广东省深圳市高级中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学（含答案）练习题

深圳高级中学（集团）2020-2021学年第一学期

期中考试高二数学

审题人：命题人：

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．设，则“”是“”的(  A  )条件

A．充分不必要       B．必要不充分 C．充要        D．既不充分也不必要

2．抛物线的焦点坐标为(  C  )

A．B． C．  D．

3．已知向量，向量，若与垂直，则μ=(C)

A．B． C． D．

4．正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，E为的中点，则与所成角的余弦值为(C)

A.  B.   C.   D.

5．如图所示，点F是抛物线的焦点，点A，B分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于x轴，则的周长的取值范围是D

A.  B.  C.   D.

6．是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面平行的是 (  B   )

A．是平面内两条直线，且．

B．是两条异面直线，，且．

C．内不共线的三点到的距离相等．

D．都垂直于平面．

7．在中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为（ C  ）

A． B． C． D．3

8．直线与椭圆：交于、两点，以线段为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆的离心率为(  B  )

A．B．C．D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.

9．已知双曲线的方程为：，则下列说法正确的是(  BC  )

A．焦点为 B．渐近线方程为

C．离心率e为 D．焦点到渐近线的距离为

A．B．

C．D．

11．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，、为上两点，且的长为定值，则下面四个值中是定值的是（ACD）

A．点到平面的距离B．直线与平面所成的角

C．三棱锥的体积D．△的面积

12．如图，过点作两条直线和分别交抛物线于和(其中位于x轴上方)，直线交于点Q.则下列说法正确的是（ABC）

A．两点的纵坐标之积为

B．点Q在定直线上

C．最小值是2

D．无论旋转到什么位置，始终有

【详解】

设点，

将直线l的方程代入抛物线方程得：

.则.故A正确；

由题得，

直线的方程为，直线的方程为，

消去y得，将代入上式得，

故点Q在直线上，故B正确；

计算可知选项C错误；因为，但，所以D错误.

故选：AB.

二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．若，则．

14．数列中，，，．若其前项和为126，则______．6

15．体积为的三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，，，，则球的表面积为________.

16．已知双曲线的焦点为，，实轴长为2，则双曲线的离心率是________；若点是双曲线的渐近线上一点，且，则的面积为________．；

三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17．（10分）

在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线中，若问题中的△ABC存在，求出△ABC的面积；若问题中的△ABC不存在，请说明理由．

问题：是否存在△ABC，它的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，．

解：（1）由题设及正弦定理得．

因为sinA0，所以．

由，可得，故．

因为，故，因此B=60°．………...………………5分

选择①：

即a=2c, 根据余弦定理有，=...................................8分

代入b=3, 解得c=a=2,所以面积S==..............................................10分

选择②:

==,代入a+c=6，解得ac=9, 结合a+c=6, 所以a=c=3........8分

所以面积S=.....................10分

选择③：

==，代入ac=15, 解得a+c=3，..................................8分

结合ac=15，无解，所以△ABC不存在..........................10分

18．设数列的前项和为，且满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

【解析】（1）当=1时，有…………2分

又由可得

两式相减得……………3分

即有…………4分

故数列是以2为首项，2为公比的等比数列，………5分

………………6分

评分要点：

1、如果用则必须说明，否则扣1分。

2、求出递推公式后必须要有文字说明数列为等比数列，无文字说明直接写通项公式扣1分。

（2）解法一：由（1）知，所以…………7分

令，……8分

为使为等差数列，则是关于n的一次函数，所以，………9分

此时，

当时，………10分

当时，，………11分

所以是以为首项，为公差的等差数列。………12分

评分要点：如果没有说明是关于n的一次函数扣1分。

解法二：由（1）知，所以…………7分

令，若为等差数列，

则有构成等差数列，…………8分

即有

即……………9分

此时，

当时，………10分

当时，，………11分

所以是以为首项，为公差的等差数列。………12分

19．（12分）如图所示，在直四棱柱中，，点是棱上一点.

（1）求证：；

（2）试确定点的位置，使得平面平面.

证明：（1）因为平面，平面，所以.

又因为，且，平面，平面

所以平面.

而平面，所以.

（2）当点为棱的中点时，平面平面.如图，

取的中点，的中点，连接交于点，连接.

则，即是的中点.

因为是的中点，，所以.

因为在直四棱柱中

所以平面

又因为平面

所以平面平面

又平面平面，平面.

所以平面.

当点为棱的中点时

所以，且.

所以是平行四边形，即.

所以平面.

又因为平面

所以平面平面.

20．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）O是坐标原点，过椭圆的右焦点直线交椭圆于P，Q两点，求△OPQ的最大值．

【解析】（1）由得，所以…………1分

由点在椭圆上得解得， …………2分

…………3分

所求椭圆方程为…………4分

(2) F（0，1），设直线:x=my+1, 代入方程化简得

(3m2+4)y2+6my-9=0, 由韦达定理得y1+y2=, y1y2=................6分

△OPQ的面积为，所以求ABC的最大值即求|y2-y1|的最大值。7分

（y1-y2）2=(y1+y2)2-4y1y2=.....................9分

令上式可表示成，当t=1时取得最大值9，此时=..........12分

21．在多面体ABCDPE中，四边形ABCD是直角梯形，平面，，，，的余弦值为，

（1）求证：

（2）求平面BCE与平面ADE所成角（锐角）的余弦值

20. 解析：（1）取...........1分

 ..........................2分

 ……………………………3分

 ......................................4分

 ……………………………5分

（2）在中，

..................................6分

平面平面，..............................7分

以AD所在直线为X轴，BA所在直线为Y轴，A为原点建立空间直角坐标系.  

A（0,0,0）      B（0,-2,0）     C（2,-2,0） D（4，0，0）P（0,0,2) ………8分

 设

 ……………………………9分

  …10分

 设平面BCE的一个法向量

 ……………………………11分

 设平面BCE与平面ADE所成角为 

 .....12分

22．（本小题满分12分）

已知抛物线经过点，在点处的切线交轴于点，直线经过点且垂直于轴.

（Ⅰ）求线段的长；

（Ⅱ）设不经过点和的动直线交于点和，交于点，若直线、、的斜率依次成等差数列，试问：是否过定点？请说明理由.

【解析】（Ⅰ）由抛物线经过点，得 

，故，的方程为………………2分

在第一象限的图象对应的函数解析式为，则

故在点处的切线斜率为，切线的方程为

令得，所以点的坐标为

故线段的长为………………5分

（Ⅱ）恒过定点，理由如下：

由题意可知的方程为，因为与相交，故

由，令，得，故

设

由消去得：

则，………………7分

直线的斜率为，同理直线的斜率为

直线的斜率为

因为直线、、的斜率依次成等差数列，所以

即………………10分

整理得：，

因为不经过点，所以

所以，即

故的方程为，即恒过定点………………12分