2020届山东省临沂高三一模数学试卷及答案

这是一份2020届山东省临沂高三一模数学试卷及答案，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020届山东省临沂高三一模数学试卷及答案 一、单选题1．已知集合，，则（       ）A． B． C． D．2．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则的共轭复数为（       ）A． B． C． D．3．若，则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知向量，其中与是相反向量，且，，则（       ）A． B． C．2 D．5．已知，，，则（       ）A． B． C． D．6．已知函数，，当时，取得最大值，则函数的大致图象为（       ）A． B．C． D．7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈，问积为粟几何？”，意思是“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，问它的体积和粟各为多少？”如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知圆周率约为3，一斛粟的体积约为2700立方寸（单位换算：1立方丈立方寸），一斛粟米卖270钱，一两银子1000钱，则主人卖后可得银子（       ）A．200两 B．240两 C．360两 D．400两8．点为抛物线上任意一点，点为圆上任意一点，若函数的图象恒过定点，则的最小值为（       ）A． B． C．3 D．二、多选题9．下列结论正确的是（       ）A．若，则B．若，则C．“，”的否定是“，”D．将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称10．某同学在微信上查询到近十年全国高考报名人数、录取人数和山东夏季高考报名人数的折线图，其中年的录取人数被遮挡了．他又查询到近十年全国高考录取率的散点图，结合图表中的信息判定下列说法正确的是（       ）A．全国高考报名人数逐年增加B．年全国高考录取率最高C．年高考录取人数约万D．年山东高考报名人数在全国的占比最小11．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是（       ）A． B． C． D．12．如图，点为正方形边上异于点，的动点，将沿翻折成，在翻折过程中，下列说法正确的是（       ）A．存在点和某一翻折位置，使得B．存在点和某一翻折位置，使得平面C．存在点和某一翻折位置，使得直线与平面所成的角为45°D．存在点和某一翻折位置，使得二面角的大小为60°三、填空题13．三名旅游爱好者商定，新冠肺炎疫情全面结束后，前往湖北省的武汉、宜昌、黄冈三个城市旅游.如果三人均等可能的前往上述三个城市之一，则他们选择同一个城市的概率是_______.14．若展开式中的各项系数的和为1024，则常数项为__________．15．已知函数，若方程有两个不相等的实根，则实数取值范围是__________．四、双空题16．已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则该双曲线的离心率为__________，__________．五、解答题17．记为数列的前项和，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求满足的正整数的最大值．18．已知函数满足下列4个条件中的3个，4个条件依次是：①，②周期，③过点，④．（1）写出所满足的3个条件的序号（不需要说明理由），并求的解析式；（2）求函数的图象与直线相邻两个交点间的最短距离．19．如图，斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，为的中点，平面，点在上，，为与的交点，且与平面所成的角为．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值．20．动点在椭圆上，过点作轴的垂线，垂足为，点满足，已知点的轨迹是过点的圆．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点（，在轴的同侧），，为椭圆的左、右焦点，若，求四边形面积的最大值．21．2020年新冠肺炎疫情暴发以来，中国政府迅速采取最全面、最严格、最彻底的防控举措，坚决遏制疫情蔓延势头，努力把疫情影响降到最低，为全世界抗击新冠肺炎疫情做出了贡献．为普及防治新冠肺炎的相关知识，某高中学校开展了线上新冠肺炎防控知识竞答活动，现从大批参与者中随机抽取200名幸运者，他们的得分（满分100分）数据统计结果如图：（1）若此次知识竞答得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为这200名幸运者得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值代替），求，的值（，的值四舍五入取整数），并计算；（2）在（1）的条件下，为感谢大家积极参与这次活动，对参与此次知识竞答的幸运者制定如下奖励方案：得分低于的获得1次抽奖机会，得分不低于的获得2次抽奖机会．假定每次抽奖中，抽到18元红包的概率为，抽到36元红包的概率为．已知高三某同学是这次活动中的幸运者，记为该同学在抽奖中获得红包的总金额，求的分布列和数学期望，并估算举办此次活动所需要抽奖红包的总金额．参考数据：；；．22．已知函数，，.（1）设，求在上的最大值；（2）设，若的极大值恒小于0，求证：.
