高中物理人教版 (2019)选择性必修 第二册3 带电粒子在匀强磁场中的运动学案

这是一份高中物理人教版 (2019)选择性必修 第二册3 带电粒子在匀强磁场中的运动学案，共14页。学案主要包含了带电粒子在匀强磁场中的运动等内容，欢迎下载使用。

必备知识·自主学习
一、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．用洛伦兹力演示仪观察运动电子在磁场中运动：
2.洛伦兹力的作用效果：
(1)洛伦兹力只改变带电粒子速度的方向，不改变带电粒子速度的大小。
(2)洛伦兹力不对带电粒子做功，不改变粒子的能量。
二、带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期
1．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供：vqB＝m eq \f(v2,r) 。
2．带电粒子做圆周运动的轨道半径和周期：
(1)轨道半径：r＝ eq \f(mv,qB) 。
粒子的轨道半径与粒子的速率成正比
(2)运动周期：T＝ eq \f(2πr,v) ＝ eq \f(2πm,qB) 。
带电粒子的周期与轨道半径和速度无关，而与 eq \f(q,m) 成反比。
(1)运动电荷在磁感应强度不为零的地方，一定受到洛伦兹力的作用。(×)
(2)运动电荷在某处不受洛伦兹力的作用，则该处的磁感应强度一定为零。(×)
(3)用左手定则判断洛伦兹力的方向时，“四指的指向”与电荷定向移动方向相同。(×)
(4)电视显像管是靠磁场使电子束发生偏转的。(√)
(5)磁感应强度的大小B＝ eq \f(F,Il) 。(×)
关键能力·合作学习
知识点一 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动
1．圆周运动的基本公式：
(1)由公式r＝ eq \f(mv,qB) 可知：半径r与比荷 eq \f(q,m) 成反比，与速度v成正比，与磁感应强度B成反比。
(2)由公式T＝ eq \f(2πm,qB) 可知：周期T与速度v、半径r无关，与比荷 eq \f(q,m) 成反比，与磁感应强度B成反比。
2．圆周运动分析：
(1)圆心的确定方法
方法1：若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，则可根据洛伦兹力F⊥v，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图(a)；
方法2：若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，则可作出此两点的连线(即过这两点的圆弧的弦)的中垂线，中垂线与垂线的交点即为圆心，如图(b)。
(2)半径的计算方法
方法1：由物理方法求：半径R＝ eq \f(mv,qB) ；
方法2：由几何方法求：一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)计算来确定。
(3)时间的计算方法
方法1：由圆心角求：t＝ eq \f(θ,2π) ·T；
方法2：由弧长求：t＝ eq \f(s,v) 。
(4)带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的解题三步法：
(5)圆心角与偏向角、圆周角的关系两个结论
①带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向之间的夹角φ叫作偏向角，偏向角等于圆弧对应的圆心角α，即α＝φ，如图所示。
②圆弧PM所对应圆心角α等于弦与切线的夹角(弦切角)θ的2倍，即α＝2θ，如图所示。
电子以某一速度进入洛伦兹力演示仪中。
(1)励磁线圈通电前后电子的运动情况相同吗？
提示：①通电前，电子做匀速直线运动。
②通电后，电子做匀速圆周运动。
(2)电子在洛伦兹力演示仪中做匀速圆周运动时，什么力提供向心力？
提示：洛伦兹力提供向心力。
【典例】如图所示，在第Ⅰ象限内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一对正、负电子分别以相同速率沿与x轴正方向成30°角的方向从原点射入磁场，则正、负电子在磁场中运动的时间之比为( )
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶ eq \r(3) D．1∶1
