新疆昌吉教育共同体2020-2021学年高二下学期期末质量检测数学（理）试题（含答案）

www.ks5u.com昌吉教育共同体2020－2021学年第二学期高二年级期末质量检测

理科数学学科试卷

考试时间：120分钟   分值：150分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题（每小题5分共60分）

1．从0，1，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（    ）

A.24个            B.36个            C.48个            D.54个

2．“3+1+2”高考方案中，“3”是指统一高考的语文､数学､外语3门科目，“1”是指考生在物理､历史两门选择性考试科目中所选择的1门科目，“2”是指考生在思想政治､地理､化学､生物4门选择性考试科目中所选择的2门科目.小明同学非常喜欢化学，所以必选化学，那么他的选择方法数有（    ）

A．4种 B．6种 C．8种 D．12种

3．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是

A． B． C． D．

4．的展开式中的系数为（    ）

A．10 B．20 C．40 D．80

5．(x－y)10的展开式中x6y4项的系数是 (　　)

A．840   B．－840           C．210    D．－210

6．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为

A．               B．             C．               D．

7．若随机变量X的分布列如下所示

且E(X)＝0.8，则a、b的值分别是（    ）

A．0.4，0.1          B．0.1，0.4            C．0.3，0.2        D．0.2，0.3

8．从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则

A． B． C． D．

9．甲乙两个两位同学同时看了天气预报，甲说明天下雨的概率是80%，乙说如果明天下雨则后天下雨的概率是40%，如果甲乙说的都是对的，那么明天和后天都会下雨的概率（    ）

A．50% B． C． D．

10．若随机变量，，则（    ）

A． B． C． D．

11．已知随机变量，满足，，且，则的值为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

12．已知随机变量服从正态分布，，则（ ）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

二、填空题(每题5分，共20分）

13．若，若，则______．

14．在大课间风采展示中，某班级准备了2个舞蹈，2个独唱，1个小品，共5个节目.要求相同类型的节目不能相邻，那么节目的不同演出顺序共有___________.种，

15．正整数满足，则___________.

16．我国抗疫期间，素有“南抖音，北快手”之说的小视频除了给人们带来生活中的快乐外，更在于传递了一种正能量，为抗疫起到了积极的作用，但一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，某同学学习利用“快影”软件将已拍摄的素材进行制作，每次制作分三个环节来进行，其中每个环节制作合格的概率分别为，，，只有当每个环节制作都合格才认为一次成功制作，该小视频视为合格作品．则同学进行3次制作，恰有一次合格作品的概率_____________（用数字作答）．

三、解答题（17题10分，其他均为12分，共70分）

17．（10分）已知从1，3，5，7，9任取两个数，从0，2，4，6，8中任取两个数，组成没有重复的数字的四位数．

（Ⅰ）可以组成多少个不含有数字0的四位数？

（Ⅱ）可以组成多少个四位偶数？（所有结果均用数值表示）

18.（12分）经历过疫情，人们愈发懂得了健康的重要性，越来越多的人们加入了体育锻炼中，全民健身，利国利民，功在当代，利在千秋．一调研员在社区进行住户每周锻炼时间的调查，随机抽取了300人，并对这300人每周锻炼的时间（单位：小时）进行分组，绘制成了如图所示的频率分布直方图：

（1）补全频率分布直方图，并估算该社区住户每周锻炼时间的中位数（精确到0.1）；

（2）若每周锻炼时间超过6小时就称为运动卫士，超过8小时就称为运动达人．现利用分层抽样的方法从运动卫士中抽取5人，再从这5人中抽取2人做进一步调查，求抽到的2人中恰有1人为运动达人的概率．

19．（12分）已知盒中有形状､大小都相同的3个黑球和1个白球，每次从中取1个球，取到黑球记1分，取到白球记2分，有放回地抽取3次，用随机变量表示取3次所得的分数之和，求：

（1）3次都取到黑球的概率；

（2）随机变量的分布列.

20．（12分）为推行“新课堂”教学法,某老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式在甲、乙两个平行班进行教学实验,为了解教学效果,期中考试后,分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出如图所示的茎叶图,若成绩大于70分为“成绩优良”.

