2022届江苏省南京市、盐城市高三第二次模拟考试（二模）数学试卷含答案

这是一份2022届江苏省南京市、盐城市高三第二次模拟考试（二模）数学试卷含答案，共12页。试卷主要包含了已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
第 ＝ 1 \* ROMAN I卷（选择题 共60分）
一､单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x2－4x＋3≤0}，则A∪B＝
A．[1，3]B．(2，3]C．[1，＋∞)D．(2，＋∞)
2．若(2＋i)z＝i，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知a，b为单位向量．若|a－2b|＝eq \r(5)，则|a＋2b|＝
A．eq \r(3)B．eq \r(5)C．eq \r(7)D．5
4．利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°~90°之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到．下表为部分锐角的正弦值，则tan1600°的值为(小数点后保留2位有效数字)
A．－0.42B．－0.36C．0.36D．0.42
5．已知圆锥的顶点和底面圆周均在球O的球面上．若该圆锥的底面半径为2eq \r(3)，高为6， 则球O的表面积
为
A．32π B．48π C．64π D．80π
6．泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出．泊松分布的概率分布列为P(X＝k)＝eq \f(λk,k!)e－λ(k＝0，1，2，…)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为λ（λ＞0）的泊松分布．若每周销售1件该商品与每周销售2件该商品的概率相等，则两周共销售2件该商品的概率为
A．eq \f(2,e4)B．eq \f(4,e4)C．eq \f(6,e4)D．eq \f(8,e4)
7．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，过点F与x轴垂直的直线与直线AB交于点P．若线段OP的中点在椭圆C上，则椭圆C的离心率为
A． eq \f(eq \r(7)－1,2) B． eq \f(eq \r(7)－1,3) C．eq \f(eq \r(5)－1,2) D．eq \f(eq \r(5)－1,3)
8．已知实数a，b∈(1，＋∞)，且2(a＋b)＝e2a＋2lnb＋1，e为自然对数的底数，则
A．1＜b＜aB．a＜b＜2aC．2a＜b＜eaD．ea＜b＜e2a
二､多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．我国居民收入与经济同步增长，人民生活水平显著提高．“三农”工作重心从脱贫攻坚转向全面推进乡村振兴，稳步实施乡村建设行动，为实现农村富强目标而努力．2017年~2021年某市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比上年增长率如下图所示．根据下面图表，下列说法一定正确的是
A．该市农村居民年人均可支配收入高于城镇居民
B．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的大
C．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，农村比城镇的大
(第9题图)
D．2021年该市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比2020年有所上升
10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是
A．若O为线段PQ中点，则PF＝2B．若PF＝4，则OP＝2eq \r(5)
C．存在直线l，使得PF⊥QFD．△PFQ面积的最小值为2
11．设函数f(x)＝2sin(ωx＋eq \s\d1(\f(π,3)))，ω＞0，下列说法正确的是
A．当ω＝2时，f(x)的图象关于直线x＝eq \s\d1(\f(π,12))对称
B．当ω＝eq \s\d1(\f(1,2))时，f(x)在[0，eq \s\d1(\f(π,2))]上是增函数
