2022济源、平顶山、许昌高三第二次质量检测（二模）数学（文）含解析

平顶山许昌济源2021—2022学年高三第二次质量检测

文科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（）

A.  B.  C.  D.

【1题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】先求出集合A，再求两集的交集

【详解】由，得，

所以，

因为，

所以，

故选：B

2. 若，则的虚部为（）

A.  B.  C.  D.

【2题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】由求出复数，从而可求出其虚部.

【详解】由得，故的虚部为，

故选：D.

3. 若等差数列和等比数列满足，，则（）

A. －4 B. －1 C. 1 D. 4

【3题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题中条件求出、的值，进而求出和的值，由此可得出的值.

【详解】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和，则，

求得，，那么

故选：C.

4. 搭载神州十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，精准点火发射后约582秒，进入预定轨道，发射取得圆满成功．据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：m/s）和燃料的质量M（单位：kg）、火箭的质量m（除燃料外，单位：kg）的函数关系是．当火箭的最大速度为11.5km/s时，约等于（）（参考数据：）

A. 313 B. 314 C. 312 D. 311

【4题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】先将火箭的最大速度化为，然后代入给出的表达式中，即可求出答案.

【详解】火箭的最大速度为11.5km/s,即

所以，所以

即

故选：B

5. 已知，，则（）

A.  B. 12 C. －12 D.

【5题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】先求出和，利用二倍角公式求出，直接代入即可求解.

【详解】因为，，

解得：，所以.

所以

所以.

故选：C

6. 已知函数，若，则（）

A.  B.  C.  D.

【6题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】先得到，进而由得到答案.

【详解】定义域为R，且，又，所以，所以.

故选：D

7. 右图是一张“春到福来”的剪纸窗花，为了估计深色区域的面积，将窗花图案放置在边长为的正方形内，在该正方形内随机生成个点，恰有个点落在深色区域内，则此窗花图案中深色区域的面积约为（）

A.  B.  C.  D.

【7题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】设此窗花图案中深色区域的面积为，根据几何概型的概率公式可得出关于的等式，即可解得的值.

【详解】设此窗花图案中深色区域的面积为，由几何概型的概率公式可得，

解得.

故选：B.

8. 已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（）

A.  B.

C.  D.

【8题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】由表示圆可得，点A（1，2）在圆C外可得，求解即可

【详解】由题意，表示圆

故，即或

点A（1，2）在圆C：外

故，即

故实数m的取值范围为或

即

故选：A

9. 已知函数与函数在区间上的图像交于A，B，C三点，则的面积是（）

A. 2 B.  C.  D. 4

【9题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】先求出于A，B，C三点坐标，得出是等腰三角形，进而求出面积.

【详解】，则，令，即或或，解得：，，，不妨设，，，则为等腰三角形，

故选：A

10. “中国天眼”射电望远镜的反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆面为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积，其中R为球的半径，为球冠的高），设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则当，时，（）

A.  B.  C.  D.

【10题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】作出示意图，根据条件先求出r，然后根据并结合勾股定理求出R，进而得到答案.

【详解】如示意图，根据题意，，由勾股定理可得，联立方程解得.

于是.

故选：B.

11. 过双曲线的下焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点P，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）

A.  B.  C.  D.

【11题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】先设双曲线的上焦点为，则，因为抛物线为，所以为抛物线的焦点，O为的中点，又可得E为FP的中点，所以OE为的中位线，得到，再设，由得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．

【详解】设双曲线的上焦点为，则

抛物线为，为抛物线的焦点，O为的中点，

，则为FP的中点，又为的中点，则为的中位线．

．，．

切圆O于E，．．

设，则，．

由点在抛物线上，则

在直角中，

即，整理得

即，又，所以

故选：D．

12. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（）

A.  B.  C.  D.

【12题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】记，利用导数证明出，令时，证明出；

记，利用导数证明出，令时，.即可得到结论.

【详解】记，则.

令，解得：；，解得：；

所以在单减，在单增.

所以，即.

当时，有，即.

记，则.

令，解得：；，解得：；

所以在单增，在单减.

所以，即.

当时，有，即.

所以.

故选：A

【点睛】指、对数比较大小：

（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；

（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若实数x，y满足约束条件，则的最大值为______．

【13题答案】

【答案】3

【解析】

【分析】由题意，即，要使得最大，即直线与可行域相交，且截距最小，数形结合即得解

【详解】由题意，即，要使得最大，即直线与可行域相交，且截距最小，画出可行域如图所示：

如图所示，当直线经过与的交点时，截距最小

即最大，故的最大值为

故答案为：3

14. 设向量，满足，，与的夹角为60°，则______．

【14题答案】

【答案】

【解析】

【分析】首先可得的值，然后利用可算出答案.

【详解】因为向量，满足，，与的夹角为60°，

所以

所以

故答案为：

15. 设为数列的前n项和，满足，，数列的前n项和为，满足，则______．

【15题答案】

【答案】

【解析】

【详解】因为为数列的前n项和，满足，，

所以当时，

当时，

因为当时也满足，所以

所以

所以

所以

故答案为：

16. 已知P是椭圆上的动点，且不在坐标轴上，，是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是的角平分线上一点，且，则的取值范围是______．

