2021学年10.1 随机事件与概率教学设计及反思

第十章 概率

10.1.2 事件的关系和运算

一、教学目标

1.理解时间的关系和运算．

2．能够将事件的运算关系知识灵活运用到实际事件中．

3.通过对事件的关系和运算的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。

二、教学重难点

1.事件运算关系的实际含义．

2.事件运算关系的应用.

三、教学过程：

（1）创设情景

阅读课本，完成下列填空：

（2）新知探究

问题1:

问题2:(提出本节课所学内容)

（3）新知建构

事件的关系与运算

①包含关系： 一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)             

记作(或B              如图: 

②并事件：事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件）,记作(或A+B).     如图:    

 ③交事件: 事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件）,记作(或AB).                如图:     

 互斥关系 若A∩B为，则称事件A与事件B互斥.  

如图:  

 对立关系    若A∩B为，A∪B为，那么称事件A与事件B互为对立事件，可记为B＝或A＝,若A∩B＝∅，A∪B＝U，则A与B对立.

如图 :  

（4）数学运用

例1.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件=“第一次摸到红球”，=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”.

（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；

（2）事件R与，R与G，M与N之间各有什么关系？

（3）事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件与事件的交事件与事件R有什么关系？

【答案】（1）详见解析（2）事件包含事件R；事件R与事件G互斥；事件M与事件N互为对立事件（3）事件M是事件R与事件G的并事件；事件R是事件与事件的交事件.

【解析】（1）所有的试验结果如图所示,

用数组表示可能的结果,是第一次摸到的球的标号,是第二次摸到的球的标号,则试验的样本空间

事件=“第一次摸到红球”,即或2,于是

；

事件=“第二次摸到红球”,即或2,于是

.

同理,有

,

,

,

.

（2）因为,所以事件包含事件R；

因为,所以事件R与事件G互斥；

因为,,所以事件M与事件N互为对立事件.

（3）因为,所以事件M是事件R与事件G的并事件；

因为,所以事件R是事件与事件的交事件.

变式训练1:从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么下列事件中是互斥而不对立的事件是（    ）

A．“恰有两个白球”与“恰有一个黑球”

B．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”

C．“都是白球”与“至少有一个黑球”

D．“至少有一个黑球”与“都是黑球”

【答案】A

【解析】对于A，事件：“恰有两个白球”与事件：“恰有一个黑球”不能同时发生，

但从口袋中任取两个球时还有可能两个都是黑球，

∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴A正确；

对于B，事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个白球”可以同时发生，

如：一个白球一个黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴B不正确；

对于C.“都是白球”与“至少有一个黑球”不能同时发生，且对立，故C错误；

对于D，“至少有一个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，故不互斥.故选：A.

变式训练2:用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色.设事件“三个圆的颜色全不相同”，事件“三个圆的颜色不全相同”，事件“其中两个圆的颜色相同”，事件“三个圆的颜色全相同”.

（1）写出试验的样本空间.

（2）用集合的形式表示事件.

（3）事件与事件有什么关系？事件和的交事件与事件有什么关系？并说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）事件包含事件，事件和的交事件与事件互斥.见解析

【解析】(1)由题意可知3个球可能颜色一样,可能有2个一样,另1个异色,或者三个球都异色.则试验的样本空间

{（红,红,红）,（黄,黄,黄）,（蓝,蓝,蓝）,（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）,（红,黄,蓝）}.

(2){（红,黄,蓝）}

{（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）,（红,黄,蓝）}

{（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）}.

{（红,红,红）,（黄,黄,黄）,（蓝,蓝,蓝）}.

(3)由(2)可知事件包含事件,事件和的交事件与事件互斥.

例2.在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：

(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；

(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．

【答案】（1）见解析；（2）事件D2，D3，E，F，G为和事件.

【解析】(1)若事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3.

同理可得，事件D2包含事件C4，C5，C6；事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；

事件F包含事件C2，C4，C6；

事件G包含事件C1，C3，C5.

易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.

(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，

所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．

同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.

故事件D2，D3，E，F，G为和事件．

变式训练:（多选题）从装有大小和形状完全相同的5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么下列各对事件中,互斥而不对立的是（    ）

A．至少有1个红球与都是红球 B．至少有1个红球与至少有1个白球

C．恰有1个红球与恰有2个红球 D．至多有1个红球与恰有2个红球

【答案】CD

【解析】根据互斥事件与对立事件的定义判断.

A中两事件不是互斥事件,事件“3个球都是红球”是两事件的交事件;

B中两事件能同时发生,如“恰有1个红球和2个白球”,故不是互斥事件;

C中两事件是互斥而不对立事件;至多有1个红球,即有0个或1个红球,与恰有2个红球互斥,除此还有3个都是红球的情况,因此它们不对立,D符合题意.故选：CD

例3:记某射手一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环分别为事件，，，，指出下列事件的含义：

（1）；

（2）；

（3）.

【答案】（1）射中10环或9环或8环.

（2）射中9环.

（3）射中10环或6环或5环或4环或3环或2环或1环或0环.

【解析】（1）=射中10环，=射中9环，=射中8环，

射中10环或9环或8环.

（2）=射中8环，

射中环数不是8环，

则射中9环.

（3）射中9环或8环或7环，

则射中10环或6环或5环或4环或3环或2环或1环或0环.

变式训练:设，，为三个事件，下列各式意义表述正确的是（    ）

A．表示事件不发生且事件和事件同时发生 

B．表示事件，，中至少有一个没发生 

C．表示事件，至少有一个发生 

D．表示事件，，恰有一个发生

【答案】ACD

【解答】根据题意，依次分析选项：

对于，表示事件不发生且事件和事件同时发生，正确，

对于，表示事件、、至少一个发生，则表示事件都没有发生，错误，

对于，表示事件，至少有一个发生，正确，

对于，表示事件、不发生且事件发生，事件、不发生且事件发生，事件、不发生且事件发生，则表示事件，，恰有一个发生，故选：ACD．

四、小结：

事件的关系与运算

①包含关系：

②并事件：

③交事件:

互斥关系

对立关系   

五、作业：习题10.1.2