四川省成都外国语学校2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题（含答案）

成都外国语学校2020-2021学年度下期期中考试

高二数学(理)试卷

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分；

2.本堂考试120分钟，满分150分；

3.答题前，考生务必先将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂。

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（）

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数，则（）

A.  B.  C.  D.

3．某班60名同学中选出4人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将60名同学按01，02，…，

60进行编号，然后从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第

4个同学的编号为（　　）

（注：表中的数据为随机数表的第一行和第二行）

A．24 B．36 C．46 D．47

4．命题“若，则或”的否定是（）

A．若，则或       B．若，则且

C．若，则或       D．若，则且

5．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，，则；③若，，则．其中正确命题的序号是（）

A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③

6.干支历法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历，是一部深奥的历法。它是用60组各不相同的天干地支标记年月日时的历法。具体的算法如下：先用年份的尾数查出天干，如2013年3为癸；再用2013年除以12余数为9，9为巳。那么2013年就是癸巳年了。

高二学生李东是甲申年5月出生，李东的父亲也是5月出生，刚好比他大27岁，问李东的父亲是哪一年出生(      )

A.甲子                 B.乙丑                 C.丁巳                 D.丙卯

7.已知函数在处取得极值0，则（）

A．4 B．4或11 C． 11 D．3或9

8. 给出如图所示的算法框图，若输出的时，的取值范围是（）

A. B. C. D.

9．已知，，若成立，

则实数的取值范围是(     )

A．  B．   C．   D．

10．过双曲线的右焦点的直线在第一、第四象限交两渐近线分别于两点，且，为坐标原点，若内切圆的半径为，则该双曲线的离心率为（）

A． B． C． D．

11.已知为圆上任意一点，若存在不同于点的点，使为不等于1的常数，则点的坐标为(     )

A. B. C. D.

12．已知偶函数满足，且当时，，若关于x的不等式在上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上。

13.已知函数，则．

14.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是.

15.某公司招聘员工，甲、乙、丙、丁四人去应聘，最后只有一人被录用．关于应聘结果四人说法如下：甲说“我没有被录用”；乙说“丙被录用”；丙说“丁被录用”；丁说“我没有被录用”，现知道他们只有一人说的是真话．根据以上条件，可以判断被录用的人是.

16.若对任意，不等式恒成立，则的范围．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)

(1)已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为，求点到直线的距离．

(2)把曲线化为极坐标方程．

18.(本小题满分12分)

已知函数，，函数在处与直线相切．

(1)求实数的值；    (2)判断函数在上的单调性．

19．(本题满分12分)

某校2011年到2019年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数（每位学生只能参加“北约”“华约”中的一种考试）可以通过以下表格反映出来．（为了方便计算，将2011年编号为1，2012年编号为2，依此类推）

(1)求这九年来，该校参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数的平均数和方差；

(2)根据最近五年的数据，利用最小二乘法求出与的线性回归方程，并依此预测该校2020年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生人数．（最终结果精确至个位）

参考数据：回归直线的方程是，其中，．，．

20.（本小题满分12分）

如图,四棱锥中，，，，．

(1)求证：平面平面；

(2)在线段上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

21.(本题满分12分)

已知直线分别于抛物线相切于两点．

(1)若点的坐标为，求直线的方程； 

(2)若直线与的交点为，且点在圆上，设直线与轴分别交于点，求的取值范围．

22.(本题满分12分)

已知函数，其中为正实数．

(1)若函数在处的切线斜率为，求的值；

(2)若函数有两个极值点，求证：.

成都外国语学校2020-2021学年度下期期中考试

高二数学(理)参考答案

一、选择题：

1-12：BACDA     CCBBB    AD

二、填空题：

13.   12      14.        15.甲       16.

三、解答题

17.(1)；    (2)ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0

18.(1);   (2)增区间，减区间．

19．【详解】

（1）由表格中的数据，利用平均数的计算公式，可得．

由方差的公式，可得．

（2）由表中近五年的数据知，，，，，

，又，所以，

故y与x的线性回归方程为，当时，，

故估计该校2020年参加“北约”“华约”考试而获得加分的学生有12人．

20.【详解】 (1)证明：因为四边形为直角梯形，且, ,,所以，

又因为．根据余弦定理得所以，故.

又因为, ,且,平面，所以平面，

又因为平面PBC，所以

（2）由（1）得平面平面, 设为的中点，连结，因为,

所以,,又平面平面，平面平面，

平面.

如图，以为原点分别以，和垂直平面的方向为轴正方向，

建立空间直角坐标系，

则，，，，，

假设存在满足要求，设，即，

所以,易得平面的一个法向量为.

设为平面的一个法向量，，

由得，不妨取.

因为平面与平面所成的锐二面角为，所以，

解得，（不合题意舍去）.故存在点满足条件，且.

21. 【详解】

(1)由题意知直线l1，l2的斜率一定存在，设直线l1：y+1＝k（x﹣1），与抛物线方程联立，

得ky2﹣y﹣k﹣1＝0．由△＝1+4k（k+1）＝0，得，则l1的方程为．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l1：，与抛物线方程y2＝x联立，得．

由，解得，所以直线，同理得直线，则，．

设点P（x0，y0），代入可得，则直线AB方程为．

与抛物线方程联立，得y2﹣2y0y+x0＝0，则有y1+y2＝2y0，y1y2＝x0．

则，，所以．

又点P在圆（x+2）2+y2＝1上，所以，即，所以.

所以的取值范围为.

22. 【详解】

因为，

所以，则，所以a的值为

，函数的定义域为，

若，即，则，

此时的单调减区间为；

若，即，则的两根为，

此时的单调减区间为，，

单调增区间为

当时，函数有两个极值点，，且，．

因为

，

要证，只需证

构造函数，则，

在上单调递增，

又，，且在定义域上不间断，

由零点存在定理，可知在上唯一实根，

且在上递减，上递增，

所以的最小值为，

因为，

当时，，所以，

所以恒成立．所以，

所以.