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专题11 三角恒等与解三角形综合大题-2022年新高考数学高频考点 题型专项练习(新高考适用)
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这是一份专题11 三角恒等与解三角形综合大题-2022年新高考数学高频考点 题型专项练习(新高考适用)，文件包含专题11三角恒等与解三角形综合大题解析版docx、专题11三角恒等与解三角形综合大题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共160页， 欢迎下载使用。
专题11 三角恒等与解三角形综合必刷大题100题
(初级)1-40题
1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列，．
（1）若，求c的值；
（2）求的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）利用等差数列以及三角形内角和，正弦定理以及余弦定理求解即可；
（2）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，结合三角函数的最值求解即可．
【详解】
（1）由角A、B、C的度数成等差数列，得2B＝A＋C．
又，∴．
由正弦定理，得，即．
由余弦定理，得，
即，解得．
（2）由正弦定理，得，
∴，．
∴
．
由，得．
所以当时，即时，．
2．已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求的值域．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）利用两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦公式以及辅助角公式，可化简，再利用正弦型函数的周期公式，即得解；
（2）由，可得，结合正弦函数的图象和性质，即得解
【详解】
（1）由题意，
，
（2）∵
∴
∴
∴的值域为
3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由题意及余弦定理得，由此即可求出结果；
（2）由正切公式对化简，再结合正弦定理得，再根据，可得，可得，由此即可求出结果.
【详解】
（1）由题意及余弦定理得，
所以，从而，
因为，所以.
（2）由，得，
所以由正弦定理得
又因为，
所以，
，所以
又，所以，所以.
从而是等边三角形.
因为，所以.
4．在中，，，是延长线上一点，且.
（1）求的值；
（2）求的长.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）首先利用同角三角函数的基本关系求出，根据三角形的内角和性质可得，利用诱导公式以及两角差的正弦公式即可求解.
（2）在中，利用正弦定理求出，在中，利用余弦定理即可求解.
【详解】
解：（1）由，
得，
所以
.
（2）由正弦定理，得，
即.
由余弦定理，得
.
5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角C的值；
（2）若，当边c取最小值时，求的面积．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据正弦定理，将角化为边的表达形式；结合余弦定理即可求得角C的值．
（2）由余弦定理求得与的关系，结合不等式即可求得c的最小值，即可得到的值，进而求得三角形面积．
【详解】
（1）由条件和正弦定理可得，
整理得从而由余弦定理得．
又∵C是三角形的内角，
∴．
（2）由余弦定理得，
∵，∴，
∴（当且仅当时等号成立）．
∴c的最小值为2，
故．
6．在中，角、、的对边分别为、、，已知.
（1）若，，求；
（2）若角，求角.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
(1)利用余弦定理代入化简，并代入和的值，计算可得；
(2)利用正弦定理边化角,结合,解出关于的方程，利用的范围求出的值．
【详解】
（1）由余弦定理得，
∴，即，
代入数值得，解得；
（2）∵，∴由正弦定理得，
由可得，，∴，
即，
解得或(舍去)，又∵，∴.
7．已知△ABC中，为钝角，而且，，AB边上的高为.
（1）求的大小；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）8.
【分析】
（1）利用三角形ABC的面积相等，求出的大小；
（2）由余弦定理得出，以及，可得的值．
【详解】
（1）由三角形面积可知，
，又因为是锐角，所以.
（2）由（1）可知，
所以.
又因为，
因此.
8．在中，，，分别是角，，的对边，且．
（1）若，求；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由及正弦定理可得，进一步可得，，又，由正弦定理得，代入即可得到答案；
（2）由余弦定理，得，由，可得，代入可得，再利用面积公式计算即可得到答案.
【详解】
由已知得，
根据正弦定理得，
∵∴，∴．
（1）因为，所以，
，
所以，∵，
∴，即，
∴．
（2）∵，，由余弦定理，得
，
∵，∴，∴，即，
∵，∴的面积．
9．在中，三内角，，对应的边分别是，，，，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若的面积是，求的周长.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）利用正弦定理的边角互化可得，再由两角和的正弦公式以及三角形的内角和性质即可求解.
（Ⅱ）利用三角形的面积公式可得，解得，再根据余弦定理可得，从而可得，进而求出的周长.
【详解】
（Ⅰ）将，，，
代入中，得到，
即.
因为，所以，
于是，.
（Ⅱ）因为，所以，.
由余弦定理得，，
即，所以.
于是的周长是.
10．已知函数.
（1）求的最小正周期和单调增区间；
（2）在中，角的对边分别为.若，，求的面积的取值范围.
【答案】（1），单调递增区间是，.（2）
【分析】
（1）由二倍角公式可得，结合正弦函数的性质可得的周期以及单调递增区间；
（2）由可得，所以，，结合，进一步可得，即可得到答案.
【详解】
（1）
∴的周期，
由，得
所以的单调递增区间是，.
（2）∵，即，又，
∴，由正弦定理有
∴
∵，∴
∴.
11．在中，角所对的边分别是，且，.
（1）若，求的值；
（2）求的最大值
【答案】（1）4；（2）.
【分析】
（1）由已知，易得，由正弦定理可得，再由角B的余弦定理即可得到答案；
（2）正弦定理得，所以，，再利用两角和的正弦公式以辅助角公式可得，即可得到最大值.
【详解】
（1）因为，
又，得.
又，由正弦定理得，即，
由余弦定理，
得，解得或（舍）.
（2）由正弦定理得，
，
，
由，得，
当，即时，.
12．在中，已知，其中为的面积，，，分别为角，，的对边.
（1）求角的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）.（2）
【分析】
（1）利用三角形的面积公式化简可得，从而可得，即可求得的值.
（2）利用两角和的正切公式可得，再有，求出，再利用二倍角公式，利用弦化切齐次式即可求解.
【详解】
解：（1）因为，所以，
则，
因为在中，，所以，
所以，
所以.
（2）由（1）知，又因为，
所以，
因为在中，，所以，
所以.
13．已知中，角，，的对边分别为，，，且满足，，
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若边上中线，求的面积．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）6
【分析】
（1）利用正弦定理的边角互化可得，再利用三角形的内角和性质以及两角和的正弦公式化简整理即可求解.
（2）由（Ⅰ）根据正弦定理求出，在中，利用余弦定理可得，根据三角形的面积公式即可求解.
【详解】
（Ⅰ）由正弦定理及，得
又，
所以
由，得，代入上式整理得,即，
所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由正弦定理得①
在中，,将①代入上式得
，化简得
所以，
14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求B；
（2）若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）先利用边角互化将转化为关于B的方程，求出∠B．
（2）因为B已知，所以求面积的最小值即为求ac的最小值，结合余弦定理和基本不等式可以求得．
【详解】
（1）因为，
由正弦定理得．
因为，所以sinA＞0，所以，
所以，因为，
所以，即．
（2）依题意，即ac＝4．
所以当且仅当时取等号．
又由余弦定理得
∴，当且仅当a＝c＝2时取等号．
所以△ABC的周长最小值为．
15．已知平面向量，，函数．
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）； （2）
【分析】
（1），利用公式计算周期，令可得单调减区间；
（2），通过分析易知，将配成，利用两角差的正弦公式展开即可得到答案.
【详解】
（1），
，
故，又令
解得，
所以的单调递减区间为.
（2），
又，
又，故，
.
16．在中，，是边上一点，且，.
（1）求的长；
（2）若的面积为14，求的长.
【答案】（1）1；（2）5.
【分析】
（1）由同角三角函数关系求得，再由两角差的正弦公式求得，最后由正弦定理构建方程，求得答案.
（2）在中，由正弦定理构建方程求得AB，再由任意三角形的面积公式构建方程求得BC，最后由余弦定理构建方程求得AC.
【详解】
（1）据题意，，且，
所以.
所以
.
在中，据正弦定理可知，，
所以.
（2）在中，据正弦定理可知，
所以.
因为的面积为14，所以，即，
得.
在中，据余弦定理可知，，
所以.
17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，求的面积的最大值．
【答案】（1）（2）
【分析】
(1)由正弦定理边化角化简已知条件可求得,即可求得;
(2)由余弦定理借助基本不等式可求得,即可求出的面积的最大值.
【详解】
（1），，
所以，
所以，
，，
，．
（2）由余弦定理得.，
，当且仅当时取等，
.
所以的面积的最大值为.
18．如图，在中，，，点在线段上.
（1）若，求的长；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）先根据平方关系求出,再根据正弦定理即可求出；
（2）分别在和中，根据正弦定理列出两个等式，两式相除，利用题目条件即可求出，再根据余弦定理求出，即可根据求出的面积．
【详解】
（1）由，得，所以.
由正弦定理得，，即，得.
（2）由正弦定理，在中，，①
在中，，②
又，，，
由得，
由余弦定理得，
即，解得，
所以的面积.
19．已知△ABC的内角的对边分别为，且．
（1）求角；
（2）在中，为边上一点，且，，求面积的最大值．
【答案】（1） （2）
【分析】
（1）由已知结合余弦定理可求，进而可求；
（2）由向量数量积的公式和性质及基本不等式可求的范围，进而可求面积的最大值．
【详解】
(1)∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
(2)∵，
∴为的中点，
∵，
，
∴，
∴，
∵，
∴，当且仅当时取等号，此时面积的最大值．
20．已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值.
【答案】（1）；（2）1
【分析】
（1）利用诱导公式、二倍角公式、辅助角公式对进行化简，然后利用，得到的周期；
（2）利用正弦型函数的性质，得到的最大值，以及此时的取值.
【详解】
（1）因为
，
所以的最小正周期为，
（2）因为，
所以，
所以，当即时，
函数取得最大值1.
21．的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求内角的大小；
（2）若的周长为，面积为，求边的长度.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由，将已知条件进行化简，从而得到的值，再得到；（2）根据的面积，得到的值，结合三角形周长和余弦定理，从而解出的值.
【详解】
（1）由
在中，，所以
所以
整理得：
故，
而，从而
（2）的面积为，
所以，得①
的周长为，得②
由余弦定理得： ③
将①代入③得： ④
由②④得：.
22．中，角，，的对边分别为，，，且满足 .
(1)求角的大小;
(2)若，的面积为，求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据正弦定理将边化成角，再进行化简，得到的值，从而得到的值；（2）根据的面积，得到，根据余弦定理得到关系，从而得到的值.
【详解】
（1）在中，，
由正弦定理，
得，
所以，
即，
因为为的内角，所以，
所以，
因为因为为的内角，所以.
（2），即，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以得到.
23．已知函数，.
（1）求函数的最小正周期;
（2）若，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）对进行化简，得到正弦型函数的形式，根据，得到答案；（2）先得到，再将所求的，利用两角和的正弦公式，计算得到答案.
【详解】
（1）
所以的最小正周期为.
（2）由（1）得，
所以
由得，
所以
24．在中，内角，，所对的边长分别为，，，且满足，.
（1）求角的大小；
（2）求的值.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）根据正弦定理和余弦定理求出角的大小；
（2）根据正弦定理求出的值，再通过判断，利用同角的三角函数之间的关系求出，最后求出的值，最后利用二角差的正弦公式求出的值.
【详解】
解析：（1）由正弦定理得，∴，
又由余弦定理有，
又，∴.
（2）由正弦定理有，
∴，由知，从而，
∴，∴，
∴，
，
∴.
25．在中，内角A，B，C所对的边长分别为.
(1)求角C；
(2)若，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】
(1)利用二倍角的余弦公式、三角形内角和定理、对已知听等式进行化简，最后通过解方程可以得到角C的余弦值，结合三角形的性质求出；
(2)利用余弦定理、重要不等式、三角形面积公式可以求出面积的最大值.
【详解】
解：(1)由，可得，，因为，所以，.
(2)由，得，，，
所以，
当时，△面积的最大值为.
26．已知的内角，，所对的边分别为， ，满足，且边上一点使得.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）；（2）
【分析】
根据正弦定理，将边化成角，然后整理化简，得到的值，从而得到的值；（2）根据条件得到为等边三角形，从而得到，根据正弦定理，得到的值，根据余弦定理，得到的长，根据三角形面积公式，得到答案.
【详解】
（1）因为
在，由正弦定理
所以得.
所以.
即
所以，
因为，所以
（2）由（1）知，而
为等边三角形.
由于是的外角，
所以.
在中，由正弦定理得，
即，所以.
所以由余弦定理得，，
即，
所以，
故，，
所以.
27．已知向量,,且．
(1)求的单调递增区间；
(2)先将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位,得到函数的图象,求方程在区间上所有根之和．
【答案】(1)，；(2).
【分析】
化函数为余弦型函数,再求它的单调增区间；
由三角函数图象平移法则,得出的分析式,再求在内的实数解即可．
【详解】
解：函数,
，,
，；
的单调增区间为,；
由题意,,
又,得,
解得：,,
即或，,
,
，或，
故所有根之和为．
28．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上对称轴、对称中心及其最值.
【答案】(1)最小正周期为(2)对称轴，对称中心为，最大值为，最小值为
【分析】
(1)根据同角三角函数关系式的平方和关系、降幂公式、辅助角公式把函数的解析式化简成正弦型函数解析形式,最后根据最小正周期公式求出函数的最小正周期；
(2)利用正弦型函数的对称性和单调性,求出在区间上对称轴、对称中心及其最值
【详解】
解：(1)因为
,
所以，函数的最小正周期为.
(2)由(1)知，
因为，所以，①
令，得，
所以，即为所求函数在上的对称轴；
令，得，所以，
所以函数在上的对称中心为；（＊）
易判断函数在上单调递增；在上单调递增.
所以，，，，
故函数在区间上最大值为，最小值为.
【另解】
接（＊）式
由①得，所以，
故函数在区间上最大值为，最小值为.
29．函数（，，），且的最大值为，其图象相邻两对称轴间的距离为，并过点.
（1）求；
（2）计算….
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先对函数进行降幂，然后根据最大值为，得到的值，再由相邻两对称轴间的距离为，得到周期，从而求出，代入点并结合的范围，求出的值；（2）对函数进行整理，并得到，根据函数的周期性，得到答案.
【详解】
（1）.
的最大值为，，
，.
又其图象相邻两对称轴间的距离为，
周期，，
，，.
过点，
，
，.
，，
，，
又，.
（2），
，
又的周期为，，
.
30．设函数．
（Ⅰ）当时，求函数的值域；
（Ⅱ）中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，求的面积．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）对进行化简，得到正弦型函数，然后根据的范围，求出的范围，得到的值域. （Ⅱ）由得到的值，根据和正弦定理得到的值，再由求出，根据和正弦定理，得到，由面积公式求出的面积.
【详解】
解：（Ⅰ）
，
∵，∴，
∴．
∴函数的值域为
（Ⅱ）∵，∴，
又∵，∴，
∴，即．
由，由正弦定理，∵∴，∴．
∵∴
∴，∵，∴
∴．
31．已知通数的图像经过点，图像与x轴两个相邻交点的距离为．
（Ⅰ）求的解析式：
（Ⅱ）若，求的值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由图像与x轴两个相邻交点的距离为，可以求出周期，利用周期公式可以求出，再由图像经过点，结合，可以求出，也就能求出的解析式：
（Ⅱ）由，可以求出，根据同角的三角函数关系，可求出，分类讨论，运用两角差的正弦公式，求出的值
【详解】
解：（Ⅰ）由已知得，，则，所以．
又，所以，
又，所以.
所以，即，
所以.
（Ⅱ）因为，所以，
所以．
当时，；
当时，.
所以，或.
32．已知向量，，函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在中，内角、、所对边的长分别是、、，若，，，求的面积.
【答案】（1）的增区间是，（2）
【分析】
（1）利用平面向量数量积的坐标表示公式、二倍角的正弦公式、余弦二倍角的降幂公式、以及辅助角公式可以函数的解析式化为正弦型函数解析式的形式，最后利用正弦型函数的单调性求出函数的单调递增区间；
（2）根据（1）所得的结论和，可以求出角的值，利用三角形内角和定理可以求出角的值，再运用正弦定理可得出的值，最后利用三角形面积公式可以求出的面积..
【详解】
（1）
令，
解得
∴的增区间是，
（2）
∵
∴解得
又∵∴中，
由正弦定理得
∴
33．在中，内角，，的对边分别是，，，且满足：.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的最大值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2.
【分析】
（Ⅰ）运用正弦定理实现角边转化，然后利用余弦定理，求出角的大小；
（Ⅱ）方法1：由（II）及，利用余弦定理，可得，再利用基本不等式，可求出的最大值；
方法2：利用正弦定理实现边角转化，利用两角和的正弦公式和辅助角公式，利用正弦型函数的单调性，可求出的最大值；
【详解】
（I）由正弦定理得：，
因为，所以，
所以由余弦定理得：，
又在中，，
所以.
（II）方法1：由（I）及，得
，即，
因为，（当且仅当时等号成立）
所以.
则（当且仅当时等号成立）
故的最大值为2.
