2022济源、平顶山、许昌高三第二次质量检测（二模）数学（理）含解析

平顶山许昌济源2021—2022学年高三第二次质量检测

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（）

A.  B.  C. M D. N

【1题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】求得，证明函数过点，可得，即可求出答案.

【详解】解：，

因为当时，，

所以函数过点，

所以，

所以.

故选：D.

2. 若复数，则（）

A.  B.  C.  D. 10

【2题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据虚数单位i的循环特点，按照复数四则运算规则运算即可.

【详解】由于，，

，；

故选：B.

3. 若等差数列和等比数列满足，，则（）

A. －4 B. －1 C. 1 D. 4

【3题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题中条件求出、的值，进而求出和的值，由此可得出的值.

【详解】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和，则，

求得，，那么

故选：C.

4. 已知，，则（）

A.  B. 12 C. －12 D.

【4题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】先求出和，利用二倍角公式求出，直接代入即可求解.

【详解】因为，，

解得：，所以.

所以.

所以.

故选：C

5. 已知函数，若，则（）

A.  B.  C.  D.

【5题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】先得到，进而由得到答案.

【详解】定义域为R，且，又，所以，所以.

故选：D

6. “中国天眼”射电望远镜的反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆面为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积，其中R为球的半径，为球冠的高），设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则当，时，（）

A.  B.  C.  D.

【6题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】作出示意图，根据条件先求出r，然后根据并结合勾股定理求出R，进而得到答案.

【详解】如示意图，根据题意，，由勾股定理可得，联立方程解得.

于是.

故选：B.

7. 甲乙丙三人参加2022年冬奥会北京、延庆、张家口三个赛区志愿服务活动，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能的．记X为三人选中的赛区个数，Y为三人没有选中的赛区个数，则（）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【7题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，从而求出，进而求出；的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，从而求出，进而求出，由此能求出结果．

【详解】解：由题意得可能取值为1，2，3，

则，，，

所以，

，

的可能取值为0，1，2，

则，，，

，

；

，．

故选：D．

8. 如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线，C为底面圆上一点，且，，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为（）

A.  B.  C.  D.

【8题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据圆柱的特征，以为原点建立空间直角坐标系，根据题意可得，，，利用向量法即可求出答案.

【详解】解：因为AB是圆柱底面圆的一条直径，

所以，

又OP是圆柱的一条母线，

如图，以为原点建立空间直角坐标系，

因为，所以，，

又因，所以，

所以，即，

设，则，

则，

则，

设平面PAB的法向量为，

则有，可取，

则，

所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.

故选：A.

9. 已知函数与函数在区间上的图像交于A，B，C三点，则的面积是（）

A. 2 B.  C.  D. 4

【9题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】先求出于A，B，C三点坐标，得出等腰三角形，进而求出面积.

【详解】，则，令，即或或，解得：，，，不妨设，，，则为等腰三角形，

故选：A

10. 已知函数恰有两个极值点，，则a的取值范围是（）

A.  B.

C.  D.

【10题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，对函数求导数，得出导数有两不等实根，转化为两函数有两个交点的问题，结合图象即可得出的取值范围．

【详解】解：函数，

，

由于函数的两个极值点为，，

即，是方程的两不等实根，

即方程，且，

；

设，，

因为恒过定点，设函数上点的切线恰过点，因为，则，即，解得，即，切线的斜率，

在同一坐标系内画出这两个函数的图象，如图所示：

要使这两个函数有2个不同的交点，应满足，

解得，

所以的取值范围是．

故选：D．

11. 过双曲线的下焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点P，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）

A.  B.  C.  D.

【11题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】先设双曲线的上焦点为，则，因为抛物线为，所以为抛物线的焦点，O为的中点，又可得E为FP的中点，所以OE为的中位线，得到，再设，由得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．

【详解】设双曲线的上焦点为，则

抛物线为，为抛物线的焦点，O为的中点，

，则为FP的中点，又为的中点，则为的中位线．

．，．

切圆O于E，．．

设，则，．

由点在抛物线上，则

在直角中，

即，整理得

即，又，所以

故选：D．

12. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（）

A.  B.  C.  D.

【12题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】记，利用导数证明出，令时，证明出；

记，利用导数证明出，令时，.即可得到结论.