C．若f(x)在[0，π]上的最小值为－2，则ω的取值范围为ω≥eq \f(7,6)
D．若f(x)在[－π，0]上恰有2个零点，则ω的取值范围为ω≥eq \f(4,3)
12．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2．若点E，F，G分别为棱AB，AD，PC的中点，则
A．AG⊥平面PBD
B．直线FG和直线AB所成的角为eq \f(π,4)
C．当点T在平面PBD内，且TA＋TG=2时，点T的轨迹为一个椭圆
D．过点E，F，G的平面与四棱锥P－ABCD表面交线的周长为2eq \r(2)＋eq \r(6)
第 ＝ 2 \* ROMAN II卷(非选择题 共90分)
三､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．实数a，b满足lga＋lgb＝lg(a＋2b)，则ab的最小值为eq \(,______)．
14．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱．某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为eq \(,______)．（用数字作答）
15．已知定义在R上的奇函数f(x)满足 f(1－x) ＋ f(1＋x)＝2，当x∈ [0，1]时，f(x)＝2x－x2．
若f(x) ≥x＋b对一切x∈R恒成立，则实数b的最大值为eq \(,______)．
h
(第16题图)
16．某中学开展劳动实习，学生需测量某零件中圆弧的半径．如图，将三个半径为20cm的小球放在圆弧上，使它们与圆弧都相切，左、右两个小球与中间小球相切．利用“十”字尺测得小球的高度差h为8cm，则圆弧的半径为eq \(,______)cm．
四､解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
在平面四边形ABCD中，已知∠ABC＝eq \f(2π,3)，∠ADC＝eq \f(π,6)，AC平分∠BAD．
（1）若∠BAD＝eq \f(π,3)，AC＝2，求四边形ABCD的面积；
（2）若CD＝2eq \r(3)AB，求tan∠BAC的值．
18．(本小题满分12分)
已知数列{an}，当n∈[2k－1，2k)时，an＝2k， k∈N*．记数列{an}的前n项和为Sn．
（1）求a2，a20；
（2）求使得Sn＜2022成立的正整数n的最大值．
19．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，△PAB是边长为2的等边三角形，PD⊥AB，PD＝eq \r(6)．
（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；
（2）求平面PAB和平面PCD所成锐二面角的大小．
A
C
D
B
P
(第19题图)
20．(本小题满分12分)
最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为p(0＜p＜1)．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次．记X为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为a(a＞0)元．
（1）①写出X的分布列；
②证明：E(X)＜eq \f(1,p)；
（2）某公司意向投资该产品．若p＝0.25，且试验成功则获利5a元，则该公司如何决策投资，并说明理由.
21．(本小题满分12分)
双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0) 经过点(eq \r(3)，1)，且渐近线方程为y＝±x．
（1）求a，b的值；
（2）点A，B，D是双曲线C上不同的三点，且B，D两点关于y轴对称，△ABD的外接圆经过原点O．
求证：直线AB与圆x2＋y2＝1相切．
22．(本小题满分12分)
设函数f(x)＝aex＋sinx－3x－2，e为自然对数的底数，a∈R．
（1）若a≤0，求证：函数f(x)有唯一的零点；
（2）若函数f(x)有唯一的零点，求a的取值范围．
南京市、盐城市2022届高三年级第二次模拟考试
数学参考答案
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．C2．A3．B4．B5．C6．D7．A8．D