方法2：由正弦定理得，，
则，
因为，所以，
故的最大值为2（当时）.
34．在①面积，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求.
如图，在平面四边形中，，，______，，求.
【答案】见解析
【分析】
选择①：利用三角形面积公式和余弦定理可以求接求出的长；
选择②：在，中，分别运用正弦定理，可以求接求出的长；
【详解】
解：选择①：
所以；
由余弦定理可得
所以
选择②
设，则，，
在中，即
所以
在中，，即
所以.
所以，解得，
又，所以，
所以.
35．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足________.
（1）求；
（2）若的面积为，的中点为，求的最小值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）选①，利用正弦定理的边角互化以及诱导公式可求解；选②，利用正弦定理的边角互化即可求解；选③，利用正弦定理的边角互化以及两角差的正弦公式即可求解.
（2）利用三角形的面积公式可得，再由余弦定理以及基本不等式即可求解.
（1）
选①，
由正弦定理可得，
又因为，可得，
即，所以，
又因为，所以，
所以，解得.
②，
由正弦定理可得，
即，
整理可得，
又因为，解得，
因为，所以.
③，
由正弦定理可得，
整理可得，
即，
即，
所以或（舍），
即，即，解得.
（2）
，
解得，
由余弦定理可得
，
所以 ，当且仅当时，即取等号，
所以的最小值为.
36．在①，②sin（A+B）＝1+2这两个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设△ABC的面积为S，已知___．
（1）求角C的值；
（2）若b＝4，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，△CDB的面积为，求边长a的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】
（1）答案不唯一，见解析
（2）2
【分析】
（1）选①，由可得，然后结合余弦定理可得答案；选②，由条件可得，然后可求出答案；
（2）由可得，然后结合S△CDB＝a×CD＝可解出答案.
（1）
选①，由可得：，整理可得a2+b2﹣c2＝ab，
可得＝，因为C∈（0，π），所以C＝．
选②，由sin（A+B）＝1+2sin2可得，可得2sin（C+）＝2，
可得：sin（C+）＝1，因为C∈（0，π），C+∈（，），所以C+＝，可得C＝．
（2）
在△ABC中，
可得
可得，①
又S△CDB＝a×CD＝，②
由①②可得：＝，解得a＝2，或a＝﹣（舍去），所以边长a的值为2．
37．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：在中，内角，，所对的边分别为，，，且________．
（1）求角；
（2）若是内一点，，，，，求．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）选条件①：利用正弦定理的边角互化即可求解；选条件②：利用正弦定理的边角互化以及余弦定理即可求解；选条件③：利用正弦定理的边角互化以及三角形的内角和性质即可求解.
（2）由题意可得，在与中，分别利用正弦定理得出与，两式相等计算求解即可.
【详解】
解：（1）方案一：选条件①
，
，
，，又.
方案二：选条件②
又.
方案三：选条件③
整理得
，，又，.
（2），
在中，，
在中，
，
整理得，.
38．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答
在中，角，，的对边分别为，，且______，若，，求边上的垂线长.
【答案】
【分析】
根据题意，选择①②③求得，利用余弦定理求得，结合面积相等列出方程，即可求得边上的垂线长.
【详解】
若选①：由，根据正弦定理可得，
即，
即，
可得，因为，所以，
因为，，
由余弦定理可得，所以，
设边上的垂线长为，可得，解得，
即边上的垂线长为.
选②：由，根据正弦定理可得，
可得，即，
又由余弦定理，可得，
因为，所以，
又因为，，
由余弦定理可得，所以，
设边上的垂线长为，可得，解得，
即边上的垂线长为.
若选③：由，可得，
即，可得，
因为，所以，
又因为，，
由余弦定理可得，所以，
设边上的垂线长为，可得，解得，
即边上的垂线长为.
39．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答
在中，角，，的对边分别为，，且______，，，求的值.
【答案】3
【分析】
选①利用正弦定理，可得，进而可得，选②利用正弦定理，可得，进而可得，选③利用三角形面积公式可得，进而由余弦定理直接可得解.
【详解】
选①，由得，
∴，
又，，
∴又，
∴；
选②，由得，
∴即，
∴又，
∴；
选③，由得又，
∴即，又，
∴；
由，解得或（舍）.
所以
40．记的内角的对边分别为．请在下列三个条件中任选一个作为已知条件，解答问题．
①；②（其中为的面积）；③．
（1）若，求的值；
（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围．
【答案】条件选择见解析，（1）；（2）．
【分析】
选择①②③结合正余弦定理均得到，（1）利用余弦定理即可求解；
（2）由正弦定理得，，结合角的范围即可求解．
【详解】
选择①
由正弦定理得，所以，，则；
选择②，则，所以，又，则；
选择③，由正弦定理得
又因为，
所以，则所以，又，则；
故选择①②③均得到 ；
（1）若，由余弦定理得 ，
即，∴．
（2）由为锐角三角形及，
得且,∴，
由正弦定理得，
∴．
∵，∴，∴，
∴，即所求的取值范围是．
(中级)1-40题
1．在①；②；③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
问题：已知的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，___________.
（1）求角A的大小；
（2）求面积的最大值.
【答案】
（1）选①：；选②：；选③：；
（2）选①：；选②：；选③：
【分析】
（1）选①：由正弦定理边角互化得，进而得；
选②：由正弦定理边角互化得，进而得，故；
选③：由余弦定理得，再根据正弦定理边角互化结合和角公式得，故
（2）选①：结合（1）和余弦定理得，再根据基本不等式得，进而根据三角形面积公式得面积的最大值为.
选②：结合（1）和余弦定理得，再根据基本不等式得，进而根据三角形面积公式得面积的最大值为.
选③：结合（1）和余弦定理得，再根据基本不等式得，进而根据三角形面积公式得面积的最大值为.
（1）
解：选①：因为，
所以，即，
又因为，所以
选②：因为，所以，
因为，
所以，
因为，
所以，即，
因为，所以
选③：因为，
所以，即，
所以，
因为，所以，
因为，所以
（2）
解：选①：因为由（1）得，，
所以，即，
所以，即，当且仅当时等号成立，
所以面积
所以面积的最大值为.
选②：因为由（1）得，
所以，即，
所以，即，当且仅当时等号成立，
所以
所以面积
所以面积的最大值为.
选③：因为由（1）得，
所以，即，
所以，即，当且仅当时等号成立，
所以
所以面积
所以面积的最大值为.
2．已知函数，直线是函数的图象的一条对称轴．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）令，若是函数在的零点，求的值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由二倍角公式、两角和的正弦公式化函数式为一个角的一个三角函数形式，由对称轴求得，然后利用正弦函数的单调性求解；
（2）先求出的表达式，利用正弦函数的对称性（注意变量的范围）可得，从而求得．
（1）
函数，
直线是函数的图象的一条对称轴，
，，，故．
令，求得，
可得函数的增区间为，，．
（2）
∴，
（满足，取锐角）
函数的图像在内只有一条对称轴，满足，
， 得：，
．
3．的内角，，的对边分别是，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，为边上一点，，且___________，求的面积.（从①为的平分线，②为的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答）
【答案】
（1）
（2）条件选择见解析，
【分析】
（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式，两角和的正弦公式展开后可求得角；
（2）选①，由，用面积公式得出，然后由余弦定理得出一等式，两者结合可得，从而由面积公式得面积；
选②，利用向量的线性运算，得，平方后由数量积运算可得，再结合余弦定理，求得，从而得三角形面积．
（1）
由题意得，
得：，
中，，所以，又， 所以
（2）
选①由BD平分得：
，①
在中，由余弦定理得：，，
所以，②，
① ② 联立得 解得，解得，
所以，
选②得，，
，得，
中，由余弦定理得，，
相减即可得 得．
4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设面积的大小为S，且.
（1）求A的值；
（2）若的外接圆直径为1，求的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用数量积的运算及三角形面积公式对进行化简，即可求出A的值；
（2）利用正弦定理结合已知条件将问题中的边化为角，再根据三角恒等变换及二倍角公式进行化简，最后结合角的范围即可求解.
（1）
解：由
得：
化简得：
当时，，，等式不成立
所以，即
又
所以
（2）
解： 的外接圆直径为1，
由正弦定理得：，
的取值范围为：.
5．在中，，．
（1）若边，求的面积；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出．
①； ②； ③
【答案】
（1）
（2）选①，不存在；选②，；选③，
【分析】
（1）由余弦定理求得，再由同角三角函数间的关系求得，根据三角形的面积公式可求得答案；
（2）若选①，由正弦定理和正弦的二倍角公式得，与相矛盾，所以不存在；
若选②，由正弦定理和两角差的正弦公式得，再根据同角三角函数间的关系可得解；
若选③，由正弦定理和正弦的二倍角公式得，再由余弦定理得，结合两角和的正弦公式可得解..
（1）
解：由余弦定理得，
因为，所以，
所以的面积.
（2）
解：若选①，由正弦定理得，所以，因为，所以不存在；
若选②，由正弦定理得，整理得，又，且，所以，因为，所以有两解，又，所以角B为锐角，所以唯一；
若选③，由正弦定理得，所以，
由余弦定理得，即，解得，又，所以角B为锐角，即，，所以，，
所以.
6．已知，，令其中，满足.
（1）求的解析式；
（2）在锐角中，角所对边分别为，且，求的面积的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用向量的坐标运算及三角公式求出，再根据求出即可；
（2）先通过求出B，再根据三角形为锐角三角形求出的范围，最后通过面积公式可得计算面积的范围.
（1）
又，
则
即
，又，
，
即；
（2）
由（1）知，又，
，即
如图，当点C在线段MN之间运动（不含端点）时，可使为锐角三角形
，即
，
即的面积的取值范围是.
7．在①，②，③中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．
在中，角，，所对的边分别为，，，且________．
（1）求角的大小；
（2）已知，为中点，且，求面积．
【答案】
（1）选①；选②；选③
（2）选①；选②；选③
【分析】
（1）根据正弦定理边角互化，并结合余弦定理和恒等变换公式计算，求出角的大小；
（2）根据余弦定理，三角形面积公式的计算，求出面积．
（1）
解：选①：，
由正弦定理可得：，，，
由余弦定理可得，所以，
选②：，
由正弦定理得：，
所以，
，
所以，，，
选③：，
由正弦定理可得：，
可得：
可得：，
，，解得，
，．
（2）
解：，为的中点，，
，，
，即，
，，
（另一值不符合题意，舍去，，
在中，由余弦定理有，解得，
．
8．如图，D是直角斜边上一点（不含端点），，记，．
（1）求的最大值；
（2）若，求角的值．
【答案】
（1）2
（2）
【分析】
（1）由等腰三角形和三角形外角定理得出的关系，这样求值式可化二元函数为一元函数，然后利用两角和的正弦公式，正弦函数性质得最大值；
（2）由正弦定理得出的三角函数的关系式，再结合（1）中函数关系式利用二倍角公式可求得的值，从而得．
（1）
设，
∵，，①
∴，，②
①②联立得，
∴，∴，
∴，③
，④
∴
∵，，
故当，即时，取得最大值2
（2）
在中，由正弦定理得，，
∴，∴，①
由（1）知，，
∴
所以，
解得或（舍去）．
因为为钝角，所以
9．在中，内角，，的对边分别为，，，点在边上，已知．
（1）求；
（2）若是角的平分线，且，求的面积的最小值．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
(1)根据正弦定理和两角和的正弦公式化简即可；
(2)如图，根据相似三角形的性质可得，设，过作平行于交于可得三角形为正三角形，利用三角形面积公式列出三角形面积，结合基本不等式即可求出面积的最小值.
（1）
，由正弦定理得，
，
，，，
，．
（2）
由是角的平分线，，设，
过作平行于交于，则三角形为正三角形，
，，，，
，
当且仅当时等号成立．即的面积的最小值为．
10．1.已知，，分别是的内角，，所对的边，，再从下面条件①与②中任选个作为已知条件，完成以下问题．
（1）证明：为锐角三角形；
（2）若，为的内角平分线，且与边交于，求的长．
①；②．
【答案】
（1）证明见解析
（2）选择①②结果相同，
【分析】
（1）利用正弦定理得到，结合①或者②，均可以得到，大边对大角，故只要证明，即可证明出为锐角三角形；（2）由，结合第一问中的，可以求出，，接下来可以用两种方法求解，一种是利用，另一种是利用角平分线定理，，均可以求出的长
（1）
方案一：选条件①
由正弦定理，
又，，，
令，（），从而，
由，解得：或（舍去）
从而最大，又
为锐角三角形
方案二：选条件②
由正弦定理，
又，，，
令，（），从而，
解得：或（舍去）
从而最大，又
为锐角三角形
（2）
方案一：选条件①
由，
∴
又由第一问可知：，∴，
法一：由，
∴，
由面积公式得：
由，从而，
解得：．
法二：，解得：
由角平分线定理，，
从而
在中，由余弦定理，，
解得：
方案二：选条件②
由，
又由第一问可知：，，，
由，解得：或（舍去）
法一：故，由，
∴，
由面积公式得：
由，从而，
解得：．
法二：由角平分线定理，，
从而
在中，由余弦定理，，
解得：
11．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在中，内角，，所对的边分别为，，，且________．
（1）求角；
（2）若是内一点，，求．
【答案】
（1）；
（2）.
【分析】
（1）若选条件①，利用正弦定理边化角公式以及两角和的正弦公式进行化简，即可求出的值；
若选条件②，利用利用正弦定理边化角公式以及两角和的正弦公式进行化简，得，再利用辅助角公式得，结合三角形中，从而可求出的值；
（2）结合题中条件及三角形内角和得出，利用正弦定理、两角和与差的正弦公式和同角三角函数关系，即可求出的值.
（1）
解：若选条件①：，
整理得：，
则，即，
又，，所以，
所以；
若选条件②：，
整理得：，
所以，
化简得：，
又，，所以，
故，由于，
所以．
（2）
解：由于，
，
所以，
在中，，
所以，
在中，，
所以，
，
整理得：，
故．
12．在“①；②，，”这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解.
问题：在中，，，分别是三内角，，的对边，已知，是边上的点，且，，若_______________，求的长度.
【答案】答案见解析.
【分析】
选①可得，再结合条件可得，可求，然后利用余弦定理即求；选②可得，由条件得，再利用辅助角公式可得，得，进而可求，然后利用余弦定理即求.
【详解】
若选择条件①
由，根据正弦定理得，
所以，
即，也即，
因为，所以 （1）式
又因为，
即，
所以，
又由（1）式，，
所以，
所以，，
所以，，
因为，所以，，
在中，
，
所以.
若选择条件②
因为，，且，
所以，
即，
所以，又，
所以 （1）式，
又因为，
即，
所以 （2）式，又，，
所以，
所以，
所以，也即，
所以，
即，又，
∴，
所以，
所以，，
所以，，
又，所以，，
在中，
，
所以.
13．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，点D在射线AC上，满足.
（1）求；
（2）设的角平分线与直线AC交于点E，求证：.
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）利用正弦定理化角为边由表示，利用余弦定理求出即可求出；
（2）分别在和中利用正弦定理表示，化简整理可得.
（1）
因为，由正弦定理得，
因为，由正弦定理得，即，则，
由余弦定理得，
则，因为，所以；
（2）
如图，，
在中，，，
在中，，则，
，，
所以,
，
所以.
14．在中，内角所对边分别为，若.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）先用同角三角函数的平方关系将式子进行化简，进而用正弦定理进行角化边，最后用余弦定理解得答案；
（2）用面积公式，结合正弦定理即可得到答案.
（1）
∵，∴，∴，由正弦定理得，
又由余弦定理得，∴，
由于，所以.
（2）
∵是锐角三角形，得到.
由正弦定理可知，，
由三角形面积公式有：
又因故
故取值范围是
15．在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知且.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据三角恒等变换化简可得，即可求解；
（2）利用正弦定理及三角恒等变换可得，再根据三角函数的值域求解.
（1）
∵，
∴.
即，
，
∵，
∴，
又，
∴，
∵，
∴.
（2）
由正弦定理可得，
，
其中，，，
为锐角
∵为锐角三角形，则，
从而，
得，
，
∴，
，
∴，
从而的取值范围为.
16．已知中，角，，所对的边分别为，，，.
（1）求；
（2）若点，是函数的图象在某个周期内的最高点与最低点，求面积的最大值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）先由余弦定理结合条件可得，再由余弦定理可得答案.
（2）由（1）先求出的值，由函数解析式得出周期，求出边长，由余弦定理结合均值不等式得出，从而得出面积的最大值.
（1）
由及余弦定理得，
整理得，所以.
（2）
的最大值与最小值之差为，最小正周期，
所以，
由余弦定理得，所以，
又，
所以面积，
所以面积的最大值为.