【解析】选B。画出正、负电子在磁场中运动的轨迹如图所示。由图可知，正电子做匀速圆周运动在磁场中的圆弧轨迹对应的圆心角为120°，负电子做匀速圆周运动在磁场中的圆弧轨迹对应的圆心角为60°，又正、负电子在磁场中做匀速圆周运动的周期T＝ eq \f(2πm,Bq) 相同，故正、负电子在磁场中运动的时间之比为2∶1，故选B。
(2019·全国卷Ⅲ)如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为 eq \f(1,2) B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限。粒子在磁场中运动的时间为( )
A． eq \f(5πm,6qB) B． eq \f(7πm,6qB) C． eq \f(11πm,6qB) D． eq \f(13πm,6qB)
【解析】选B。带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由R＝ eq \f(mv,qB) 可知，第一象限粒子的运动半径是第二象限的运动半径的二倍，整个运动轨迹如图：
即运动由两部分组成，第一部分是 eq \f(1,4) 个周期，第二部分是 eq \f(1,6) 个周期，故总时间t＝ eq \f(1,4) · eq \f(2πm,qB) ＋ eq \f(1,6) · eq \f(2πm,q\f(B,2)) ＝ eq \f(7πm,6qB) ，故B正确。
【加固训练】
1．(多选)两个粒子电荷量相同，在同一匀强磁场中受磁场力而做匀速圆周运动( )
A．若速率相等，则半径必相等
B．若动能相等，则周期必相等
C．若质量相等，则周期必相等
D．若质量与速度的乘积大小相等，则半径必相等
【解析】选C、D。因为粒子在磁场中做圆周运动的半径r＝ eq \f(mv,qB) ，周期T＝ eq \f(2πm,qB) ，又粒子电荷量相同且在同一磁场中，所以q、B相等，r与m、v有关，T只与m有关，所以C、D正确。
2．(多选) 矩形ABCD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，AB＝2d，BC＝ eq \r(3) d，E为AB的中点。从E点沿垂直AB方向射入粒子a，粒子a经磁场偏转后从D点射出磁场，若仍从E点沿垂直AB方向射入粒子b，粒子b经磁场偏转后从B点射出磁场，已知a、b粒子的质量相等，电荷量相等，不计粒子的重力，则( )
A.a、b粒子均带正电
B．a、b粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为4∶1
C．a、b粒子在磁场中运动的速度大小之比为2∶1
D．a、b粒子在磁场中运动的时间之比为1∶3
【解析】选B、D。两粒子在磁场中做圆周运动的轨迹如图所示，根据左手定则可以判断，b粒子带负电，A项错误；设粒子a的运动半径为r1，粒子b的运动半径为r2，根据几何关系可知，(r1－d)2＋( eq \r(3) d)2＝r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ，解得r1＝2d ，r2＝ eq \f(1,2) d，因此 eq \f(r1,r2) ＝ eq \f(4,1) ，B项正确；根据牛顿第二定律qvB＝m eq \f(v2,r) ，得v＝ eq \f(qBr,m) ，得到 eq \f(v1,v2) ＝ eq \f(4,1) ，C项错误；由T＝ eq \f(2πm,qB) 可知，两粒子在磁场中做圆周运动的周期相同，由几何关系可知，a、b粒子在磁场中做圆周运动的轨迹所对的圆心角分别为60°、180°，由此可知，a、b两粒子在磁场中运动的时间之比为1∶3。D项正确。
知识点二 带电粒子在有界磁场中的运动轨迹特点
1．直线边界：进出磁场具有对称性。
2．平行边界：存在临界条件。
3．圆形边界：沿径向射入必沿径向射出。
【典例】(2021·全国乙卷)如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q(q＞0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转60°。不计重力，则 eq \f(v1,v2) 为( )
A． eq \f(1,2) B． eq \f(\r( ,3),3) C． eq \f(\r( ,3),2) D． eq \r( ,3)
