝2，PA＝2，PD＝2，求证：AD⊥平面PAB.

证明　在△PAD中，由PA＝2，AD＝2，PD＝2，
可得PA2＋AD2＝PD2，即AD⊥PA.
又AD⊥AB，PA∩AB＝A，
所以AD⊥平面PAB.
13．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.

(1)求证：AC⊥B1D；
(2)求三棱锥C－BDB1的体积．
(1)证明　∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，
∴BB1⊥平面ABCD.
∵又AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC.
又∵底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD.
∵BB1∩BD＝B，∴AC⊥平面BB1D.
∵B1D⊂平面BDB1，∴AC⊥B1D.
(2)解　
∵B1B⊥平面ABCD，
∴B1B是三棱锥B1－BDC的高．
∵＝S△BDC·BB1＝××2×2×2＝，
∴三棱锥C－BDB1的体积为.

B组 能力提升
一、选择题
1．三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的(　　)
A．内心 B．重心
C．外心 D．垂心
【答案】C　
[如图，设点P在平面ABC内的射影为O，连接OA，OB，OC．
∵三棱锥的三条侧棱两两相等，
∴PA＝PB＝PC．
∵PO⊥底面ABC，
∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，
∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，
∴OA＝OB＝OC，
故顶点P在底面的射影为底面三角形的外心．]
2．如图所示，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是(　　)

A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
【答案】　D
解析　对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确；对于选项B，∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；对于选项C，由对称性知SA与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确．
3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是(　　)
A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交
【答案】C　
[取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥平面AOC，BD⊥AC，又BD、AC异面，∴选C．]

4. (多选题)如图，ABCD­A1B1C1D1为正方体，下面结论正确的是(　　)

A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
【答案】ABC
　[由于BD∥B1D1，BD⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，则BD∥平面CB1D1，所以A正确；
因为BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1＝C，
所以BD⊥平面ACC1，所以AC1⊥BD．所以B正确；
可以证明AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，
所以AC1⊥平面CB1D1，所以C正确；
由于AD∥BC，则∠BCB1＝45°是异面直线AD与CB1所成的角，所以D错误．]
二、填空题
5．如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，且∠ABC＝30°，PA＝AB，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为________．

【答案】2　
[因为PA⊥平面ABC，所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角．在△ABC中，AC＝AB＝PA，所以tan∠PCA＝＝2.]
6．已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为________，直线PC与平面ABC所成的角为________．
【答案】　　
[作PD，PE分别垂直于AC，BC，PO⊥平面ABC．连接CO，OD，知CD⊥PD，CD⊥PO，PD∩PO＝P，
∴CD⊥平面PDO，OD⊂平面PDO，∴CD⊥OD．
∵PD＝PE＝，PC＝2，
∴sin∠PCE＝sin∠PCD＝，
∴∠PCB＝∠PCA＝60°.
∴PO⊥CO，CO为∠ACB平分线，
∴∠OCD＝45°，∴OD＝CD＝1，OC＝.
又PC＝2，∴PO＝＝.
∴sin∠PCO＝，∴∠PCO＝.]
三、解答题
7.如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．

(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD.
证明　(1)取PD的中点E，连接NE，AE，如图．

又∵N是PC的中点，∴NE綊DC.
又∵DC綊AB，AM＝AB，
∴AM綊CD，∴NE綊AM，
∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE.
∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
(2)∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°，∴AP＝AD，∴AE⊥PD.
又∵MN∥AE，∴MN⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD.
∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，
∴CD⊥MN.又CD∩PD＝D，
∴MN⊥平面PCD.

8.如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC­A1B1C1中，D是BC的中点．

(1)求证：AD⊥平面BCC1B1；
(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值．
[解]　(1)证明：直三棱柱ABC­A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，
∴BB1⊥AD．
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC．又BC∩BB1＝B，
∴AD⊥平面BCC1B1.
(2)连接C1D．由(1)AD⊥平面BCC1B1，
则∠AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角．
在Rt△AC1D中，AD＝，
AC1＝，sin∠AC1D＝＝，
即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为.

9.已知四棱锥P­ABCD，PA⊥PB，PA＝PB＝，AD⊥平面PAB，BC∥AD，BC＝3AD，直线CD与平面PAB所成角的大小为，M是线段AB的中点．

(1)求证：CD⊥平面PDM；
(2)求点M到平面PCD的距离．
[解]　(1)证明：∵AD⊥平面PAB，PM⊂平面PAB，
∴AD⊥PM.
∵PA＝PB＝，M是线段AB的中点，∴PM⊥AB，
又AD∩AB＝A，AD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PM⊥平面ABCD，
又CD⊂平面ABCD，∴PM⊥CD．
取CB上点E，使得CE＝CB，连接AE，
∴AD∥CE且AD＝CE，
∴四边形AECD为平行四边形，∴CD∥AE，
∴直线CD与平面PAB所成角的大小等于直线AE与平面PAB所成角的大小，
又AD⊥平面PAB，BC∥AD，
∴BC⊥平面PAB，∴∠EAB为直线AE与平面PAB所成的角，∴∠EAB＝，∴BE＝AB．
∵PA＝PB＝，PA⊥PB，∴AB＝2＝BE，∴AD＝1，BC＝3，CD＝2，∴DM＝，CM＝，
∴DM2＋DC2＝CM2，∴CD⊥DM.
∵DM∩PM＝M，DM，PM⊂平面PDM，
∴CD⊥平面PDM.
(2)由(1)可知CD⊥平面PDM，
∴△CDM和△CDP均为直角三角形，
又PD＝，设点M到平面PCD的距离为d，
则VP­CDM＝VM­PCD，即CD·DM·PM＝CD·DP·d，化简得DM·PM＝DP·d，解得d＝，
∴点M到平面PCD的距离为.