(1)分别计算甲、乙两班的样本中,前10名成绩的平均分,并据此判断哪种教学方式的教学效果更佳;

(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”?

(3)从甲、乙两班40个样本中,成绩在60分以下(不含60分)的学生中任意选取2人,记ξ为所抽取的2人中来自乙班的人数,求ξ的分布列及数学期望.

附:K2=(n=a+b+c+d),

21．（12分）在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．

（1）写出的一个参数方程;

（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．

22．（12分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为（t为参数），曲线的极坐标方程为，曲线与相交于A，B两点．

（1）求曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程；

（2）求点到A，B两点的距离之和．

参考答案

1．C

解析：解答：若包括0，则还需要两个奇数，且0不能排在最高位，有C32A21A22＝3×2×2＝12个,若不包括0，则有C21C32A33＝3×2×6＝36个,共计12＋36＝48个

2．B

【分析】

利用分步原理，先从思想政治､地理､生物中选出一门，再从物理､历史选出一门，应用乘法公式即可求选择方法数.

【详解】

根据题意，分2步进行分析：

①小明必选化学，需要在思想政治､地理､生物中再选出一门，选法有种，

②小明在物理､历史两门选出一门，选法有种，

∴共有种选择方法，

故选：B.

3．C

【详解】

分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.

详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.

点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.

4．C

【详解】

分析：写出，然后可得结果

详解：由题可得

令,则

所以

故选C.

点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题．

5答案：A

 解析：

6．B

【分析】

本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．

【详解】

设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有共6种，

所以恰有2只做过测试的概率为，选B．

【点睛】

本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．

7．B

【分析】

由随机变量X的分布列概率之和为1得到，再结合E(X)＝0.8求解.

【详解】

由随机变量X的分布列得：，

所以，

又因为，

解得，

所以，

故选：B

8．B

【分析】

先求得和的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率.

【详解】

依题意,,故.故选B.

【点睛】

本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题.

9．C

【分析】

根据条件概率的概率公式计算可得；

【详解】

解：记明天下雨为事件，后天下雨为事件，依题意可得，，所以

故选：C

10．D

【分析】

根据二项分布的期望与方程的计算公式，由题中条件，列出方程，即可求出结果.

【详解】

因为，，

则，解得，

所以.

故选：D.

11．C

【分析】

由二项分布的性质推导出，解得，从而求出，再由，利用方差的性质能求出.

【详解】

解：因为随机变量满足， ，

所以有，即.则，

，.

故选：C.

12．A

【解析】

由正态分布的特征得＝，选A.

13．1

【分析】

根据二项式展开式的特定项的特征找到所对应的应该是的系数，再列出等量关系求得的值.

【详解】

根据二项式的展开式得到所对应的应该是的系数，

由展开式的公式可得到含有的展开项为，

解得．

故答案为：1.

【点睛】

(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．

(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．

14．48

【分析】

先求出5个节目的出场顺序总有的情况，再求得舞蹈节目相邻出场，独唱节目相邻出场，舞蹈节目相邻出场且独唱节目也相邻出场的情况，由此可得答案.

【详解】

5个节目的出场顺序共有种，

其中舞蹈节目相邻出场的有种，独唱节目相邻出场的有种，

舞蹈节目相邻出场且独唱节目也相邻出场的有种，

所以相同类型的节目不能相邻的出场顺序有种，

故答案为：48.

【点睛】

方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：

（1）相邻问题采取“捆绑法”；

（2）不相邻问题采取“插空法”；

（3）有限制元素采取“优先法”；

（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.

15．或

【分析】

由组合数的性质可得或，即可求n值.

【详解】

由题意知：或，

∴或.

故答案为：或.