【详解】记，则.

令，解得：；，解得：；

所以在单减，在单增.

所以，即.

当时，有，即.

记，则.

令，解得：；，解得：；

所以在单增，在单减.

所以，即.

当时，有，即.

所以.

故选：A

【点睛】指、对数比较大小：

（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；

（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 己知向量，满足，，且，则在上的投影为_________．

【13题答案】

【答案】

【解析】

【分析】根据得，进而根据投影的概念求解即可得答案.

【详解】解：因为，所以，

因为，所以，即，

所以在上的投影为

故答案为：

14. 在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，且所有项的系数之和为0，则含的项的系数为______（用数字作答）．

【14题答案】

【答案】

【解析】

【分析】依题意根据二项式系数的特征得到，再令，得到所有项的系数和，即可求出参数的值，再写出二项式展开式的通项，令，求出，最后代入计算可得；

【详解】解：依题意，因为只有第6项的二项式系数最大，所以，即，令，则，所以，所以二项式展开式的通项为，令，解得，则，即展开式中项的系数为；

故答案为：

15. 已知P是椭圆上的动点，且不在坐标轴上，，是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是的角平分线上一点，且，则的取值范围是______．

【15题答案】

【答案】

【解析】

【分析】设在第一象限，延长交的延长线于点，连接，然后可得，推导出（其中为的横坐标），从而，由可知，由此能够得到的取值范围．

【详解】

由椭圆的对称性，不妨设在第一象限，

延长交的延长线于点，连接，

由于在的角平分线上，可知，

所以△与全等，则，

再由，知，

，

（其中为的横坐标），

，由可知，由椭圆的方程知，

的取值范围是，．

故答案为：

16. 设为数列的前n项和，满足，，数列的前n项和为，满足，则______．

【16题答案】

【答案】

【解析】

【分析】直接利用数列递推式和累乘法求出数列的通项公式，再利用裂项相消法的应用可求得结果

【详解】由，得，

因为，

所以，

所以，满足上式，则，

当时，，满足上式，

所以，

所以，

所以

故答案为：

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．

（1）求角A；

（2）若点D在边AC上，且，求△BCD面积的最大值．

【17~18题答案】

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由两角和的正弦公式，诱导公式变形可求得；

（2）由平面向量的线性运算求得，，用余弦定理及基本不等式求得的最大值，可得面积的最大值，从而得结论．

【小问1详解】

因为，由正弦定理得，

所以，即，

三角形中，所以，而，所以；

【小问2详解】

由得，，所以，，

在中由余弦定理，即，当且仅当时等号成立，

所以，，

所以△BCD面积的最大值为．

18. 为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y（单位：万台）关于x（年份）的线性回归方程为，且销量y的方差为，年份x的方差为．

（1）求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱；

（2）该机构还调查了该地区100位购车车主性别与购车种类情况，得到的数据如下表：

能否有99.5%的把握认为购买电动汽车与性别有关？

附：（i）线性回归方程：，其中，；

（ii）相关系数：，相关系数时相关性较强，时相关性一般，时相关性较弱．

（iii）

，其中．

【18~19题答案】

【答案】（1）与相关性较强

（2）有的把握认为购买电动汽车与性别有关

【解析】

【分析】（1）将相关系数公式适当变形，可得，再代入已知数据计算，即可判断；

（2）由列联表计算出卡方，再与临界值比较，即可判断；

【小问1详解】

解：相关系数

所以与相关性较强；

【小问2详解】

解：，所以有的把握认为购买电动汽车与性别有关；

19. 如图，在三棱锥D—ABC中，G是△ABC的重心，E，F分别在BC，CD上，且，．

（1）证明：平面平面ABD；

（2）若平面ABC，，，，P是线段EF上一点，当线段GP长度取最小值时，求二面角的余弦值．

【19~20题答案】

【答案】（1）证明见解析；

（2）

【解析】

【分析】（1）利用线面平行及面面平行的判定定理可证得；

（2）分析知当线段GP长度取最小值时，点P与点E重合，建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角即可得解.

