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专题09 三角函数与三角恒等变换经典小题-2022年新高考数学高频考点 题型专项练习(新高考适用)
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这是一份专题09 三角函数与三角恒等变换经典小题-2022年新高考数学高频考点 题型专项练习(新高考适用)，文件包含专题09三角函数与三角恒等变换经典小题解析版docx、专题09三角函数与三角恒等变换经典小题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共105页， 欢迎下载使用。
专题09 三角函数与三角恒等变换经典必刷小题100题
(初级)1-40题
一、单选题
1．为了得到函数的图象．只需把函数的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度
D．向右平行移动个单位长度
【答案】C
【分析】
根据三角函数图形变换中的原理求解，求解过程中注意系数对平移情况的影响.
【详解】
因为，所以把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度即可．故选C.
2．已知，，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】
将已知等式两边平方可得，进而可得，解得，利用同角三角函数基本关系式可求，进而即可求解的值．
【详解】
解：因为，，
两边平方，可得，可得，
所以，即，
所以解得，（负值舍去），可得，
所以．
故选：．
3．设函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的最大值为
B．的一个零点为
C．的最小正周期为
D．的图象关于直线对称
【答案】B
【分析】
利用三角函数的恒等变形公式化简为“一角一函”的形式，然后利用三角函双E图象与性质进行判定.
【详解】
，所以的最小正周期为，的最大值为，C，A正确；当时，，所以的图象关于直线对称，D正确；因为，所以不是函数的零点，B错误，
故选：B.
4．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；
解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.
【详解】
解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
5．将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象.若在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据平移法则写出f(x)的函数解析式，根据单调性，结合正弦函数的性质写出关于的不等式组，求解即得.
【详解】
，
当时，，
由，有，，
有，得.
故选：B
6．已知函数，的图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
在各选择支的函数中取特值计算，并与已知图象比较，采用排除方法可作出判定.
【详解】
取x=0,对于A：；对于B：；对于C：；对于D：，结合图象中f(0)=0,故排除BD.
取x=,对于A：,对于C：,结合图象，可排除C.
故选：A.
【点睛】
本题考查根据图象判定解析式，可以利用特殊值法进行排除.
7．化简（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】
利用同角三角函数的商数关系化切为弦，然后利用平方关系和正弦的二倍角公式化简转化为特殊角的三角函数即可得解.
【详解】
原式
．
故选：B．
【点睛】
本题考查同角三角函数的关系，特殊角三角函数值，二倍角的正弦公式，利用商数关系切化弦是解决问题的关键.
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用两角和差公式和二倍角公式化简求值即可．
【详解】
因为，
所以，
即，
则，
.
故选：A
9．已知函数，现将的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由函数，根据函数图象的平移变换与放缩变换法则，可得到函数，由，可得，利用正弦函数的单调性可得结果.
【详解】
将函数的图象向左平移个单位长度，
得到的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，
得到函数的图象， ，
∵ ，
所以，
∴，∴，
∴在上的值域为，
故选：A.
10．函数的图像沿轴向右平移个单位()，所得图像关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先利用平移变换得到平移后的函数的解析式，根据图象的对称性得到关于a的方程，求得a的所有值，然后取其中的最小正值即得答案.
【详解】
的图象向右平移a个单位得的图象，
所得图象关于轴对称，
所以,
因此a的最小正值为，
故选：D.
【点睛】
本题考查三角函数的图象的平移变换和对称性，切记每一个变换总是对字母而言.
结合三角函数的图象的对称性，得到：
函数是奇函数；
函数是偶函数；
函数是奇函数；
函数是偶函数.
11．将函数（）在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，进而整体代入法得出函数的单调递减区间，利用子集关系列出不等式组，求解可得的取值范围．
【详解】
．
在上单调递减，依题意有
∴，，且，∴
当时满足题意，∴，
故选：C
12．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋tan αtan β＝，则α，β的大小关系是（ ）
A．α<<β B．β<<α
C． <α<β D． <β<α
【答案】B
【分析】
由两角和与差的正切公式得出α＋β＝，结合，得出α>，结合选项可得答案．
【详解】
∵α为锐角，sin α－cos α＝，∴α>．又tan α＋tan β＋tan αtan β＝，
∴tan(α＋β)＝，∴α＋β＝，又α>，∴β<<α．
故选：B
13．函数的部分图象如图所示，要得到的图象，只需将的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】D
【分析】
由周期求得ω，再结合最高点求得φ，得到函数的解析式，进而做出判定.
【详解】
由图可知，，所以，即，所以．
所以，又，
所以，所以，
,
将其图象向左平移个单位长度即可得到的图象．
故选：D
14．已，且则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
平方求出，进而求出，将所求的式子分子用二倍角公式化简，分母用两角和余弦公式展开，即可求解.
【详解】
平方得，
，
.
故选:D.
【点睛】
本题考查三角函数求值问题，涉及到同角间的三角函数关系、三角恒等变换的应用，熟记公式是解题的关键，属于中档题.
15．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图像，则函数的图象的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，通过平移得到，利用正弦函数的对称性得出图象的对称中心．
【详解】
将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，
的对称中心为
当时为.
故选：B.
16．函数的图像最近两对称轴之间的距离为，若该函数图像关于点成中心对称，当时m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据相邻对称轴之间的距离为正弦型函数的半个周期，求得的值，得到函数的解析式，进而利用正弦函数的性质求得所有对称中心的坐标，根据题中的取值范围求解得到的值.
【详解】
的最小正周期,，
所以，
令,则,
函数f(x)的对称轴心为,,
所以，
当时,解得：,
又,
故选：D.
【点睛】
本题考查正弦型函数的性质，关键是根据对称轴间的距离为半周期，利用整体代换法求得正弦型函数的所有对称中心的坐标.
17．已知角的终边与单位圆交于点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由点在单位圆上求出的坐标，再利用二倍角公式以及任意角三角函数的定义代入求值即可．
【详解】
点在单位圆上，则，解得，即
故选：B
18．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用两角和与差公式和辅助角公式化简已知等式，可得答案．
【详解】
由，得，所以，从而.
故选：B
【点睛】
本题考查三角恒等变换，考查两角和与差公式与辅助角公式的应用，考查学生计算能力，属于基础题．
19．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
将角表示为，再利用诱导公式可得出结果.
【详解】
，故选C.
【点睛】
本题考查利用诱导公式求值，解题的关键就是弄清所求角与已知角之间的关系，考查计算能力，属于中等题.
20．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先利用诱导公式化简，再利用，将要求式除以，
然后分子分母同时除以即可求解.
【详解】
由题意，，
则
．
故选B．
【点睛】
本题考查诱导公式和同角关系式，属于基础题.
二、多选题
21．已知向量，，若与共线，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在上单调递增
C．直线是图象的一条对称轴
D．将的图像向左平移个单位得到函数的图象
【答案】ACD
【分析】
利用向量共线的坐标运算结合余弦的二倍角公式先求出，再根据余弦函数的性质逐一判断即可.
【详解】
解：因为向量，，且与共线
则
即：
所以
对A，函数的最小正周期为，故A正确；
对B，由，得，，所以函数的单调递增区间为，，而，故B错误；
对C，由，，得，，即的对称轴为，，当时，，所以是图象的一条对称轴，故C正确；
对D，，将的图像向左平移个单位得到，故D正确.
故选：ACD.
22．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点成中心对称
C．函数的最小正周期为
D．函数的一个单调递增区间为
【答案】ACD
【分析】
利用函数图象变换可判断A选项的正误；利用正弦型函数的对称性可判断B选项的正误；利用正弦型函数的周期公式可判断C选项的正误；利用正弦型函数的单调性可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，将函数的图象向右平移个单位，
可得到函数的图象，所以，，A对；
对于B选项，，B错；
对于C选项，函数的最小正周期为，C对；
对于D选项，当时，，D对.
故选：ACD.
23．已知5，下列计算结果正确的是（ ）
A． B．2
C． D．
【答案】BC
【分析】
将条件变形为用表示的形式，进而可求出，则可判断选项AB，再将选项CD变形，用表示，代入的值即可判断.
【详解】
解：由得，解得，故A错误，B正确；
，故C正确；
，故D错误.
故选：BC.
24．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】
由题意得，可得，根据的范围，可得的正负，即可判断A的正误；求得的值，即可判断D的正误，联立可求得的值，即可判断B的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C的正误，即可得答案.
【详解】
因为①，
所以，则，
因为，所以，
所以，故A错误，
所以，
所以②，故D正确，
①②联立可得，，故B正确
所以，故C错误，
故选：BD
25．已知函数为偶函数， ，则常数θ的可能值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】
根据偶函数的定义以及三角恒等变换，得到，进而求出，结合选项给赋值即可求出结果.
【详解】
依题意，恒成立，
所以,
即成立.
所以对任意x成立,
显然，所以，
，所以 ,
当时，；当，则，
故选：BD.
26．已知函数，则（ ）
A．是周期为的周期函数
B．的值域是
C．在上单调递增
D．将的图像向左平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图像
【答案】AD
【分析】
先结合诱导公式与二倍角公式化简，然后结合函数的图象与性质逐项分析即可判断.
【详解】
，所以是周期为的周期函数，故A正确；因为，所以，故B错误；因为在上单调递减，所以，即，当时，，所以在上单调递减，故C错误；将的图像向左平移个单位长度后，得为奇函数，故D正确；
故选：AD.
27．若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．在上的最大值为1
C．是函数图象的对称轴 D．在区间上单调递减
【答案】ABC
【分析】
将函数平移得到函数，依据余弦型函数的性质逐一验证选项即可.
【详解】
解：由题意可知：，所以的最小正周期为，A正确；当时，，的最大值为1，故B正确；当时，，为函数图象的对称轴，故C正确；当时，，不单调，故D错误.
故选：ABC
28．已知函数的部分图像如图所示，若将函数的图像纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图像，则下列命题正确的是（ ）
A．函数的解析式为
B．函数的解析式为
C．函数图像的一条对称轴是直线
D．函数在区间上单调递增
【答案】ABD
【分析】
对于A，由图像可得，，从而可求出得，再将点的坐标代入函数中可求出的值，从而可求出函数解析式，对于B，由三角函数图像变换规律求出的解析式，对于C，将代入中验证是否能取得最值，对于D，由求出的增区间进行判断即可
【详解】
由图可知，，，所以，
解得，故．
因为图像过点，所以，即．
因为点位于单调增区间上，且，所以，
故．故A项正确；
若其纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，
所得到的函数解析式为，
再向右平移个单位长度，所得到的函数解析式
．故B项正确；
当时，，即时，
不取最值，故不是函数的一条对称轴，故C项错误；
令，
得，
故函数的单调增区间是，
当时，在区间上单调递增．所以D项正确．
故选：ABD
29．已知函数，ω>0．若函数在上恰有2个零点，则ω的可能值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】
由题设知上恰好有2个零点，根据正弦函数的性质得求范围，进而判断可能值.
【详解】
时，上恰好有2个零点，
∴，则，故B、C、D中的对应值在内.
故选：BCD
30．下列结论正确的是（ ）
A．是第三象限角
B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
C．若角的终边过点，则
D．若角为锐角，则角为钝角
【答案】BC
【分析】
利用象限角的定义可判断A选项的正误；利用扇形面积公式可判断B选项的正误；利用三角函数的定义可判断C选项的正误；利用特殊值法可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，且为第二象限角，故为第二象限角，A错；
对于B选项，扇形的半径为，因此，该扇形的面积为，B对；
对于C选项，由三角函数的定义可得，C对；
对于D选项，取，则角为锐角，但，即角为锐角，D错.