16．

【分析】

利用相互独立事件概率乘法公式先求出每次制作小视频为合格作品的概率，再由次独立重复试验中事件恰好发生次概率计算公式能求出该同学进行3次制作，恰有一次合格作品的概率．

【详解】

解：每次制作小视频为合格作品的概率为：，

∴同学进行3次制作，恰有一次合格作品的概率为：

．

故答案为：．

17.（Ⅰ）（Ⅱ）

【分析】

（Ⅰ）从1，3，5，7，9任取两个数，从2，4，6，8中任取两个数，再将取出的四个数全排列求解即可；

（Ⅱ）对0在末位和末位为（且不在首位）进行分类，从而得出答案；

【详解】

（Ⅰ）从1，3，5，7，9任取两个数，从2，4，6，8中任取两个数，组成个没有重复的数字的四位数

（Ⅱ）当0在末位时，共有个四位偶数

当末位为（且不在首位），共有个四位偶数

则可以组成个四位偶数

18．（1）作图见解析；中位数为4.3；（2）．

【分析】

（1）设中位数为x，则有，故可求中位数.

（2）利用古典概型的概率公式可求概率.

【详解】

解：（1）第二组的频率为，

故第二组小矩形的高为 频率分布直方图如图所示，

由频率分布直方图可得，第一组和第二组的频率之和为，

前三组的频率之和为，

可知中位数在第三组，设中位数为x，

则有，解得，

所以该社区住户每周锻炼时间的中位数为4.3；

（2）因为，所以在抽取的5个运动卫士中，运动达人有2人，

从这5人中抽取2人，共有种抽法，

抽到的2人中恰有1人为运动达人，共有种抽法，

故从这5人中抽取2人做进一步调查，抽到的2人中恰有1人为运动达人的概率为．

19．（1），（2）答案见详解.

【分析】

（1）由题意可得，每次取到黑球的概率是，然后可算出答案；

（2）的取值是，依次算出对应的概率即可.

【详解】

（1）由题意可得，每次取到黑球的概率是，

所以3次都取到黑球的概率是.

（2）的取值是，

，

，

，

，

所以随机变量的分布列为

20．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【分析】

(1)由平均数是的计算公式，分布求得甲班样本前10名成绩和乙班样本前10名成绩的平均分，比较即可得到结论．

 (2)根据茎叶图中的数据作出列联表，利用公式计算的值，即可得到结论．

 (3)求得随机变量的所有可能取值为,求出随机变量取值的概率，列出随机变量的分布列，利用公式，即可求解数学期望．

【详解】

(1)由数据的平均数是的计算公式，可得甲班样本前10名成绩的平均分为

=；

乙班样本前10名成绩的平均分为

=；

因为甲班样本前10名成绩的平均分低于乙班样本前10名成绩的平均分,

所以据此判断“新课堂”教学方式的教学效果更佳.

(2)根据茎叶图中的数据作出列联表如表所示：

根据列联表中的数据,得的观测值为,

所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.

(3)样本中成绩在60分以下的学生中甲班有4人,乙班有2人,

所以的所有可能取值为,

则=，, =,

则随机变量的分布列为：

则数学期望.

【点睛】

本题主要考查了数据的平均数和独立性检验的应用，以及随机变量的分布列与数学期望的计算，其中解答中认真审题，合理利用平均数、独立性检验的公式准确计算，以及正确得出随机变量的取值及概率，列出相应的分布列是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．

21．（1），（为参数）；（2）或.

【分析】

（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；

（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.

【详解】

（1）由题意，的普通方程为，

所以的参数方程为，（为参数）

（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为，即，

由圆心到直线的距离等于1可得，

解得，所以切线方程为或，

将，代入化简得

或

【点晴】

本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.

22．（1），；（2）．

【分析】

（1）由极坐标与直角的互化公式，求得曲线的直角坐标方程，再由曲线的参数方程，消去参数，即可得到曲线的普通方程；

（2）由点在曲线上，得出曲线的一个参数方程，代入曲线，利用根与系数的关系，结合参数的几何意义，即可求解.

【详解】

解：（1）由（t为参数），消去参数t，可得曲线的普通方程，

由，结合，，可得曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）由点满足方程，所以点在曲线上

曲线的参数方程为（t为参数），

将其代入到曲线的普通方程中，有，

设，分别为A，B两点对应的参数，有，，

由直线参数的几何意义，到A，B两点的距离之和为：

．

【点睛】

关键点点睛：本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，以及直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键，解答本题的关键是由点在曲线上，则曲线的参数方程为（t为参数），与抛物线联立，得出韦达定理，由可得答案，属于中档题.

原点的直线与曲线相交的弦长.

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