【解析】选B。带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力有：qvB＝m eq \f(v2,r) ，解得r＝ eq \f(mv,qB) 。设匀强磁场的圆形区域半径为R，根据粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转90°可知r1＝R，且r1＝ eq \f(mv1,qB) ，射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转60°可知r2＝ eq \r(3) R，且r2＝ eq \f(mv2,qB) ，则 eq \f(v1,v2) ＝ eq \f(r1,r2) ＝ eq \f(1,\r(3)) ＝ eq \f(\r(3),3) ，故选项B正确。
1.如图所示，半径为r的圆形空间内，存在垂直于纸面向外的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子(不计重力)，从静止经电场加速后从圆形空间边缘上的A点沿半径方向垂直射入磁场，在C点射出。已知∠AOC＝120°，粒子在磁场中运动时间为t0，则加速电场的电压为( )
A． eq \f(π2r2m,6qt eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ) B． eq \f(π2r2m,24qt eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) )
C． eq \f(2π2r2m,3qt eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ) D． eq \f(π2r2m,18qt eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) )
【解析】选A。根据几何知识可知，粒子轨迹对应的圆心角为α＝180°－120°＝60°＝ eq \f(π,3) ，轨迹半径为R＝rtan60°＝ eq \r(3) r
由t0＝ eq \f(\f(π,3),2π) · eq \f(2πR,v) 及qU＝ eq \f(1,2) mv2得U＝ eq \f(π2r2m,6qt eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ) ，A正确，B、C、D错误。
2. (2019·全国卷Ⅱ)如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为( )
A． eq \f(1,4) kBl， eq \f(\r(5),4) kBl B． eq \f(1,4) kBl， eq \f(5,4) kBl
C． eq \f(1,2) kBl， eq \f(\r(5),4) kBl D． eq \f(1,2) kBl， eq \f(5,4) kBl
【解析】选B。电子的运动轨迹如图所示，由牛顿第二定律得evB＝m eq \f(v2,r) ，得r＝ eq \f(mv,eB) ①，电子从a点射出，r＝ eq \f(l,4) ②，联立①②解得v1＝ eq \f(1,4) kBl；电子从d点射出，由几何关系得l2＋(r－ eq \f(l,2) )2＝r2，解得r＝ eq \f(5,4) l③，联立①③解得v2＝ eq \f(5,4) kBl，故B正确，A、C、D错误。
【加固训练】
如图所示，三个速度大小不同的同种带电粒子(重力不计)，沿同一方向从图中长方形区域的匀强磁场上边缘射入，当它们从下边缘飞出时相对入射方向的偏角分别为90°、60°、30°，则它们在磁场中运动的时间之比为( )
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3
C．3∶2∶1 D．1∶ eq \r(2) ∶ eq \r(3)
【解析】选C。粒子在磁场中运动的周期的公式为T＝ eq \f(2πm,qB) ，所以三个粒子在磁场中的周期相同，三个粒子的速度偏转角分别为90°、60°、30°，所以偏转角为90°的粒子在磁场中运动的时间为 eq \f(1,4) T，偏转角为60°的粒子运动的时间为 eq \f(1,6) T，偏转角为30°的粒子运动的时间为 eq \f(1,12) T，所以有 eq \f(1,4) T∶ eq \f(1,6) T∶ eq \f(1,12) T＝3∶2∶1，C正确。
【拓展例题】考查内容：带电粒子在电场与磁场的组合场中的运动
【典例】如图所示，一个质量为m、电荷量为q的正离子，在D处沿图示方向以一定的速度射入磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。结果离子正好从距A点为d的小孔C沿垂直于电场方向进入匀强电场，此电场方向与AC平行且向上，最后离子打在G处，而G处距A点2d(AG⊥AC)。不计离子重力，离子运动轨迹在纸面内。求：