故选：BC.
第II卷（非选择题）
三、填空题
31．已知，则___________.
【答案】/0.28
【分析】
将看做一个整体，利用余弦的二倍角公式计算求得.
【详解】
因为，则.
故答案为：
32．已知，若，则_________.
【答案】
【分析】
根据同角的基本关系可得，再根据正弦的二倍角公式，可得，再根据诱导公式可得，由此即可求出结果.
【详解】
因为，，
所以
所以
所以.
故答案为：.
33．已知函数(，)，其图象相邻的对称轴与对称中心之间的距离为，且是一个极小值点.若把函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数的图象关于直线对称，则实数的最小值为___________.
【答案】
【分析】
利用三角函数的图象的性质求得周期，进而得到原函数右侧的第一个最值点，也就是对称轴，也就是对称轴，然后得到的最小值.
【详解】
相邻的对称轴与对称中心之间的距离为，∴,∴，
∴最小值点右侧最近的一个最大值点为，第二个最值点为最小值点，即是第一个超过的最值点，即右侧第一条对称轴为，∴把函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数的图象关于直线对称，则实数的最小值为,
故答案为：.
【点睛】
本题考查三角函数的图象和性质，考查三角函数的平移变换，属基础题.注意相邻的中心与轴间的距离为四分之一周期，相邻极值点间的距离为半个周期.注意平移的方向，找到函数在直线右侧的第一条对称轴是关键.
34．已知：，则的最大值是___________.
【答案】
【分析】
利用两角和的正弦公式展开求得, 设,则, 得到,求得的取值范围，进而得到最大值.
【详解】
，
∴,
设,则,
∴,
∴,
即最大值为.
故答案为：.
【点睛】
一般的，可化为,可得,从而，即.这一结论在求解一类三角函数最值时是很方便的.
35．已知，则__________．
【答案】
【分析】
由，利用三角函数的基本关系式，求得，再结合正弦、余弦的倍角公式，即可求解.
【详解】
由，可得，即，解得，
又由,
,
故答案为：.
【点睛】
三角函数的化简求值的规律总结：
1、给角求值：一般给出的角是非特殊角，要观察所给角与特殊角的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题；
2、给值求值：即给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系；
3、给值求角：实质上可转化为“给值求值”即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围）.
36．已知，则__________.
【答案】
【分析】
利用诱导公式化简得出，根据””的代换结合齐次式化简计算得出函数值．
【详解】
由已知得：，则
故答案为：
37．函数的图象如图所示，则________.
【答案】
【分析】
通过函数的图象求出，然后求出，通过函数经过，求出的值.
【详解】
由题意可知，，所以，
因为函数经过，所以，，
∴,
所以.
故答案为：.
38．函数的部分图象如图所示，则______.
【答案】
【分析】
由图可得，利用周期求出，又函数过点，解得，进而得出函数的解析式．
【详解】
由图可得：，，解得，
又函数过点，则，解得，
故答案为：
39．若，则满足的的取值范围为______________；
【答案】
【分析】
本题首先可确定在区间上所对应的的值，然后可结合正弦函数图像得出不等式的解集．
【详解】
当时，令，解得或，
如图，绘出正弦函数图像，结合函数图像可知，
当时，的解集为
【点睛】
本题考查三角函数不等式的解法，考查对正弦函数性质的理解，考查计算能力，体现了基础性，是简单题．
40．已知，且，则的值为__________．
【答案】
【分析】
由已知可求出,再借助同角三角函数的关系,即可求出结果.
【详解】
,且,
,且,,则.
故答案为: .
【点睛】
本题考查两角差的余弦公式,考查同角三角函数的关系,属于基础题.
(中级)1-40题
一、单选题
1．已知函数在上恰有个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先化简为，令，即在上恰有个不相等的实根，由的性质可得解
【详解】
，令，
，
，
由题意在上恰有个零点，即在上恰有个不相等的实根，由的性质可得，解得．
故选：
2．已知函数的图象的一条对称轴为,则下列结论中正确的是（ ）
A．是图象的一个对称中心
B．是最小正周期为的奇函数
C．在上单调递增
D．先将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，即可得到函数的图象
【答案】A
【分析】
化简函数，将代入得函数最值，可求得，进而可得，通过计算，可判断A；
通过计算，可判断B；
当时，，可得在上的单调性，可判断C；
通过振幅变换和平移变换，可判断D.
【详解】
，
当时，取到最值，即
解得，
.
，则是图像的一个对称中心，故A正确；
，故不是奇函数，故B错误；
当时，，又在上先增后减，则在上先增后减，故C错误；
将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，得，故D错误.
故选：A
3．若函数在区间内单调，且是的一个对称中心，则的值可以是（ ）
A．6 B． C．9 D．
【答案】A
【分析】
由对称中心得到(k∈Z)，当时，根据正弦函数的单调性结合的范围得到，求得，
当时，根据正弦函数的单调性结合的范围得到，求得，从而求得的值.
【详解】
,解得,(k∈Z)
若,则，解得；
若，则，解得；
故，或，
如图所示，经检验符合题意.
故选：A.
【点睛】
本题考查三角函数的对称性和单调性，关键是注意ω正负的讨论.
4．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系弦化切，将化成的表达式，代入计算即得.
【详解】
.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用三角函数的恒等变形化简求值，熟练使用倍角公式并注意弦化切可以简化计算过程.
5．已知函数，当时，，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为.
B．函数的图象的一个对称中心为
C．函数的图象的一条对称轴方程为
D．函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到
【答案】D
【分析】
利用时，，得到和，求得的解析式，根据正弦函数的图象和性质逐项排除即可.
【详解】
因为，所以，又，
所以或，因为，
所以的最小正周期为，所以，故A错误；
又，所以，又，所以，
所以；
令()，得()，
所以函数的对称中心为()，所以B错误；
由()，解得()，故C错误；
，向右平移单位长度得，故D正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查正弦型三角函数的图象和性质，是一道三角函数不错的题.关键难点是利用已知条件得到必然同时为最大值点或同时为最小值点，从而求得函数的周期，得到的值.对于的对称轴可将看成一个整体,利用正弦函数的对称轴和中心计算求得；函数的图象的平移变换对应将按照“左加右减”口诀代换得到.
6．设函数（，）的最小正周期为，且过点，则下列正确的为（ ）
①在单调递减.
②的一条对称轴为.
③的周期为.
④把函数的图像向左平移个长度单位得到函数的解析式为
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
【答案】A
【分析】
根据辅助角公式得，则，即，再根据过点，可知，则，即.根据余弦型三角函数的图象和性质，分别判断①②③④，是否正确，即可.
【详解】
根据辅助角公式得.
最小正周期为，
，即.
函数过点，
，则.
当时.即.
令，则，
当时，在单调递减，①正确.
令，则，
当时，的一条对称轴为，②正确.
的周期为且，③错误.
函数的图像向左平移个长度单位得到函数的解析式为，④错误.
故选：A
【点睛】
本题考查求正弦型三角函数的解析式以及图象和性质，属于中档题.
7．若sinα＋sinβ＝(cosβ－cosα)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于（ ）
A．－ B．－
C． D．
【答案】D
【分析】
由α，β的范围和y＝cosx的单调性,确定出两角的大小关系,利用和差化积公式求出α－β的值.
【详解】
∵α，β∈(0，π)，∴sinα＋sinβ>0.∴cosβ－cosα>0，cosβ>cosα，又在(0，π)上，y＝cosx是减函数．∴β<α∴0<α－β<π
由原式可知：2sin·cos＝ (－2sin·sin)，∴tan＝，∴＝，∴α－β＝.
故选: D
【点睛】
本题考查三角恒等变换的应用,考查学生分析解决问题的能力和运算能力,属于中档题.
8．已知函数的最大值为3， 的图象与轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为，则的值为（ ）
A．2468 B．4035 C．4036 D．4040
【答案】D
【分析】
利用降幂公式化简，由相邻两条对称轴的距离求出，由最大值得出的值，再根据图象与轴的交点坐标得出的值，进而得出函数的解析式，研究其周期性解出答案．
【详解】
，
其相邻两条对称轴间的距离为，则周期为，解得，
由最大值为3，可得，则
又图象与轴的交点坐标为，，，
，
故选：D
【点睛】
本题考查三角函数的图象和性质，考查函数周期性的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
9．已知函数（其中，）在区间上不是单调函数，且其值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
化简函数，根据在上不是单调函数，且，求得．根据在上的值域为且，知道，求得，从而得到结果.
【详解】
化简
∵在上不是单调函数，且，
∴，解得或（舍去），
则，.
又∵在上的值域为且，
∴，解得，
∴.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查三角函数的三角恒等变换，三角的单调性和最值问题，属于难题.
10．若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
计算出的值，然后利用两角差的正弦公式可求得的值.
【详解】
，，则，
因此，.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用两角差的正弦公式求值，同时也涉及了同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于中等题.
11．将函数的图象向左平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到的图象，若对于任意的实数，都单调递增，则正数的最大值为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据三角函数图象变换求得，可得，由得出，由函数单调递增可得出关于的不等式组，即可解得正数的最大值.
【详解】
将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数，
再将所得函数图象向下平移个单位长度后，得到函数的图象，
则，
当时，，
由于函数在区间上单调递增，所以，，
所以，，解得，
由，解得，，当时，，
因此，正数的最大值为.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用余弦型函数的单调性求参数，同时也考查了利用函数图象变换求函数解析式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
12．已知函数的图象如下，那么的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
首先化简可得，由图像可知；又因为，所以，当时，可得，化简可得，由此求出或，进而求出结果.
【详解】
因为，由图像可知，
，所以；
又因为，所以，
当时，由图像可知，,
所以，，所以
可得或
所以，又，所以.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了三角函数图像的应用，同时考查了三角函数中的含参问题，属于中档题.
13．若将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用图象变换求出函数的解析式，然后将问题转化为直线与函数在区间上的图象有两个交点，利用数形结合思想可得出实数的取值范围.
【详解】
将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，
再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
令，得，则直线与函数在区间上的图象有两个交点，
令，当时，，即，
作出函数与函数在区间上的图象如下图所示：
由图象可知，当时，即当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点.
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
14．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先由，可得，结合，，可得，继而得到，，转化，利用两角差的正弦公式即得解
【详解】
由题意，故
故
又，
故
，
则
故选：C
【点睛】
本题考查了两角和与差的正弦公式、同角三角函数关系综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
15．若，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用二倍角公式和两角差的正弦公式化简得出，并求出角和的取值范围，结合正弦函数的单调性可得出结论.
【详解】
，则，由，
可得，化简得，
，则，
，，则，且，
由于函数在区间上单调递增，所以，可得.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数化简计算，涉及二倍角公式、两角差的正弦公式的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
16．若，则等于
A．2 B． C． D．-2
【答案】D
【分析】
由，则本题中需要将所求的问题转化为角及相关的三角函数值的运算.所以通过诱导公式，两角和差公式，进行计算.
【详解】
，，
，故选D.
【点睛】
化简求值某些较为复杂形式的值，只需要将所求形式中的角化成题中条件里面出现的角的形式，其中运用到了诱导公式、两角和差公式、齐次式等知识点，综合性较强.