【16题答案】

【答案】

【解析】

【分析】设在第一象限，延长交的延长线于点，连接，然后可得，推导出（其中为的横坐标），从而，由可知，由此能够得到的取值范围．

【详解】

由椭圆的对称性，不妨设在第一象限，

延长交的延长线于点，连接，

由于在的角平分线上，可知，

所以△与全等，则，

再由，知，

，

（其中为的横坐标），

，由可知，由椭圆的方程知，

的取值范围是，．

故答案为：

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，且满足．

（1）求角C的大小；

（2）若，求的面积．

【17~18题答案】

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理可转化为，即，结合，可得解；

（2）由，，化简可得，结合可得，利用正弦定理可得，再利用面积公式即得解

【小问1详解】

由题意，，结合正弦定理

故

又，故

故，即，又

【小问2详解】

由题意，又

故

即，又

由，

代入可得：

18. 近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，随机抽样调查某市2015~2021年的家庭平均教育支出，得到如下折线图．（附：年份代码1~7分别对应的年份是2015~2021）．

经计算得，，，，．

（1）用线性回归模型拟合y与t的关系，求出相关系数r（精确到0.01），并指出是哪一层次的相关性？

（2）建立y关于t的回归方程；

（3）若2022年该市某家庭总支出为10万元，预测该家庭教育支出约为多少万元？

附：（i）相关系数：；相关系数时相关性较强，时相关性一般，时相关性较弱．

（ii）线性回归方程：，其中，

【18~20题答案】

【答案】（1）相关性较强

（2）

（3）5.5万元

【解析】

【分析】（1）根据题干数据计算，代入相关系数公式计算，即得解

（2）根据题干数据，分别计算，即得解

（3）代入，可利用（2）中的回归方程估计家庭教育支出百分比，计算即得解

【小问1详解】

故相关性较强

【小问2详解】

【小问3详解】

当时，

故家庭教育支出为万元

19. 如图，内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，平面ABC，，．

（1）证明：平面平面ADE；

（2）求三棱锥A－CBE体积的最大值．

【19~20题答案】

【答案】（1）证明见解析；

（2）.

【解析】

分析】（1）首先证明平面，然后得到平面即可；

（2），然后求出的最大值即可.

【小问1详解】

因为平面ABC，平面ABC，所以，

因为内接于圆O，AB是圆O的直径，所以，

因为，所以平面，

因为四边形DCBE为平行四边形，所以，所以平面，

因为平面ADE，所以平面平面ADE，

【小问2详解】

因为平面ABC，，所以平面ABC，

所以，

所以当最大时，三棱锥A－CBE体积最大，

设，则

所以，当时等号成立，

所以三棱锥A－CBE体积的最大值为.

20. 如图，圆与抛物线相交于点、、、，且．

（1）若抛物线的焦点为，为其准线上一点，是坐标原点，，求抛物线的方程；

（2）设与相交于点，与组成蝶形（如图所示的阴影区域）的面积为，求点的坐标及的最大值．

【20~21题答案】

【答案】（1）

（2），的最大值为.

【解析】

【分析】（1）可设点，利用平面向量数量积的坐标运算可得出的值，即可得出抛物线的标准方程；

（2）设点、，则、，，将抛物线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，根据可求得点的坐标，利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得的最大值.

【小问1详解】

解：抛物线的焦点为，设点，

所以，，，则，可得，

故抛物线的标准方程为.

【小问2详解】

解：根据圆与抛物线的对称性，四边形是以轴为对称轴的等腰梯形，

不妨设，、第一象限，

设点、，则、，，

联立，消去可得，

则关于的二次方程有两个不等的正根，

所以，解得，

依据对称性，点在轴上，可设点，

由得，所以，，

解得，所以，点，

，

当且仅当时，等号成立，故当时，取得最大值.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．

21. 已知函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）当时，若函数的最小值为M，求证：．

【21~22题答案】

【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）

【解析】

【分析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间；

（2）函数定义域是，求得导函数，这里是正数，引入，利用它的单调性，得其有唯一零点，是的唯一极小值点，即，由把转化为关于的函数，再由导数得新函数的最大值不大于1，证得结论成立．

【小问1详解】

当时，，的定义域是，

，

设，，则在单调递增，且

所以当时，；当时，．

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．

【小问2详解】

由（1）得的定义域是，，

令，则，在上单调递增，

因为，所以，，

故存在，使得．

当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增；

故时，取得最小值，即，

由，得，

令，，则，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

故，即时，取最大值1，．

【点睛】关键点睛：本题考查用导数求函数的单调性，求最值，证明不等式．解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从而求得最值．只是对含有参数的最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其中部分函数再一次求导，确定单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数有关，因此对函数的最值又需引入新函数，对新函数再用导数进行求值、证明等操作．本题考查了学生的逻辑思维能力，运算求解能力，属于难题．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

[选修4－4：坐标系与参数方程]

22. 在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）写出直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线C交于P，Q两点，PQ中点为M，A（1，0），求的值．

【22~23题答案】

【答案】（1）直线的普通方程为，曲线C的直角坐标方程为；

（2）8.

【解析】

【分析】（1）根据参数方程、极坐标方程的知识进行转化即可；

（2）直线的参数方程也可表示为（为参数），然后利用的几何意义求解即可.

【小问1详解】

由可得，即直线的普通方程为，

由可得，所以，即

所以曲线C的直角坐标方程为

【小问2详解】

直线的参数方程也可表示为（为参数），

将其代入可得，

设该方程的根为，则，

所以，

所以

[选修4－5：不等式选讲]

23. 已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若，使，求实数a的取值范围．

【23~24题答案】

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）分三种情况去绝对值解不等式，

（2）将问题转化为函数的图象与直线有公共点，画出图象，根据图象求解

【小问1详解】

当时，由，得，解得，

当时，由，得，解得，

当时，由，得，解得，

综上，不等式的解集为

【小问2详解】

，使，则函数的图象与直线有公共点，

因为直线恒过点，

令图象的最低点为，则

直线的斜率为，

由图象可知，当或时，函数的图象与直线有公共点，

所以实数a取值范围为