(1)此离子在磁场中做圆周运动的半径r。
(2)离子从D处运动到G处所需时间。
(3)离子到达G处时的动能。
【解析】(1)正离子运动轨迹如图所示。
圆周运动半径r满足d＝r＋r cs 60°，
解得r＝ eq \f(2,3) d。
(2)设离子在磁场中的运动速度为v0，则有
qv0B＝m eq \f(v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,r) ，T＝ eq \f(2πr,v0) ＝ eq \f(2πm,qB) ，
由图知离子在磁场中做圆周运动的时间t1＝ eq \f(1,3) T＝ eq \f(2πm,3Bq) ，
离子在电场中做类平抛运动，
从C到G的时间t2＝ eq \f(2d,v0) ＝ eq \f(3m,Bq) ，
离子从D→C→G的总时间t＝t1＋t2＝ eq \f(（9＋2π）m,3Bq) 。
(3)设电场强度为E，
则有qE＝ma，d＝ eq \f(1,2) at eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ，v0＝ eq \f(2qBd,3m) ，
由动能定理得qEd＝EkG－ eq \f(1,2) mv eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ；
解得：EkG＝ eq \f(4B2q2d2,9m) 。
答案：(1) eq \f(2,3) d (2) eq \f(（9＋2π）m,3Bq) (3) eq \f(4B2q2d2,9m)
情境·模型·素养
极光是由来自宇宙空间的高能带电粒子流进入地球大气层后，由于地磁场的作用而产生的。如图所示，科学家发现并证实，这些高能带电粒子流向两极时做螺旋运动，旋转半径不断减小。
探究：
(1)粒子在运动过程中动能怎么变化？
(2)粒子旋转半径不断减小的原因可能是什么？
提示：(1)粒子受到的洛伦兹力始终与速度垂直，所以洛伦兹力不做功，粒子在运动过程中可能受到空气的阻力，对粒子做负功，所以其动能会减小。
(2)粒子在运动过程中，若电荷量减小，由半径公式r＝ eq \f(mv,qB) 可知，轨迹半径是增大的，地球南北两极附近的磁感应强度较强，由半径公式r＝ eq \f(mv,qB) 可知，轨迹半径是减小的，所以粒子旋转半径不断减小的原因是地球南北两极附近的磁感应强度较强。
如图所示为一速度选择器，也称为滤速器的原理图。K为电子枪，由枪中沿KA方向射出的电子，速率大小不一。当电子通过方向互相垂直的均匀电场和磁场后，只有一定速率的电子能沿直线前进，并通过小孔S。设产生匀强电场的平行板间的电压为300 V，间距为5 cm，垂直纸面的匀强磁场的磁感应强度为0.06 T。
探究：
(1)磁场的指向应该向里还是向外？
(2)速度为多大的电子才能通过小孔S?
提示：(1)速率不同的电子从A点沿直线KA射入板间，受到竖直向上的电场力，则洛伦兹力竖直向下，根据左手定则知B的方向垂直于纸面向里；
(2)沿直线KA通过小孔S的电子所受电场力与洛伦兹力大小相等，由平衡条件得evB＝e eq \f(U,d) ，
代入数据解得v＝1×105 m/s，
即只有速率为105 m/s的电子可以通过小孔S。
课堂检测·素养达标
1．在匀强磁场中，一个带电粒子做匀速圆周运动，如果又顺利垂直进入另一磁感应强度是原来磁感应强度一半的匀强磁场，则( )
A．粒子的速率加倍，周期减半
B．粒子的速率不变，轨道半径减半
C．粒子的速率减半，轨道半径变为原来的2倍
D．粒子的速率不变，周期变为原来的2倍
【解析】选D。因洛伦兹力对粒子不做功，故粒子的速率不变，当磁感应强度减半后，由R＝ eq \f(mv,Bq) 可知，轨迹半径变成原来的2倍，由T＝ eq \f(2πm,Bq) 可知，粒子的周期变成原来的2倍，故D正确，A、B、C错误。
【加固训练】
1．(2019·广东学业考试)甲、乙两个带电粒子带电量分别为q和2q，运动速度分别为v和2v，当它们都进入同一匀强磁场，且速度方向都与磁场方向垂直时，甲、乙受到的洛伦兹力大小之比为( )
A．4∶1 B．2∶1 C．1∶2 D．1∶4
【解析】选D。根据公式F＝qBv得，甲粒子受到的洛伦兹力F1＝qBv，乙粒子受到的洛伦兹力F2＝2qB·2v＝4qBv，所以甲、乙受到的洛伦兹力大小之比为1∶4；A、B、C错误，D正确；故选D。
2．如图是洛伦兹力演示仪的实物图和结构示意图。用洛伦兹力演示仪可以观察运动电子在磁场中的运动径迹。下列关于实验现象和分析正确的是( )