17．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C．π D．2π
【答案】C
【分析】
利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，结合函数的定义域，由无意义，周期的定义可得答案.
【详解】
，
由，得且
可得函数的最小正周期，
但是，当时，，无意义，所以，
又，且对定义域内的任意自变量，也在定义域内.
所以函数的最小正周期.
故选：C.
18．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用二倍角公式对条件进行化简得，再进行配角求值，即可得到答案；
【详解】
∵，
∴
即得，
化简得，
∵，∴，
∴.
故选：B.
【点睛】
本题考查三角恒等变换的求值，求解时注意角的配凑，即整体法的运用.
19．已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据，，再结合两角和差的正弦公式，即可得到答案.
【详解】
由可得
所以
所以
所以，即
故选：B
20．已知，，，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】
先分别判断的范围，求出和的值，利用两角和的正切公式求出
【详解】
∵，，
∴；
∵，∴，又，∴
∵，∴
∵，∴，
∴，
∴.
故选：B.
【点睛】
利用三角公式求三角函数值的关键：
(1)角的范围的判断；
(2)根据条件进行合理的拆角，如等．
二、多选题
21．关于函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的最小正周期为
C．的图象关于直线对称
D．在上单调递增
【答案】ACD
【分析】
计算得到是的一个周期，B错误，时，，计算最值得到A正确，得到C正确，计算单调性得到D正确，得到答案.
【详解】
因为
所以是的一个周期，故B错误；
当时，，所以当时，，故A正确；
因为
所以的图象关于直线对称，故C正确；
当时，，
因为，所以在上单调递增，故D正确．
故选：ACD.
22．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，总，使，则可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】
化简，并根据平移变换得到；根据正弦型函数值域可确定的范围，由已知等式可知（为的值域），结合四个选项中的值可确定，进而判断出结果.
【详解】
由题意得：，；
当时，，，，
，，
设的值域为，，
对于A，当时，，，不符合，A错误；
对于B，当时，，，符合，B正确；
对于C，当时，，，符合，C正确；
对于D，当时，，，符合，D正确.
故选：BCD.
【点睛】
关键点点睛：本题考查三角函数中的恒、能成立问题，解题关键是能够根据已知中的等式进行转化，得到正弦型函数值域所满足的包含关系，进而利用正弦型函数值域的求解方法依次判断各个选项得到结论.
23．设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】
利用三角恒等变换化简已知条件，结合同角三角函数的基本关系式，求得.
【详解】
依题意，
，
，
，
，
，代入，
，
化简得，
两边除以，，
，
解得或.
故选：AC
24．已知函数，则以下叙述正确的是（ ）
A．若，则（）
B．的最小正周期为
C．在上单调递减
D．的图象关于（）对称
【答案】BCD
【分析】
对去绝对值写成分段函数的形式，作出函数图象，结合图象逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】
，
作出的图象如图：
对于A：由图知：若，不一定有（），如取，，
此时满足，但不满足（），故选项A不正确；
对于B：由图知的最小正周期为，故选项B正确；
对于C：由图知在上单调递减，故选项C正确；
对于D：由图知图象关于（）对称，故选项D正确；
故选：BCD.
25．已知函数，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．的最小正周期是
C．在上的最大值是 D．图象的对称轴是直线
【答案】ACD
【分析】
利用函数奇偶性的定义可判断A选项的正误；利用特殊值法可判断B选项的正误；利用辅助角公式结合正弦型函数的基本性质可判断C选项的正误；利用图象可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，函数的定义域为，
，
故函数为偶函数，A对；
对于B选项，，
，
所以，，B错；
对于C选项，当时，，
，所以，当时，函数取得最大值，C对；
对于D选项，当时，，
当时，，
又因为,
所以，函数为周期函数，且周期为，作出函数的图象如下图所示：
由图象可知，函数图象的对称轴是直线，D对.
故选：ACD.
26．设函数，则下列说法正确的有（ ）
A．当，时，为奇函数
B．当，时，的一个对称中心为
C．若关于的方程的正实根从小到大依次构成一个等差数列，则这个等差数列的公差为
D．当，时，在区间上恰有个零点
【答案】AD
【分析】
利用正弦函数的奇偶性判定的奇偶性，进而判定A；逆用两角和差公式化为“一角一函”形式，根据正弦函数的对称中心的性质判定B;化简方程后求得方程的正实数根，根据等差数列的定义判定C；根据零点的定义，转化为方程，求解后判定D.
【详解】
当，时，,,
所以是奇函数，故A正确；
当，时，，，
不是的一个对称中心，故B错误；
当，，时，为，
即，
则或，即或，,
正根从小到大排列为,
,,故不是等差数列，故C错误；
当，时，，
令，解得，
当时解在区间上，故在区间上恰有个零点，故D正确.
故答案为：AD.
27．在中，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若为不同象限角，则的最大值为
D．
【答案】BC
【分析】
利用三角函数的基本关系式，化简已知等式得到，利用两角和与差的余弦函数，得到，可判定A错误；利用同角三角函数的基本关系式，可判定B正确；由为不同象限角，得到，利用三角恒等变换即基本不等式，可判定C正确；利用三角函数恒等变换的公式进行化简，可判定D正确.
【详解】
由，可得，所以，
对于A中，由，可得，
可得，所以或，所以A错误；
对于B中，由，所以，即，
所以，所以，所以B正确；
对于C中，因为为不同象限角，所以，
可得，所以C正确；
对于D中，由
，
所以，所以D错误.
故选：BC.
28．已知函数，则有（ ）
A． B．
C．是函数图象的对称中心 D．方程有三个实根
【答案】ABC
【分析】
将函数利用三角恒等变换，转化为，在逐项判断.
【详解】
因为函数，
A. 因为，故正确；
B. 因为，所以，故正确；
C. 因为，所以是函数图象的对称中心，故正确；
D.在同一坐标系中作出函数的图象：
由图象可知：方程的实根超过3个，故错误；
故选：ABC
【点睛】
方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．
29．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的单调递增区间为
B．若，，则
C．函数在区间上的最大值和最小值分别为1和
D．若函数在区间上有唯一零点，则实数的取值范围为
【答案】AB
【分析】
先化简函数，对于A，求解正弦函数的单调递增区间即可；对于B，由可得，则即可求解；对于C，由，根据角取值范围即可求得最值；对于D，化为在上有唯一实根，设，画出函数的部分图像，根据图像求得结果．
【详解】
．
对于A：令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，，所以选项A正确；
对于B：因为，所以，
所以若，即，则，
则
，所以选项B正确；
对于C：，当时，，
所以，，所以选项C不正确；
对于D：在上有唯一零点
等价于
在上有唯一实根，由，得，令
设
依题意可知与的图像有唯一交点，
函数的图像如图，
由图可知实数应满足或，解得或，
故实数的取值范围为，所以选项D不正确．
故选：AB．
【点睛】
关键点点睛：对于D，转化为在上有唯一实根，设，画出函数的部分图像，根据图像求得结果．
30．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递减
B．直线为图象的一条对称轴
C．在上的解集为
D．函数在上的图象与直线的交点的横坐标之和为
【答案】AC
【分析】
先根据绝对值的含义，将写成分段函数的形式，然后逐段研究并作出其图象，最后根据三角函数的图象与性质即可求解.
【详解】
由题意得，函数，
作出的大致图象如图所示，由图可知，在上单调递减，所以A正确；
由图易知函数的图象没有对称轴，所以直线不是函数图象的对称轴，
所以B错误；
当时，，由，可得，
当时，，由，可得或，
所以在上的解集为，所以C正确；
结合函数的图象，可得函数在上的图象与直线有4个交点，设交点的横坐标从左到右依次设为，，，，
根据函数的解析式可知，
当时，，根据余弦函数图象的对称性可知，，
当时，，根据正弦函数图象的对称性可知，，
所以，所以选项D错误.
故选：AC.
第II卷（非选择题）
三、填空题
31．已知，，，则________.
【答案】
【分析】
根据，得到，，再根据，，得到，然后由求解.
【详解】
因为，
所以，
因为，
所以，
则，
因为，
所以，又，
所以，
所以，
，
，
，
故答案为：
32．已知，，则____________.
【答案】
【分析】
由，得到利用三角函数的基本关系式得到，再根据，结合倍角公式，即可求解.
【详解】
由，可得，则，
又由
.
故答案为：.
33．若，则______.
【答案】
【分析】
结合诱导公式以及余弦的二倍角公式和降幂公式化简整理代入数据计算即可求出结果.
【详解】
故答案为：.
34．设为，为锐角，且，，则________．
【答案】
【分析】
由题意可得，再利用倍角公式化简，可得结果．
【详解】
解：∵α，β为锐角，且，，
∴
，
故答案为：1
35．已知中，则则最小值是___
【答案】
【分析】
利用正弦定理余弦定理得到，利用和角的正切得到,再利用基本不等式求解.
【详解】
因为，
所以，
所以,
又
所以,
所以.
因为中，,
所以
所以,
所以,
所以，
因为，所以为锐角.
因为，所以，
所以.
当且仅当时等号成立.
故答案为：
36．计算：___________.
【答案】8
【分析】
利用切化弦，再根据诱导公式和辅助角公式，即可化简.
【详解】
解：
故答案为：8
37．设为锐角，若，则的值为____________.
【答案】
【分析】
利用二倍角公式，同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式求得所求表达式的值.
【详解】
为锐角，， .
.
故答案为：
38．在中，满足，则___________．
【答案】
【分析】
根据已知条件求得，由此化简求得所求表达式的值.
【详解】
由，
，
即，
所以，
可得，
又
，
所以．
故答案为：
39．函数的最大值为__________.
【答案】
【分析】
按与两类进行三角恒等变换，再利用正弦函数性质求出最大值比较而得.
【详解】
当时，，
，其中锐角满足，
而，则，即时，，
当时，，
，其中锐角满足，
而，则，即时，，，
所以函数的最大值为.
故答案为：
40．设函数，若，，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】
对三角函数进行化简，化为最标准的形式，根据题目可得时取得最值，从而求出辅助角的大小，得到的关系式，即可求解的最小值
【详解】
函数
，其中，，
因为，，
所以为函数的最值，
则有，
故，
所以，
故，
所以，，
故，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
(高级)1-20题
一、单选题
1．已知函数f(x)=(sin2x+4cosx)+2sinx，则f(x)的最大值为（ ）
A．4 B．
C．6 D．5+2
【答案】B
【分析】
先将展开，提公因式并结合拼凑法可得，结合放缩，联立辅助角公式化简，即可求解.
【详解】
，由可知，要求最大值，只需即可，结合基本不等式可得
，当且仅当，即时等号成立，因此当时的最大值为.
故选：B
2．设函数满足，且当时，，又函数，则函数在上的零点个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】
首先分析和的函数性质，再将函数在上的零点个数转化为与在上的图像的交点个数问题即可求解.
【详解】
，∴为偶函数；
因为，易知为偶函数，
令，易知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
易得，，
当时，，
则是由图像纵坐标伸长或缩短倍得到的函数，
又由于为自变量，故定存在，使得在上单调递增，在上单调递减；
同理，存在，使得在上单调递增，在上单调递减；
令，，
则在上的零点个数可转化为函数与在上的图像的交点个数，
当时，，；
当时，，；
∴与在上有一个交点；
同理可得，与在，，上各有一个交点；
∵与均为偶函数，∴与在上有一个交点；
综上所述，与在上有五个交点.