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．BCD10．AD11．AC12．ABD
三､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．814．14415．－eq \f(1,4)16．120
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)
解：（1）因为∠BAD＝eq \f(π,3)，AC平分∠BAD，所以∠BAC＝∠CAD＝eq \f(π,6)．
在△ABC中，因为∠ABC＝eq \f(2π,3)，所以∠ACB＝eq \f(π,6)，
又因为AC＝2，由eq \f(AC,sin∠ABC)＝eq \f(AB,sin∠ACB)，得AB＝eq \f(2eq \r(3),3)，2分
所以S△ABC＝eq \f(1,2)AB·ACsin∠BAC＝eq \f(eq \r(3),3)．
在△ACD中，因为∠ADC＝∠CAD＝eq \f(π,6)，所以CA＝CD＝2，
所以S△ACD＝eq \f(1,2)CA·CDsin∠ACD＝eq \r(3)，
所以S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝eq \f(4eq \r(3),3)．4分
（2）因为AC平分∠BAD，所以∠BAC＝∠CAD，
在△ACD中，由∠ADC＝eq \f(π,6)， eq \f(AC,sin∠ADC)＝eq \f(CD,sin∠CAD)，得AC＝eq \f(1,2)·eq \f(CD,sin∠CAD) ． ①
在△ABC中，由∠ABC＝eq \f(2π,3)， eq \f(AC,sin∠ABC)＝eq \f(AB,sin∠ACB)，得AC＝eq \f(\r(3),2)·eq \f(AB,sin∠ACB)． ②6分
由①②得eq \f(CD,sin∠CAD)＝eq \f(eq \r(3)AB,sin∠ACB)．
又因为CD＝2eq \r(3)AB，所以2sin∠ACB＝sin∠CAD．
设∠BAC＝θ，则sinθ＝2sin(eq \f(π,3)－θ)，8分
所以sinθ＝2×(eq \f(\r(3),2)csθ－eq \f(1,2)sinθ)，即2sinθ＝eq \r(3)csθ．
因为θ∈(0，eq \f(π,3))，所以csθ≠0，
所以tanθ＝eq \f(eq \r(3),2)，即tan∠BAC＝eq \f(eq \r(3),2)．10分
18．(本题满分12分)
解：（1）因为2∈[21，22)，所以a2＝22＝4，2分
因为20∈[24，25)，所以a20＝25＝32．4分
（2）an＝2k的项数为2k－2k－1＝2k－1．6分
又因为20＋21＋22＋…＋2k－1＝2k－1，所以数列{an}的前2k－1项和为
Seq \s\d4(2k－1)＝21×20＋22×21＋23×22＋…＋2k×2k－1
＝21＋23＋25＋…＋22k－1
＝eq \s\d1(\f(2,3))(4k－1)．8分
当k＝5时，S31＝eq \s\d1(\f(2,3))(45－1)＝682＜2022，
S51＝S31＋26×20＝682＋1280＝1962＜2022，10分
S52＝S51＋26＝1962＋64＝2026＞2022．
又因为Sn＋1＞Sn，
所以使得Sn＜2022成立的正整数n的最大值为51．12分
E
AA
CC
DD
BB
PP
(第19题图)
19．(本题满分12分)
解：（1）取AB中点E，连接PE，DE．
因为△PAB是边长为2的等边三角形，
所以AB⊥PE，PE＝eq \r(3)，AE＝1．
又因为PD⊥AB，PD∩PE＝P，PD，PE平面PDE，
所以AB⊥平面PDE．2分
因为DE面PDE，所以AB⊥DE．
在Rt△AED中，AD＝2，AE＝1，所以DE＝eq \r(3)．
在△PDE中，PD＝eq \r(6)，DE＝eq \r(3)，PE＝eq \r(3)，所以PE2＋DE2＝PD2，所以DE⊥PE．4分
又因为AB∩PE＝E，AB，PE平面PAB，
所以DE⊥平面PAB．
又因为DE平面ABCD，
所以平面PAB⊥平面ABCD．6分
（2）由（1）知，以{ eq \(EA,\s\up8(→))， eq \(EP,\s\up8(→))， eq \(ED,\s\up8(→))}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系E－xyz，