17．在平面四边形ABCD中，AB＝1，BC＝CD＝2，AD＝3．
（1）证明：3cosA－4cosC＝1；
（2）记△ABD与△BCD的面积分别为S1，S2，求S12＋S22的最大值．
【答案】
（1）证明见解析
（2）
【分析】
(1)在和中分别利用余弦定理表示出，列出方程整理即可；
(2)根据三角形的面积公式分别求出的表达式，结合二次函数的性质求出函数的最大值即可.
（1）
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以．
（2）
，
则，
由（1）知：，代入上式得，
配方得，因为，
∴当时，取到最大值．
18．在锐角中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，求周长的范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用正弦定理和和差角公式转化为，即可求出角A；
（2）利用正弦定理表示出，，得到周长为利用三角函数求最值，即可求出周长.
（1）
由正弦定理得：，
，
，
，
，
，，
.
（2）
由正弦定理：，
则，，
，，
周长为
，
又锐角，，结合
，
，
，
，
∴周长的范围是.
19．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答
在中，角，，的对边分别为，，且______，若，，边上的中垂线交于点，求的长.
【答案】
【分析】
选①，利用正弦定理化边为角，结合三角形内角的关系及两角和的正弦公式求得角，利用余弦定理求得边，证明，求出，即可得解；
选②，利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求得角，利用余弦定理求得边，证明，求出，即可得解；
选③，利用向量数量积的定义及三角形的面积公式求得角，利用余弦定理求得边，证明，求出，即可得解.
【详解】
解：选①，由，可得，
即，
所以，
又，所以，
所以，所以，
则，所以，
所以，
如图，设边上的中垂线垂足为点，
因为垂直平分，所以，又，
所以，
在中，，
所以，
即.
选②，由，可得，
即，所以，
所以，又因，所以，
则，所以，
所以，
如图，设边上的中垂线垂足为点，
因为垂直平分，所以，又，
所以，
在中，，
所以，
即.
选③，因为，
所以，
又，所以，
则，所以，
所以，
如图，设边上的中垂线垂足为点，
因为垂直平分，所以，又，
所以，
在中，，
所以，
即.
20．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足，．
（1）求角A的大小；
（2）求周长的范围．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用余弦定理化角为边，再根据余弦定理即可的解；
（2）利用正弦定理求得边，再利用三角恒等变换化简，结合正弦函数的性质即可得出答案.
（1）
解：由余弦定理，即，
所以，因为，所以．
（2）
由正弦定理：，则，，
由（1），故
因为，则，
所以，即周长范围是．
21．在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若的周长为，求面积的最大值．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）在中，利用余弦定理化角为边，可得，再结合，即得解；
（2）由余弦定理以及可得，再利用面积公式即得解
（1）
由余弦定理，得，
即，则，
所以
又，所以．
（2）
由题意，，
根据余弦定理，得，
则，
所以，
当且仅当时取“＝”．
所以，面积，
故面积的最大值为．
22．在中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，为边上一点，且，求的值．
【答案】
（1）
（2）或1
【分析】
（1）根据，结合， 利用正弦定理得到，再利用二倍角公式求解；
（2）根据，得到进而得到，，然后由正弦定理求得a，再利用余弦定理求解.
（1）
因为，
在△ABC中，，
所以．
在△ABC中，由正弦定理得：
又，，
所以，即 ，
又，所以，所以，
所以，
因为，
所以，
即．
（2）
因为，
所以，
，
，
在ABC中，由正弦定理得，
所以，
在ABC中，由余弦定理得：，
即，
故，
所以或，
当时，，，
当时，，，
所以的值为或1．
23．如图，在中，，、分别为边上的高和中线，，
（1）若，求的长；
（2）是否存在这样的，使得射线和三等分?
【答案】
（1）
（2）不存在，理由见解析
【分析】
（1）由勾股定理先求出，再由结合已知条件求出和，然后利用余弦定理即可求出的长；
（2）先假设存在，结合已知条件求出和，然后即可判断是否存在.
（1）
解：、分别为边上的高和中线，，
又，
所以，
，
在中，，
即
所以
（2）
解：假设存在这样的，不妨设，则，
易得，，
而，
在中，，
即，
解得：，即
而在中，，所以，故，
即不可能是的中点.
因此，不存在这样的，使得射线和三等分
24．已知函数为奇函数，且图像相邻的对称轴之间的距离为
（1）求函数的解析式及其减区间；
（2）在中，角A、B、C对应的边为a、b、c，且，，求的周长的取值范围．
【答案】
（1）；
（2）
【分析】
（1）由二倍角公式，两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由对称轴间距离求得周期得，由奇函数性质得，从而得解析式，然后利用正弦函数的单调性得减区间；
（2）由（1）求得角，利用正弦定理把表示为的函数，再由三角恒等变换得取值范围，也即得周长范围．
（1）
，
由函数相邻的对称轴之间的距离为，得，
∴，
又∵为奇函数，∴，即，
得，即，而，故，
令，得，
∴的减区间为；
（2）
由（1）可知，得，即，
∵，∴，∴，即，
∵，∴
∴
，
而，故；∵，故；
∴，即的周长的取值范围为.
25．在中，角的对边分别为，满足 且.
（1）求证：；
（2）若，求的面积的最大值.
【答案】
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）由已知可得，将展开化简可求得，由正弦定理化角为边即可求证；
（2）由余弦定理求得，再由三角形面积公式计算转化为关于的函数，再利用二次函数的性质可求得最大值，开方即可求解.
（1）
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
由正弦定理化角为边可得：.
（2）
在中，由余弦定理可得：，
的面积为：
，
所以当时，取得最大值，
所以的面积的最大值为.
26．在中，，，.
（1）若，求BC；
（2）若，求.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）先利用同角三角函数基本关系求得，再利用三角形的面积公式求出，再利用余弦定理进行求解；
（2）先构造，利用同角三角函数基本关系、诱导公式、两角和的正弦公式得到，再利用正弦定理、余弦定理求出边长，进而利用三角形的面积公式进行求解.
（1）
解：由，
得：.
由，
得：，
则
，
所以.
（2）
解：在AC上取点D，使得，
于是，
则，
，
由和正弦定理，
知：，
于是
，
所以.
由知：，
所以，
所以
.
27．1.已知向量，，设，.
（1）求的值域；
（2）若方程有两个不相等的实数根，，求，的值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据平面向量的数量积和三角变换求出函数的解析式，进而结合三角函数的图象和性质求得答案；
（2）由方程有两个不相等的实数根，，求出，再计算出，的值.
（1）
解：
，
因为，所以，则，即函数的值域为.
（2）
解：由方程有两个不相等的实数根，，由（1），，，如图：
则，关于对称，所以，
由，得.
28．如图，的内角，，的对边分别为，，，，且.
（1）求角的大小；
（2）在内有点，，且，直线交于点，求.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）将已知条件利用正弦定理化边为角，结合整理可得，即可得角的大小；
（2）求出，由已知可得，在和中，由正弦定理可得，可求出，，由余弦定理即可求解.
（1）
在中，由正弦定理化边为角可得：，
因为，
所以，
可得，即，
所以或，
由可得，所以不成立，
所以，因为可得，
（2）
在中，因为，所以，
因为，所以，，
在中，由正弦定理可得：，
在中，由正弦定理可得：，
两式相除可得：，
所以，，
在中，由余弦定理可得：
，
所以，所以.
29．已知分别为三个内角的对边，且满足记的面积为S.
（1）求证：；
（2）若为锐角三角形，，且恒成立，求实数的范围.
【答案】
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）由正弦定理和余弦定理，结合两角和的正弦公式，可得证明；
（2）由余弦定理可得的范围，再由三角形的面积公式可得关于的函数，由二次函数的值域可得的范围，再由不等式恒成立思想可得所求范围．
（1）
证明：由，，，，，，，，
，.
（2）
解：，，.
且，，
，
为锐角三角形，，，，
设则，则故在为增函数，又恒成立，所以
30．已知，，分别是的内角，，所对的边，从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，并完成下列问题：
（1）求；
（2）若，求的周长的最大值．
条件①：；条件②：．
注：如果选择不同的条件分别解答，按照第一种选择的解答计分．
【答案】选择见解析；（1）；（2）12．
【分析】
（1）选定条件分别使用正弦定理和余弦定理求得.
（2）根据（1）的条件利用余弦定理与基本不等式计算出，简单计算即可.
【详解】
解：（1）若选条件①：
，
由正弦定理得：，
则．
即，，
又，．
，
若选条件②：
，
由正弦定理得：
即，，
由余弦定理得：，故，
，．
（2）由余弦定理得：，即，
，
即，当且仅当取等号，
故的周长的最大值为12．
31．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答
在中，角，，的对边分别为，，且______，是的平分线交于点，若，求的最小值.
【答案】9
【分析】
若选①：根据正弦定理得，再由正弦和角公式求得，继而有，分别在和中，运用正弦、余弦定理可得，，整理，再由基本不等式可求得的最小值；
若选②：根据正弦定理得，再由余弦定理得，又，所以，，继而有，分别在和中，运用正弦、余弦定理可得，，整理，再由基本不等式可求得的最小值；
若选③：由三角形的面积公式和向量的数量积运算得，继而有，分别在和中，运用正弦、余弦定理可得，，整理，再由基本不等式可求得的最小值.
【详解】
解：若选①：根据正弦定理由，得，即，
又因为，，所以，
又，所以，
因为是的平分线交于点，，所以，
在中，，所以，，
在中，，所以，所以，
，
所以，整理得，即，
所以，当且仅当，即时取等号，
故的最小值9；
若选②：根据正弦定理由，得，即，所以由余弦定理得，即，又，所以，因为是的平分线交于点，，所以，
在中，，所以，，
在中，，所以，所以，
，
所以，整理得，即，
所以，当且仅当，即时取等号，
故的最小值9；
若选③：由得，即，所以，又，所以，因为是的平分线交于点，，所以，
在中，，所以，，
在中，，所以，所以，
，
所以，整理得，即，
所以，当且仅当，即时取等号，
故的最小值9；
32．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答
在中，角，，的对边分别为，，且______，作，使得四边形满足，，求的最值
【答案】①或②或③，有最大值，无最小值.
【分析】
选①利用正弦定理，可得，进而可得，选②利用正弦定理，可得，进而可得，选③利用三角形面积公式可得；再利用正弦定理及面积公式可得，然后利用辅助角公式及三角函数的性质可求最值.
【详解】
选①，由得，
∴，
又，，
∴又，
∴；
选②，由得，
∴即，
∴又，
∴；
选③，由得又，
∴即，又，
∴；
在△ACD中，，，
∴，
设，则，
，
∴
，
，
∵，
∴，又在△ABC中，，
∴，，
∴，当即时，
∴，
即有最大值，无最小值.
33．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答
在中，角，，的对边分别为，，且______，若，求的取值范围.
【答案】
【分析】
根据题意，选择①②③求得，利用正弦定理求得外接圆的直径，进而化简，其中，，且，结合余弦函数的性质，即可求解.
【详解】
若选①：由，根据正弦定理可得，
即，
即，
可得，因为，所以;
选②：由，根据正弦定理可得，
可得，即，
又由余弦定理，可得，
因为，所以;
若选③：由，可得，
即，可得，
因为，所以;
又由，可得外接圆的直径为，
所以
，
其中，，且，
因为，可得，
根据余弦函数的性质，当时，，
当时，，
所以的取值范围为.
34．在中，内角，，的对边分别为，，，且，.
（1）求的大小；
（2）若，求的面积；
（3）求的最大值.
【答案】（1）；（2）；（3）最大值为.
【分析】
（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式进行求解即可；
（2）根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可；
（3）根据余弦定理，结合基本不等式、函数的单调性进行求解即可.
【详解】
（1）因为，又，
所以，
所以，
所以，
因为，，所以，可得.
（2）因为，所以，所以，
所以的面积为.
（3）由，得，
因为，所以，所以（当且仅当时取等号）.
设，则，所以，
设，
则在区间上单调递增，所以的最大值为，
所以，的最大值为.
35．如图，在四边形中，，，.
（1）若，求的面积；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由余弦定理求出BC，由此能求出△ABC的面积．
（2）设∠BAC＝θ，AC=x，由正弦定理得从而，在中，由正弦定理得，建立关于θ的方程，由此利用正弦定理能求出sin∠CAD．再利用余弦定理可得结果.
【详解】
（1）因为，，，
所以，即，
所以.
所以.
（2）设，，则，
在中，由正弦定理得：，
所以；
在中，，所以.
即，化简得：，
所以，
所以，，
所以在中，.
即，解得或（舍）.
36．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答
在中，角，，的对边分别为，，且______，求的取值范围.
【答案】
【分析】
选①，利用正弦定理边化角，得出角，再结合基本不等式即可求出取值范围；
选②，利用正弦定理角化边，得出角，再结合基本不等式即可求出取值范围；
选③，将三角形面积公式和数量积公式代入化简得出角，再结合基本不等式即可求出取值范围.
【详解】
选①，由正弦定理得
即
整理得
即
即（当且仅当时取等号）
又
即的取值范围为；
选②，，由正弦定理得
，即
即（当且仅当时取等号）
，即
又
即的取值范围为；
选③，
由，
即（当且仅当时取等号）
，即
又
即的取值范围为.
37．在中，、、分别为内角、、的对边，且．
（1）求的大小；
（2）若，试判断的形状；
（3）若，求周长的最大值．
【答案】（1）；（2）为等腰钝角三角形；（3）.
【分析】
（1）根据正弦定理结合余弦公式求出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角恒等变换化简得出，结合角的取值范围可求得角的值，由此可得出结论；
（3）利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，即可得出周长的最大值．
【详解】
（1）因为，
根据正弦定理得，所以，，
由余弦定理可得，
又，所以，；
（2）由（1）知，又得，
即，
因为，则，所以，，所以，，，
则为等腰钝角三角形；
（3）由，及 余弦定理知
，
则，知，当且仅当时，等号成立，
所以，，因此，周长的最大值为.
38．如图，在四边形中，，且，，.
（1）求的长；
（2）求四边形面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由二倍角公式得，进而在中，利用余弦定理求解即可；
（2）设四边形面积为，则，进而根据三角形面积公式，并结合余弦定理和基本不等式求解即可.
【详解】
解：（1）∵，，
∴，
∵在中，，，，
∵，
∴；
（2）设四边形面积为，则，
∵，
所以，
在中，，，由余弦定理可得：，
又则，
，当且仅当时，等号成立，
，
∴ .
39．现给出三个条件：①a sin ＝b sin A，②a cos C＋c cos A＝2b cos B，③2c－a＝2b cos A.从中选出一个补充在下面的问题中，并解答问题．
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________．
（1）求角B的大小；
（2）若b＝2，求△ABC周长的取值范围．
【答案】（1）条件选择见解析，；（2）(4，6].
【分析】
（1）选①：利用正弦定理边化角，同时结合三角形内的隐含条件及变名的诱导公式即可求出sin＝，从而求出Β＝；
选②：利用余弦定理角化边，同时结合三角形内的隐含条件即可求出；
选③：利用正弦定理边化角，同时结合三角形内的隐含条件及和差公式即可求出，从而求出Β＝；
（2）利用余弦定理求出，再根据基本不等式即可求出，同时结合三角形内边之间的关系可得到2＜a＋c≤4，从而求出△ABC周长的取值范围．
【详解】
（1） 若选①，由正弦定理与三角形内角和定理可得sin A·sin＝sin B sin A，
因为，所以，
所以cos ＝2sincos，所以sin＝，
又因为0＜＜，所以＝，即Β＝.
若选②，由余弦定理得a·＋c·＝2b cos B，
即＋＝2b cos B，所以，
即，又0＜B＜π，所以B＝.
若选③，由正弦定理，得2sin C－sin A＝2sin B cos A，
因为，所以，
所以，
即2sin A cos B＋2cos A sin B－sin A＝2sin B cos A，所以，
因为，所以，
所以，又0＜B＜π，所以B＝.
（2）由(1)可得B＝，若b＝2，
则由余弦定理得，
所以，即，
所以，当且仅当时等号成立，
又a＋c＞b＝2，所以2＜a＋c≤4，即4＜a＋b＋c≤6，所以△ABC周长的取值范围为(4，6].
40．目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站AB，已知基站高，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°．
（1）求出山高BE（结果保留整数）；
（2）如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离，且记在M处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为.试问当多大时，观测基站的视角最大?参考数据：，，，．
【答案】（1）m；（2）m.
【分析】
（1）在中，由正弦定理求出，即可求出，进而求出；
（2）根据题意得出，列出关于的式子，利用基本不等式可求出.
【详解】
解：（1）由题知，
在中，由正弦定理得，即，
所以，
在中，，即，所以，
所以山高m.
（2）由题知，，则在中，，
在中，，由题知，
则 ，
当且仅当即m时，取得最大值，即视角最大.