参考答案：1．A【解析】计算，，再计算交集得到答案.【详解】，，故.故选：.【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.2．B【解析】根据题意，，，再计算共轭复数得到答案.【详解】复数，在复平面内对应的点分别为，，故，，，故.故选：.【点睛】本题考查了复数的除法，共轭复数，复数对应的点，意在考查学生对于复数知识的综合应用.3．B【解析】依次判断充分性和必要性，取得到不充分，得到答案.【详解】当时，取，则，故不充分；当时，根据幂函数的单调性得到，故，必要性成立.故选：.【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.4．D【解析】设，则，计算得到，，再计算数量积得到答案.【详解】设，则，，故，，故，，.故选：.【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力和转化能力.5．B【解析】计算得到，，，得到答案.【详解】，，又，所以，，故.故选：.【点睛】本题考查了根据对数函数和指数函数的单调性比较函数值大小，意在考查学生的计算能力和应用能力.6．C【解析】【分析】根据二次函数的函数性质求得；再根据指数型函数的图象变换即可判断和选择.【详解】因为，，在单调递减，在单调递增，故可得在时，取得最大值.故，，又图象可以由的图象经过关于轴的翻折变换，再向左平移1个单位得到.故满足的函数图象是选项.故选：【点睛】本题考查指数型函数图象的选择，涉及二次函数在区间上的最值求解，属综合基础题.7．D【解析】计算底面半径为，，换算单位得到答案.【详解】底面半径为，立方丈立方寸斛，故两.故选：.【点睛】本题考查了圆锥的体积的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.8．A【解析】计算，则，计算得到答案.【详解】函数的图象恒过定点，故.，即，焦点为，准线为，，即.，当共线时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了对数函数过定点问题，抛物线的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.9．BC【解析】根据齐次式计算，错误，，正确，特称命题的否定是全称命题，正确，平移后得到偶函数，错误，得到答案.【详解】，则，故错误；，则，正确；根据特称命题的否定是全称命题：“，”的否定是“，”，故正确；将函数的图象向左平移个单位长度，得到为偶函数，故错误.故选：.【点睛】本题考查了齐次式求值，函数取值范围，命题的否定，函数平移和奇偶性，意在考查学生的综合应用能力.10．BCD【解析】根据图表2016年的人数少于2015年人数，故错误，2018年的录取率为，为最高，正确，2019年高考录取人数为，故正确，计算占比得到正确，得到答案.【详解】2016年的人数少于2015年人数，故错误；2018年的录取率为，为最高，正确；2019年高考录取人数为，故正确；从2010—2019年山东高考报名人数在全国的占比分别为：，故正确.故选：.【点睛】本题考查了折线图和散点图，意在考查学生的计算能力和应用能力.11．AD【解析】根据正弦定理得到，，根据余弦定理得到，，得到答案.【详解】，故，根据正弦定理：，即，，故，，.，化简得到，解得或，若，故，故，不满足，故..故选：.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和应用能力.12．ACD【解析】依次判断每个选项：当时，，正确，平面，则，这与已知矛盾，故错误，取二面角的平面角为，取，计算得到，正确，取二面角的平面角为，计算得到，故正确，得到答案.【详解】当时，，，故平面，故，正确；若平面，因平面，平面平面，则，这与已知矛盾，故错误；如图所示：交于，交于，在平面的投影在上，连接，故为直线与平面所成的角，取二面角的平面角为，取，，故，，，，故只需满足，在中，根据余弦定理：，解得，故正确；过作交于，则为二面角的平面角，取二面角的平面角为，故只需满足，设，，则，，化简得到，解得，验证满足，故正确；故选：.【点睛】本题考查了线线垂直，线面平行，线面夹角，二面角，意在考查学生的计算能力，推断能力和空间想象能力.13．【解析】根据三人均等可能的前往三个城市之一，可得共有种选择情况，他们选择同一城市有种情况，即可求得答案.【详解】三人均等可能的前往三个城市之一共有种选择情况，他们选择同一城市有种情况，概率为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了求事件概率问题，解题关键是掌握概率计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.14．405【解析】根据系数和得到，再根据二项式定理计算得到答案.【详解】展开式中的各项系数的和为，故，故的展开式的通项为：，取得到常数项为.