故选:C.
3．设函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由题意，方程在区间上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根，结合正弦函数的图象和性质，求得的范围．
【详解】
解：函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，
即在区间上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根．
，，
当，则，求得；
当，，方程在区间上有1个根，不满足题意；
当，，求得；
当，则，方程在区间上有3个不同的根，满足条件，此时，，
当，，方程在区间上有5个不同的根，不满足题意；
当时，方程在区间上至少有5个不同的根，不满足题意．
综上，可得，
故选：A．
4．已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值.
【详解】
法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设，则，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
【点睛】
思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.
5．在中，已知，其中（其中），若为定值，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
，化简得，再由为定值，化简得到恒成立，列出方程组，即可求解.
【详解】
由，可得，，
因为，得，
即，
又由
（定值），
即，
即恒成立，
可得，解得，.
故选：A．
【点睛】
方法点拨：解答中把为定值，利用三角函数的基本关系式和题设条件，转化为恒成立，结合多项式相等的条件，列出方程组是解答的关键.
6．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】
首先先求以为终边的角为，再根据三角函数的定义求点的纵坐标，以及根据图形表示.
【详解】
，所以对应的角是，
由在内转过的角为，
可知以为始边，以为终边的角为，
则点的纵坐标为，
所以点距水面的高度表示为的函数是.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题的关键读懂题意，并能抽象出函数关系，关键是求以在内转过的角为，再求以为终边的角为.
7．已知定义在R上的奇函数满足，当时，，若函数在区间上有2021个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由函数的奇偶性，对称性及周期性，结合函数的图象的作法，分别求得函数和的图象，观察其交点的分布规律，即可求解.
【详解】
由题意，函数为R上奇函数，所以，且，
又，可得，可得函数的图象关于点对称，联立可得，所以是以2为周期的周期函数，
又由函数的周期为2，且关于点对称，
因为当时，，
由图象可知，
函数和的图象在上存在四个零点，即一个周期内有4个零点，
要使得函数，在区间上有2021个零点，
其中都是函数的零点，
可得实数满足，即.
故选：B.
【点睛】
应用函数的奇偶性、对称性和周期性，以及结合函数的图象进行求解是解答的关键.
8．设函数，对于非负实数t，函数有四个零点，，，．若，则的取值范围中的整数个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】
画出图形，将问题转化为与图像的交点，可得，根据的范围，可得，然后可得，简单判断可得结果.
【详解】
如图所示：
依据题意可知：非负实数t，所以，
当时，则，即
所以
当时，则，即，所以
所以
所以只有一个整数在这个范围，
故选：B
【点睛】
关键点睛：本题关键在于数形结合以及依据的范围，求得，进行判断.
9．已知，，其中，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
将已知等式变形为，，构造函数，通过研究函数的单调性与奇偶性即可得到解决.
【详解】
设，则，易知是偶函数．当时，，，所以；
当时，，，所以．所以恒成立，即在定义域内单调递增．
因为，所以为奇函数，从而的图象关于点对称，因为，
所以，
同理可得．
则，从而，即，
故．
故选：D
【点睛】
关键点睛：本题解题关键是构造函数，将已知条件转化为，再利用函数的单调性及奇偶性解决.
10．＝ （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先求出，然后，利用，代入 的值求解即可
【详解】
，
令，得， ，，所以，，
所以，
故选：A
【点睛】
关键点睛：解题的关键在于，利用和 ，求出，然后利用余弦函数的两角和差公式进行求解，运算量较大，属于难题
二、多选题
11．已知，则（ ）
A．的图像关于直线对称
B．在上递增
C．的值域是
D．若方程在上的所有实根按从小到大的顺序分别记为，则
【答案】ACD
【分析】
化简函数，对A选项，利用轴对称的意义验证并判断；对B，C选项，换元借助导数求解并判断；对D选项，利用对称性、周期性计算并判断.
【详解】
依题意有，
对于A选项：，
即，的图像关于直线对称，A正确；
对于B选项：在上单调递增，，，
，时，时，即在不单调，
由复合函数单调性知，在上不单调，即B错误；
对于C选项：令，则，，
在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，，，，
，的值域是，的值域是，C正确；
对于D选项：由已知得，
解得或(舍去)，
由得函数图象在区间且确保成立的，
对称轴为，在内有11个根，
数列构成以为首项，为公差的等差数列，
，D正确.
故选：ACD
【点睛】
关键点睛：涉及关于正(余)弦的三角方程的根的和，合理利用对应函数的对称性是解决问题的关键.
12．已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数是最小正周期为的周期函数
C．若，则方程在区间内，最多有4个不同的根
D．函数在区间内，共有6个零点
【答案】ACD
【分析】
可判断函数为偶函数，讨论的范围，化简可得函数单调性，画出函数的图象即可判断.
【详解】
，为偶函数，
当时，，所以，
又，由在为减函数可得在上单调递减，故A正确；
当时，由可得，所以函数在且上为增函数，在且上为减函数，
当时，由可得，所以函数在且上为增函数，在且上为减函数，做出函数图象如图，又因为函数为偶函数，故不是周期函数，故B错误；
方程在区间内根的个数，等价于与的图象的交点个数，由图象可知最多有4个交点，故C正确；
由函数图象可得在区间有6个零点，故D正确.
故选：ACD.
13．已知函数，若，且在上有且仅有三个极值点，则（ ）
A．的最小正周期为
B．在区间上单调递增
C．在区间上的最小值等于
D．将的图象向右平移个单位可得到的图象
【答案】ABD
【分析】
先根据条件等式以及极值点个数列出关于的等式与不等式，由此确定出的取值，从而的解析式可求，然后逐项分析最小正周期、单调增区间、在区间上的最小值、图象的变换.
【详解】
因为，所以，
所以或，
所以或；
因为在上有且仅有三个极值点，且，
所以，所以，
所以时，满足条件，所以，；
A.，故正确；
B.令，所以，
所以在区间上单调递增，故正确；
C.因为，所以，所以，故错误；
D. 图象向右平移个单位得到，又因为，故正确；
故选：ABD.
【点睛】
思路点睛：求解形如的函数的单调递增区间的步骤如下：
（1）先令；
（2）解上述不等式求解出的取值范围即为的单调递增区间.
14．在三角函数部分，我们研究过二倍角公式，实际上类似的还有三倍角公式，则下列说法中正确的有（ ）
A．
B．存在时，使得
C．给定正整数，若，，且，则
D．设方程的三个实数根为，，，并且，则
【答案】ACD
【分析】
利用两角和的余弦公式及二倍角公式展开化简即可判断选项A；令，则，根据三角函数的有界性得到，进而判断B选项；令，其中，，问题转化为，根据二次函数的最值证明上式成立即可；求解方程得到或或，比较大小得到，，，再验证是否成立即可.
【详解】
，A对
令，则，，则，B错；
令，其中，
，即
∴
由可得
，即，∴
∴，C对；
令，，
，即
即
∵，∴或或
令，，，，
∴的根都在，∴，，
，D对
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查学生三角函数，二次函数的相关性质的问题，主要考察学生分析问题解决问题的能力，对学生的要求比较高，属于难题，在做此类目时不要慌张，静下心来，慢慢分析就可以找到题目的突破口.
15．已知函数，.若存在，使得对任意，，则（ ）
A．任意
B．任意
C．存在，使得在上有且仅有2个零点
D．存在，使得在上单调递减
【答案】BD
【分析】
化简函数，根据任意，，得到是函数的最小值点，可判定A不正确；由函数的最小正周期为，得到为函数的最大值点，可判定B正确；由区间上，此时，可判定C错误；取，可判定D正确.
【详解】
由题意，函数，其中，
因为对任意，，即是函数的最小值点，
所以函数关于对称，所以，所以A不正确；
由函数的最小正周期为，所以为函数的最大值点，所以，所以B正确；
因为，且是函数的最小值点，可得，
所以在区间上，此时，
故不存在，使得在上有且仅有2个零点，所以C错误；
取，则在内，单调递减且，所以单调递减，所以D正确.
故选：BD.
【点睛】
解答三角函数的图象与性质的基本方法：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式；
2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.
第II卷（非选择题）
三、填空题
16．___________.
【答案】
【分析】
先利用两角和差化积公式凑配化简得，代入原式即可得解.
【详解】
，
.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题考查三角函数的化简求值，利用两角和差化积公式凑配化简是解题的关键，考查学生的运算能力，属于较难题.
17．设，其中，，若对一切恒成立，则对于以下四个结论：
①；
②；
③既不是奇函数也不是偶函数；
④的单调递增区间是．
正确的是_______________（写出所有正确结论的编号）．
【答案】①③
【分析】
利用辅助角公式可得且，根据题设不等式恒成立可得，再由各项的描述，结合正弦函数的性质、函数奇偶性定义判断正误.
【详解】
由题设，且，
∵对一切恒成立，
∴，即，则,
①，正确；
②，而，所以，错误；
③，故，即是非奇非偶函数，正确；
④因为在上单调递增，所以，令，则等价于上单调递增，错误；
故答案为：①③
【点睛】
关键点点睛：利用辅助角公式求得，由正弦函数的性质及不等式恒成立有求值.
18．已知函数(，)的部分图象如图所示，的图象与轴的交点的坐标是，且关于点对称，若在区间上单调，则的最大值是___________.
【答案】
【分析】
先根据函数的图象及其所过的点可求，再根据图象的对称性可求()，求出函数单调区间的一般形式，利用为前者的子集可求的范围，从而可求的最大值.
【详解】
∵函数的图象经过点，∴，，
，∴或.
若，则，
则当时，，故在为增函数，
这与题设中的图象不符合，故.
∴，由的图象关于点对称，
得，，即()，
令，则，
故的单调区间为.
∵在区间上单调，
故存在整数，使得，
故，因为，故，且，
故即，
故或或或或.
又()，∴或，∴的最大值是.
故答案为：11.
【点睛】
方法点睛：对于含参数的正弦型函数，如果已知其在给定区间上的单调性，则可以求出函数的单调区间的一般形式，根据给定区间为一般形式的子集得到参数满足的不等式组，该不等式组有整数解，从而得到参数的取值范围.
19．已知，若函数的最大值为5，则________.
【答案】8
【分析】
用辅助角公式变形，，然后分析的符号得出达到最大值时的条件，在此条件下再变形的表达式（去掉绝对值符号），然后再由三角函数知识求得最大值为，从而得出结论．
【详解】
设，其中，，
则，
∴，
当取负值时，取得最大值，
∴达到最大值时，
，
∴当时，，解得．（解题过程中同时取“＋”或“－”）
是负值，的终边在轴下方，那么或的终边在轴负半轴（含原点）是可以达到的，即最大值能取到．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查三角函数的辅助角公式，考查三角函数的最值，考查了学生分析问题解决问题的能力，逻辑思维能力，运算求解能力．
20．在锐角三角形中，已知，则的取值范围是________.
【答案】
【分析】
利用同角三角函数关系式化简条件，构造函数将双变量转化单变量并结合锐角三角形得到取值范围，利用三角函数的恒等变换化简为，构造函数利用导数研究其值域即可.
【详解】
由题意可得，，
即.不妨设
则
由得 令 ，
单调递减，
单调递增，
取得极小值，也是最下值，，
所以在上的值域为，
所以 ,又△为锐角三角形，
所以，
则 ，故 .