(高级)1-20题
1.中，D是BC上的点，AD平分，面积是面积的2倍．
（1）求的值；
（2）从①，②，③这三个条件中选择两个条件作为已知，求BD和AC的长．
【答案】
（1）
（2）选①②: BD=，AC=1；选②③: BD=，AC=1；选①③：BD=，AC=1或BD=，AC=．
【分析】
（1）过A作于E，由已知及面积公式可得，由AD平分及正弦定理可得，，从而得解．
（2）若选①②，由（1）可求，过D作于M，作于N，由AD平分，可求，令，则，利用余弦定理即可解得BD和AC的长；
若选②③，由（1）知BD的值，在中，由正弦定理可得，由余弦定理可得，解得b的值，即可得解；
若选①③，由正弦定理可得，由余弦定理可得，又，整理可得，可得，解得x的值，进而可求b的值，即可得解．
（1）
如图，过A作于E，
∵，∴，∵AD平分，∴，
在中，，∴，
在中，，∴；
∴．
（2）
若选①，②，由（1）知，，
过D作于M，作于N，∵AD平分，∴，
∴，∴，令，则，
∵，∴，
∴由余弦定理可得：，∴，∴，
∴BD的长为，AC的长为1．
若选②，③，由（1）知，，
因为，所以在中，由正弦定理可得，即，
由余弦定理，整理可得，解得，（负值舍去）
∴BD的长为，AC的长为1．
若选①，③，
因为，所以在中，由正弦定理可得，即，
因为，可得，设，，
所以由余弦定理可得：，整理可得，①
又，整理可得，②
由①②可得，解得，或，解得或，
由①可得，可得BD的长为，AC的长为1．或，可得BD的长为，AC的长为．
2．已知函数（）图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）求的单调递增区间以及图象的对称中心坐标；
（2）是否存在锐角，，使，同时成立？若存在，求出角，的值；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）递增区间为（）；对称中心的坐标为（）
（2）存在；，
【分析】
（1）根据三角恒等变换化简解析式，再根据正弦型函数图象性质求解即可；
（2）由诱导公式可得，又，代入化简可得，。
（1）
解：
，
由图象的相邻两条对称轴之间的距离为，得的最小正周期，解得．
所以，
由（），得（），
所以的递增区间为（），
由（），得（）；
所以图象的对称中心的坐标为（）．
（2）
解：存在．
因为，，
所以，
所以．
又，，所以，
即，即，
即，即，
所以，由为锐角，得，所以，，从而．
故存在，符合题意．
3．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
（1）求的解析式与单调递减区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.
【答案】
（1），递减区间为，
（2）
【分析】
（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；
（2）利用图象变换法则求得g(x)的函数表达式，解方程求得g(x)的值，利用换元思想，结合三角函数的图象和性质分析求得.
（1）
由题意，
图象的相邻两对称轴间的距离为，
的最小正周期为，即可得，
又为奇函数，则，，
又，，故，
令，得
函数的递减区间为，
（2）
将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
又，则或，
即或.
令，当时，，
画出的图象如图所示：
有两个根,关于对称，即,
有,
在上有两个不同的根，,；
又的根为，
所以方程在内所有根的和为.
4．已知函数.
（1）当时，函数的图象关于直线对称，求在上的单调递增区间；
（2）若的图像向右平移个单位得到的函数在上仅有一个零点，求ω的取值范围．
【答案】
（1）和
（2）
【分析】
（1）化简函数，得到，结合三角函数的性质，求得，得到，得出，进而求得的单调增区间.
（2）令，求得，根据在上仅有一个零点，列出不等式组，即可求解.
（1）
解：因为，
所以
，
由的图象关于直线对称，可得，
所以解得，
又因为，所以当时，.
所以，令，
解得，
又由，所以，或，
即在上的单调递增区间为和.
（2）
解：由已知得，令得，
即，因为在上仅有一个零点，
所以，
由于，所以得，
解得因为，所以，所以.
5．在平面四边形中，，，，
（1）求的长；
（2）求的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）在三角形ABD中，利用余弦定理求出的长；
（2）先推出A、B、C、D四点共圆，然后求出，问题归结为求的最大值.，显然当为外接圆的直径时最大，再用正弦定理求出外接圆直径即可.
【详解】
（1）∵在中，，，
∴利用余弦定理得：
∵
∴
（2）∵，
∴
∴A、B、C、D四点共圆
如图所示：
在AC上取点E，使得∠CBE=∠DBA，
又∵∠BCE=∠BDA
∴
∴ ，即①
同理可得：
∴，即②
①+②得：
由（1）可知，
∴
∴求的最大值即求的最大值.
当AC为圆的直径时，最大
由正弦定理得：
∴最大值为，此时
的最大值为
6．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.
在中，角，，的对边分别为，，且______，作，使得四边形满足，， 求的取值范围.
【答案】.
【分析】
根据题意，选择①②③求得，设，则，在中，由正弦定理求得，在中，由正弦定理求得可得，结合和三角函数的性质，即可求解.
【详解】
若选①：由，根据正弦定理可得，
即，
即，
可得，因为，所以，
设，则，
在中，由正弦定理得，
可得，
在中，由正弦定理得，
可得
，
因为，可得，
当时，即，可得，
当时，即，可得，
所以的取值范围是.
选②：由，根据正弦定理可得，
可得，即，
又由余弦定理，可得，
因为，所以，
设，则，
在中，由正弦定理得，
可得，
在中，由正弦定理得，
可得
，
因为，可得，
当时，即，可得，
当时，即，可得，
所以的取值范围是.
若选③：由，可得，
即，可得，
因为，所以，
设，则，
在中，由正弦定理得，
可得，
在中，由正弦定理得，
可得
，
因为，可得，
当时，即，可得，
当时，即，可得，
所以的取值范围是.
7．已知是的内角，函数的最大值为．
（1）求的大小；
（2）若，关于的方程在内有两个不同的解，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）利用两角和差、二倍角和辅助角公式化简得到，结合最大值可求得，由此可得；
（2）根据的范围可求得的范围，将问题转化为在内有两个不同的解，设，，利用导数可得的大致图象，采用数形结合的方式，分别在不同的取值范围情况下，结合的范围得到对应的解的个数，由此可求得结果.
【详解】
（1）
的最大值为，，解得：，
，；
（2）由（1）得：，，
，，；
当，即时，方程无解，，
在内有两个不同的解，
令，则，，
设，则，
当时，；当时，；
在，上单调递增，在，上单调递减；
又，，，，
的大致图象如下图所示，
设对应的根分别为，
当时，，，则对应的，对应的，满足题意；
当时，，此时，即，方程有唯一解，不合题意；
当时，，此时，即，方程有唯一解，不合题意；
当时，，，则对应的，对应的，，方程有三个不同的解，不合题意；
当时，或，此时，符合题意；
综上所述：的取值范围为.
8．如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径的长为，C，D两点在半圆弧上，且，设；
（1）当时，求四边形的面积.
（2）若要在景区内铺设一条由线段，，和组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值.
【答案】（1）；（2）5
【分析】
（1）把四边形分解为三个等腰三角形：，利用三角形的面积公式即得解；
（2）利用表示（1）中三个等腰三角形的顶角，利用正弦定理分别表示，和，令，转化为二次函数的最值问题，即得解.
【详解】
（1）连结，则
四边形的面积为
（2）由题意，在中，，由正弦定理
同理在中，，由正弦定理
令
时，即，的最大值为5
9．某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，为地面，，为路灯灯杆，，，在处安装路灯，且路灯的照明张角，已知m，m．
（1）当，重合时，求路灯在路面的照明宽度；
（2）求此路灯在路面上的照明宽度的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先由余弦定理求出ME，再求出，进而求出，最后根据正弦定理求出答案；
（2）先用等面积法求出间的关系，进而运用余弦定理结合基本不等式建立之间的不等式，两者结合即可得到答案 .
【详解】
（1）当，重合时，
由余弦定理知，
所以，
因为，所以
因为，所以，
因为，所以，
∴在中，由正弦定理可知，，解得m.
（2）易知到地面的距离，
所以，所以
又由余弦定理可知，，
当且仅当时“=”成立.
所以，解得m．
答：（1）路灯在路面的照明宽度为；（2）照明宽度的最小值为．
10．已知向量．令函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的角平分线交于D．其中，函数恰好为函数的最大值，且此时，求的最小值．
【答案】（1）的最小正周期为，单调递增区间为；（2）
【分析】
（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简可得，即可求出最小正周期，令可解出单调递增区间；
（2）可得，解得，再根据正弦定理解得，进而表示出，利用基本不等式可求解.
【详解】
（1），
，
则的最小正周期为，
令，解得，
故的单调递增区间为；
（2）由恰好为函数的最大值可得，
即，，则可解得，则，
在中，由，可得，
在中，由，可得，
，
在中，，
则可得，，
则，
，
，
当且仅当等号成立，故的最小值为.
11．如图，在四边形中，，，.
（1）求；
（2）若，求周长的最大值.
【答案】（1）；（2）12
【分析】
（1）在中，利用正弦定理可求得结果；
（2）在中，由余弦定理可求得，在中，，设，由余弦定理得，即，利用基本不等式求得，进而求出周长的最大值.
【详解】
（1）在中，，
利用正弦定理得：，
又为钝角，为锐角，
（2）在中，由余弦定理得
解得：或（舍去）
在中，，设
由余弦定理得，即
整理得：，又
利用基本不等式得：，即，
即，当且仅当时，等号成立，即，
所以
所以周长的最大值为12
12．已知函数.
（1）当时，求的值域；
（2）是否同时存在实数和正整数，使得函数在上恰有2021个零点？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】
（1）利用三角恒等变换得出，根据正弦型函数的值域求解；
（2）由题意可知，函数与直线在上恰有个交点，然后对实数的取值进行分类讨论，考查实数在不同取值下两个函数的交点个数，由此可得出结论.
【详解】
（1）
，
当时，，
∴，则.
（2）假设同时存在实数和正整数满足条件，函数在上恰有2021个零点，即函数与直线在上恰有2021个交点.
当时，，作出函数在区间上的图象如下图所示：
①当或时，函数与直线在上无交点，
②当或时，函数与直线在上有一个交点，
此时要使函数与直线在上恰有2021个交点，
则；
③当或时，函数与直线在上有两个交点，
此时函数与直线在上有偶数个交点，不符合题意；
④当时，函数与直线在上有三个交点，
此时要使函数与直线在上恰有2021个交点，则；
综上所述，存在实数和满足题设条件：
时，；
时，；
时，.
13．如图，在半径为，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y.
（1）按下列要求写出函数的关系式：
①设PN＝x，将y表示成x的函数关系式；
②设∠POB＝θ，将y表示成θ的函数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y的最大值.
【答案】（1）①.②；（2）选择②时，函数取得最大值.
【分析】
（1）①根据PN＝QM=x，结合半径为，圆心角为60°，分别求得，，进而得到MN求解；②根据∠POB＝θ，结合半径为，圆心角为60°，求得，再由，进而得到MN求解.
（2）选择②利用二倍角公式和辅助角公式，将函数转化，利用直线函数的性质求解.
【详解】
（1）①因为PN＝QM=x，
所以，
而，
所以，
所以.
因为点P在扇形的弧上，
所以，
所以
②因为∠POB＝θ，
所以，
而，
所以，
所以.
因为点P在扇形的弧上，
所以，
所以.
（2）选择②，
，
，
因为，
所以，
当时，函数取得最大值.
14．如图，在梯形中，，，，．
(1)若，求梯形的面积；
(2)若，求．
【答案】(1)；(2)．
【分析】
(1)中，利用含的余弦定理表达式建立BC的方程，求出BC而得面积，再利用面积关系求的面积得解；
(2)由题设中角的信息用表示出与中的相关角，再在这两个三角形中利用正弦定理建立两个方程，联立整理得的方程，解之即得.
【详解】
(1)设，在中，由余弦定理得：
，即，而x>0，解得，
所以，则的面积，
梯形中，，与等高，且，
所以的面积，
则梯形的面积；
(2)在梯形中，设，而，
则，，，，
在中，由正弦定理得：，
在中，由正弦定理得：，
两式相除得：，
整理得，
即
解得或，
因为，则，即．
15．已知a，b，c是的内角A，B，C的对边，且的面积.
（1）记，，若.
（i）求角C，
（ii）求的值；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）；或.（2）
【分析】
（1）（i）由，利用向量共线的坐标运算可得，再利用正弦定理边化角得，借助 ，即可求得角C
（ii）由，得，由余弦定理得： ，两边同除以可得，，解方程即可求解.
（2）由，得，由余弦定理得： ，两边同除以可得，，分离取值范围已知的量：
由，则，即，解不等式即可得到答案.
【详解】
（1）（i），，，
，即
利用正弦定理得：，
即，化简得
又，，
又，
（ii）由，得，即，化简得
由余弦定理得：，
即，两边同除以可得，
令，得，解得
所以的值为或
（2）由，得，即
由余弦定理得：，
即，两边同除以可得，
令，得， 即
由，则，即，
解不等式得：
所以的取值范围为：
16．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（三条边，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口是的中点，分别落在线段上，已知米，米，记.
(1)试将污水净化管道的总长度（即的周长）表示为的函数，并求出定义域；
(2)问取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.
【答案】（1），； （2）或时，L取得最大值为米．.
【分析】
（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由 L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明θ的范围．
（2）设sinθ+cosθ=t，根据函数 L= 在[，]上是单调减函数，可求得L的最大值．
所以当时，即 或 时，L取得最大值为米．
【详解】
由题意可得，，，由于 ，，
所以，，
，
即，
设，则，由于，
由于在上是单调减函数，
当时，即或时，L取得最大值为米．
17．某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖．如图，该弓形所在的圆是以为直径的圆，且米，景观湖边界与平行且它们间的距离为米．开发商计划从点出发建一座景观桥（假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行），桥面在湖面上的部分记作．设．
（1）用表示线段并确定的范围；
（2）为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将的长度设计到最长，求的最大值．
【答案】（1），；（2）米.
【分析】
(1) 过点作于点再在中利用正弦定理求解,再根据求解,进而求得.再根据确定的范围即可.
(2)根据(1)有,再设,求导分析函数的单调性与最值即可.
【详解】
解：
过点作于点
则,
在中,,
,
由正弦定理得：,
,
,
,
,因为,
化简得
,
令,,且,
因为,故
令
即,
记,
当时,单调递增；
当时,单调递减,
又,
当时,取最大值,
此时,
的最大值为米．
18．随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼，“日行一万步，健康一辈子”.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，为某市的一条健康步道，，为线段，是以为直径的半圆，，，.
（1）求的长度；
（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新增健康步道（，在两侧），，为线段.若，到健康步道的最短距离为，求到直线距离的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用余弦定理求出半径，利用圆的周长公式可得结果；
（2）先求出点的大致轨迹，再结合正弦定理、圆的几何性质求最点到直线距离的最值即可求解．
【详解】
（1）在 中，由余弦定理可得，
，
．
（2） 的轨迹为 外接圆的一部分，设 外接圆的半径为，
由正弦定理，且满足，
由（1）得：，所以为直角，
过作于，设所求距离为，
①当通过圆心时， 达到最大，由几何关系得，四边形为矩形，
所以，此时满足，
②当无限接近时，此时，
综上：所求 到直线 距离 的取值范围为．
19．已知函数（）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且为等腰直角三角形.
（1）求的值及函数的值域；
（2）若，且，求的值；
（3）已知函数的图象是由的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，然后再向左平移1个单位长度得到的，若存在，使成立，求a的取值范围.
【答案】（1），；（2）；（3）.
【分析】
（1）先将原式整理，得到，得出值域，求出点纵坐标为，推出周期，进而可求出；
（2）先由题中条件，和（1）的结果，得到，求出，再由两角和的正弦公式，即可求出结果；
（3）先根据函数平移，得到，根据正弦函数的性质，求出时，，令，将问题转为存在使成立，根据二次函数的性质，即可得出结果.
【详解】
（1）因为
，即的值域为；
所以点纵坐标为，
又为等腰直角三角形，所以，因此最小正周期为；
所以；
（2）由（1）知，
因为，所以，
又，所以，
因此，
所以
；
（3）由题意，可得，
若，则，所以，
令，则可化为，
即，
因为函数是开口向上，对称轴为的二次函数，
所以时，函数单调递减；时，函数单调递增，
所以，
又当时，；当时，，
所以；
因为存在，使成立，
所以存在使成立，
因此只需.
20．已知△ABC中，函数的最大值为.
（1）求∠A的大小；
（2）若，方程在内有两个不同的解，求实数m取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用诱导公式、两角差的正弦和二倍角正弦余弦公式化简，最后利用余弦函数的性质可得，结合最大值可求.
（2）令，，画出该函数的图象，考虑方程在上的解的情况，结合前者进一步加强解的范围，利用根分布可求实数的取值范围.
【详解】
（1）
，
故，故.
因为，故.
（2）
故，令，，
则的图象如图所示：
又，考虑在上的解.
若，则或
当时，方程的解为，此时有两解或，
故方程在内有两个不同的解，符合.
当时，方程的解为，此时仅有一解，
故方程在内有一个解，舍.
若，则或，
此时在有两个不同的实数根（），
当时，则，
要使得方程在内有两个不同的解，
则.