则E(0，0，0)，D(0，0，eq \r(3))，C(－2，0，eq \r(3))，P(0，eq \r(3)，0)．
则 eq \(DC,\s\up8(→))＝(－2，0，0)， eq \(PD,\s\up8(→))＝(0，－eq \r(3)，eq \r(3))．8分
(第19题图)
y
x
z
P
A
D
E
C
B
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{(\a\al(n· eq \(DC,\s\up8(→))＝0，, n· eq \(PD,\s\up8(→))＝0，))即eq \b\lc\{(\a\al(－2x＝0，,－eq \r(3)y＋eq \r(3)z＝0．))
取x＝0，y＝1，z＝1．
所以n＝(0，1，1)是平面PCD的一个法向量．……………10分
因为DE⊥平面PAB，
所以 eq \(ED,\s\up8(→))＝(0，0，eq \r(3))为平面PAB的一个法向量．
所以cs＜n， eq \(ED,\s\up8(→))＞＝eq \f(n· eq \(ED,\s\up8(→)),│n││ eq \(ED,\s\up8(→))│)＝eq \f(\r(2),2)，
所以平面PAB和平面PCD所成锐二面角的大小为eq \f(π,4)．12分
20．(本题满分12分)
解：（1）①当1≤X≤9时，P(X＝i)＝(1－p)i－1p，i＝1，2，…，9．
当X ＝10时，P(X＝10)＝(1－p)9．
所以P(X＝i)＝eq \b\lc\{(\a\al((1－p)i－1p ，i＝1，2，…，9，,(1－p)9 ，i＝10．))4分
②E(X)＝ eq \(∑,\s\up6(9),\s\d6(i＝1))i(1－p)i－1p＋10(1－p)9＝p eq \(∑,\s\up6(9),\s\d6(i＝1))i(1－p)i－1＋10(1－p)9．
令S＝ eq \(∑,\s\up6(9),\s\d6(i＝1))i(1－p)i－1，则E(X)＝pS＋10(1－p)9．
则S＝1＋2(1－p)＋3(1－p)2＋…＋8(1－p)7＋9(1－p)8，
(1－p)S＝(1－p)＋2(1－p)2＋…＋7(1－p)7＋8(1－p)8＋9(1－p)9，
两式相减，得pS＝1＋(1－p)＋(1－p)2＋…＋(1－p)7＋(1－p)8－9(1－p)96分
＝eq \f(1－(1－p)9,p)－9(1－p)9，
所以E(X)＝eq \f(1－(1－p)9,p)＋(1－p)9＝eq \f(1,p)[1－(1－p)10]．
因为0＜p＜1，所以0＜1－(1－p)10＜1，
所以E(X)＜eq \f(1,p)．9分
（2）当p＝0.25时，由（1）得E(X)＜4， 则a×E(X) ＜4a＜5a，
即试验结束后的平均成本小于试验成功的获利，
所以该公司可以考虑投资该产品．12分
21．(本题满分12分)
解：（1）因为双曲线C渐近线方程为y＝±x，所以eq \f(b,a)＝1．
又因为双曲线C经过点(eq \r(3)，1)，所以eq \f(3,a2)－eq \f(1,b2)＝1．2分
解得a＝b＝eq \r(2)．4分
（2）方法1
当AB斜率不存在时，由双曲线对称性知AD经过原点，此时与题意不符．
设AB方程为y＝kx＋m(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点E(x3，y3)，则D(－x2，y2)．
由eq \b\lc\{(\a\al(y＝kx＋m，, eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1，))消去x，得 (1－k2)x2－2kmx－m2－2＝0，
所以x1＋x2＝eq \f(2km, 1－k2)，x1x2＝－eq \f(m2＋2,1－k2)eq \f(,)，6分
则x3＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(km, 1－k2)，y3＝kx3＋m＝eq \f(m, 1－k2)，则AB的中垂线方程为y－eq \f(m, 1－k2)＝－eq \f(1,k)(x－eq \f(km, 1－k2))，
当x＝0时，y＝eq \f(2m,1－k2)．
因为B，D两点关于y轴对称，则△ABD的外接圆圆心在y轴上，
记圆心为点F，则F(0，eq \f(2m,1－k2))．8分
因为△ABD的外接圆经过原点，则OF＝FA，即|eq \f(2m,1－k2)|＝eq \r(x12＋(y1－eq \f(2m,1－k2))2)．