,
令，故在 上单调递增，
所以的值域为
故的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查三角函数式的化简及构造函数，利用导数研究函数的性质，属于能力提升题.
专题09 三角函数与三角恒等变换经典必刷小题100题
(初级)1-40题
一、单选题
1．为了得到函数的图象．只需把函数的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度
D．向右平行移动个单位长度
【答案】C
【分析】
根据三角函数图形变换中的原理求解，求解过程中注意系数对平移情况的影响.
【详解】
因为，所以把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度即可．故选C.
2．已知，，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】
将已知等式两边平方可得，进而可得，解得，利用同角三角函数基本关系式可求，进而即可求解的值．
【详解】
解：因为，，
两边平方，可得，可得，
所以，即，
所以解得，（负值舍去），可得，
所以．
故选：．
3．设函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的最大值为
B．的一个零点为
C．的最小正周期为
D．的图象关于直线对称
【答案】B
【分析】
利用三角函数的恒等变形公式化简为“一角一函”的形式，然后利用三角函双E图象与性质进行判定.
【详解】
，所以的最小正周期为，的最大值为，C，A正确；当时，，所以的图象关于直线对称，D正确；因为，所以不是函数的零点，B错误，
故选：B.
4．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；
解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.
【详解】
解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
5．将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象.若在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据平移法则写出f(x)的函数解析式，根据单调性，结合正弦函数的性质写出关于的不等式组，求解即得.
【详解】
，
当时，，
由，有，，
有，得.
故选：B
6．已知函数，的图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
在各选择支的函数中取特值计算，并与已知图象比较，采用排除方法可作出判定.
【详解】
取x=0,对于A：；对于B：；对于C：；对于D：，结合图象中f(0)=0,故排除BD.
取x=,对于A：,对于C：,结合图象，可排除C.
故选：A.
【点睛】
本题考查根据图象判定解析式，可以利用特殊值法进行排除.
7．化简（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】
利用同角三角函数的商数关系化切为弦，然后利用平方关系和正弦的二倍角公式化简转化为特殊角的三角函数即可得解.
【详解】
原式
．
故选：B．
【点睛】
本题考查同角三角函数的关系，特殊角三角函数值，二倍角的正弦公式，利用商数关系切化弦是解决问题的关键.
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用两角和差公式和二倍角公式化简求值即可．
【详解】
因为，
所以，
即，
则，
.
故选：A
9．已知函数，现将的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由函数，根据函数图象的平移变换与放缩变换法则，可得到函数，由，可得，利用正弦函数的单调性可得结果.
【详解】
将函数的图象向左平移个单位长度，
得到的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，
得到函数的图象， ，
∵ ，
所以，
∴，∴，
∴在上的值域为，
故选：A.
10．函数的图像沿轴向右平移个单位()，所得图像关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先利用平移变换得到平移后的函数的解析式，根据图象的对称性得到关于a的方程，求得a的所有值，然后取其中的最小正值即得答案.
【详解】
的图象向右平移a个单位得的图象，
所得图象关于轴对称，
所以,
因此a的最小正值为，
故选：D.
【点睛】
本题考查三角函数的图象的平移变换和对称性，切记每一个变换总是对字母而言.
结合三角函数的图象的对称性，得到：
函数是奇函数；
函数是偶函数；
函数是奇函数；
函数是偶函数.
11．将函数（）在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，进而整体代入法得出函数的单调递减区间，利用子集关系列出不等式组，求解可得的取值范围．
【详解】
．
在上单调递减，依题意有
∴，，且，∴
当时满足题意，∴，
故选：C
12．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋tan αtan β＝，则α，β的大小关系是（ ）
A．α<<β B．β<<α
C． <α<β D． <β<α
【答案】B
【分析】
由两角和与差的正切公式得出α＋β＝，结合，得出α>，结合选项可得答案．
【详解】
∵α为锐角，sin α－cos α＝，∴α>．又tan α＋tan β＋tan αtan β＝，
∴tan(α＋β)＝，∴α＋β＝，又α>，∴β<<α．
故选：B
13．函数的部分图象如图所示，要得到的图象，只需将的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】D
【分析】
由周期求得ω，再结合最高点求得φ，得到函数的解析式，进而做出判定.
【详解】
由图可知，，所以，即，所以．
所以，又，
所以，所以，
,
将其图象向左平移个单位长度即可得到的图象．
故选：D
14．已，且则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
平方求出，进而求出，将所求的式子分子用二倍角公式化简，分母用两角和余弦公式展开，即可求解.
【详解】
平方得，
，
.
故选:D.
【点睛】
本题考查三角函数求值问题，涉及到同角间的三角函数关系、三角恒等变换的应用，熟记公式是解题的关键，属于中档题.
15．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图像，则函数的图象的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，通过平移得到，利用正弦函数的对称性得出图象的对称中心．
【详解】
将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，
的对称中心为
当时为.
故选：B.
16．函数的图像最近两对称轴之间的距离为，若该函数图像关于点成中心对称，当时m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据相邻对称轴之间的距离为正弦型函数的半个周期，求得的值，得到函数的解析式，进而利用正弦函数的性质求得所有对称中心的坐标，根据题中的取值范围求解得到的值.
【详解】
的最小正周期,，
所以，
令,则,
函数f(x)的对称轴心为,,
所以，
当时,解得：,
又,
故选：D.
【点睛】
本题考查正弦型函数的性质，关键是根据对称轴间的距离为半周期，利用整体代换法求得正弦型函数的所有对称中心的坐标.
17．已知角的终边与单位圆交于点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由点在单位圆上求出的坐标，再利用二倍角公式以及任意角三角函数的定义代入求值即可．
【详解】
点在单位圆上，则，解得，即
故选：B
18．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用两角和与差公式和辅助角公式化简已知等式，可得答案．
【详解】
由，得，所以，从而.
故选：B
【点睛】
本题考查三角恒等变换，考查两角和与差公式与辅助角公式的应用，考查学生计算能力，属于基础题．
19．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
将角表示为，再利用诱导公式可得出结果.
【详解】
，故选C.
【点睛】
本题考查利用诱导公式求值，解题的关键就是弄清所求角与已知角之间的关系，考查计算能力，属于中等题.
20．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先利用诱导公式化简，再利用，将要求式除以，
然后分子分母同时除以即可求解.
【详解】
由题意，，
则
．
故选B．
【点睛】
本题考查诱导公式和同角关系式，属于基础题.
二、多选题
21．已知向量，，若与共线，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在上单调递增
C．直线是图象的一条对称轴
D．将的图像向左平移个单位得到函数的图象
【答案】ACD
【分析】
利用向量共线的坐标运算结合余弦的二倍角公式先求出，再根据余弦函数的性质逐一判断即可.
【详解】
解：因为向量，，且与共线
则
即：
所以
对A，函数的最小正周期为，故A正确；
对B，由，得，，所以函数的单调递增区间为，，而，故B错误；
对C，由，，得，，即的对称轴为，，当时，，所以是图象的一条对称轴，故C正确；
对D，，将的图像向左平移个单位得到，故D正确.
故选：ACD.
22．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点成中心对称
C．函数的最小正周期为
D．函数的一个单调递增区间为
【答案】ACD
【分析】
利用函数图象变换可判断A选项的正误；利用正弦型函数的对称性可判断B选项的正误；利用正弦型函数的周期公式可判断C选项的正误；利用正弦型函数的单调性可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，将函数的图象向右平移个单位，
可得到函数的图象，所以，，A对；
对于B选项，，B错；
对于C选项，函数的最小正周期为，C对；
对于D选项，当时，，D对.
故选：ACD.
23．已知5，下列计算结果正确的是（ ）
A． B．2
C． D．
【答案】BC
【分析】
将条件变形为用表示的形式，进而可求出，则可判断选项AB，再将选项CD变形，用表示，代入的值即可判断.
【详解】
解：由得，解得，故A错误，B正确；
，故C正确；
，故D错误.
故选：BC.
24．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】
由题意得，可得，根据的范围，可得的正负，即可判断A的正误；求得的值，即可判断D的正误，联立可求得的值，即可判断B的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C的正误，即可得答案.
【详解】
因为①，
所以，则，
因为，所以，
所以，故A错误，
所以，
所以②，故D正确，
①②联立可得，，故B正确
所以，故C错误，
故选：BD
25．已知函数为偶函数， ，则常数θ的可能值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】
根据偶函数的定义以及三角恒等变换，得到，进而求出，结合选项给赋值即可求出结果.
【详解】
依题意，恒成立，
所以,
即成立.
所以对任意x成立,
显然，所以，
，所以 ,
当时，；当，则，
故选：BD.
26．已知函数，则（ ）
A．是周期为的周期函数
B．的值域是
C．在上单调递增
D．将的图像向左平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图像
【答案】AD
【分析】
先结合诱导公式与二倍角公式化简，然后结合函数的图象与性质逐项分析即可判断.
【详解】
，所以是周期为的周期函数，故A正确；因为，所以，故B错误；因为在上单调递减，所以，即，当时，，所以在上单调递减，故C错误；将的图像向左平移个单位长度后，得为奇函数，故D正确；
故选：AD.
27．若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．在上的最大值为1
C．是函数图象的对称轴 D．在区间上单调递减
【答案】ABC
【分析】
将函数平移得到函数，依据余弦型函数的性质逐一验证选项即可.
【详解】
解：由题意可知：，所以的最小正周期为，A正确；当时，，的最大值为1，故B正确；当时，，为函数图象的对称轴，故C正确；当时，，不单调，故D错误.
故选：ABC
28．已知函数的部分图像如图所示，若将函数的图像纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图像，则下列命题正确的是（ ）
A．函数的解析式为
B．函数的解析式为
C．函数图像的一条对称轴是直线
D．函数在区间上单调递增
【答案】ABD
【分析】
对于A，由图像可得，，从而可求出得，再将点的坐标代入函数中可求出的值，从而可求出函数解析式，对于B，由三角函数图像变换规律求出的解析式，对于C，将代入中验证是否能取得最值，对于D，由求出的增区间进行判断即可
【详解】
由图可知，，，所以，
解得，故．
因为图像过点，所以，即．
因为点位于单调增区间上，且，所以，
故．故A项正确；
若其纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，
所得到的函数解析式为，
再向右平移个单位长度，所得到的函数解析式
．故B项正确；
当时，，即时，
不取最值，故不是函数的一条对称轴，故C项错误；
令，
得，
故函数的单调增区间是，
当时，在区间上单调递增．所以D项正确．
故选：ABD
29．已知函数，ω>0．若函数在上恰有2个零点，则ω的可能值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】
由题设知上恰好有2个零点，根据正弦函数的性质得求范围，进而判断可能值.
【详解】
时，上恰好有2个零点，
∴，则，故B、C、D中的对应值在内.
故选：BCD
30．下列结论正确的是（ ）
A．是第三象限角
B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
C．若角的终边过点，则
D．若角为锐角，则角为钝角
【答案】BC
【分析】
利用象限角的定义可判断A选项的正误；利用扇形面积公式可判断B选项的正误；利用三角函数的定义可判断C选项的正误；利用特殊值法可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，且为第二象限角，故为第二象限角，A错；
对于B选项，扇形的半径为，因此，该扇形的面积为，B对；
对于C选项，由三角函数的定义可得，C对；
对于D选项，取，则角为锐角，但，即角为锐角，D错.