令，则，解得.
当时，则且，故，，
要使得方程在内有两个不同的解，
则，，故，此时，符合.
综上，的取值范围为：.
专题11 三角恒等与解三角形综合必刷大题100题
(初级)1-40题
1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列，．
（1）若，求c的值；
（2）求的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）利用等差数列以及三角形内角和，正弦定理以及余弦定理求解即可；
（2）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，结合三角函数的最值求解即可．
【详解】
（1）由角A、B、C的度数成等差数列，得2B＝A＋C．
又，∴．
由正弦定理，得，即．
由余弦定理，得，
即，解得．
（2）由正弦定理，得，
∴，．
∴
．
由，得．
所以当时，即时，．
2．已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求的值域．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）利用两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦公式以及辅助角公式，可化简，再利用正弦型函数的周期公式，即得解；
（2）由，可得，结合正弦函数的图象和性质，即得解
【详解】
（1）由题意，
，
（2）∵
∴
∴
∴的值域为
3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由题意及余弦定理得，由此即可求出结果；
（2）由正切公式对化简，再结合正弦定理得，再根据，可得，可得，由此即可求出结果.
【详解】
（1）由题意及余弦定理得，
所以，从而，
因为，所以.
（2）由，得，
所以由正弦定理得
又因为，
所以，
，所以
又，所以，所以.
从而是等边三角形.
因为，所以.
4．在中，，，是延长线上一点，且.
（1）求的值；
（2）求的长.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）首先利用同角三角函数的基本关系求出，根据三角形的内角和性质可得，利用诱导公式以及两角差的正弦公式即可求解.
（2）在中，利用正弦定理求出，在中，利用余弦定理即可求解.
【详解】
解：（1）由，
得，
所以
.
（2）由正弦定理，得，
即.
由余弦定理，得
.
5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角C的值；
（2）若，当边c取最小值时，求的面积．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据正弦定理，将角化为边的表达形式；结合余弦定理即可求得角C的值．
（2）由余弦定理求得与的关系，结合不等式即可求得c的最小值，即可得到的值，进而求得三角形面积．
【详解】
（1）由条件和正弦定理可得，
整理得从而由余弦定理得．
又∵C是三角形的内角，
∴．
（2）由余弦定理得，
∵，∴，
∴（当且仅当时等号成立）．
∴c的最小值为2，
故．
6．在中，角、、的对边分别为、、，已知.
（1）若，，求；
（2）若角，求角.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
(1)利用余弦定理代入化简，并代入和的值，计算可得；
(2)利用正弦定理边化角,结合,解出关于的方程，利用的范围求出的值．
【详解】
（1）由余弦定理得，
∴，即，
代入数值得，解得；
（2）∵，∴由正弦定理得，
由可得，，∴，
即，
解得或(舍去)，又∵，∴.
7．已知△ABC中，为钝角，而且，，AB边上的高为.
（1）求的大小；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）8.
【分析】
（1）利用三角形ABC的面积相等，求出的大小；
（2）由余弦定理得出，以及，可得的值．
【详解】
（1）由三角形面积可知，
，又因为是锐角，所以.
（2）由（1）可知，
所以.
又因为，
因此.
8．在中，，，分别是角，，的对边，且．
（1）若，求；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由及正弦定理可得，进一步可得，，又，由正弦定理得，代入即可得到答案；
（2）由余弦定理，得，由，可得，代入可得，再利用面积公式计算即可得到答案.
【详解】
由已知得，
根据正弦定理得，
∵∴，∴．
（1）因为，所以，
，
所以，∵，
∴，即，
∴．
（2）∵，，由余弦定理，得
，
∵，∴，∴，即，
∵，∴的面积．
9．在中，三内角，，对应的边分别是，，，，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若的面积是，求的周长.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）利用正弦定理的边角互化可得，再由两角和的正弦公式以及三角形的内角和性质即可求解.
（Ⅱ）利用三角形的面积公式可得，解得，再根据余弦定理可得，从而可得，进而求出的周长.
【详解】
（Ⅰ）将，，，
代入中，得到，
即.
因为，所以，
于是，.
（Ⅱ）因为，所以，.
由余弦定理得，，
即，所以.
于是的周长是.
10．已知函数.
（1）求的最小正周期和单调增区间；
（2）在中，角的对边分别为.若，，求的面积的取值范围.
【答案】（1），单调递增区间是，.（2）
【分析】
（1）由二倍角公式可得，结合正弦函数的性质可得的周期以及单调递增区间；
（2）由可得，所以，，结合，进一步可得，即可得到答案.
【详解】
（1）
∴的周期，
由，得
所以的单调递增区间是，.
（2）∵，即，又，
∴，由正弦定理有
∴
∵，∴
∴.
11．在中，角所对的边分别是，且，.
（1）若，求的值；
（2）求的最大值
【答案】（1）4；（2）.
【分析】
（1）由已知，易得，由正弦定理可得，再由角B的余弦定理即可得到答案；
（2）正弦定理得，所以，，再利用两角和的正弦公式以辅助角公式可得，即可得到最大值.
【详解】
（1）因为，
又，得.
又，由正弦定理得，即，
由余弦定理，
得，解得或（舍）.
（2）由正弦定理得，
，
，
由，得，
当，即时，.
12．在中，已知，其中为的面积，，，分别为角，，的对边.
（1）求角的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）.（2）
【分析】
（1）利用三角形的面积公式化简可得，从而可得，即可求得的值.
（2）利用两角和的正切公式可得，再有，求出，再利用二倍角公式，利用弦化切齐次式即可求解.
【详解】
解：（1）因为，所以，
则，
因为在中，，所以，
所以，
所以.
（2）由（1）知，又因为，
所以，
因为在中，，所以，
所以.
13．已知中，角，，的对边分别为，，，且满足，，
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若边上中线，求的面积．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）6
【分析】
（1）利用正弦定理的边角互化可得，再利用三角形的内角和性质以及两角和的正弦公式化简整理即可求解.
（2）由（Ⅰ）根据正弦定理求出，在中，利用余弦定理可得，根据三角形的面积公式即可求解.
【详解】
（Ⅰ）由正弦定理及，得
又，
所以
由，得，代入上式整理得,即，
所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由正弦定理得①
在中，,将①代入上式得
，化简得
所以，
14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求B；
（2）若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）先利用边角互化将转化为关于B的方程，求出∠B．
（2）因为B已知，所以求面积的最小值即为求ac的最小值，结合余弦定理和基本不等式可以求得．
【详解】
（1）因为，
由正弦定理得．
因为，所以sinA＞0，所以，
所以，因为，
所以，即．
（2）依题意，即ac＝4．
所以当且仅当时取等号．
又由余弦定理得
∴，当且仅当a＝c＝2时取等号．
所以△ABC的周长最小值为．
15．已知平面向量，，函数．
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）； （2）
【分析】
（1），利用公式计算周期，令可得单调减区间；
（2），通过分析易知，将配成，利用两角差的正弦公式展开即可得到答案.
【详解】
（1），
，
故，又令
解得，
所以的单调递减区间为.
（2），
又，
又，故，
.
16．在中，，是边上一点，且，.
（1）求的长；
（2）若的面积为14，求的长.
【答案】（1）1；（2）5.
【分析】
（1）由同角三角函数关系求得，再由两角差的正弦公式求得，最后由正弦定理构建方程，求得答案.
（2）在中，由正弦定理构建方程求得AB，再由任意三角形的面积公式构建方程求得BC，最后由余弦定理构建方程求得AC.
【详解】
（1）据题意，，且，
所以.
所以
.
在中，据正弦定理可知，，
所以.
（2）在中，据正弦定理可知，
所以.
因为的面积为14，所以，即，
得.
在中，据余弦定理可知，，
所以.
17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，求的面积的最大值．
【答案】（1）（2）
【分析】
(1)由正弦定理边化角化简已知条件可求得,即可求得;
(2)由余弦定理借助基本不等式可求得,即可求出的面积的最大值.
【详解】
（1），，
所以，
所以，
，，
，．
（2）由余弦定理得.，
，当且仅当时取等，
.
所以的面积的最大值为.
18．如图，在中，，，点在线段上.
（1）若，求的长；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）先根据平方关系求出,再根据正弦定理即可求出；
（2）分别在和中，根据正弦定理列出两个等式，两式相除，利用题目条件即可求出，再根据余弦定理求出，即可根据求出的面积．
【详解】
（1）由，得，所以.
由正弦定理得，，即，得.
（2）由正弦定理，在中，，①
在中，，②
又，，，
由得，
由余弦定理得，
即，解得，
所以的面积.
19．已知△ABC的内角的对边分别为，且．
（1）求角；
（2）在中，为边上一点，且，，求面积的最大值．
【答案】（1） （2）
【分析】
（1）由已知结合余弦定理可求，进而可求；
（2）由向量数量积的公式和性质及基本不等式可求的范围，进而可求面积的最大值．
【详解】
(1)∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
(2)∵，
∴为的中点，
∵，
，
∴，
∴，
∵，
∴，当且仅当时取等号，此时面积的最大值．
20．已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值.
【答案】（1）；（2）1
【分析】
（1）利用诱导公式、二倍角公式、辅助角公式对进行化简，然后利用，得到的周期；
（2）利用正弦型函数的性质，得到的最大值，以及此时的取值.
【详解】
（1）因为
，
所以的最小正周期为，
（2）因为，
所以，
所以，当即时，
函数取得最大值1.
21．的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求内角的大小；
（2）若的周长为，面积为，求边的长度.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由，将已知条件进行化简，从而得到的值，再得到；（2）根据的面积，得到的值，结合三角形周长和余弦定理，从而解出的值.
【详解】
（1）由
在中，，所以
所以
整理得：
故，
而，从而
（2）的面积为，
所以，得①
的周长为，得②
由余弦定理得： ③
将①代入③得： ④
由②④得：.
22．中，角，，的对边分别为，，，且满足 .
(1)求角的大小;
(2)若，的面积为，求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据正弦定理将边化成角，再进行化简，得到的值，从而得到的值；（2）根据的面积，得到，根据余弦定理得到关系，从而得到的值.
【详解】
（1）在中，，
由正弦定理，
得，
所以，
即，
因为为的内角，所以，
所以，
因为因为为的内角，所以.
（2），即，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以得到.
23．已知函数，.
（1）求函数的最小正周期;
（2）若，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）对进行化简，得到正弦型函数的形式，根据，得到答案；（2）先得到，再将所求的，利用两角和的正弦公式，计算得到答案.
【详解】
（1）
所以的最小正周期为.
（2）由（1）得，
所以
由得，
所以
24．在中，内角，，所对的边长分别为，，，且满足，.
（1）求角的大小；
（2）求的值.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）根据正弦定理和余弦定理求出角的大小；
（2）根据正弦定理求出的值，再通过判断，利用同角的三角函数之间的关系求出，最后求出的值，最后利用二角差的正弦公式求出的值.
【详解】
解析：（1）由正弦定理得，∴，
又由余弦定理有，
又，∴.
（2）由正弦定理有，
∴，由知，从而，
∴，∴，
∴，
，
∴.
25．在中，内角A，B，C所对的边长分别为.
(1)求角C；
(2)若，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】
(1)利用二倍角的余弦公式、三角形内角和定理、对已知听等式进行化简，最后通过解方程可以得到角C的余弦值，结合三角形的性质求出；
(2)利用余弦定理、重要不等式、三角形面积公式可以求出面积的最大值.
【详解】
解：(1)由，可得，，因为，所以，.
(2)由，得，，，
所以，
当时，△面积的最大值为.
26．已知的内角，，所对的边分别为， ，满足，且边上一点使得.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）；（2）
【分析】
根据正弦定理，将边化成角，然后整理化简，得到的值，从而得到的值；（2）根据条件得到为等边三角形，从而得到，根据正弦定理，得到的值，根据余弦定理，得到的长，根据三角形面积公式，得到答案.
【详解】
（1）因为
在，由正弦定理
所以得.
所以.
即
所以，
因为，所以
（2）由（1）知，而
为等边三角形.
由于是的外角，
所以.
在中，由正弦定理得，
即，所以.
所以由余弦定理得，，
即，
所以，
故，，
所以.
27．已知向量,,且．
(1)求的单调递增区间；
(2)先将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位,得到函数的图象,求方程在区间上所有根之和．
【答案】(1)，；(2).
【分析】
化函数为余弦型函数,再求它的单调增区间；
由三角函数图象平移法则,得出的分析式,再求在内的实数解即可．
【详解】
解：函数,
，,
，；
的单调增区间为,；
由题意,,
又,得,
解得：,,
即或，,
,
，或，
故所有根之和为．
28．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上对称轴、对称中心及其最值.
【答案】(1)最小正周期为(2)对称轴，对称中心为，最大值为，最小值为
【分析】
(1)根据同角三角函数关系式的平方和关系、降幂公式、辅助角公式把函数的解析式化简成正弦型函数解析形式,最后根据最小正周期公式求出函数的最小正周期；
(2)利用正弦型函数的对称性和单调性,求出在区间上对称轴、对称中心及其最值
【详解】
解：(1)因为
,
所以，函数的最小正周期为.
(2)由(1)知，
因为，所以，①
令，得，
所以，即为所求函数在上的对称轴；
令，得，所以，
所以函数在上的对称中心为；（＊）
易判断函数在上单调递增；在上单调递增.
所以，，，，
故函数在区间上最大值为，最小值为.
【另解】
接（＊）式
由①得，所以，
故函数在区间上最大值为，最小值为.
29．函数（，，），且的最大值为，其图象相邻两对称轴间的距离为，并过点.
（1）求；
（2）计算….
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先对函数进行降幂，然后根据最大值为，得到的值，再由相邻两对称轴间的距离为，得到周期，从而求出，代入点并结合的范围，求出的值；（2）对函数进行整理，并得到，根据函数的周期性，得到答案.
【详解】
（1）.
的最大值为，，
，.
又其图象相邻两对称轴间的距离为，
周期，，
，，.
过点，
，
，.
，，
，，
又，.
（2），
，
又的周期为，，
.
30．设函数．
（Ⅰ）当时，求函数的值域；
（Ⅱ）中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，求的面积．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）对进行化简，得到正弦型函数，然后根据的范围，求出的范围，得到的值域. （Ⅱ）由得到的值，根据和正弦定理得到的值，再由求出，根据和正弦定理，得到，由面积公式求出的面积.
【详解】
解：（Ⅰ）
，
∵，∴，
∴．
∴函数的值域为
（Ⅱ）∵，∴，
又∵，∴，
∴，即．
由，由正弦定理，∵∴，∴．
∵∴
∴，∵，∴
∴．
31．已知通数的图像经过点，图像与x轴两个相邻交点的距离为．
（Ⅰ）求的解析式：
（Ⅱ）若，求的值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由图像与x轴两个相邻交点的距离为，可以求出周期，利用周期公式可以求出，再由图像经过点，结合，可以求出，也就能求出的解析式：
（Ⅱ）由，可以求出，根据同角的三角函数关系，可求出，分类讨论，运用两角差的正弦公式，求出的值
【详解】
解：（Ⅰ）由已知得，，则，所以．
又，所以，
又，所以.
所以，即，
所以.
（Ⅱ）因为，所以，
所以．
当时，；
当时，.
所以，或.
32．已知向量，，函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在中，内角、、所对边的长分别是、、，若，，，求的面积.
【答案】（1）的增区间是，（2）
【分析】
（1）利用平面向量数量积的坐标表示公式、二倍角的正弦公式、余弦二倍角的降幂公式、以及辅助角公式可以函数的解析式化为正弦型函数解析式的形式，最后利用正弦型函数的单调性求出函数的单调递增区间；
（2）根据（1）所得的结论和，可以求出角的值，利用三角形内角和定理可以求出角的值，再运用正弦定理可得出的值，最后利用三角形面积公式可以求出的面积..
【详解】
（1）
令，
解得
∴的增区间是，
（2）
∵
∴解得
又∵∴中，
由正弦定理得
∴
33．在中，内角，，的对边分别是，，，且满足：.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的最大值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2.
【分析】
（Ⅰ）运用正弦定理实现角边转化，然后利用余弦定理，求出角的大小；
（Ⅱ）方法1：由（II）及，利用余弦定理，可得，再利用基本不等式，可求出的最大值；
方法2：利用正弦定理实现边角转化，利用两角和的正弦公式和辅助角公式，利用正弦型函数的单调性，可求出的最大值；
【详解】
（I）由正弦定理得：，
因为，所以，
所以由余弦定理得：，
又在中，，
所以.
（II）方法1：由（I）及，得
，即，
因为，（当且仅当时等号成立）
所以.
则（当且仅当时等号成立）
故的最大值为2.
方法2：由正弦定理得，，
则，
因为，所以，
故的最大值为2（当时）.
34．在①面积，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求.
如图，在平面四边形中，，，______，，求.
