湖南省邵阳邵东市第一中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

2021年邵东一中上学期高二期中考试数学试卷

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{0，1，2，3，4}，则（∁RA）∩B＝（　　）

A．{3，4} B．{2，3，4} C．{0，1} D．{0，1，2}

2．已知复数，则|z|＝（　　）

A． B． C． D．1

3．已知，则（）

A． B． C． D．

4．函数的图象大致是（   ）

A． B．C．D．

5. 已知直线：与圆：相交于，两点，为坐标原点，则等于（    ）

A． B． C． D．

6．如右图，在中，，，，

则的值为（）

A． B．C． D．

7. .某单位有 6 名员工，2020 年国庆节期间，决定从 6人中留 2人值班，另外 4人分别去张家界 、南岳衡山、凤凰古城、岳阳楼旅游．要求每个景点有 1 人游览，每个人只游览一个景点 ，且这 6 个人中甲、乙不去衡山，则不同的选择方案共有

A. 120 种 B. 180 种 C. 240 种 D. 320 种

8.已知定义域为的奇函数的导函数，当时，，若，则的大小关系正确的是（）

A. B. C.  D.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．设F1、F2分别是双曲线C：＝1的左、右焦点，且|F1F2|＝4，则下列结论正确的有（　　）

A．m＝2 B．当n＝0时，C的离心率是2 

C．F1到渐近线的距离随着n的增大而减小 D．当n＝1时，C的实轴长是虚轴长的两倍

10．已知函数，则（　　）

A．f（x）的最大值为3 B．f（x）的最小正周期为π 

C．f（x）的图象关于直线对称 D．f（x）在区间上单调递减

11．已知函数f（x）＝3x+x3，若0＜m＜1＜n，则下列不等式一定成立的有（　　）

A．f（1﹣m）＜f（n﹣1） B．＜f（m+n） 

C．f（logmn）＜f（lognm） D．f（mn）＜f（nm）

12.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=DD1=2，AB=2，E、F、G 分别是AB、BC、C1D1的中点，则下列说法正确的是（  ）

A.B1CD1EB.D1C//平面GEF

C.若点 P 在平面ABCD 内，且 D1P// 平面 GEF，则线段

D1P 长度的最小值为2

D.若点Q 在平面ABCD 内，且 D1QB1C，则线段 D1Q 长度的最小值为2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列。对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列,其前7项分别为1,7,15,27,45,71,107,则该数列的第8项为

14.已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，则多面体的外接球的表面积为.

15．数列中，，，且时，有，则。

16. 已知函数，若为区间上的任意实数，且对任意，总有成立，则实数的最小值为______________.

四、解答题：本题共3小题，共36分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤.

17．已知数列是等差数列，数列是正项等比数列，且，，．

（1）求数列、数列的通项公式；

（2）若（），求数列的前项和．

18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，sinB﹣cosC＝．

（1）求A；  

（2）若b＝c，且BC边上的高为2，求△ABC的面积．

19.  已知直三棱柱，，，M，N分别为， 的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角A-BN-C的余弦值.

20. 在某媒体上有这样一句话：买车一时爽，一直养车一直爽，讲的是盲目买车的人最终会成为一个不折不扣的车奴；其实，买车之后的花费主要由加油费、车费、保险费、保养费、维修费等几部分构成；为了了解新车车主5年以来的花费，打破年轻人买车的恐惧感，研究人员在2016年对A地区购买新车的400名车主进行跟踪调查，并将他们5年以来的新车花费统计如下表所示：

（1）求这400名车主5年新车花费的平均数以及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代）；

（2）以频率估计概率，假设A地区2016年共有100000名新车车主，若所有车主5年内新车花费可视为服从正态分布，，分别为（1）中的平均数以及方差，试估计2016年新车车主5年以来新车花费在[5．2，13．6）的人数；

（3）以频率估计概率，若从2016年A地区所有的新车车主中随机抽取4人，记花费在的人数为，求的分布列以及数学期望．

参考数据：；若随机变量∽ ，则，，．

21.已知，，曲线上任意一点P满足直线AP与直线BP的斜率之积为

（1）求曲线的标准方程；

（2）已知直线l过（与x轴不重合）且交于M，N两点，过F且垂直于直线l的直线m交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

22．已知函数，.

（1）求函数的极值；

（2）若存在，，且当时，，当时，求证：.

2021年邵东一中上学期高二期中考试数学试卷答案

一、单项选择题（共8小题）.

1．解：∵A＝{x|x＞2}，B＝{0，1，2，3，4}，

∴∁RA＝{x|x≤2}，（∁RA）∩B＝{0，1，2}．

故选：D．

2．解：∵复数＝＝＝＝，

∴|z|＝＝．

故选：A．

3．B

【解析】因为，

所以.故选：B.

4．D 【解析】，是偶函数，排除A，

时，，即，当时，

又有，因此，排除B，C，故选D．

5．【解析】设圆心为C，设直线与圆的交点的坐标为 ，

联立 可得：，即，

所以=

又，所以圆的半径

故选：D.