故选：BC.
第II卷（非选择题）
三、填空题
31．已知，则___________.
【答案】/0.28
【分析】
将看做一个整体，利用余弦的二倍角公式计算求得.
【详解】
因为，则.
故答案为：
32．已知，若，则_________.
【答案】
【分析】
根据同角的基本关系可得，再根据正弦的二倍角公式，可得，再根据诱导公式可得，由此即可求出结果.
【详解】
因为，，
所以
所以
所以.
故答案为：.
33．已知函数(，)，其图象相邻的对称轴与对称中心之间的距离为，且是一个极小值点.若把函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数的图象关于直线对称，则实数的最小值为___________.
【答案】
【分析】
利用三角函数的图象的性质求得周期，进而得到原函数右侧的第一个最值点，也就是对称轴，也就是对称轴，然后得到的最小值.
【详解】
相邻的对称轴与对称中心之间的距离为，∴,∴，
∴最小值点右侧最近的一个最大值点为，第二个最值点为最小值点，即是第一个超过的最值点，即右侧第一条对称轴为，∴把函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数的图象关于直线对称，则实数的最小值为,
故答案为：.
【点睛】
本题考查三角函数的图象和性质，考查三角函数的平移变换，属基础题.注意相邻的中心与轴间的距离为四分之一周期，相邻极值点间的距离为半个周期.注意平移的方向，找到函数在直线右侧的第一条对称轴是关键.
34．已知：，则的最大值是___________.
【答案】
【分析】
利用两角和的正弦公式展开求得, 设,则, 得到,求得的取值范围，进而得到最大值.
【详解】
，
∴,
设,则,
∴,
∴,
即最大值为.
故答案为：.
【点睛】
一般的，可化为,可得,从而，即.这一结论在求解一类三角函数最值时是很方便的.
35．已知，则__________．
【答案】
【分析】
由，利用三角函数的基本关系式，求得，再结合正弦、余弦的倍角公式，即可求解.
【详解】
由，可得，即，解得，
又由,
,
故答案为：.
【点睛】
三角函数的化简求值的规律总结：
1、给角求值：一般给出的角是非特殊角，要观察所给角与特殊角的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题；
2、给值求值：即给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系；
3、给值求角：实质上可转化为“给值求值”即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围）.
36．已知，则__________.
【答案】
【分析】
利用诱导公式化简得出，根据””的代换结合齐次式化简计算得出函数值．
【详解】
由已知得：，则
故答案为：
37．函数的图象如图所示，则________.
【答案】
【分析】
通过函数的图象求出，然后求出，通过函数经过，求出的值.
【详解】
由题意可知，，所以，
因为函数经过，所以，，
∴,
所以.
故答案为：.
38．函数的部分图象如图所示，则______.
【答案】
【分析】
由图可得，利用周期求出，又函数过点，解得，进而得出函数的解析式．
【详解】
由图可得：，，解得，
又函数过点，则，解得，
故答案为：
39．若，则满足的的取值范围为______________；
【答案】
【分析】
本题首先可确定在区间上所对应的的值，然后可结合正弦函数图像得出不等式的解集．
【详解】
当时，令，解得或，
如图，绘出正弦函数图像，结合函数图像可知，
当时，的解集为
【点睛】
本题考查三角函数不等式的解法，考查对正弦函数性质的理解，考查计算能力，体现了基础性，是简单题．
40．已知，且，则的值为__________．
【答案】
【分析】
由已知可求出,再借助同角三角函数的关系,即可求出结果.
【详解】
,且,
,且,,则.
故答案为: .
【点睛】
本题考查两角差的余弦公式,考查同角三角函数的关系,属于基础题.
(中级)1-40题
一、单选题
1．已知函数在上恰有个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先化简为，令，即在上恰有个不相等的实根，由的性质可得解
【详解】
，令，
，
，
由题意在上恰有个零点，即在上恰有个不相等的实根，由的性质可得，解得．
故选：
2．已知函数的图象的一条对称轴为,则下列结论中正确的是（ ）
A．是图象的一个对称中心
B．是最小正周期为的奇函数
C．在上单调递增
D．先将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，即可得到函数的图象
【答案】A
【分析】
化简函数，将代入得函数最值，可求得，进而可得，通过计算，可判断A；
通过计算，可判断B；
当时，，可得在上的单调性，可判断C；
通过振幅变换和平移变换，可判断D.
【详解】
，
当时，取到最值，即
解得，
.
，则是图像的一个对称中心，故A正确；
，故不是奇函数，故B错误；
当时，，又在上先增后减，则在上先增后减，故C错误；
将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，得，故D错误.
故选：A
3．若函数在区间内单调，且是的一个对称中心，则的值可以是（ ）
A．6 B． C．9 D．
【答案】A
【分析】
由对称中心得到(k∈Z)，当时，根据正弦函数的单调性结合的范围得到，求得，
当时，根据正弦函数的单调性结合的范围得到，求得，从而求得的值.
【详解】
,解得,(k∈Z)
若,则，解得；
若，则，解得；
故，或，
如图所示，经检验符合题意.
故选：A.
【点睛】
本题考查三角函数的对称性和单调性，关键是注意ω正负的讨论.
4．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系弦化切，将化成的表达式，代入计算即得.
【详解】
.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用三角函数的恒等变形化简求值，熟练使用倍角公式并注意弦化切可以简化计算过程.
5．已知函数，当时，，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为.
B．函数的图象的一个对称中心为
C．函数的图象的一条对称轴方程为
D．函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到
【答案】D
【分析】
利用时，，得到和，求得的解析式，根据正弦函数的图象和性质逐项排除即可.
【详解】
因为，所以，又，
所以或，因为，
所以的最小正周期为，所以，故A错误；
又，所以，又，所以，
所以；
令()，得()，
所以函数的对称中心为()，所以B错误；
由()，解得()，故C错误；
，向右平移单位长度得，故D正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查正弦型三角函数的图象和性质，是一道三角函数不错的题.关键难点是利用已知条件得到必然同时为最大值点或同时为最小值点，从而求得函数的周期，得到的值.对于的对称轴可将看成一个整体,利用正弦函数的对称轴和中心计算求得；函数的图象的平移变换对应将按照“左加右减”口诀代换得到.
6．设函数（，）的最小正周期为，且过点，则下列正确的为（ ）
①在单调递减.
②的一条对称轴为.
③的周期为.
④把函数的图像向左平移个长度单位得到函数的解析式为
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
【答案】A
【分析】
根据辅助角公式得，则，即，再根据过点，可知，则，即.根据余弦型三角函数的图象和性质，分别判断①②③④，是否正确，即可.
【详解】
根据辅助角公式得.
最小正周期为，
，即.
函数过点，
，则.
当时.即.
令，则，
当时，在单调递减，①正确.
令，则，
当时，的一条对称轴为，②正确.
的周期为且，③错误.
函数的图像向左平移个长度单位得到函数的解析式为，④错误.
故选：A
【点睛】
本题考查求正弦型三角函数的解析式以及图象和性质，属于中档题.
7．若sinα＋sinβ＝(cosβ－cosα)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于（ ）
A．－ B．－
C． D．
【答案】D
【分析】
由α，β的范围和y＝cosx的单调性,确定出两角的大小关系,利用和差化积公式求出α－β的值.
【详解】
∵α，β∈(0，π)，∴sinα＋sinβ>0.∴cosβ－cosα>0，cosβ>cosα，又在(0，π)上，y＝cosx是减函数．∴β<α∴0<α－β<π
由原式可知：2sin·cos＝ (－2sin·sin)，∴tan＝，∴＝，∴α－β＝.
故选: D
【点睛】
本题考查三角恒等变换的应用,考查学生分析解决问题的能力和运算能力,属于中档题.
8．已知函数的最大值为3， 的图象与轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为，则的值为（ ）
A．2468 B．4035 C．4036 D．4040
【答案】D
【分析】
利用降幂公式化简，由相邻两条对称轴的距离求出，由最大值得出的值，再根据图象与轴的交点坐标得出的值，进而得出函数的解析式，研究其周期性解出答案．
【详解】
，
其相邻两条对称轴间的距离为，则周期为，解得，
由最大值为3，可得，则
又图象与轴的交点坐标为，，，
，
故选：D
【点睛】
本题考查三角函数的图象和性质，考查函数周期性的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
9．已知函数（其中，）在区间上不是单调函数，且其值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
化简函数，根据在上不是单调函数，且，求得．根据在上的值域为且，知道，求得，从而得到结果.
【详解】
化简
∵在上不是单调函数，且，
∴，解得或（舍去），
则，.
又∵在上的值域为且，
∴，解得，
∴.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查三角函数的三角恒等变换，三角的单调性和最值问题，属于难题.
10．若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
计算出的值，然后利用两角差的正弦公式可求得的值.
【详解】
，，则，
因此，.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用两角差的正弦公式求值，同时也涉及了同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于中等题.
11．将函数的图象向左平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到的图象，若对于任意的实数，都单调递增，则正数的最大值为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据三角函数图象变换求得，可得，由得出，由函数单调递增可得出关于的不等式组，即可解得正数的最大值.
【详解】
将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数，
再将所得函数图象向下平移个单位长度后，得到函数的图象，
则，
当时，，
由于函数在区间上单调递增，所以，，
所以，，解得，
由，解得，，当时，，
因此，正数的最大值为.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用余弦型函数的单调性求参数，同时也考查了利用函数图象变换求函数解析式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
12．已知函数的图象如下，那么的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
首先化简可得，由图像可知；又因为，所以，当时，可得，化简可得，由此求出或，进而求出结果.
【详解】
因为，由图像可知，
，所以；
又因为，所以，
当时，由图像可知，,
所以，，所以
可得或
所以，又，所以.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了三角函数图像的应用，同时考查了三角函数中的含参问题，属于中档题.
13．若将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用图象变换求出函数的解析式，然后将问题转化为直线与函数在区间上的图象有两个交点，利用数形结合思想可得出实数的取值范围.
【详解】
将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，
再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
令，得，则直线与函数在区间上的图象有两个交点，
令，当时，，即，
作出函数与函数在区间上的图象如下图所示：
由图象可知，当时，即当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点.
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
14．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先由，可得，结合，，可得，继而得到，，转化，利用两角差的正弦公式即得解
【详解】
由题意，故
故
又，
故
，
则
故选：C
【点睛】
本题考查了两角和与差的正弦公式、同角三角函数关系综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
15．若，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用二倍角公式和两角差的正弦公式化简得出，并求出角和的取值范围，结合正弦函数的单调性可得出结论.
【详解】
，则，由，
可得，化简得，
，则，
，，则，且，
由于函数在区间上单调递增，所以，可得.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数化简计算，涉及二倍角公式、两角差的正弦公式的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
16．若，则等于
A．2 B． C． D．-2
【答案】D
【分析】
由，则本题中需要将所求的问题转化为角及相关的三角函数值的运算.所以通过诱导公式，两角和差公式，进行计算.
【详解】
，，
，故选D.
【点睛】
化简求值某些较为复杂形式的值，只需要将所求形式中的角化成题中条件里面出现的角的形式，其中运用到了诱导公式、两角和差公式、齐次式等知识点，综合性较强.
17．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C．π D．2π
【答案】C
【分析】
利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，结合函数的定义域，由无意义，周期的定义可得答案.