【答案】见解析
【分析】
选择①：利用三角形面积公式和余弦定理可以求接求出的长；
选择②：在，中，分别运用正弦定理，可以求接求出的长；
【详解】
解：选择①：
所以；
由余弦定理可得
所以
选择②
设，则，，
在中，即
所以
在中，，即
所以.
所以，解得，
又，所以，
所以.
35．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足________.
（1）求；
（2）若的面积为，的中点为，求的最小值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）选①，利用正弦定理的边角互化以及诱导公式可求解；选②，利用正弦定理的边角互化即可求解；选③，利用正弦定理的边角互化以及两角差的正弦公式即可求解.
（2）利用三角形的面积公式可得，再由余弦定理以及基本不等式即可求解.
（1）
选①，
由正弦定理可得，
又因为，可得，
即，所以，
又因为，所以，
所以，解得.
②，
由正弦定理可得，
即，
整理可得，
又因为，解得，
因为，所以.
③，
由正弦定理可得，
整理可得，
即，
即，
所以或（舍），
即，即，解得.
（2）
，
解得，
由余弦定理可得
，
所以 ，当且仅当时，即取等号，
所以的最小值为.
36．在①，②sin（A+B）＝1+2这两个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设△ABC的面积为S，已知___．
（1）求角C的值；
（2）若b＝4，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，△CDB的面积为，求边长a的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】
（1）答案不唯一，见解析
（2）2
【分析】
（1）选①，由可得，然后结合余弦定理可得答案；选②，由条件可得，然后可求出答案；
（2）由可得，然后结合S△CDB＝a×CD＝可解出答案.
（1）
选①，由可得：，整理可得a2+b2﹣c2＝ab，
可得＝，因为C∈（0，π），所以C＝．
选②，由sin（A+B）＝1+2sin2可得，可得2sin（C+）＝2，
可得：sin（C+）＝1，因为C∈（0，π），C+∈（，），所以C+＝，可得C＝．
（2）
在△ABC中，
可得
可得，①
又S△CDB＝a×CD＝，②
由①②可得：＝，解得a＝2，或a＝﹣（舍去），所以边长a的值为2．
37．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：在中，内角，，所对的边分别为，，，且________．
（1）求角；
（2）若是内一点，，，，，求．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）选条件①：利用正弦定理的边角互化即可求解；选条件②：利用正弦定理的边角互化以及余弦定理即可求解；选条件③：利用正弦定理的边角互化以及三角形的内角和性质即可求解.
（2）由题意可得，在与中，分别利用正弦定理得出与，两式相等计算求解即可.
【详解】
解：（1）方案一：选条件①
，
，
，，又.
方案二：选条件②
又.
方案三：选条件③
整理得
，，又，.
（2），
在中，，
在中，
，
整理得，.
38．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答
在中，角，，的对边分别为，，且______，若，，求边上的垂线长.
【答案】
【分析】
根据题意，选择①②③求得，利用余弦定理求得，结合面积相等列出方程，即可求得边上的垂线长.
【详解】
若选①：由，根据正弦定理可得，
即，
即，
可得，因为，所以，
因为，，
由余弦定理可得，所以，
设边上的垂线长为，可得，解得，
即边上的垂线长为.
选②：由，根据正弦定理可得，
可得，即，
又由余弦定理，可得，
因为，所以，
又因为，，
由余弦定理可得，所以，
设边上的垂线长为，可得，解得，
即边上的垂线长为.
若选③：由，可得，
即，可得，
因为，所以，
又因为，，
由余弦定理可得，所以，
设边上的垂线长为，可得，解得，
即边上的垂线长为.
39．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答
在中，角，，的对边分别为，，且______，，，求的值.
【答案】3
【分析】
选①利用正弦定理，可得，进而可得，选②利用正弦定理，可得，进而可得，选③利用三角形面积公式可得，进而由余弦定理直接可得解.
【详解】
选①，由得，
∴，
又，，
∴又，
∴；
选②，由得，
∴即，
∴又，
∴；
选③，由得又，
∴即，又，
∴；
由，解得或（舍）.
所以
40．记的内角的对边分别为．请在下列三个条件中任选一个作为已知条件，解答问题．
①；②（其中为的面积）；③．
（1）若，求的值；
（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围．
【答案】条件选择见解析，（1）；（2）．
【分析】
选择①②③结合正余弦定理均得到，（1）利用余弦定理即可求解；
（2）由正弦定理得，，结合角的范围即可求解．
【详解】
选择①
由正弦定理得，所以，，则；
选择②，则，所以，又，则；
选择③，由正弦定理得
又因为，
所以，则所以，又，则；
故选择①②③均得到 ；
（1）若，由余弦定理得 ，
即，∴．
（2）由为锐角三角形及，
得且,∴，
由正弦定理得，
∴．
∵，∴，∴，
∴，即所求的取值范围是．
(中级)1-40题
1．在①；②；③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
问题：已知的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，___________.
（1）求角A的大小；
（2）求面积的最大值.
【答案】
（1）选①：；选②：；选③：；
（2）选①：；选②：；选③：
【分析】
（1）选①：由正弦定理边角互化得，进而得；
选②：由正弦定理边角互化得，进而得，故；
选③：由余弦定理得，再根据正弦定理边角互化结合和角公式得，故
（2）选①：结合（1）和余弦定理得，再根据基本不等式得，进而根据三角形面积公式得面积的最大值为.
选②：结合（1）和余弦定理得，再根据基本不等式得，进而根据三角形面积公式得面积的最大值为.
选③：结合（1）和余弦定理得，再根据基本不等式得，进而根据三角形面积公式得面积的最大值为.
（1）
解：选①：因为，
所以，即，
又因为，所以
选②：因为，所以，
因为，
所以，
因为，
所以，即，
因为，所以
选③：因为，
所以，即，
所以，
因为，所以，
因为，所以
（2）
解：选①：因为由（1）得，，
所以，即，
所以，即，当且仅当时等号成立，
所以面积
所以面积的最大值为.
选②：因为由（1）得，
所以，即，
所以，即，当且仅当时等号成立，
所以
所以面积
所以面积的最大值为.
选③：因为由（1）得，
所以，即，
所以，即，当且仅当时等号成立，
所以
所以面积
所以面积的最大值为.
2．已知函数，直线是函数的图象的一条对称轴．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）令，若是函数在的零点，求的值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由二倍角公式、两角和的正弦公式化函数式为一个角的一个三角函数形式，由对称轴求得，然后利用正弦函数的单调性求解；
（2）先求出的表达式，利用正弦函数的对称性（注意变量的范围）可得，从而求得．
（1）
函数，
直线是函数的图象的一条对称轴，
，，，故．
令，求得，
可得函数的增区间为，，．
（2）
∴，
（满足，取锐角）
函数的图像在内只有一条对称轴，满足，
， 得：，
．
3．的内角，，的对边分别是，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，为边上一点，，且___________，求的面积.（从①为的平分线，②为的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答）
【答案】
（1）
（2）条件选择见解析，
【分析】
（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式，两角和的正弦公式展开后可求得角；
（2）选①，由，用面积公式得出，然后由余弦定理得出一等式，两者结合可得，从而由面积公式得面积；
选②，利用向量的线性运算，得，平方后由数量积运算可得，再结合余弦定理，求得，从而得三角形面积．
（1）
由题意得，
得：，
中，，所以，又， 所以
（2）
选①由BD平分得：
，①
在中，由余弦定理得：，，
所以，②，
① ② 联立得 解得，解得，
所以，
选②得，，
，得，
中，由余弦定理得，，
相减即可得 得．
4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设面积的大小为S，且.
（1）求A的值；
（2）若的外接圆直径为1，求的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用数量积的运算及三角形面积公式对进行化简，即可求出A的值；
（2）利用正弦定理结合已知条件将问题中的边化为角，再根据三角恒等变换及二倍角公式进行化简，最后结合角的范围即可求解.
（1）
解：由
得：
化简得：
当时，，，等式不成立
所以，即
又
所以
（2）
解： 的外接圆直径为1，
由正弦定理得：，
的取值范围为：.
5．在中，，．
（1）若边，求的面积；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出．
①； ②； ③
【答案】
（1）
（2）选①，不存在；选②，；选③，
【分析】
（1）由余弦定理求得，再由同角三角函数间的关系求得，根据三角形的面积公式可求得答案；
（2）若选①，由正弦定理和正弦的二倍角公式得，与相矛盾，所以不存在；
若选②，由正弦定理和两角差的正弦公式得，再根据同角三角函数间的关系可得解；
若选③，由正弦定理和正弦的二倍角公式得，再由余弦定理得，结合两角和的正弦公式可得解..
（1）
解：由余弦定理得，
因为，所以，
所以的面积.
（2）
解：若选①，由正弦定理得，所以，因为，所以不存在；
若选②，由正弦定理得，整理得，又，且，所以，因为，所以有两解，又，所以角B为锐角，所以唯一；
若选③，由正弦定理得，所以，
由余弦定理得，即，解得，又，所以角B为锐角，即，，所以，，
所以.
6．已知，，令其中，满足.
（1）求的解析式；
（2）在锐角中，角所对边分别为，且，求的面积的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用向量的坐标运算及三角公式求出，再根据求出即可；
（2）先通过求出B，再根据三角形为锐角三角形求出的范围，最后通过面积公式可得计算面积的范围.
（1）
又，
则
即
，又，
，
即；
（2）
由（1）知，又，
，即
如图，当点C在线段MN之间运动（不含端点）时，可使为锐角三角形
，即
，
即的面积的取值范围是.
7．在①，②，③中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．
在中，角，，所对的边分别为，，，且________．
（1）求角的大小；
（2）已知，为中点，且，求面积．
【答案】
（1）选①；选②；选③
（2）选①；选②；选③
【分析】
（1）根据正弦定理边角互化，并结合余弦定理和恒等变换公式计算，求出角的大小；
（2）根据余弦定理，三角形面积公式的计算，求出面积．
（1）
解：选①：，
由正弦定理可得：，，，
由余弦定理可得，所以，
选②：，
由正弦定理得：，
所以，
，
所以，，，
选③：，
由正弦定理可得：，
可得：
可得：，
，，解得，
，．
（2）
解：，为的中点，，
，，
，即，
，，
（另一值不符合题意，舍去，，
在中，由余弦定理有，解得，
．
8．如图，D是直角斜边上一点（不含端点），，记，．
（1）求的最大值；
（2）若，求角的值．
【答案】
（1）2
（2）
【分析】
（1）由等腰三角形和三角形外角定理得出的关系，这样求值式可化二元函数为一元函数，然后利用两角和的正弦公式，正弦函数性质得最大值；
（2）由正弦定理得出的三角函数的关系式，再结合（1）中函数关系式利用二倍角公式可求得的值，从而得．
（1）
设，
∵，，①
∴，，②
①②联立得，
∴，∴，
∴，③
，④
∴
∵，，
故当，即时，取得最大值2
（2）
在中，由正弦定理得，，
∴，∴，①
由（1）知，，
∴
所以，
解得或（舍去）．
因为为钝角，所以
9．在中，内角，，的对边分别为，，，点在边上，已知．
（1）求；
（2）若是角的平分线，且，求的面积的最小值．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
(1)根据正弦定理和两角和的正弦公式化简即可；
(2)如图，根据相似三角形的性质可得，设，过作平行于交于可得三角形为正三角形，利用三角形面积公式列出三角形面积，结合基本不等式即可求出面积的最小值.
（1）
，由正弦定理得，
，
，，，
，．
（2）
由是角的平分线，，设，
过作平行于交于，则三角形为正三角形，
，，，，
，
当且仅当时等号成立．即的面积的最小值为．
10．1.已知，，分别是的内角，，所对的边，，再从下面条件①与②中任选个作为已知条件，完成以下问题．
（1）证明：为锐角三角形；
（2）若，为的内角平分线，且与边交于，求的长．
①；②．
【答案】
（1）证明见解析
（2）选择①②结果相同，
【分析】
（1）利用正弦定理得到，结合①或者②，均可以得到，大边对大角，故只要证明，即可证明出为锐角三角形；（2）由，结合第一问中的，可以求出，，接下来可以用两种方法求解，一种是利用，另一种是利用角平分线定理，，均可以求出的长
（1）
方案一：选条件①
由正弦定理，
又，，，
令，（），从而，
由，解得：或（舍去）
从而最大，又
为锐角三角形
方案二：选条件②
由正弦定理，
又，，，
令，（），从而，
解得：或（舍去）
从而最大，又
为锐角三角形
（2）
方案一：选条件①
由，
∴
又由第一问可知：，∴，
法一：由，
∴，
由面积公式得：
由，从而，
解得：．
法二：，解得：
由角平分线定理，，
从而
在中，由余弦定理，，
解得：
方案二：选条件②
由，
又由第一问可知：，，，
由，解得：或（舍去）
法一：故，由，
∴，
由面积公式得：
由，从而，
解得：．
法二：由角平分线定理，，
从而
在中，由余弦定理，，
解得：
11．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在中，内角，，所对的边分别为，，，且________．
（1）求角；
（2）若是内一点，，求．
【答案】
（1）；
（2）.
【分析】
（1）若选条件①，利用正弦定理边化角公式以及两角和的正弦公式进行化简，即可求出的值；
若选条件②，利用利用正弦定理边化角公式以及两角和的正弦公式进行化简，得，再利用辅助角公式得，结合三角形中，从而可求出的值；
（2）结合题中条件及三角形内角和得出，利用正弦定理、两角和与差的正弦公式和同角三角函数关系，即可求出的值.
（1）
解：若选条件①：，
整理得：，
则，即，
又，，所以，
所以；
若选条件②：，
整理得：，
所以，
化简得：，
又，，所以，
故，由于，
所以．
（2）
解：由于，
，
所以，
在中，，
所以，
在中，，
所以，
，
整理得：，
故．
12．在“①；②，，”这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解.
问题：在中，，，分别是三内角，，的对边，已知，是边上的点，且，，若_______________，求的长度.
【答案】答案见解析.
【分析】
选①可得，再结合条件可得，可求，然后利用余弦定理即求；选②可得，由条件得，再利用辅助角公式可得，得，进而可求，然后利用余弦定理即求.
【详解】
若选择条件①
由，根据正弦定理得，
所以，
即，也即，
因为，所以 （1）式
又因为，
即，
所以，
又由（1）式，，
所以，
所以，，
所以，，
因为，所以，，
在中，
，
所以.
若选择条件②
因为，，且，
所以，
即，
所以，又，
所以 （1）式，
又因为，
即，
所以 （2）式，又，，
所以，
所以，
所以，也即，
所以，
即，又，
∴，
所以，
所以，，
所以，，
又，所以，，
在中，
，
所以.
13．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，点D在射线AC上，满足.
（1）求；
（2）设的角平分线与直线AC交于点E，求证：.
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）利用正弦定理化角为边由表示，利用余弦定理求出即可求出；
（2）分别在和中利用正弦定理表示，化简整理可得.
（1）
因为，由正弦定理得，
因为，由正弦定理得，即，则，
由余弦定理得，
则，因为，所以；
（2）
如图，，
在中，，，
在中，，则，
，，
所以,
，
所以.
14．在中，内角所对边分别为，若.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）先用同角三角函数的平方关系将式子进行化简，进而用正弦定理进行角化边，最后用余弦定理解得答案；
（2）用面积公式，结合正弦定理即可得到答案.
（1）
∵，∴，∴，由正弦定理得，
又由余弦定理得，∴，
由于，所以.
（2）
∵是锐角三角形，得到.
由正弦定理可知，，
由三角形面积公式有：
又因故
故取值范围是
15．在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知且.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据三角恒等变换化简可得，即可求解；
（2）利用正弦定理及三角恒等变换可得，再根据三角函数的值域求解.
（1）
∵，
∴.
即，
，
∵，
∴，
又，
∴，
∵，
∴.
（2）
由正弦定理可得，
，
其中，，，
为锐角
∵为锐角三角形，则，
从而，
得，
，
∴，
，
∴，
从而的取值范围为.
16．已知中，角，，所对的边分别为，，，.
（1）求；
（2）若点，是函数的图象在某个周期内的最高点与最低点，求面积的最大值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）先由余弦定理结合条件可得，再由余弦定理可得答案.
（2）由（1）先求出的值，由函数解析式得出周期，求出边长，由余弦定理结合均值不等式得出，从而得出面积的最大值.
（1）
由及余弦定理得，
整理得，所以.
（2）
的最大值与最小值之差为，最小正周期，
所以，
由余弦定理得，所以，
又，
所以面积，
所以面积的最大值为.
17．在平面四边形ABCD中，AB＝1，BC＝CD＝2，AD＝3．
（1）证明：3cosA－4cosC＝1；
（2）记△ABD与△BCD的面积分别为S1，S2，求S12＋S22的最大值．
【答案】
（1）证明见解析
（2）
【分析】
(1)在和中分别利用余弦定理表示出，列出方程整理即可；
(2)根据三角形的面积公式分别求出的表达式，结合二次函数的性质求出函数的最大值即可.