6．【答案】D

【解析】，

，则，

所以，，故选D．

7. 【答案】C

8【答案】B

【解析】解：根据题意，设，

若为奇函数，则，则函数为偶函数，

当时，，

又由当时，，则，则函数在上为减函数，

，（2），，

且，则有；

9．解：F1、F2分别是双曲线C：＝1的左、右焦点，且|F1F2|＝4，

可得2＝，解得m＝2，所以A正确；

n＝0时，a＝b＝，c＝，所以e＝，所以B不正确；

F1到渐近线的距离：，随着n的增大而减小，所以C正确；

当n＝1时，C的实轴长：2，虚轴长：2，所以D不正确．

故选：AC．

10．解：f（x）＝cos2x+2cosxsinx＝cos2x+sin2x＝（sin2x+cos2x）＝sin（2x+），

A：∵sin（2x+）∈[﹣1，1]，∴f（x）的最大值为，∴A不正确．

B：f（x）的最小正周期为T＝＝＝π，∴f（x）的最小正周期为π，∴B正确．

C：当x＝时，f（）＝sin（2×+）＝sin＝，

∴f（x）的图象关于直线 x＝对称，∴C正确

D：当x∈[﹣，]时，2x+∈[﹣，]，

∴f（x）在区间[﹣，]上单调递增，∴D不正确．

故选：BC．

11．解：根据题意，函数f（x）＝3x+x3，易得f（x）在R上为增函数，

对于A，无法判断1﹣m与n﹣1的大小，故f（1﹣m）＜f（n﹣1）不一定成立，A错误，

对于B，若0＜m＜1＜n，则有2＜m+n，则f（2）＜f（m+n），B正确，

对于C，当n＝，m＝2时，logmn＝logmn＝﹣1，则有f（logmn）＝f（lognm），C错误，

对于D，若0＜m＜1＜n，则mn＜nm，则有f（mn）＜f（nm），D正确，

故选：BD．

12.ABD  解析：连结,,.,，面.又面，故选项是正确的；又，，面面，

又面，面选项是正确的. 若在平面内，且面，则的轨迹是直线，此时的最小值为时。选项是错误的.面，且，点的轨迹是直线，的最小值是时，即与重合，选择项是正确的，故选：ABD.

三、填空题

第13题： 【答案】B

【解析】所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x,根据所给定义:用数列的后一项减去前一项得到一个新数列,得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列,即得到了一个等差数列。如图:由图可得:解得,故选B
 

14.答案：

解：法一：的外接圆半径为，，；

法二：，，，，；

法三：补形为直三棱柱，可改变直三棱柱的放置方式为立式，算法可同上，略.换一种方式，通过算圆柱的轴截面的对角线长来求球的直径：，

案　8π

15．；

16、【答案】）3

【解析】依题意∴，故在上单调递增，不妨设，

则且，原不等式即为.

令，依题意，应满足在上单调递减，

即上恒成立.

即在上恒成立，令，则

（i）若，，此时在上单调递增，故此时

（ii）若，时，，单调递增；

时，，单调递减；

故此时∴，

故对于任意，满足题设条件的最小值为3.故答案为:3

四、解答题：本题共3小题，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．【答案】（1）（），（）；（2）.

【解析】

【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题设可得的方程组，求出其解后可得所求的通项公式.

（2）利用裂项相消法和分组求和可得

【详解】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为（），

则由已知可得

解得或（舍），所以，（），（）.

（2）由（1）知，

所以

18．解：（1）因为sinB﹣cosC＝，所以2absinB＝c2﹣a2+2abcosC，

由余弦定理得，c2＝a2+b2﹣2abcosC，   所以2absinB＝b2，即2asinB＝b，

由正弦定理得，，所以2sinAsinB＝sinB，因为sinB＞0，

故sinA＝，由A为锐角，A＝，

（2）由题意得，S＝＝＝，所以bc＝4，

因为b＝c，所以c2＝16a，b2＝＝3a，由余弦定理得，cosA＝＝＝＝，解得a＝7，所以S＝＝7．

19. 【详解】（1）证明：连接，

则在中，分别为中点，则，

又平面，平面，

所以平面

（2），，满足，，

又直三棱柱，则可建立如图所示的空间直角坐标系，

设为平面的一个法向量，

，

则，，

设为平面的一个法向量，

则，即，令，则，

则.

所以二面角的余弦值为.

20. 【答案】（1）8，8；（2）81850；（3）分布列见解析，．

【分析】（1）首先根据表格求对应数据的频率，再根据频率和每组花费的中间值计算平均数和方差；（2）由（1）知， ，根据参考数据计算求值；（3）由（1）知，花费在的频率是，所以，利用二项分布求分布列和数学期望．

【解析】（1）依题意，整理表格数据如下：

依题意，，

；

（2）由（1）可知，，，；

，

故所求人数为；

（3）依题意，，

，，

，，

，

则．

21. 【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）直译法即可求出；

（2）分直线斜率存在与不存在两种情况，直线斜率存在时，可以设出斜率，直线与椭圆联立表达出弦长，在与圆联立算出弦长，再运用公式即可.

【详解】（1）设动点由题意可知，

，，

，化简可得：.

（2）当与轴不垂直时，

设的方程为，，.

由得.

则，所以.

过点且与垂直直线，

圆心到的距离为，

所以.

故四边形的面积.

可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为，

当与轴垂直时，其方程为，，，

四边形的面积为12.

综上，四边形面积的取值范围为.

22．【详解】（1）由，，

当，，在上为增函数，无极值，

当，，；，，

在上为减函数，在上为增函数，

，有极小值，无极大值，

综上知：当，无极值，

当，有极小值，无极大值.

（2），，

，，，

所以，当，在上为增函数，

所以当时，恒有，即成立；

当，在上为增函数，

当，在上为增函数，

这时，在上为增函数，

所以不可能存在，，

满足当时，，

所以有.

设，得：

，

①，

，

②，

由①②式可得：，

即，

又，，

③，

要证④，所以由③式知，

只需证明：，即证，

设，只需证，

即证：，令，

由，在上为增函数，

，成立，

所以由③知，成立.