专题04 基本不等式-2021-2022学年高一数学上学期高频考点专题突破（人教A版2019必修第一册）学案

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\l "_Tc17734944" 考点1：常规基本不等式问题 PAGEREF _Tc17734944 \h 2
\l "_Tc17734945" 考点2：基本不等式易错点3
\l "_Tc17734946" 考点3：基本不等式常见变形 PAGEREF _Tc17734946 \h 5
\l "_Tc17734947" 课后作业：9
专题04 基本不等式
基本不等式
1．均值定理：如果，（表示正实数），那么，当且仅当时，有等号成立．
此结论又称均值不等式或基本不等式．
2．均值不等式推广：，其中需要前提条件．
叫做，的算术平均值，叫做，的几何平均值，叫做平方平均值．
3．可以认为基本元素为，，；其中任意一个为定值，都可以求其它两个的最值．
考点1：常规基本不等式问题
例1.（1）已知，则的最小值为
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：，
当且仅当即时取等号，
故选：．
（2）已知，则取最大值时的值为
A．B．C．D．
【解答】解：，
则，
当且仅当即时取最大值
故选：．
（3）已知函数，当时，取得最小值，则等于
A．9B．7C．5D．3
【解答】解：，，
，
当且仅当，即时取等号，
取得最小值，此时，
．
故选：．
考点2：基本不等式易错点
例2.（1）已知，，，则的最小值是
A．B．C．D．
【解答】解：由，得，
解得且，
①当时，，
，
，
当且仅当即时取等号；
②当时，，
，
当且仅当即时取等号．
综上可得，最小值
故选：．
（2）已知，，则下列不等式中不成立的是
A．B．
C．D．
【解答】解：，；
，当时取“”；
，当时取“”；
，当时取“”；
该不等式成立；
，当时取“”；
，当时取“”；
，当时取“”；
该不等式成立；
．，当时取“”；
，当时取“”；
该不等式成立；
，当时取“”；
；
，当时取“”；
该不等式不成立．
故选：．
考点3：基本不等式常见变形
例3.已知，且，则取得最小值时，等于
A．B．C．D．
【解答】解：
（当且仅当
即取得最小值时，满足
故选：．
例4.（1）已知正数，满足，则的最小值是
A．9B．10C．11D．12
【解答】解：正数，满足，
，
，，
当且仅当时取等号，
的最小值为9．
故选：．
（2）已知，，且，则最大值是 ．
【解答】解：，
，
令，上式化为，解得．
的最大值即最大值是．
故答案为：．
（3）若实数，满足，则的最大值是
A．6B．4C．D．
【解答】解：实数，满足，即．
再由，可得，
解得，
，故的最大值为，
故选：．
例5.（1）已知，，，则的最小值是
A．4B．C．5D．9
【解答】解：，，，
，
当且仅当，即，时取等号，
故选：．
（2）若正数，满足，则的最小值是
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：正数，满足，
，
当且仅当即且时取等号，
的最小值是5
故选：．
例6.（1）设，，且，求的最大值．
【解答】解：，，且，
当且仅当即且时取等号，
的最大值为
（2）设，则的最小值是
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：
当且仅当取等号
即取等号．
的最小值为4
故选：．
例7.设正实数，，满足．则当取得最大值时，的最大值为
A．0B．1C．D．3
【解答】解：，
，又，，均为正实数，
（当且仅当时取“” ，
，此时，．
，
，当且仅当时取得“”，满足题意．
的最大值为1．
故选：．
例8.（1）函数的最小值为
A．2B．3C．D．2.5
【解答】解：令，则在，上单调递增，
，即，函数的最小值为2.5，
故选：．
（2）已知，则函数的最小值为 ．
【解答】解：，，
．
．
当且仅当，即时取得最小值．
故答案为：．
（3）函数的最大值为 ．
【解答】解：设，
则，
．
，
当且仅当时取最值．
．
．
即原函数的最大值为．
故答案为．
课后作业：
1．若，，，则的最小值为
A．B．4C．D．3
【解答】解：因为，，，
则，
当且仅当且，即，时取等号．
故选：．
2．已知，，，则的最大值是
A．100B．50C．20D．10
【解答】解：由，可得：，解得，当且仅当时取等号．
则的最大值是50．
故选：．
3．实数，，，且满足，则的最小值是
A．1B．C．2D．3
【解答】解：实数，，，且满足，
，
化为：，
，，．
解得，当且仅当时取等号．
的最小值是2．
故选：．
4．若，则的最大值为
A．B．C．D．
【解答】解：令，则，，
原式，
当且仅当即时等号成立，
故选：．
5．已知正实数，满足，则的最小值是 ．
【解答】解：令则，
，
，
整理可得，
△，
解可得，或（舍，
故的最小值．
故答案为：．