又因为eq \f(x12,2)－eq \f(y12,2)＝1，所以y12－eq \f(2m,1－k2) y1＋1＝0．
同理，由OF＝FB，得y22－eq \f(2m,1－k2) y2＋1＝0，
所以y1，y2是方程y2－eq \f(2m,1－k2)y＋1＝0的两个根，所以y1y2＝1．10分
则(kx1＋m)(kx2＋m)＝1，即k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝1，所以k2×(－eq \f(m2＋2,1－k2))＋km×eq \f(2km, 1－k2)＋m2＝1，
化简得k2＋1＝m2，
所以原点O到直线AB距离d＝eq \f(|m|,eq \r(k2＋1))＝1，
所以直线AB与圆x2＋y2＝1相切．12分
方法2
设直线AB方程为x＝my＋n，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D(－x2，y2)．
又因为B，D两点关于y轴对称，则△ABD的外接圆的圆心在y轴上，设为P(0，t)，
则PA＝PB，即eq \r(x12＋(y1－t)2)＝eq \r(x22＋(y2－t)2)．
由eq \f(x12,2)－eq \f(y12,2)＝1，eq \f(x22,2)－eq \f(y22,2)＝1，化简得t＝y1＋y2．6分
因为△ABD的外接圆经过原点O，所以PA＝PO＝|t|，即eq \r(x12＋[y1－(y1＋y2)]2)＝|y1＋y2|，
化简得y1y2＝1．8分
联立直线AB及双曲线方程eq \b\lc\{(\a\al(x＝my＋n，,eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1，))消去x，得 (m2－1)y2＋2mny＋n2－2＝0，
所以y1y2＝eq \f(n2－2,m2－1)．10分
又因为y1y2＝1，所以eq \f(n2－2,m2－1)＝1，即m2＋1＝n2，
所以原点O到直线AB距离d＝eq \f(|n|,eq \r(m2＋1))＝1，
所以直线AB与圆x2＋y2＝1相切．12分
22．(本题满分12分)
解：（1）由f(x)＝aex＋sinx－3x－2，得f'(x)＝aex＋csx－3．
因为a≤0，所以f'(x)＝aex＋csx－3≤csx－3＜0，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递减．2分
又因为f(0)＝a－2＜0，f(a－2)＝aea－2＋sin(a－2)－3a＋4＞a(ea－2－3)≥0，
因此f(x)有唯一的零点．4分
（2）由（1）知，a≤0符合题意．
（i）当a＝2时，
由f(x)＝2ex＋sinx－3x－2，得f'(x)＝2ex＋csx－3．
当x＜0时，f'(x)≤2ex－2＜0，所以f(x)单调递减；6分
当x＞0时，f''(x)＝2ex－sinx≥2ex－1＞0，所以f'(x)在(0，＋∞)上单调递增，
从而，当x＞0时，f'(x)＞f'(0)＝0，所以f(x)单调递增，
于是f(x)≥f(0)＝0，当且仅当x＝0时取等号，
故此时f(x)有唯一的零点x＝0．8分
（ii）当a＞2时，f(x)＞2ex＋sinx－3x－2≥0，此时f(x)无零点；9分
（iii）当0＜a＜2时，
首先证明：当x≥0时，ex＞eq \F(x2,2)．
设g(x)＝ex－eq \F(x2,2)，x≥0，
则g'(x)＝ex－x，g''(x)＝ex－1≥0，所以g'(x)在[0，＋∞)上单调递增，
故g'(x)≥g'(0)＝1＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，
因此g(x)≥g(0)＝1＞0，即当x≥0时，ex＞eq \F(x2,2)．10分
当x＞0时，f(x)≥aex－3x－3＞eq \F(a,2)x2－3x－3，
令eq \F(a,2)x2－3x－3＝0，得x＝eq \F(3±eq \R(,9＋6a),a)．
取x0＝eq \F(3＋eq \R(,9＋6a),a)＞0，则f(x0)＞0．
又f(0)＝a－2＜0，f(－1)＝ae－1＋1－sin1＞0，
因此，当0＜a＜2时，f(x)至少有两个零点，不合题意．
综上，a＝2或a≤0．12分
α
10°
20°
30°
40°
50°
60°
70°
80°
sinα
0.1736
0.3420
0.5000
0.6427
0.7660
0.8660
0.9397
0.9848