【详解】
，
由，得且
可得函数的最小正周期，
但是，当时，，无意义，所以，
又，且对定义域内的任意自变量，也在定义域内.
所以函数的最小正周期.
故选：C.
18．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用二倍角公式对条件进行化简得，再进行配角求值，即可得到答案；
【详解】
∵，
∴
即得，
化简得，
∵，∴，
∴.
故选：B.
【点睛】
本题考查三角恒等变换的求值，求解时注意角的配凑，即整体法的运用.
19．已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据，，再结合两角和差的正弦公式，即可得到答案.
【详解】
由可得
所以
所以
所以，即
故选：B
20．已知，，，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】
先分别判断的范围，求出和的值，利用两角和的正切公式求出
【详解】
∵，，
∴；
∵，∴，又，∴
∵，∴
∵，∴，
∴，
∴.
故选：B.
【点睛】
利用三角公式求三角函数值的关键：
(1)角的范围的判断；
(2)根据条件进行合理的拆角，如等．
二、多选题
21．关于函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的最小正周期为
C．的图象关于直线对称
D．在上单调递增
【答案】ACD
【分析】
计算得到是的一个周期，B错误，时，，计算最值得到A正确，得到C正确，计算单调性得到D正确，得到答案.
【详解】
因为
所以是的一个周期，故B错误；
当时，，所以当时，，故A正确；
因为
所以的图象关于直线对称，故C正确；
当时，，
因为，所以在上单调递增，故D正确．
故选：ACD.
22．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，总，使，则可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】
化简，并根据平移变换得到；根据正弦型函数值域可确定的范围，由已知等式可知（为的值域），结合四个选项中的值可确定，进而判断出结果.
【详解】
由题意得：，；
当时，，，，
，，
设的值域为，，
对于A，当时，，，不符合，A错误；
对于B，当时，，，符合，B正确；
对于C，当时，，，符合，C正确；
对于D，当时，，，符合，D正确.
故选：BCD.
【点睛】
关键点点睛：本题考查三角函数中的恒、能成立问题，解题关键是能够根据已知中的等式进行转化，得到正弦型函数值域所满足的包含关系，进而利用正弦型函数值域的求解方法依次判断各个选项得到结论.
23．设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】
利用三角恒等变换化简已知条件，结合同角三角函数的基本关系式，求得.
【详解】
依题意，
，
，
，
，
，代入，
，
化简得，
两边除以，，
，
解得或.
故选：AC
24．已知函数，则以下叙述正确的是（ ）
A．若，则（）
B．的最小正周期为
C．在上单调递减
D．的图象关于（）对称
【答案】BCD
【分析】
对去绝对值写成分段函数的形式，作出函数图象，结合图象逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】
，
作出的图象如图：
对于A：由图知：若，不一定有（），如取，，
此时满足，但不满足（），故选项A不正确；
对于B：由图知的最小正周期为，故选项B正确；
对于C：由图知在上单调递减，故选项C正确；
对于D：由图知图象关于（）对称，故选项D正确；
故选：BCD.
25．已知函数，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．的最小正周期是
C．在上的最大值是 D．图象的对称轴是直线
【答案】ACD
【分析】
利用函数奇偶性的定义可判断A选项的正误；利用特殊值法可判断B选项的正误；利用辅助角公式结合正弦型函数的基本性质可判断C选项的正误；利用图象可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，函数的定义域为，
，
故函数为偶函数，A对；
对于B选项，，
，
所以，，B错；
对于C选项，当时，，
，所以，当时，函数取得最大值，C对；
对于D选项，当时，，
当时，，
又因为,
所以，函数为周期函数，且周期为，作出函数的图象如下图所示：
由图象可知，函数图象的对称轴是直线，D对.
故选：ACD.
26．设函数，则下列说法正确的有（ ）
A．当，时，为奇函数
B．当，时，的一个对称中心为
C．若关于的方程的正实根从小到大依次构成一个等差数列，则这个等差数列的公差为
D．当，时，在区间上恰有个零点
【答案】AD
【分析】
利用正弦函数的奇偶性判定的奇偶性，进而判定A；逆用两角和差公式化为“一角一函”形式，根据正弦函数的对称中心的性质判定B;化简方程后求得方程的正实数根，根据等差数列的定义判定C；根据零点的定义，转化为方程，求解后判定D.
【详解】
当，时，,,
所以是奇函数，故A正确；
当，时，，，
不是的一个对称中心，故B错误；
当，，时，为，
即，
则或，即或，,
正根从小到大排列为,
,,故不是等差数列，故C错误；
当，时，，
令，解得，
当时解在区间上，故在区间上恰有个零点，故D正确.
故答案为：AD.
27．在中，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若为不同象限角，则的最大值为
D．
【答案】BC
【分析】
利用三角函数的基本关系式，化简已知等式得到，利用两角和与差的余弦函数，得到，可判定A错误；利用同角三角函数的基本关系式，可判定B正确；由为不同象限角，得到，利用三角恒等变换即基本不等式，可判定C正确；利用三角函数恒等变换的公式进行化简，可判定D正确.
【详解】
由，可得，所以，
对于A中，由，可得，
可得，所以或，所以A错误；
对于B中，由，所以，即，
所以，所以，所以B正确；
对于C中，因为为不同象限角，所以，
可得，所以C正确；
对于D中，由
，
所以，所以D错误.
故选：BC.
28．已知函数，则有（ ）
A． B．
C．是函数图象的对称中心 D．方程有三个实根
【答案】ABC
【分析】
将函数利用三角恒等变换，转化为，在逐项判断.
【详解】
因为函数，
A. 因为，故正确；
B. 因为，所以，故正确；
C. 因为，所以是函数图象的对称中心，故正确；
D.在同一坐标系中作出函数的图象：
由图象可知：方程的实根超过3个，故错误；
故选：ABC
【点睛】
方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．
29．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的单调递增区间为
B．若，，则
C．函数在区间上的最大值和最小值分别为1和
D．若函数在区间上有唯一零点，则实数的取值范围为
【答案】AB
【分析】
先化简函数，对于A，求解正弦函数的单调递增区间即可；对于B，由可得，则即可求解；对于C，由，根据角取值范围即可求得最值；对于D，化为在上有唯一实根，设，画出函数的部分图像，根据图像求得结果．
【详解】
．
对于A：令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，，所以选项A正确；
对于B：因为，所以，
所以若，即，则，
则
，所以选项B正确；
对于C：，当时，，
所以，，所以选项C不正确；
对于D：在上有唯一零点
等价于
在上有唯一实根，由，得，令
设
依题意可知与的图像有唯一交点，
函数的图像如图，
由图可知实数应满足或，解得或，
故实数的取值范围为，所以选项D不正确．
故选：AB．
【点睛】
关键点点睛：对于D，转化为在上有唯一实根，设，画出函数的部分图像，根据图像求得结果．
30．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递减
B．直线为图象的一条对称轴
C．在上的解集为
D．函数在上的图象与直线的交点的横坐标之和为
【答案】AC
【分析】
先根据绝对值的含义，将写成分段函数的形式，然后逐段研究并作出其图象，最后根据三角函数的图象与性质即可求解.
【详解】
由题意得，函数，
作出的大致图象如图所示，由图可知，在上单调递减，所以A正确；
由图易知函数的图象没有对称轴，所以直线不是函数图象的对称轴，
所以B错误；
当时，，由，可得，
当时，，由，可得或，
所以在上的解集为，所以C正确；
结合函数的图象，可得函数在上的图象与直线有4个交点，设交点的横坐标从左到右依次设为，，，，
根据函数的解析式可知，
当时，，根据余弦函数图象的对称性可知，，
当时，，根据正弦函数图象的对称性可知，，
所以，所以选项D错误.
故选：AC.
第II卷（非选择题）
三、填空题
31．已知，，，则________.
【答案】
【分析】
根据，得到，，再根据，，得到，然后由求解.
【详解】
因为，
所以，
因为，
所以，
则，
因为，
所以，又，
所以，
所以，
，
，
，
故答案为：
32．已知，，则____________.
【答案】
【分析】
由，得到利用三角函数的基本关系式得到，再根据，结合倍角公式，即可求解.
【详解】
由，可得，则，
又由
.
故答案为：.
33．若，则______.
【答案】
【分析】
结合诱导公式以及余弦的二倍角公式和降幂公式化简整理代入数据计算即可求出结果.
【详解】
故答案为：.
34．设为，为锐角，且，，则________．
【答案】
【分析】
由题意可得，再利用倍角公式化简，可得结果．
【详解】
解：∵α，β为锐角，且，，
∴
，
故答案为：1
35．已知中，则则最小值是___
【答案】
【分析】
利用正弦定理余弦定理得到，利用和角的正切得到,再利用基本不等式求解.
【详解】
因为，
所以，
所以,
又
所以,
所以.
因为中，,
所以
所以,
所以,
所以，
因为，所以为锐角.
因为，所以，
所以.
当且仅当时等号成立.
故答案为：
36．计算：___________.
【答案】8
【分析】
利用切化弦，再根据诱导公式和辅助角公式，即可化简.
【详解】
解：
故答案为：8
37．设为锐角，若，则的值为____________.
【答案】
【分析】
利用二倍角公式，同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式求得所求表达式的值.
【详解】
为锐角，， .
.
故答案为：
38．在中，满足，则___________．
【答案】
【分析】
根据已知条件求得，由此化简求得所求表达式的值.
【详解】
由，
，
即，
所以，
可得，
又
，
所以．
故答案为：
39．函数的最大值为__________.
【答案】
【分析】
按与两类进行三角恒等变换，再利用正弦函数性质求出最大值比较而得.
【详解】
当时，，
，其中锐角满足，
而，则，即时，，
当时，，
，其中锐角满足，
而，则，即时，，，
所以函数的最大值为.
故答案为：
40．设函数，若，，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】
对三角函数进行化简，化为最标准的形式，根据题目可得时取得最值，从而求出辅助角的大小，得到的关系式，即可求解的最小值
【详解】
函数
，其中，，
因为，，
所以为函数的最值，
则有，
故，
所以，
故，
所以，，
故，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
(高级)1-20题
一、单选题
1．已知函数f(x)=(sin2x+4cosx)+2sinx，则f(x)的最大值为（ ）
A．4 B．
C．6 D．5+2
【答案】B
【分析】
先将展开，提公因式并结合拼凑法可得，结合放缩，联立辅助角公式化简，即可求解.
【详解】
，由可知，要求最大值，只需即可，结合基本不等式可得
，当且仅当，即时等号成立，因此当时的最大值为.
故选：B
2．设函数满足，且当时，，又函数，则函数在上的零点个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】
首先分析和的函数性质，再将函数在上的零点个数转化为与在上的图像的交点个数问题即可求解.
【详解】
，∴为偶函数；
因为，易知为偶函数，
令，易知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
易得，，
当时，，
则是由图像纵坐标伸长或缩短倍得到的函数，
又由于为自变量，故定存在，使得在上单调递增，在上单调递减；
同理，存在，使得在上单调递增，在上单调递减；
令，，
则在上的零点个数可转化为函数与在上的图像的交点个数，
当时，，；
当时，，；
∴与在上有一个交点；
同理可得，与在，，上各有一个交点；
∵与均为偶函数，∴与在上有一个交点；
综上所述，与在上有五个交点.
故选:C.
