九年级数学 培优竞赛新方法-第3讲 充满活力的韦达定理 讲义学案

第三讲   充满活力的韦达定理

知识纵横

    一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的．

    韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：

    运用韦达定理，求方程中参数的值；

    运用韦达定理，求代数式的值；

    利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；

    利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等．

    韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．

韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．

例题求解

【例1】(1)已知是方程的两个实数根，且，那么实数m的取值范围是_________

（河南省中考题）

(2) 已知、是方程的两个实数根，则代数式的值为       ．

（绍兴市竞赛题）                                    

思路点拨 对于（1），运用根与系数关系建立m的不等式，但要注意判别式的制约；对于（2） 所求代数式为、的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为基本对称式解。

【例2】如果方程 的三根可以作为一个三角形的三边线之长，那么，实数m的取值范围是(    )

A．    B．   C． D．

（全国初中数学联赛题）

思路点拨  设方程的根分别为1、，由三角形三边关系定理、韦达定理建立m的不等式组。

【例3】 已知关于的方程：

    (1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根．

(2)若这个方程的两个实根、满足，求m的值及相应的、．

（苏州市中考题）

思路点拨 对于(2)，先判定、的符号特征，并从分类讨论入手．

【例4】 设、是方程的两个实数根，当m为何值时，有最小值?并求出这个最小值．

（第16届江苏省竞赛题）

思路点拨 利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的．

注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性．

根的分布

【例5】为实数，ac<0,且证明一元二次方程

  有大于而小于 1 的根。

（全国初中数学联赛题）

学历训练

基础务实

 1．方程的两个实数根分别为            ．

                                                  （烟台市中考题）

2．已知关于x的方程有两个实数根，且    ．

                                               （淮安市中考题）

3.设、是方程 的两个根，且 则

                          （南通市中考题）                                 

4．关于x的一元二次方程的 两个实数根分别是的值是 （     ）

A.1              B.12     C.13    D.25

                                     (包头市中考题)

5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于的方程的两根，那么AB边上的中线长是(    )

A．             B．                   C．5                D．2

6．若关于x的方程有两个实数根，则实数m的取值范围是（   ）

A．       B．              C．          D．

             （天津市中考题）

7．已知关于的一元二次方程有两个实数根 。

（1）求实数m的取值范围。

（2）当时，求m的值。

              （毕节市中考题）            

8．已知关于的方程有两个实数根．

(1)  求p的取值范围；

 (2)若，求的值．

                 （孝感市中考题）

能力拓展

9．已知方程的两根均为正整数，且，那么这个方程两根为     ．

                                                  （“祖冲之杯”邀请赛）

10．已知整数p,q满足且关于x的一元二次方程的两个根均为正整数，则p=          ．

              (“新知杯”上海市竞赛题)

11．△ABC的一边长为5，另两边长恰为方程的两根，则m的取值范围是         ．                                                  （四川省竞赛题）

12．对于一切不小于2的自然数n,关于x的一元二次方程的两根记为

则

             （全国初中数学联赛题）

13．设的两个实数根，则的值为（ ）

A．-29             B．-19            C．-15            D．-9

（第21届江苏省竞赛题）

14．若方程 的一个跟大一1，另一个根小于1，则的值为 (    )

A.不大于1         B.大于1           C.小于1      D.不小于1

         （2011年《数学周报杯》全国初中数学竞赛题）

15．若 ，且有的值为（   ）

A．            B．               C．       D．

         （全国初中数学联赛题）

16．设a，b为整数，并且一元二次方程x2+（2a+b+3）x+（a2+ab+6）=0有等根α，而一元二次方程2ax2+（4a-2b-2）x+（2a-2b-1）=0有等根β；那么，以α，β为根的整系数一元二次方程是（　　）

A．2x2+7x+6=0                        B．2x2+x-6=0

C．x2+4x+4=0                         D．x2+（a+b）x+ab=0

         （2011年江西省竞赛题）

17．设时关于x的一元二次方程的两个实数根，求的最大值。

        （全国初中数学竞赛题）

18．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a-1）x+2a2-1=0的两个实数根，其满足（3x1-x2）（x1-3x2）=-80．求实数a的所有可能值．         

      （2011四川省竞赛题）

综合创新                        

19、已知关于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2=0的两根x1，x2满足x12-x22=0，双曲线y=（x＞0）经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB交于C，求S△OBC．

（荆州市中考题）

20、已知关于x的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值。

（2011年“《数学周报》”杯全国初中数学竞赛题）