专题11 对数函数-2021-2022学年高一数学上学期高频考点专题突破（人教A版2019必修第一册）学案

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\l "_Tc17743629" 模块一：对数与对数运算 PAGEREF _Tc17743629 \h 2
\l "_Tc17743630" 考点1：对数运算 PAGEREF _Tc17743630 \h 3
\l "_Tc17743631" 模块二：对数函数图像与性质的应用3
\l "_Tc17743632" 考点2：对数比较大小 PAGEREF _Tc17743632 \h 4
\l "_Tc17743633" 模块二：对数型复合函数5
\l "_Tc17743634" 考点3：对数函数相关的复合函数5
\l "_Tc17743635" 课后作业：7
专题11 对数函数
模块一：对数与对数运算
1.对数的概念：
一般地，如果，且，那么我们把叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．
2.常用对数与自然对数
对数（且），当底数
（1）时，叫做常用对数，记做；
（2）时，叫做自然对数，记做（为无理数，）．
3.对数的运算性质：
如果，且，那么：
（1）；（积的对数等于对数的和）
推广
（2） ；（商的对数等于对数的差）
（3） ．（幂的对数等于底数的对数乘以幂指数）
4.换底公式：（）．
5.换底公式的几个基本使用：
①；
②；
③；
④.
考点1：对数运算
例1.（1）化简求值：；
【解答】解：
（2） ．
【解答】解：．
故答案为：1．
例2.（1）若，则 ．
【解答】解：由，
得，，
即，，
所以，
故答案为：2．
（2）已知，，则用，表示为 ．
【解答】解：，，
，，
，
化为，
故答案为：．
模块二：对数函数图像与性质的应用
1.对数函数：我们把函数且）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是，值域为实数集．
2.对数函数的图象与性质：
考点2：对数比较大小
例3.（1）若，则
A．B．C．D．
【解答】解：；
；
；
．
故选：．
（2）设，，，则
A．B．C．D．
【解答】解：；
；
；
；
又；
．
故选：．
（3）已知，，，则
A．B．C．D．
【解答】解：，，；
．
故选：．
例4.求不等式的解集．
【解答】解：
模块二：对数型复合函数
单调性、定义域、值域、奇偶性为本模块重点
考点3：对数函数相关的复合函数
例5.函数的单调增区间是 ．
【解答】解：由得或．
令，则当时，
为减函数，当时，为增函数函数．
又是减函数，故在为增函数．
故答案为：．
例6.（1）求函数在上的最值．
【解答】解：，．
（2）已知，求函数的最大值与最小值．
【解答】解：时，有最小值；时，有最大值．
例7.已知函数
（Ⅰ）求的定义域；
（Ⅱ）讨论的奇偶性；
（Ⅲ）求使的的取值范围．
【解答】解：由对数函数的定义知．
如果，则；
如果，则不等式组无解．
故的定义域为
，
为奇函数．
等价于，①
而从知，故①等价于，又等价于．
当时有
例8.已知函数，其中且．
（1）求函数的定义域；
（2）判断的奇偶性，并说明理由；
（3）若，求使成立的的集合．
【解答】解：（1）要使函数有意义，则，
解得，
即函数的定义域为；
（2），
是奇函数．
（3）若，
，
解得：，
，
若，则，
，
解得，
故不等式的解集为．
课后作业：
1．计算的结果是
A．1B．2C．D．
【解答】解：因为，
故选：．
2．若，且，则等于
A．4B．3C．2D．1
【解答】解：设，
则，，，
则．
故选：．
3．已知，，，则
A．B．C．D．
【解答】解：，
，
，
，，．
．
故选：．
4．若函数且在区间，上的最大值比最小值多2，则
A．2或B．3或C．4或D．2或
【解答】解：由，有 且，
①当 时，，得，
②当 时，，得，
故 或，
故选：．
5．已知函数．
（1）求函数的定义域并判断函数的奇偶性；
（2）记函数，求函数的值域；
（3）若不等式有解，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）函数，
，解得．
函数的定义域为．
，
是偶函数．
（2），
．
，
函数，，
，，
函数的值域是，．
（3）不等式有解，，
令，由于，
的最大值为．
实数的取值范围为．
关系式
指数式
底数
指数
幂（值）
对数式
底数
对数
真数
图象
定义域
值域
性质
⑴ 过定点，即时，
⑵当时，；
当时，
⑵当时，；
当时，．
⑶在上是增函数
⑶在上是减函数