专题09 幂函数与函数零点-2021-2022学年高一数学上学期高频考点专题突破（人教A版2019必修第一册）学案

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模块一：幂函数
1.幂函数：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．
2.幂函数的图象
当分别为，，，，时，幂函数图象如下图：
3.幂函数的性质
⑴所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点；
⑵如果，则幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数；
⑶如果，则幂函数在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向于原点时，图象在轴右方无限地逼近轴．当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴．
⑷幂函数的奇偶性决定幂函数过的象限．奇函数过一、三象限；偶函数过一、二象限；非奇非偶函数只过第一象限．
⑸ 当为负奇数时，幂函数为奇函数，图象在第一、三象限，但不过原点；
⑹ 当为正分数时，设为（，是互质的正整数）．
①如果， 都是奇数，幂函数为奇函数，图象过第一、三象限及原点；
如是奇函数，图象为：
②如果是偶数，为奇数，幂函数为非奇非偶函数，图象在第一象限及过原点；
如是非奇非偶函数，∴图象只在第一象限，即
③如果为奇数，为偶数，幂函数为偶函数，图象过第一、二象限及原点．
如是偶函数，图象为：
⑺ 当为负分数时，设为（，是互质的正整数）．
①如果，都是奇数，幂函数为奇函数，图象在第一、三象限；
②如果为偶数，为奇数，幂函数的图象只在第一象限；
③如果为奇数，为偶数，幂函数为偶函数，图象在第一、二象限．
如是偶函数，图象为
考点1：幂函数的图像与性质
例1.（1）已知是幂函数，求的值.
（2）幂函数在上为增函数，则的取值是
A．或B．C．D．
模块二：函数的零点
1.函数的零点
（1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.
要点诠释：
①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；
②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；
③函数的零点就是方程的实数根．
④零点都是指变号零点（函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点）．
归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
考点2：函数的零点判断
例1.（1）设．则在下列区间中，使函数有零点的区间是
A．B．C．D．
例2.（1）已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
（2）设函数，．若存在两个零点，则的取值范围是 ．
例3.已知，则函数的零点个数为 ．
课后作业：
1．函数的零点所在区间为
A．B．C．D．
2．函数的零点的个数为
A．0B．1C．2D．3
3．函数的零点个数最多是
A．2B．3C．4D．5
4．（2020春•齐齐哈尔期末）已知幂函数在上单调递增，则值为 ．