故答案为：.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.15．，或【解析】分段求导得到函数单调区间，画出函数图像，，即，根据图像得到答案.【详解】当时，，故，故函数在上单调递增，在上单调递减，，；当时，，故，故函数在上单调递减，在上单调递增，，画出函数图像，如图所示：，即，根据图像知：或，解得或.故答案为：，或.【点睛】本题考查了函数的零点问题，求出单调区间得到函数图像是解题的关键.16．          【解析】根据渐近线得到，得到离心率，不妨取，计算得到答案.【详解】一条渐近线方程为，故，，故.，不妨取，故.故答案为：；.【点睛】本题考查了双曲线渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.17．（1）；（2）8．【解析】（1）根据公式得到得到通项公式.（2），故，解得答案.【详解】（1）当，，，又，．当时，，①，②①—②整理得，，，．（2）因为，所以，所以，故，令，解得，所以的最大值为8．【点睛】本题考查了数列的通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.18．（1）②③④；；（2）．【解析】（1）所满足的三个条件是：②③④，计算得到，，，解得，，得到解析式.（2）根据题意，故，或，，得到答案.【详解】（1）所满足的三个条件是：②③④，的周期，，，又过点，且，，，，，，，又，，又，，，．（2）由，得，，或，，，或，，所以函数的图象与直线相邻两个交点间的最短距离为．【点睛】本题考查了三角函数解析式，图像中的最短距离，意在考查学生的计算能力和应用能力.19．（1）详见解析；（2）．【解析】（1）连结，证明相似得到，得到证明.（2）以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，平面的法向量为，平面的法向量为，计算夹角得到答案.【详解】（1）连结，为的中点，，，又，，．又平面，平面，所以平面．（2）因为是边长为2的正三角形，为的中点，平面，所以，，，两两垂直，以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．与平面所成的角为，又∥，与平面所成的角为，又平面，与平面所成的角为，即．又是边长为2的正三角形，为的中点，，由题意知，，，，所以，，，，设平面的法向量为，所以，，即，取，设平面的法向量为，由，得，取，所以，设二面角的大小为，．所以二面角的正弦值为．【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20．（1）；（2）3．【解析】（1）设点，，得到，点的轨迹是过的圆，故，得到椭圆方程.（2）如图，延长交于点，由对称性可知：，设，，直线的方程为，联立方程得到，，计算，利用均值不等式得到答案.【详解】（1）设点，，则点，，，，，，点在椭圆上，，即为点的轨迹方程．又点的轨迹是过的圆，，解得，所以椭圆的方程为．（2）如图，延长交于点，由对称性可知：，由（1）可知，，设，，直线的方程为，由可得，，，，，设与的距离为，则四边形面积，而，，当且仅当，即时，取等号．故四边形面积的最大值为3．【点睛】本题考查了椭圆方程，四边形面积的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.21．（1），；；（2）分布列详见解析，数学期望为36；总金额为7200元．【解析】（1）计算，，故服从正态分布，计算得到答案.（2）的取值为18，36，54，72，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.【详解】（1），．即．．由，则，而，故，则服从正态分布，．（2）的取值为18，36，54，72．由题意知，，，，，，所以的分布列为18365472 ，估算所需要抽奖红包的总金额为：（元）．【点睛】本题考查了正态分布，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.22．（1）最大值（2）证明见解析【解析】对函数求导得，得到的单调区间，分类讨论即可得最大值．，的极大值恒小于0可得，从而得到的最大值，构造函数即可证明．【详解】由已知，，当时，，当时，，从而的单调递增区间是，单调递减区间是，从而，，于是当时，，所以当时，，所以；综上所得．依题意，则，因为存在极大值，则关于x的方程有两个不等的正根，不妨，则，则，且，设列设表如下：x0000单调递增极大值单调递减极小值单调递增 从而，，又，从而对恒成立，设，，则，所以在上递增，从而，所以，，设，则，又，若，若，从而，即．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值与最值，利用导数研究存在或恒成立问题，利用导数证明不等式，属于难题．