第六章 平面向量及其应用（解三角形客观题题型全覆盖）- 学年高一数学下学期期末备考专题全攻略（人教A版2019）学案

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解三角形选择题题型全覆盖类型对应典例基本公式的应用典例一图形结合问题典例二实际应用问题典例三最值范围问题典例四例一、基本公式的应用1．已知在中，分别为内角的对边，，，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由得：，在中，由余弦定理得：，即，解得：.故选：B.2．在中，若，，，则边（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，，所以，则，即，解得，故选：A.3．在中，“”是“”的（    ）条件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要【答案】C【详解】∵中，由正弦定理，∴当必有，根据三角形中大边对大角知：；当时，在三角形中由，有或 成立，即；∴“”是“”的充要条件.故选：C4．在△中，内角A，，所对的边分别为，，，，，，则的值等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】∴∴，∴∴.故选：A.5．若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则B的解的个数是（    ）A．2 B．1 C．0 D．不确定【答案】A【详解】由正弦定理知，，即 ，解得，又，由三角函数性质知角B由两个解，当角B为锐角时，满足，即存在；当角B为钝角时，，，则满足，即存在；故有两个解.故选：A6．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．则的值为（    ）A． B．2 C． D．【答案】B【详解】∵，∴由余弦定理可得：，所以，又．∴．∴，∴，．∴．∵，∴．∴．故选：B.7．已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其三边与三角满足关系式，则的形状是（    ）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【详解】由题当，三角形为直角三角形当，则，又，则三角形为等腰三角形故选：D8．中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，因为，所以，所以，且，所以，所以，所以，所以，故选：A.9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（    ）A．若，则为锐角三角形B．若为锐角三角形，有，则C．若，则符合条件的有两个D．若，则为等腰三角形【答案】B【详解】对于A，若，则，A为锐角，不能判定为锐角三角形，故错；
对于B，若为锐角三角形，有，则，∴,故正确；
对于C，知道两边一夹角，符合条件的三角形有且只有一个，故C错误；对于D，，，
，或即，
为等腰或直角三角形，故不正确．
故选：B．（多选）10.在中，角的对边分别为，且，下列四个命题中正确的是（    ）A．为直角三角形 B．的面积为C． D．的周长为【答案】ABD【详解】由，根据正弦定理可得 由，则 由正弦定理可得,再由余弦定理可得即，即得 所以 所以，所以是以为直角顶点的直角三角形, 所以选项A正确.所以角为锐角，故选项C不正确.所以的面积为 ，故选项B正确.所以的周长为： ，故选项D正确.故选：ABD（多选）11．在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，有如下判断，其中正确的判断是（    ）A．若，则为直角三角形B．若，则C．若，则符合条件的是有两个D．若，则是钝角三角形【答案】BD【详解】A．因为，所以或，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故错误；B．因为，所以（为外接圆半径），所以，由“大边对大角”可知，故正确；C．因为，所以没有符合条件的三角形，故错误；D．因为，所以，所以，所以为钝角，所以是钝角三角形，故正确；故选：BD.（多选）12．下列命题中是真命题的有（    ）A．存在，，使B．在中，若，则是等腰三角形C．在中，“”是“”的充要条件D．在中，若，则的值为或【答案】AC【详解】对于A，当时，正确；对于B，由可得或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，错误；对于C，(其中是外接圆的半径)，正确；对于D，因为，，所以.因为，所以由正弦定理得，从而.又因为，所以，从而，错误；故选：AC.（多选）13．在中，下列说法正确的是（    ）A．若是锐角三角形，则B．若，则C．不存在满足D．若，则【答案】BCD【详解】对A，由是锐角三角形，所以，则，所以，即，故A错；对B，由，则，故，所以B正确；对C，在中，由，则，故，则，所以C正确对D，由，所以，则，又，所以，故D正确故选：BCD（多选）14．对于，有如下判断，其中正确的判断是（    ）A．若，是钝角三角形B．若，则C．若，则符合条件的有两个D．在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积【答案】ABD【详解】对于选项A：由正弦定理可得，所以，因此是钝角，故是钝角三角形. 故A正确；对于选项B：因为在中，，，所以，又，所以. 故B正确；对于选项C：由正弦定理，矛盾，因此，符合条件的不存在. 故C错误；对于选项D：在三角形中，① 如果已知两边及夹角，显然可以直接用三角形面积公式求出三角形面积；② 如果已知两边及其一边的对角，可以先用余弦定理求出第三边，然后再用面积公式求出三角形面积. 故D正确.故选：ABD.（多选）15．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法中正确的是（    ）A．是的充要条件B．若，则为钝角三角形C．若为锐角三角形，则D．三角形的面积公式为【答案】ACD【详解】对于选项A：因为在中，，，所以，又，所以，即是的充要条件，故A正确；对于选项B：由得，因此是锐角，但是不能得出是钝角三角形，故B错误；对于选项C：若是锐角三角形，则，因此，由是锐角可知也是锐角，又是锐角，所以，即，故C正确；对于选项D：由正弦定理知，所以的面积，故D正确.故选：ACD.（多选）16．在中，角A，B，C所对的边外别为a，b，c，下列说法中正确的是（    ）A．若，则B．若，则为等腰三角形C．D．若，则为钝角三角形【答案】ACD【详解】由可知，再根据正弦定理可得，所以，故A正确；由及正弦定理可知，即，又所以或，可知为等腰三角形或直角三角形，故B错误；由正弦定理知，，故C正确；因为 ，又，故中有且只有一个角为钝角，故D正确.故选：ACD 例二、图形结合问题1．无字证明来源于《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.现有如图所示，其中､为边上异于端点的两点，，，且是边长为的正三角形，则下列不等式一定成立的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【详解】由图可知，在和中分别由余弦定理可得：，，所以.故选：D2．已知在中，内角的对边分别为，是的平分线，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，，，，.