高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示教案

第六章 平面向量及其应用

6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示

一、教学目标

1.掌握向量数乘运算的坐标表示；

2.会根据向量的坐标，判断向量是否共线；；

3.通过对平面向量数乘运算的坐标表示的学习，培养学生数学抽象、数学运算等数学素养。

二、教学重难点

1.向量数乘运算的坐标表示，根据向量的坐标，判断向量是否共线；

2.向量运算的坐标表示的理解及应用向量共线的充要条件证明三点共线和两直线平行的问题。

三、教学过程：

1、复习回顾

（1）若，则。

（2）已知向量，且点，，．

2.探索新知

问题1.已知 ，你能推导出的坐标吗？

生答：因为，所以即。

重要结论：实数与向量的积的坐标等用这个实数乘以原来向量的相应坐标.

例1.已知的坐标。

变式训练1：已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为(　　)

A．－2,1     B.1，－2

C．2，－1     D.－1,2

解：由题意得(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2，2λ1＋3λ2)．由

解得故选：D

变式训练2：若向量，，，则等于(　　)

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为，设，则有，即，解得，

所以，故选：D.

问题2.设，若向量共线（其中），你能推导出这两个向量的坐标应满足什么关系？

生答：向量共线的充要条件是存在实数，使，用坐标表示为即

问题3.你能将这两个等式合并成一个式子吗？

生答：，

重要结论：向量平行（共线）的充要条件的两种表达形式：

①；

②且设，（）

例2.已知向量,，若与共线,则求实数的值

解： 由，，则，

 因为与共线，所以，解得

变式训练：已知，．

（1）求证：，不共线；

（2）若，求实数，的值：

（3）若与共线，求实数的值．

解：（1）证明：根据题意，，，

有，故，不共线；

（2）根据题意，若，且，不共线；

则有，解可得；

（3）根据题意，若与共线，设，

即，则有，则；故答案为:．

问题4：设点P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别为  ，当P是线段P1P2的中点时，你能推导点P的坐标吗？

生答：

重要结论：中点坐标公式

若点P1，P2的坐标分别为， 线段P1P2的中点P的坐标为，则。

例3.已知点，，，，向量与平行吗？直线平

     行与直线吗？

解：∵，=，

又， ∴；

又，，，

∴与不平行，

∴、、不共线，与不重合，

所以，直线与平行。

四、小结：

1.向量数乘运算的坐标表示；

2.向量共线的充要条件；

3.中点坐标公式;

五、作业：习题6.3.4