3．设函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由题意，方程在区间上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根，结合正弦函数的图象和性质，求得的范围．
【详解】
解：函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，
即在区间上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根．
，，
当，则，求得；
当，，方程在区间上有1个根，不满足题意；
当，，求得；
当，则，方程在区间上有3个不同的根，满足条件，此时，，
当，，方程在区间上有5个不同的根，不满足题意；
当时，方程在区间上至少有5个不同的根，不满足题意．
综上，可得，
故选：A．
4．已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值.
【详解】
法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设，则，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
【点睛】
思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.
5．在中，已知，其中（其中），若为定值，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
，化简得，再由为定值，化简得到恒成立，列出方程组，即可求解.
【详解】
由，可得，，
因为，得，
即，
又由
（定值），
即，
即恒成立，
可得，解得，.
故选：A．
【点睛】
方法点拨：解答中把为定值，利用三角函数的基本关系式和题设条件，转化为恒成立，结合多项式相等的条件，列出方程组是解答的关键.
6．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】
首先先求以为终边的角为，再根据三角函数的定义求点的纵坐标，以及根据图形表示.
【详解】
，所以对应的角是，
由在内转过的角为，
可知以为始边，以为终边的角为，
则点的纵坐标为，
所以点距水面的高度表示为的函数是.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题的关键读懂题意，并能抽象出函数关系，关键是求以在内转过的角为，再求以为终边的角为.
7．已知定义在R上的奇函数满足，当时，，若函数在区间上有2021个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由函数的奇偶性，对称性及周期性，结合函数的图象的作法，分别求得函数和的图象，观察其交点的分布规律，即可求解.
【详解】
由题意，函数为R上奇函数，所以，且，
又，可得，可得函数的图象关于点对称，联立可得，所以是以2为周期的周期函数，
又由函数的周期为2，且关于点对称，
因为当时，，
由图象可知，
函数和的图象在上存在四个零点，即一个周期内有4个零点，
要使得函数，在区间上有2021个零点，
其中都是函数的零点，
可得实数满足，即.
故选：B.
【点睛】
应用函数的奇偶性、对称性和周期性，以及结合函数的图象进行求解是解答的关键.
8．设函数，对于非负实数t，函数有四个零点，，，．若，则的取值范围中的整数个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】
画出图形，将问题转化为与图像的交点，可得，根据的范围，可得，然后可得，简单判断可得结果.
【详解】
如图所示：
依据题意可知：非负实数t，所以，
当时，则，即
所以
当时，则，即，所以
所以
所以只有一个整数在这个范围，
故选：B
【点睛】
关键点睛：本题关键在于数形结合以及依据的范围，求得，进行判断.
9．已知，，其中，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
将已知等式变形为，，构造函数，通过研究函数的单调性与奇偶性即可得到解决.
【详解】
设，则，易知是偶函数．当时，，，所以；
当时，，，所以．所以恒成立，即在定义域内单调递增．
因为，所以为奇函数，从而的图象关于点对称，因为，
所以，
同理可得．
则，从而，即，
故．
故选：D
【点睛】
关键点睛：本题解题关键是构造函数，将已知条件转化为，再利用函数的单调性及奇偶性解决.
10．＝ （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先求出，然后，利用，代入 的值求解即可
【详解】
，
令，得， ，，所以，，
所以，
故选：A
【点睛】
关键点睛：解题的关键在于，利用和 ，求出，然后利用余弦函数的两角和差公式进行求解，运算量较大，属于难题
二、多选题
11．已知，则（ ）
A．的图像关于直线对称
B．在上递增
C．的值域是
D．若方程在上的所有实根按从小到大的顺序分别记为，则
【答案】ACD
【分析】
化简函数，对A选项，利用轴对称的意义验证并判断；对B，C选项，换元借助导数求解并判断；对D选项，利用对称性、周期性计算并判断.
【详解】
依题意有，
对于A选项：，
即，的图像关于直线对称，A正确；
对于B选项：在上单调递增，，，
，时，时，即在不单调，
由复合函数单调性知，在上不单调，即B错误；
对于C选项：令，则，，
在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，，，，
，的值域是，的值域是，C正确；
对于D选项：由已知得，
解得或(舍去)，
由得函数图象在区间且确保成立的，
对称轴为，在内有11个根，
数列构成以为首项，为公差的等差数列，
，D正确.
故选：ACD
【点睛】
关键点睛：涉及关于正(余)弦的三角方程的根的和，合理利用对应函数的对称性是解决问题的关键.
12．已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数是最小正周期为的周期函数
C．若，则方程在区间内，最多有4个不同的根
D．函数在区间内，共有6个零点
【答案】ACD
【分析】
可判断函数为偶函数，讨论的范围，化简可得函数单调性，画出函数的图象即可判断.
【详解】
，为偶函数，
当时，，所以，
又，由在为减函数可得在上单调递减，故A正确；
当时，由可得，所以函数在且上为增函数，在且上为减函数，
当时，由可得，所以函数在且上为增函数，在且上为减函数，做出函数图象如图，又因为函数为偶函数，故不是周期函数，故B错误；
方程在区间内根的个数，等价于与的图象的交点个数，由图象可知最多有4个交点，故C正确；
由函数图象可得在区间有6个零点，故D正确.
故选：ACD.
13．已知函数，若，且在上有且仅有三个极值点，则（ ）
A．的最小正周期为
B．在区间上单调递增
C．在区间上的最小值等于
D．将的图象向右平移个单位可得到的图象
【答案】ABD
【分析】
先根据条件等式以及极值点个数列出关于的等式与不等式，由此确定出的取值，从而的解析式可求，然后逐项分析最小正周期、单调增区间、在区间上的最小值、图象的变换.
【详解】
因为，所以，
所以或，
所以或；
因为在上有且仅有三个极值点，且，
所以，所以，
所以时，满足条件，所以，；
A.，故正确；
B.令，所以，
所以在区间上单调递增，故正确；
C.因为，所以，所以，故错误；
D. 图象向右平移个单位得到，又因为，故正确；
故选：ABD.
【点睛】
思路点睛：求解形如的函数的单调递增区间的步骤如下：
（1）先令；
（2）解上述不等式求解出的取值范围即为的单调递增区间.
14．在三角函数部分，我们研究过二倍角公式，实际上类似的还有三倍角公式，则下列说法中正确的有（ ）
A．
B．存在时，使得
C．给定正整数，若，，且，则
D．设方程的三个实数根为，，，并且，则
【答案】ACD
【分析】
利用两角和的余弦公式及二倍角公式展开化简即可判断选项A；令，则，根据三角函数的有界性得到，进而判断B选项；令，其中，，问题转化为，根据二次函数的最值证明上式成立即可；求解方程得到或或，比较大小得到，，，再验证是否成立即可.
【详解】
，A对
令，则，，则，B错；
令，其中，
，即
∴
由可得
，即，∴
∴，C对；
令，，
，即
即
∵，∴或或
令，，，，
∴的根都在，∴，，
，D对
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查学生三角函数，二次函数的相关性质的问题，主要考察学生分析问题解决问题的能力，对学生的要求比较高，属于难题，在做此类目时不要慌张，静下心来，慢慢分析就可以找到题目的突破口.
15．已知函数，.若存在，使得对任意，，则（ ）
A．任意
B．任意
C．存在，使得在上有且仅有2个零点
D．存在，使得在上单调递减
【答案】BD
【分析】
化简函数，根据任意，，得到是函数的最小值点，可判定A不正确；由函数的最小正周期为，得到为函数的最大值点，可判定B正确；由区间上，此时，可判定C错误；取，可判定D正确.
【详解】
由题意，函数，其中，
因为对任意，，即是函数的最小值点，
所以函数关于对称，所以，所以A不正确；
由函数的最小正周期为，所以为函数的最大值点，所以，所以B正确；
因为，且是函数的最小值点，可得，
所以在区间上，此时，
故不存在，使得在上有且仅有2个零点，所以C错误；
取，则在内，单调递减且，所以单调递减，所以D正确.
故选：BD.
【点睛】
解答三角函数的图象与性质的基本方法：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式；
2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.
第II卷（非选择题）
三、填空题
16．___________.
【答案】
【分析】
先利用两角和差化积公式凑配化简得，代入原式即可得解.
【详解】
，
.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题考查三角函数的化简求值，利用两角和差化积公式凑配化简是解题的关键，考查学生的运算能力，属于较难题.
17．设，其中，，若对一切恒成立，则对于以下四个结论：
①；
②；
③既不是奇函数也不是偶函数；
④的单调递增区间是．
正确的是_______________（写出所有正确结论的编号）．
【答案】①③
【分析】
利用辅助角公式可得且，根据题设不等式恒成立可得，再由各项的描述，结合正弦函数的性质、函数奇偶性定义判断正误.
【详解】
由题设，且，
∵对一切恒成立，
∴，即，则,
①，正确；
②，而，所以，错误；
③，故，即是非奇非偶函数，正确；
④因为在上单调递增，所以，令，则等价于上单调递增，错误；
故答案为：①③
【点睛】
关键点点睛：利用辅助角公式求得，由正弦函数的性质及不等式恒成立有求值.
18．已知函数(，)的部分图象如图所示，的图象与轴的交点的坐标是，且关于点对称，若在区间上单调，则的最大值是___________.
【答案】
【分析】
先根据函数的图象及其所过的点可求，再根据图象的对称性可求()，求出函数单调区间的一般形式，利用为前者的子集可求的范围，从而可求的最大值.
【详解】
∵函数的图象经过点，∴，，
，∴或.
若，则，
则当时，，故在为增函数，
这与题设中的图象不符合，故.
∴，由的图象关于点对称，
得，，即()，
令，则，
故的单调区间为.
∵在区间上单调，
故存在整数，使得，
故，因为，故，且，
故即，
故或或或或.
又()，∴或，∴的最大值是.
故答案为：11.
【点睛】
方法点睛：对于含参数的正弦型函数，如果已知其在给定区间上的单调性，则可以求出函数的单调区间的一般形式，根据给定区间为一般形式的子集得到参数满足的不等式组，该不等式组有整数解，从而得到参数的取值范围.
19．已知，若函数的最大值为5，则________.
【答案】8
【分析】
用辅助角公式变形，，然后分析的符号得出达到最大值时的条件，在此条件下再变形的表达式（去掉绝对值符号），然后再由三角函数知识求得最大值为，从而得出结论．
【详解】
设，其中，，
则，
∴，
当取负值时，取得最大值，
∴达到最大值时，
，
∴当时，，解得．（解题过程中同时取“＋”或“－”）
是负值，的终边在轴下方，那么或的终边在轴负半轴（含原点）是可以达到的，即最大值能取到．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查三角函数的辅助角公式，考查三角函数的最值，考查了学生分析问题解决问题的能力，逻辑思维能力，运算求解能力．
20．在锐角三角形中，已知，则的取值范围是________.
【答案】
【分析】
利用同角三角函数关系式化简条件，构造函数将双变量转化单变量并结合锐角三角形得到取值范围，利用三角函数的恒等变换化简为，构造函数利用导数研究其值域即可.
【详解】
由题意可得，，
即.不妨设
则
由得 令 ，
单调递减，
单调递增，
取得极小值，也是最下值，，
所以在上的值域为，
所以 ,又△为锐角三角形，
所以，
则 ，故 .
,
令，故在 上单调递增，
所以的值域为
故的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查三角函数式的化简及构造函数，利用导数研究函数的性质，属于能力提升题.
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