高中8.6 空间直线、平面的垂直学案

   8.6.3平面与平面垂直的判定

导学案

编写：廖云波      初审：谭光垠      终审：谭光垠  廖云波

【学习目标】

1.理解二面角及其平面角的定义并会求一些简单二面角的大小

2.理解两平面垂直的定义

3.掌握两个平面垂直的判定定理并能应用判定定理证明面面垂直问题 

【自主学习】

知识点1　二面角

(1)定义：从一条直线出发的        所组成的图形．

(2)相关概念：①这条直线叫做二面角的        ，②两个半平面叫做二面角的        ．

(3)画法：

(4)记法：二面角        或        或        或P－AB－Q.

(5)二面角的平面角：若有①O    l；②OA    α，OB    β；③OA    l，OB    l，

则二面角α－l－β的平面角是    .

知识点2　平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直

①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是        ，就说这两个平面互相垂直．

②画法：

③记作：        .

(2)判定定理

【合作探究】

探究一  二面角的概念及求法

【例1】如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.

(1)求二面角A­PD­C平面角的度数；

(2)求二面角B­PA­D平面角的度数；

(3)求二面角B­PA­C平面角的度数．

归纳总结：

【练习1】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求二面角B­A1C1­B1的正切值．

探究二  平面与平面垂直的判定

【例2】如图所示，四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD.求证：平面PDC⊥平面PAD.

归纳总结：

【练习2】如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，E为AB的中点．求证：平面DD1E⊥平面CD1E.

探究三  线面垂直、面面垂直的综合应用

【例3】如图所示，已知三棱锥P­ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.

(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；

(2)求二面角D­AP­C的正弦值；

(3)若M为PB的中点，求三棱锥M­BCD的体积．

归纳总结：

【练习3】如图，在三棱锥P­ABC中，PC⊥平面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点．

(1)求证：DE∥平面PAC；

(2)求证：AB⊥PB；

(3)若PC＝BC，求二面角P­AB­C的大小．

课后作业

A组 基础题

一、选择题

1．下列不能确定两个平面垂直的是(　　)

A．两个平面相交，所成二面角是直二面角

B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线

C．一个平面经过另一个平面的一条垂线

D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b

2．关于直线a，b以及平面M，N，下列命题中正确的是(　　)

A．若a∥M，b∥M，则a∥b

B．若b∥M，a⊥b，则a⊥M

C．若b⊂M，a⊥b，则a⊥M

D．若a⊥M，a⊂N，则M⊥N

3．如图所示，在四面体D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是(　　)

A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABD⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE

D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE

4．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍．沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B－AD－C的大小为(　　)

A．30°   B．45°

C．60°   D．90°

5．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面ABC，点 C是圆上的任意一点，图中互相垂直平面的对数为(　　)

A．4  B．3  C．2  D．1

6．过两点与一个已知平面垂直的平面(　　)

A．有且只有一个   B．有无数个

C．有且只有一个或无数个   D．可能不存在

7．在正四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是(　　)

A．BC∥平面PDF   B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面ABC   D．平面PAE⊥平面ABC

8．如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是(　　)

A．PB⊥AD

B．平面PAB⊥平面PBC

C．直线BC∥平面PAE

D．直线PD与平面ABC所成的角为45°

二、填空题

9．已知α，β是两个不同的平面，l是平面α与β之外的直线，给出下列三个论断：①l⊥α，②l∥β，③α⊥β.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示)

10．下列结论中，所有正确结论的序号是________．

①两个相交平面形成的图形叫做二面角；

②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；

③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；

④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．

11．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1－EF－C等于45°，则BF＝________.

12．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)

三、解答题

13．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E为BB1的中点，求证：截面A1CE⊥侧面ACC1A1.

14．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AC，BD交于点E，F是PB的中点．求证：

(1)EF∥平面PCD；

(2)平面PBD⊥平面PAC.

15．如图，在四面体A­BCD中，BD＝a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a，

求证：平面ABD⊥平面BCD.

B组 能力提升

一、选择题

1．若P是等边三角形ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下列结论中不正确的是(　　)

A．BC∥平面PDF   B．DF⊥平面PAE

C．平面PAE⊥平面ABC   D．平面PDF⊥平面ABC

2．在二面角α­l­β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α­l­β的平面角的大小为(　　)

A．30°   B．60°

C．30°或150°   D．60°或120°

二、填空题

3.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上一动点．当点M满足           时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)

三、解答题

4.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，

(1)求证：PD⊥平面ABCD；

(2)求证：平面PAC⊥平面PBD；

(3)求二面角P­AC­D的正切值．

5．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．

(1)证明：D1E⊥A1D；

(2)求AE等于何值时，二面角D1－EC－D的大小为45°？