（1）
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以．
（2）
，
则，
由（1）知：，代入上式得，
配方得，因为，
∴当时，取到最大值．
18．在锐角中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，求周长的范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用正弦定理和和差角公式转化为，即可求出角A；
（2）利用正弦定理表示出，，得到周长为利用三角函数求最值，即可求出周长.
（1）
由正弦定理得：，
，
，
，
，
，，
.
（2）
由正弦定理：，
则，，
，，
周长为
，
又锐角，，结合
，
，
，
，
∴周长的范围是.
19．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答
在中，角，，的对边分别为，，且______，若，，边上的中垂线交于点，求的长.
【答案】
【分析】
选①，利用正弦定理化边为角，结合三角形内角的关系及两角和的正弦公式求得角，利用余弦定理求得边，证明，求出，即可得解；
选②，利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求得角，利用余弦定理求得边，证明，求出，即可得解；
选③，利用向量数量积的定义及三角形的面积公式求得角，利用余弦定理求得边，证明，求出，即可得解.
【详解】
解：选①，由，可得，
即，
所以，
又，所以，
所以，所以，
则，所以，
所以，
如图，设边上的中垂线垂足为点，
因为垂直平分，所以，又，
所以，
在中，，
所以，
即.
选②，由，可得，
即，所以，
所以，又因，所以，
则，所以，
所以，
如图，设边上的中垂线垂足为点，
因为垂直平分，所以，又，
所以，
在中，，
所以，
即.
选③，因为，
所以，
又，所以，
则，所以，
所以，
如图，设边上的中垂线垂足为点，
因为垂直平分，所以，又，
所以，
在中，，
所以，
即.
20．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足，．
（1）求角A的大小；
（2）求周长的范围．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用余弦定理化角为边，再根据余弦定理即可的解；
（2）利用正弦定理求得边，再利用三角恒等变换化简，结合正弦函数的性质即可得出答案.
（1）
解：由余弦定理，即，
所以，因为，所以．
（2）
由正弦定理：，则，，
由（1），故
因为，则，
所以，即周长范围是．
21．在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若的周长为，求面积的最大值．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）在中，利用余弦定理化角为边，可得，再结合，即得解；
（2）由余弦定理以及可得，再利用面积公式即得解
（1）
由余弦定理，得，
即，则，
所以
又，所以．
（2）
由题意，，
根据余弦定理，得，
则，
所以，
当且仅当时取“＝”．
所以，面积，
故面积的最大值为．
22．在中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，为边上一点，且，求的值．
【答案】
（1）
（2）或1
【分析】
（1）根据，结合， 利用正弦定理得到，再利用二倍角公式求解；
（2）根据，得到进而得到，，然后由正弦定理求得a，再利用余弦定理求解.
（1）
因为，
在△ABC中，，
所以．
在△ABC中，由正弦定理得：
又，，
所以，即 ，
又，所以，所以，
所以，
因为，
所以，
即．
（2）
因为，
所以，
，
，
在ABC中，由正弦定理得，
所以，
在ABC中，由余弦定理得：，
即，
故，
所以或，
当时，，，
当时，，，
所以的值为或1．
23．如图，在中，，、分别为边上的高和中线，，
（1）若，求的长；
（2）是否存在这样的，使得射线和三等分?
【答案】
（1）
（2）不存在，理由见解析
【分析】
（1）由勾股定理先求出，再由结合已知条件求出和，然后利用余弦定理即可求出的长；
（2）先假设存在，结合已知条件求出和，然后即可判断是否存在.
（1）
解：、分别为边上的高和中线，，
又，
所以，
，
在中，，
即
所以
（2）
解：假设存在这样的，不妨设，则，
易得，，
而，
在中，，
即，
解得：，即
而在中，，所以，故，
即不可能是的中点.
因此，不存在这样的，使得射线和三等分
24．已知函数为奇函数，且图像相邻的对称轴之间的距离为
（1）求函数的解析式及其减区间；
（2）在中，角A、B、C对应的边为a、b、c，且，，求的周长的取值范围．
【答案】
（1）；
（2）
【分析】
（1）由二倍角公式，两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由对称轴间距离求得周期得，由奇函数性质得，从而得解析式，然后利用正弦函数的单调性得减区间；
（2）由（1）求得角，利用正弦定理把表示为的函数，再由三角恒等变换得取值范围，也即得周长范围．
（1）
，
由函数相邻的对称轴之间的距离为，得，
∴，
又∵为奇函数，∴，即，
得，即，而，故，
令，得，
∴的减区间为；
（2）
由（1）可知，得，即，
∵，∴，∴，即，
∵，∴
∴
，
而，故；∵，故；
∴，即的周长的取值范围为.
25．在中，角的对边分别为，满足 且.
（1）求证：；
（2）若，求的面积的最大值.
【答案】
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）由已知可得，将展开化简可求得，由正弦定理化角为边即可求证；
（2）由余弦定理求得，再由三角形面积公式计算转化为关于的函数，再利用二次函数的性质可求得最大值，开方即可求解.
（1）
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
由正弦定理化角为边可得：.
（2）
在中，由余弦定理可得：，
的面积为：
，
所以当时，取得最大值，
所以的面积的最大值为.
26．在中，，，.
（1）若，求BC；
（2）若，求.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）先利用同角三角函数基本关系求得，再利用三角形的面积公式求出，再利用余弦定理进行求解；
（2）先构造，利用同角三角函数基本关系、诱导公式、两角和的正弦公式得到，再利用正弦定理、余弦定理求出边长，进而利用三角形的面积公式进行求解.
（1）
解：由，
得：.
由，
得：，
则
，
所以.
（2）
解：在AC上取点D，使得，
于是，
则，
，
由和正弦定理，
知：，
于是
，
所以.
由知：，
所以，
所以
.
27．1.已知向量，，设，.
（1）求的值域；
（2）若方程有两个不相等的实数根，，求，的值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据平面向量的数量积和三角变换求出函数的解析式，进而结合三角函数的图象和性质求得答案；
（2）由方程有两个不相等的实数根，，求出，再计算出，的值.
（1）
解：
，
因为，所以，则，即函数的值域为.
（2）
解：由方程有两个不相等的实数根，，由（1），，，如图：
则，关于对称，所以，
由，得.
28．如图，的内角，，的对边分别为，，，，且.
（1）求角的大小；
（2）在内有点，，且，直线交于点，求.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）将已知条件利用正弦定理化边为角，结合整理可得，即可得角的大小；
（2）求出，由已知可得，在和中，由正弦定理可得，可求出，，由余弦定理即可求解.
（1）
在中，由正弦定理化边为角可得：，
因为，
所以，
可得，即，
所以或，
由可得，所以不成立，
所以，因为可得，
（2）
在中，因为，所以，
因为，所以，，
在中，由正弦定理可得：，
在中，由正弦定理可得：，
两式相除可得：，
所以，，
在中，由余弦定理可得：
，
所以，所以.
29．已知分别为三个内角的对边，且满足记的面积为S.
（1）求证：；
（2）若为锐角三角形，，且恒成立，求实数的范围.
【答案】
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）由正弦定理和余弦定理，结合两角和的正弦公式，可得证明；
（2）由余弦定理可得的范围，再由三角形的面积公式可得关于的函数，由二次函数的值域可得的范围，再由不等式恒成立思想可得所求范围．
（1）
证明：由，，，，，，，，
，.
（2）
解：，，.
且，，
，
为锐角三角形，，，，
设则，则故在为增函数，又恒成立，所以
30．已知，，分别是的内角，，所对的边，从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，并完成下列问题：
（1）求；
（2）若，求的周长的最大值．
条件①：；条件②：．
注：如果选择不同的条件分别解答，按照第一种选择的解答计分．
【答案】选择见解析；（1）；（2）12．
【分析】
（1）选定条件分别使用正弦定理和余弦定理求得.
（2）根据（1）的条件利用余弦定理与基本不等式计算出，简单计算即可.
【详解】
解：（1）若选条件①：
，
由正弦定理得：，
则．
即，，
又，．
，
若选条件②：
，
由正弦定理得：
即，，
由余弦定理得：，故，
，．
（2）由余弦定理得：，即，
，
即，当且仅当取等号，
故的周长的最大值为12．
31．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答
在中，角，，的对边分别为，，且______，是的平分线交于点，若，求的最小值.
【答案】9
【分析】
若选①：根据正弦定理得，再由正弦和角公式求得，继而有，分别在和中，运用正弦、余弦定理可得，，整理，再由基本不等式可求得的最小值；
若选②：根据正弦定理得，再由余弦定理得，又，所以，，继而有，分别在和中，运用正弦、余弦定理可得，，整理，再由基本不等式可求得的最小值；
若选③：由三角形的面积公式和向量的数量积运算得，继而有，分别在和中，运用正弦、余弦定理可得，，整理，再由基本不等式可求得的最小值.
【详解】
解：若选①：根据正弦定理由，得，即，
又因为，，所以，
又，所以，
因为是的平分线交于点，，所以，
在中，，所以，，
在中，，所以，所以，
，
所以，整理得，即，
所以，当且仅当，即时取等号，
故的最小值9；
若选②：根据正弦定理由，得，即，所以由余弦定理得，即，又，所以，因为是的平分线交于点，，所以，
在中，，所以，，
在中，，所以，所以，
，
所以，整理得，即，
所以，当且仅当，即时取等号，
故的最小值9；
若选③：由得，即，所以，又，所以，因为是的平分线交于点，，所以，
在中，，所以，，
在中，，所以，所以，
，
所以，整理得，即，
所以，当且仅当，即时取等号，
故的最小值9；
32．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答
在中，角，，的对边分别为，，且______，作，使得四边形满足，，求的最值
【答案】①或②或③，有最大值，无最小值.
【分析】
选①利用正弦定理，可得，进而可得，选②利用正弦定理，可得，进而可得，选③利用三角形面积公式可得；再利用正弦定理及面积公式可得，然后利用辅助角公式及三角函数的性质可求最值.
【详解】
选①，由得，
∴，
又，，
∴又，
∴；
选②，由得，
∴即，
∴又，
∴；
选③，由得又，
∴即，又，
∴；
在△ACD中，，，
∴，
设，则，
，
∴
，
，
∵，
∴，又在△ABC中，，
∴，，
∴，当即时，
∴，
即有最大值，无最小值.
33．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答
在中，角，，的对边分别为，，且______，若，求的取值范围.
【答案】
【分析】
根据题意，选择①②③求得，利用正弦定理求得外接圆的直径，进而化简，其中，，且，结合余弦函数的性质，即可求解.
【详解】
若选①：由，根据正弦定理可得，
即，
即，
可得，因为，所以;
选②：由，根据正弦定理可得，
可得，即，
又由余弦定理，可得，
因为，所以;
若选③：由，可得，
即，可得，
因为，所以;
又由，可得外接圆的直径为，
所以
，
其中，，且，
因为，可得，
根据余弦函数的性质，当时，，
当时，，
所以的取值范围为.
34．在中，内角，，的对边分别为，，，且，.
（1）求的大小；
（2）若，求的面积；
（3）求的最大值.
【答案】（1）；（2）；（3）最大值为.
【分析】
（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式进行求解即可；
（2）根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可；
（3）根据余弦定理，结合基本不等式、函数的单调性进行求解即可.
【详解】
（1）因为，又，
所以，
所以，
所以，
因为，，所以，可得.
（2）因为，所以，所以，
所以的面积为.
（3）由，得，
因为，所以，所以（当且仅当时取等号）.
设，则，所以，
设，
则在区间上单调递增，所以的最大值为，
所以，的最大值为.
35．如图，在四边形中，，，.
（1）若，求的面积；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由余弦定理求出BC，由此能求出△ABC的面积．
（2）设∠BAC＝θ，AC=x，由正弦定理得从而，在中，由正弦定理得，建立关于θ的方程，由此利用正弦定理能求出sin∠CAD．再利用余弦定理可得结果.
【详解】
（1）因为，，，
所以，即，
所以.
所以.
（2）设，，则，
在中，由正弦定理得：，
所以；
在中，，所以.
即，化简得：，
所以，
所以，，
所以在中，.
即，解得或（舍）.
36．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答
在中，角，，的对边分别为，，且______，求的取值范围.
【答案】
【分析】
选①，利用正弦定理边化角，得出角，再结合基本不等式即可求出取值范围；
选②，利用正弦定理角化边，得出角，再结合基本不等式即可求出取值范围；
选③，将三角形面积公式和数量积公式代入化简得出角，再结合基本不等式即可求出取值范围.
【详解】
选①，由正弦定理得
即
整理得
即
即（当且仅当时取等号）
又
即的取值范围为；
选②，，由正弦定理得
，即
即（当且仅当时取等号）
，即
又
即的取值范围为；
选③，
由，
即（当且仅当时取等号）
，即
又
即的取值范围为.
37．在中，、、分别为内角、、的对边，且．
（1）求的大小；
（2）若，试判断的形状；
（3）若，求周长的最大值．
【答案】（1）；（2）为等腰钝角三角形；（3）.
【分析】
（1）根据正弦定理结合余弦公式求出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角恒等变换化简得出，结合角的取值范围可求得角的值，由此可得出结论；
（3）利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，即可得出周长的最大值．
【详解】
（1）因为，
根据正弦定理得，所以，，
由余弦定理可得，
又，所以，；
（2）由（1）知，又得，
即，
因为，则，所以，，所以，，，
则为等腰钝角三角形；
（3）由，及 余弦定理知
，
则，知，当且仅当时，等号成立，
所以，，因此，周长的最大值为.
38．如图，在四边形中，，且，，.
（1）求的长；
（2）求四边形面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由二倍角公式得，进而在中，利用余弦定理求解即可；
（2）设四边形面积为，则，进而根据三角形面积公式，并结合余弦定理和基本不等式求解即可.
【详解】
解：（1）∵，，
∴，
∵在中，，，，
∵，
∴；
（2）设四边形面积为，则，
∵，
所以，
在中，，，由余弦定理可得：，
又则，
，当且仅当时，等号成立，
，
∴ .
39．现给出三个条件：①a sin ＝b sin A，②a cos C＋c cos A＝2b cos B，③2c－a＝2b cos A.从中选出一个补充在下面的问题中，并解答问题．
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________．
（1）求角B的大小；
（2）若b＝2，求△ABC周长的取值范围．
【答案】（1）条件选择见解析，；（2）(4，6].
【分析】
（1）选①：利用正弦定理边化角，同时结合三角形内的隐含条件及变名的诱导公式即可求出sin＝，从而求出Β＝；
选②：利用余弦定理角化边，同时结合三角形内的隐含条件即可求出；
选③：利用正弦定理边化角，同时结合三角形内的隐含条件及和差公式即可求出，从而求出Β＝；
（2）利用余弦定理求出，再根据基本不等式即可求出，同时结合三角形内边之间的关系可得到2＜a＋c≤4，从而求出△ABC周长的取值范围．
【详解】
（1） 若选①，由正弦定理与三角形内角和定理可得sin A·sin＝sin B sin A，
因为，所以，
所以cos ＝2sincos，所以sin＝，
又因为0＜＜，所以＝，即Β＝.
若选②，由余弦定理得a·＋c·＝2b cos B，
即＋＝2b cos B，所以，
即，又0＜B＜π，所以B＝.
若选③，由正弦定理，得2sin C－sin A＝2sin B cos A，
因为，所以，
所以，
即2sin A cos B＋2cos A sin B－sin A＝2sin B cos A，所以，
因为，所以，
所以，又0＜B＜π，所以B＝.
（2）由(1)可得B＝，若b＝2，
则由余弦定理得，
所以，即，
所以，当且仅当时等号成立，
又a＋c＞b＝2，所以2＜a＋c≤4，即4＜a＋b＋c≤6，所以△ABC周长的取值范围为(4，6].
40．目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站AB，已知基站高，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°．
（1）求出山高BE（结果保留整数）；
（2）如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离，且记在M处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为.试问当多大时，观测基站的视角最大?参考数据：，，，．
【答案】（1）m；（2）m.
【分析】
（1）在中，由正弦定理求出，即可求出，进而求出；
（2）根据题意得出，列出关于的式子，利用基本不等式可求出.
【详解】
解：（1）由题知，
在中，由正弦定理得，即，
所以，
在中，，即，所以，
所以山高m.
（2）由题知，，则在中，，
在中，，由题知，
则 ，
当且仅当即m时，取得最大值，即视角最大.