故选：B.3．在平面四边形中，，若的取值范围是，则的长为（    ）A． B． C．1 D．2【答案】D【详解】设，如图，延长，交于点，平移，当且仅当经过点时，，，所以，当且仅当经过点时，，，所以，以上两式相乘得，.故选：D4．如图，在直角三角形中，，，D为边上一点，已知且，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，，所以，，在中，，，则，由正弦定理可得：，即，所以.故选：C.5．如图所示，在四边形ABCD中，AC=AD=CD=7，∠ABC=120°，sin∠BAC=且BD为∠ABC的平分线，则BD=（    ）A．6 B．9 C．7 D．8【答案】D【详解】由正弦定理得，由，可得，，所以四点共圆，，由余弦定理．故选：D.（多选）6．已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，，且边与角满足关系式，若有唯一解，则a可以取（    ）A． B．8 C．7 D．【答案】ABD【详解】由，根据正弦定理可得右边： 左边：所以即，由 则所以，即所以，由则所以，则由，有唯一解.如图以点为圆心，边为半径作圆弧，若圆弧与边相切，则满足条件的三角形唯一,此时 若，则以点为圆心，边为半径作圆弧，如图，满足条件的三角形唯一,故或故满足条件的有A，B，D故选:：ABD7．如图，在平行四边形中，，点是边上一点，且，记为的面积，为的面积，则当取得最小值时，（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】设，因为，，所以.令，则.令，得，可得，即，故当时，；当时，，故在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值.故选：C. 例三、实际应用问题1．杭师大附中天文台是学校图书馆处的标志性建筑．小金同学为了测量天文台的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高为，在它们之间的地面上的点M（B、M、D三点共线）处测得楼顶A、天文台顶C的仰角分别是和，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为，假设和点M在同一平面内，则小金可测得学校天文台的高度为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意，，，即，∴△中，，则，而，∵在△中，米.故选：C2．说起延安革命纪念地景区，可谓是家喻户晓，它由宝塔山、枣园革命旧址、杨家岭革命旧址、中共中央西北局旧址、延安革命纪念馆组成.尤其宝塔山，它可是圣地延安的标志，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，宝塔山的坡度比为（坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比），在山坡处测得，从处沿山坡往上前进到达处，在山坡处测得，则宝塔的高为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题可知，，则，，设坡角为，则由题可得，则可求得，在中，，由正弦定理可得，即，解得，故宝塔的高为44m.故选：A.3．魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（    ）A．表高 B．表高C．表距 D．表距【答案】A【详解】如图所示：由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故选：A.4．设A，B两点在河的两岸，为测量A，B两点间的距离，小明同学在A的同侧选定一点C，测出A，C两点间的距离为80米，，请你帮小明同学计算出A，B两点间的距离，距离为（    ）米．
 A． B．C． D．【答案】B【详解】由正弦定理可知，故选：B5．为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，，则间的距离为（    ）A． B．2 C． D．4【答案】B【详解】在中，，即，，和中，，是等边三角形，，在中，，所以，．故（多选）6．如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔的高度的是（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长. A. 在中，已知，可以解这个三角形得到，再利用、解直角得到的值；B. 在中，已知无法解出此三角形，在中，已知无法解出此三角形，也无法通过其它三角形求出它的其它几何元素，所以它不能计算出塔的高度；C. 在中，已知，可以解得到,再利用、解直角得到的值；D. 如图，过点作,连接.由于,所以，所以可以求出的大小，在中，已知可以求出再利用、解直角得到的值.故选：ACD7．明末邓玉函以毕的斯克斯1612年版《三角法》为底本，并采用斯蒂文著作《数学记录》中部分内容，编译出中国第一部三角学著作《大测》，将欧洲当时最新、最重要的三角学成果介绍到中国，对中国三角学影响极大．在《大测》中提及割图八线，即对一个角而言的八个三角函数，因其可用第一象限单位圆中八条线长（如图中，，，，，，，）表示而得名．若图中，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意得，，所以.所以．在中，由正弦定理及，得.所以，由余弦定理知.即，解得或（舍去）.所以.故选C．选：B 例四、最值、范围问题1．在锐角中，角所对的边分别为，且满足，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，由正弦定理可知， ，又，所以所以，所以即，又是锐角所以，即，所以，解得，所以，所以.故选：B.2．设锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由正弦定理得.因为为锐角三角形，所以即所以，所以，所以的取值范围是.故选：A.3．在中，，平分交于，且，则的面积的最小值为（    ）A．3 B． C．4 D．【答案】B【详解】因为的面积等于与的面积之和，所以，又因为，，代入得，又因为，所以，得，当且仅当时取等号．所以的面积的最小值为．故选B．4．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，若能盖住的最大圆面积为，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】中，，即，而，则，因能盖住的最大圆面积为，即内切圆面积为，其半径为r=1，由三角形面积计算知，即，由余弦定理得，则，于是得，当且仅当a=b时取“=”，显然，从而得，即，，当且仅当时取“=”，所以当时，的最小值为6.故选：B5．在中，，点在边上，且，设，则当k取最大值时，（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，即，因为，所以，，因为，所以，因为点在边上，且，所以，设，则，在中，由余弦定理得，，所以，即，即，所以，令，得，下面采用基本不等式和导数两种方法求解：方法一：利用基本不等式求解：，要使最大，需最大，当取最大值时，必有，当且仅当，即时等号成立，所以时，有最大值，的最大值为，此时，所以，解得，在中，由正弦定理得，解得，即.下面采用导数的方法求解：求导得，令，解得，当时，，当时，，所以当时，取得最大值，此时，所以，解得，在中，由正弦定理得，解得，即.故选：B.