【小问1详解】

，，

又平面ABD，平面ABD，平面ABD，

又G是△ABC的重心，

又平面ABD，平面ABD，平面ABD，

又，平面

所以平面平面ABD

【小问2详解】

由，，，可得

又，

又平面ABC，平面ABC，

又，平面，平面，

又平面，

P是线段EF上一点，当线段GP长度取最小值时，点P与点E重合.

如图，作，以C为原点，为轴建立空间直角坐标系，

则，，，

所以，，，

设平面的一个法向量为

则，令，

设平面的一个法向量为

则，令，

，

所以二面角的余弦值为

20. 如图，圆与抛物线相交于点、、、，且．

（1）若抛物线的焦点为，为其准线上一点，是坐标原点，，求抛物线的方程；

（2）设与相交于点，与组成蝶形（如图所示的阴影区域）的面积为，求点的坐标及的最大值．

【20~21题答案】

【答案】（1）

（2），最大值为.

【解析】

【分析】（1）可设点，利用平面向量数量积的坐标运算可得出的值，即可得出抛物线的标准方程；

（2）设点、，则、，，将抛物线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，根据可求得点的坐标，利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得的最大值.

【小问1详解】

解：抛物线的焦点为，设点，

所以，，，则，可得，

故抛物线的标准方程为.

【小问2详解】

解：根据圆与抛物线的对称性，四边形是以轴为对称轴的等腰梯形，

不妨设，、第一象限，

设点、，则、，，

联立，消去可得，

则关于的二次方程有两个不等的正根，

所以，解得，

依据对称性，点在轴上，可设点，

由得，所以，，

解得，所以，点，

，

当且仅当时，等号成立，故当时，取得最大值.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．

21. 设函数．

（1）当时，求在上的单调区间；

（2）记，讨论函数在上的零点个数．

【21~22题答案】

【答案】（1）单调递增区间为、，单调递减区间为、；

（2）个零点

【解析】

【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；

（2）首先得到，当时，显然满足条件，当时，恒成立，即可不存在零点，当，依题意可得，令，，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在性定理，即可判断函数的零点个数；

【小问1详解】

解：当时，，则，令，即或，解得或；令，即或，解得或，所以在上的单调递增区间为、，单调递减区间为、；

【小问2详解】

解：因为，所以，，因为，所以是函数的一个零点；

当时，，，所以恒成立，所以在上无零点；

当时，由，即得，令，，所以，令，，则，所以在上单调递减，又，，所以存在唯一实数，使得，且时，则，所以在上单调递增，时，则，所以在上单调递减，易知，又，，所以函数在和上各有一个零点，所以函数在上有且仅有两个零点，综上可得在上有且仅有个零点；

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

[选修4—4：坐标系与参数方程]

22. 在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）写出直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线C交于P，Q两点，PQ中点为M，A（1，0），求的值．

【22~23题答案】

【答案】（1）直线的普通方程为，曲线C的直角坐标方程为；

（2）8.

【解析】

【分析】（1）根据参数方程、极坐标方程的知识进行转化即可；

（2）直线的参数方程也可表示为（为参数），然后利用的几何意义求解即可.

【小问1详解】

由可得，即直线的普通方程为，

由可得，所以，即

所以曲线C的直角坐标方程为

【小问2详解】

直线的参数方程也可表示为（为参数），

将其代入可得，

设该方程的根为，则，

所以，

所以

[选修4—5：不等式选讲]

23. 已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若，使，求实数a的取值范围．

【23~24题答案】

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）分三种情况去绝对值解不等式，

（2）将问题转化为函数的图象与直线有公共点，画出图象，根据图象求解

【小问1详解】

当时，由，得，解得，

当时，由，得，解得，

当时，由，得，解得，

综上，不等式的解集为

【小问2详解】

，使，则函数的图象与直线有公共点，

因为直线恒过点，

令图象的最低点为，则

直线的斜率为，

由图象可知，当或时，函数的图象与直线有公共点，

所以实数a的取值范围为