(高级)1-20题
1.中，D是BC上的点，AD平分，面积是面积的2倍．
（1）求的值；
（2）从①，②，③这三个条件中选择两个条件作为已知，求BD和AC的长．
【答案】
（1）
（2）选①②: BD=，AC=1；选②③: BD=，AC=1；选①③：BD=，AC=1或BD=，AC=．
【分析】
（1）过A作于E，由已知及面积公式可得，由AD平分及正弦定理可得，，从而得解．
（2）若选①②，由（1）可求，过D作于M，作于N，由AD平分，可求，令，则，利用余弦定理即可解得BD和AC的长；
若选②③，由（1）知BD的值，在中，由正弦定理可得，由余弦定理可得，解得b的值，即可得解；
若选①③，由正弦定理可得，由余弦定理可得，又，整理可得，可得，解得x的值，进而可求b的值，即可得解．
（1）
如图，过A作于E，
∵，∴，∵AD平分，∴，
在中，，∴，
在中，，∴；
∴．
（2）
若选①，②，由（1）知，，
过D作于M，作于N，∵AD平分，∴，
∴，∴，令，则，
∵，∴，
∴由余弦定理可得：，∴，∴，
∴BD的长为，AC的长为1．
若选②，③，由（1）知，，
因为，所以在中，由正弦定理可得，即，
由余弦定理，整理可得，解得，（负值舍去）
∴BD的长为，AC的长为1．
若选①，③，
因为，所以在中，由正弦定理可得，即，
因为，可得，设，，
所以由余弦定理可得：，整理可得，①
又，整理可得，②
由①②可得，解得，或，解得或，
由①可得，可得BD的长为，AC的长为1．或，可得BD的长为，AC的长为．
2．已知函数（）图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）求的单调递增区间以及图象的对称中心坐标；
（2）是否存在锐角，，使，同时成立？若存在，求出角，的值；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）递增区间为（）；对称中心的坐标为（）
（2）存在；，
【分析】
（1）根据三角恒等变换化简解析式，再根据正弦型函数图象性质求解即可；
（2）由诱导公式可得，又，代入化简可得，。
（1）
解：
，
由图象的相邻两条对称轴之间的距离为，得的最小正周期，解得．
所以，
由（），得（），
所以的递增区间为（），
由（），得（）；
所以图象的对称中心的坐标为（）．
（2）
解：存在．
因为，，
所以，
所以．
又，，所以，
即，即，
即，即，
所以，由为锐角，得，所以，，从而．
故存在，符合题意．
3．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
（1）求的解析式与单调递减区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.
【答案】
（1），递减区间为，
（2）
【分析】
（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；
（2）利用图象变换法则求得g(x)的函数表达式，解方程求得g(x)的值，利用换元思想，结合三角函数的图象和性质分析求得.
（1）
由题意，
图象的相邻两对称轴间的距离为，
的最小正周期为，即可得，
又为奇函数，则，，
又，，故，
令，得
函数的递减区间为，
（2）
将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
又，则或，
即或.
令，当时，，
画出的图象如图所示：
有两个根,关于对称，即,
有,
在上有两个不同的根，,；
又的根为，
所以方程在内所有根的和为.
4．已知函数.
（1）当时，函数的图象关于直线对称，求在上的单调递增区间；
（2）若的图像向右平移个单位得到的函数在上仅有一个零点，求ω的取值范围．
【答案】
（1）和
（2）
【分析】
（1）化简函数，得到，结合三角函数的性质，求得，得到，得出，进而求得的单调增区间.
（2）令，求得，根据在上仅有一个零点，列出不等式组，即可求解.
（1）
解：因为，
所以
，
由的图象关于直线对称，可得，
所以解得，
又因为，所以当时，.
所以，令，
解得，
又由，所以，或，
即在上的单调递增区间为和.
（2）
解：由已知得，令得，
即，因为在上仅有一个零点，
所以，
由于，所以得，
解得因为，所以，所以.
5．在平面四边形中，，，，
（1）求的长；
（2）求的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）在三角形ABD中，利用余弦定理求出的长；
（2）先推出A、B、C、D四点共圆，然后求出，问题归结为求的最大值.，显然当为外接圆的直径时最大，再用正弦定理求出外接圆直径即可.
【详解】
（1）∵在中，，，
∴利用余弦定理得：
∵
∴
（2）∵，
∴
∴A、B、C、D四点共圆
如图所示：
在AC上取点E，使得∠CBE=∠DBA，
又∵∠BCE=∠BDA
∴
∴ ，即①
同理可得：
∴，即②
①+②得：
由（1）可知，
∴
∴求的最大值即求的最大值.
当AC为圆的直径时，最大
由正弦定理得：
∴最大值为，此时
的最大值为
6．在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.
在中，角，，的对边分别为，，且______，作，使得四边形满足，， 求的取值范围.
【答案】.
【分析】
根据题意，选择①②③求得，设，则，在中，由正弦定理求得，在中，由正弦定理求得可得，结合和三角函数的性质，即可求解.
【详解】
若选①：由，根据正弦定理可得，
即，
即，
可得，因为，所以，
设，则，
在中，由正弦定理得，
可得，
在中，由正弦定理得，
可得
，
因为，可得，
当时，即，可得，
当时，即，可得，
所以的取值范围是.
选②：由，根据正弦定理可得，
可得，即，
又由余弦定理，可得，
因为，所以，
设，则，
在中，由正弦定理得，
可得，
在中，由正弦定理得，
可得
，
因为，可得，
当时，即，可得，
当时，即，可得，
所以的取值范围是.
若选③：由，可得，
即，可得，
因为，所以，
设，则，
在中，由正弦定理得，
可得，
在中，由正弦定理得，
可得
，
因为，可得，
当时，即，可得，
当时，即，可得，
所以的取值范围是.
7．已知是的内角，函数的最大值为．
（1）求的大小；
（2）若，关于的方程在内有两个不同的解，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）利用两角和差、二倍角和辅助角公式化简得到，结合最大值可求得，由此可得；
（2）根据的范围可求得的范围，将问题转化为在内有两个不同的解，设，，利用导数可得的大致图象，采用数形结合的方式，分别在不同的取值范围情况下，结合的范围得到对应的解的个数，由此可求得结果.
【详解】
（1）
的最大值为，，解得：，
，；
（2）由（1）得：，，
，，；
当，即时，方程无解，，
在内有两个不同的解，
令，则，，
设，则，
当时，；当时，；
在，上单调递增，在，上单调递减；
又，，，，
的大致图象如下图所示，
设对应的根分别为，
当时，，，则对应的，对应的，满足题意；
当时，，此时，即，方程有唯一解，不合题意；
当时，，此时，即，方程有唯一解，不合题意；
当时，，，则对应的，对应的，，方程有三个不同的解，不合题意；
当时，或，此时，符合题意；
综上所述：的取值范围为.
8．如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径的长为，C，D两点在半圆弧上，且，设；
（1）当时，求四边形的面积.
（2）若要在景区内铺设一条由线段，，和组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值.
【答案】（1）；（2）5
【分析】
（1）把四边形分解为三个等腰三角形：，利用三角形的面积公式即得解；
（2）利用表示（1）中三个等腰三角形的顶角，利用正弦定理分别表示，和，令，转化为二次函数的最值问题，即得解.
【详解】
（1）连结，则
四边形的面积为
（2）由题意，在中，，由正弦定理
同理在中，，由正弦定理
令
时，即，的最大值为5
9．某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，为地面，，为路灯灯杆，，，在处安装路灯，且路灯的照明张角，已知m，m．
（1）当，重合时，求路灯在路面的照明宽度；
（2）求此路灯在路面上的照明宽度的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先由余弦定理求出ME，再求出，进而求出，最后根据正弦定理求出答案；
（2）先用等面积法求出间的关系，进而运用余弦定理结合基本不等式建立之间的不等式，两者结合即可得到答案 .
【详解】
（1）当，重合时，
由余弦定理知，
所以，
因为，所以
因为，所以，
因为，所以，
∴在中，由正弦定理可知，，解得m.
（2）易知到地面的距离，
所以，所以
又由余弦定理可知，，
当且仅当时“=”成立.
所以，解得m．
答：（1）路灯在路面的照明宽度为；（2）照明宽度的最小值为．
10．已知向量．令函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的角平分线交于D．其中，函数恰好为函数的最大值，且此时，求的最小值．
【答案】（1）的最小正周期为，单调递增区间为；（2）
【分析】
（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简可得，即可求出最小正周期，令可解出单调递增区间；
（2）可得，解得，再根据正弦定理解得，进而表示出，利用基本不等式可求解.
【详解】
（1），
，
则的最小正周期为，
令，解得，
故的单调递增区间为；
（2）由恰好为函数的最大值可得，
即，，则可解得，则，
在中，由，可得，
在中，由，可得，
，
在中，，
则可得，，
则，
，
，
当且仅当等号成立，故的最小值为.
11．如图，在四边形中，，，.
（1）求；
（2）若，求周长的最大值.
【答案】（1）；（2）12
【分析】
（1）在中，利用正弦定理可求得结果；
（2）在中，由余弦定理可求得，在中，，设，由余弦定理得，即，利用基本不等式求得，进而求出周长的最大值.
【详解】
（1）在中，，
利用正弦定理得：，
又为钝角，为锐角，
（2）在中，由余弦定理得
解得：或（舍去）
在中，，设
由余弦定理得，即
整理得：，又
利用基本不等式得：，即，
即，当且仅当时，等号成立，即，
所以
所以周长的最大值为12
12．已知函数.
（1）当时，求的值域；
（2）是否同时存在实数和正整数，使得函数在上恰有2021个零点？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】
（1）利用三角恒等变换得出，根据正弦型函数的值域求解；
（2）由题意可知，函数与直线在上恰有个交点，然后对实数的取值进行分类讨论，考查实数在不同取值下两个函数的交点个数，由此可得出结论.
【详解】
（1）
，
当时，，
∴，则.
（2）假设同时存在实数和正整数满足条件，函数在上恰有2021个零点，即函数与直线在上恰有2021个交点.
当时，，作出函数在区间上的图象如下图所示：
①当或时，函数与直线在上无交点，
②当或时，函数与直线在上有一个交点，
此时要使函数与直线在上恰有2021个交点，
则；
③当或时，函数与直线在上有两个交点，
此时函数与直线在上有偶数个交点，不符合题意；
④当时，函数与直线在上有三个交点，
此时要使函数与直线在上恰有2021个交点，则；
综上所述，存在实数和满足题设条件：
时，；
时，；
时，.
13．如图，在半径为，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y.
（1）按下列要求写出函数的关系式：
①设PN＝x，将y表示成x的函数关系式；
②设∠POB＝θ，将y表示成θ的函数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y的最大值.
【答案】（1）①.②；（2）选择②时，函数取得最大值.
【分析】
（1）①根据PN＝QM=x，结合半径为，圆心角为60°，分别求得，，进而得到MN求解；②根据∠POB＝θ，结合半径为，圆心角为60°，求得，再由，进而得到MN求解.
（2）选择②利用二倍角公式和辅助角公式，将函数转化，利用直线函数的性质求解.
【详解】
（1）①因为PN＝QM=x，
所以，
而，
所以，
所以.
因为点P在扇形的弧上，
所以，
所以
②因为∠POB＝θ，
所以，
而，
所以，
所以.
因为点P在扇形的弧上，
所以，
所以.
（2）选择②，
，
，
因为，
所以，
当时，函数取得最大值.
14．如图，在梯形中，，，，．
(1)若，求梯形的面积；
(2)若，求．
【答案】(1)；(2)．
【分析】
(1)中，利用含的余弦定理表达式建立BC的方程，求出BC而得面积，再利用面积关系求的面积得解；
(2)由题设中角的信息用表示出与中的相关角，再在这两个三角形中利用正弦定理建立两个方程，联立整理得的方程，解之即得.
【详解】
(1)设，在中，由余弦定理得：
，即，而x>0，解得，
所以，则的面积，
梯形中，，与等高，且，
所以的面积，
则梯形的面积；
(2)在梯形中，设，而，
则，，，，
在中，由正弦定理得：，
在中，由正弦定理得：，
两式相除得：，
整理得，
即
解得或，
因为，则，即．
15．已知a，b，c是的内角A，B，C的对边，且的面积.
（1）记，，若.
（i）求角C，
（ii）求的值；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）；或.（2）
【分析】
（1）（i）由，利用向量共线的坐标运算可得，再利用正弦定理边化角得，借助 ，即可求得角C
（ii）由，得，由余弦定理得： ，两边同除以可得，，解方程即可求解.
（2）由，得，由余弦定理得： ，两边同除以可得，，分离取值范围已知的量：
由，则，即，解不等式即可得到答案.
【详解】
（1）（i），，，
，即
利用正弦定理得：，
即，化简得
又，，
又，
（ii）由，得，即，化简得
由余弦定理得：，
即，两边同除以可得，
令，得，解得
所以的值为或
（2）由，得，即
由余弦定理得：，
即，两边同除以可得，
令，得， 即
由，则，即，
解不等式得：
所以的取值范围为：
16．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（三条边，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口是的中点，分别落在线段上，已知米，米，记.
(1)试将污水净化管道的总长度（即的周长）表示为的函数，并求出定义域；
(2)问取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.
【答案】（1），； （2）或时，L取得最大值为米．.
【分析】
（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由 L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明θ的范围．
（2）设sinθ+cosθ=t，根据函数 L= 在[，]上是单调减函数，可求得L的最大值．
所以当时，即 或 时，L取得最大值为米．
【详解】
由题意可得，，，由于 ，，
所以，，
，
即，
设，则，由于，
由于在上是单调减函数，
当时，即或时，L取得最大值为米．
17．某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖．如图，该弓形所在的圆是以为直径的圆，且米，景观湖边界与平行且它们间的距离为米．开发商计划从点出发建一座景观桥（假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行），桥面在湖面上的部分记作．设．
（1）用表示线段并确定的范围；
（2）为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将的长度设计到最长，求的最大值．
【答案】（1），；（2）米.
【分析】
(1) 过点作于点再在中利用正弦定理求解,再根据求解,进而求得.再根据确定的范围即可.
(2)根据(1)有,再设,求导分析函数的单调性与最值即可.
【详解】
解：
过点作于点
则,
在中,,
,
由正弦定理得：,
,
,
,
,因为,
化简得
,
令,,且,
因为,故
令
即,
记,
当时,单调递增；
当时,单调递减,
又,
当时,取最大值,
此时,
的最大值为米．
18．随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼，“日行一万步，健康一辈子”.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，为某市的一条健康步道，，为线段，是以为直径的半圆，，，.
（1）求的长度；
（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新增健康步道（，在两侧），，为线段.若，到健康步道的最短距离为，求到直线距离的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用余弦定理求出半径，利用圆的周长公式可得结果；
（2）先求出点的大致轨迹，再结合正弦定理、圆的几何性质求最点到直线距离的最值即可求解．
【详解】
（1）在 中，由余弦定理可得，
，
．
（2） 的轨迹为 外接圆的一部分，设 外接圆的半径为，
由正弦定理，且满足，
由（1）得：，所以为直角，
过作于，设所求距离为，
①当通过圆心时， 达到最大，由几何关系得，四边形为矩形，
所以，此时满足，
②当无限接近时，此时，
综上：所求 到直线 距离 的取值范围为．
19．已知函数（）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且为等腰直角三角形.
（1）求的值及函数的值域；
（2）若，且，求的值；
（3）已知函数的图象是由的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，然后再向左平移1个单位长度得到的，若存在，使成立，求a的取值范围.
【答案】（1），；（2）；（3）.
【分析】
（1）先将原式整理，得到，得出值域，求出点纵坐标为，推出周期，进而可求出；
（2）先由题中条件，和（1）的结果，得到，求出，再由两角和的正弦公式，即可求出结果；
（3）先根据函数平移，得到，根据正弦函数的性质，求出时，，令，将问题转为存在使成立，根据二次函数的性质，即可得出结果.
【详解】
（1）因为
，即的值域为；
所以点纵坐标为，
又为等腰直角三角形，所以，因此最小正周期为；
所以；
（2）由（1）知，
因为，所以，
又，所以，
因此，
所以
；
（3）由题意，可得，
若，则，所以，
令，则可化为，
即，
因为函数是开口向上，对称轴为的二次函数，
所以时，函数单调递减；时，函数单调递增，
所以，
又当时，；当时，，
所以；
因为存在，使成立，
所以存在使成立，
因此只需.
20．已知△ABC中，函数的最大值为.
（1）求∠A的大小；
（2）若，方程在内有两个不同的解，求实数m取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用诱导公式、两角差的正弦和二倍角正弦余弦公式化简，最后利用余弦函数的性质可得，结合最大值可求.
（2）令，，画出该函数的图象，考虑方程在上的解的情况，结合前者进一步加强解的范围，利用根分布可求实数的取值范围.
【详解】
（1）
，
故，故.
因为，故.
（2）
故，令，，
则的图象如图所示：
又，考虑在上的解.
若，则或
当时，方程的解为，此时有两解或，
故方程在内有两个不同的解，符合.
当时，方程的解为，此时仅有一解，
故方程在内有一个解，舍.
若，则或，
此时在有两个不同的实数根（），
当时，则，
要使得方程在内有两个不同的解，
则.
令，则，解得.
当时，则且，故，，
要使得方程在内有两个不同的解，
则，，故，此时，符合.
综上，的取值范围为：.
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