A．励磁线圈通以逆时针方向的电流，则能形成结构示意图中的电子运动径迹
B．励磁线圈通以顺时针方向的电流，则能形成结构示意图中的电子运动径迹
C．保持励磁电压不变，增加加速电压，电子束形成圆周的半径减小
D．保持加速电压不变，增加励磁电压，电子束形成圆周的半径增大
【解析】选B。励磁线圈通以顺时针方向的电流，则由右手定则可知线圈内部磁场向里，由左手定则可知能形成结构示意图中的电子运动径迹，故B正确，A错误；保持励磁电压不变，增加加速电压，则电子的运动速度变大，根据r＝ eq \f(mv,qB) 可知电子束形成圆周的半径增大，故C错误；保持加速电压不变，增加励磁电压，则B变大，根据r＝ eq \f(mv,qB) 电子束形成圆周的半径减小，故D错误。
2．(多选)(2019·海南高考)如图，虚线MN的右侧有方向垂直于纸面向里的匀强磁场，两电荷量相同的粒子P、Q从磁场边界的M点先后射入磁场，在纸面内运动。射入磁场时，P的速度vP垂直于磁场边界，Q的速度vQ与磁场边界的夹角为45°。
已知两粒子均从N点射出磁场，且在磁场中运动的时间相同，则( )
A．P和Q的质量之比为1∶2
B．P和Q的质量之比为 eq \r(2) ∶1
C．P和Q速度大小之比为 eq \r(2) ∶1
D．P和Q速度大小之比为2∶1
【解析】选A、C。作出两粒子在磁场中的运动图像如图所示，可知其半径rP、rQ之比为1∶ eq \r(2) ，因为两粒子在磁场中运动的时间相同，所以TP∶TQ＝1∶2，根据qvB＝ eq \f(mv2,r) 得r＝ eq \f(mv,qB) ，则T＝ eq \f(2πr,v) ＝ eq \f(2πm,qB) ， eq \f(mP,mQ) ＝ eq \f(TP,TQ) ＝ eq \f(1,2) ，选项A正确，B错误； eq \f(vP,vQ) ＝ eq \f(rPTQ,rQTP) ＝ eq \r(2) ∶1，所以选项C正确，D错误。
3.如图所示，在真空中，有一半径为r的圆形区域内充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一带电粒子质量为m，电量为q，以某一速度由a点沿半径方向射入磁场，从b点射出磁场时其速度方向改变了60°，(粒子的重力可忽略)试求：
(1)该粒子在磁场中的运动时间t；
(2)粒子做圆周运动的半径R；
(3)粒子运动的速度v0。
【解析】(1)设圆周运动半径为R，粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力Bqv0＝ eq \f(mv eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,R)
而T＝ eq \f(2πR,v0)
联立解得周期为T＝ eq \f(2πm,Bq)
则粒子运动时间t＝ eq \f(1,6) T＝ eq \f(πm,3Bq)
(2)由几何关系有R＝r·tan 60°＝ eq \r(3) r
(3)洛伦兹力提供向心力Bqv0＝ eq \f(mv eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,R)
解得v0＝ eq \f(\r(3)Bqr,m)
答案：(1) eq \f(πm,3Bq) (2) eq \r(3) r (3) eq \f(\r(3)Bqr,m)
【加固训练】
(多选)如图所示为圆柱形区域的横截面，在该区域加沿圆柱轴线方向的匀强磁场。带电粒子(不计重力)第一次以速度v1沿截面直径入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转60°角；该带电粒子第二次以速度v2从同一点沿同一方向入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转90°角。则带电粒子第一次和第二次在磁场中运动的( )
A．半径之比为 eq \r(3) ∶1 B．速度大小之比为1∶ eq \r(3)
C．时间之比为2∶3 D．时间之比为3∶2
【解析】选A、C。设磁场半径为R，当第一次以速度v1沿截面直径入射时，粒子飞出此磁场区域时速度方向偏转60°角，则知带电粒子轨迹对应的圆心角：θ1＝60°
轨迹半径为：r1＝Rtan60°
运动时间为：t1＝ eq \f(60°,360°) T＝ eq \f(1,6) T
带电粒子第二次以速度v2沿直径入射时，粒子飞出此磁场区域时速度方向偏转90°角，则知带电粒子轨迹对应的圆心角：
θ2＝90°
轨迹半径为：r2＝R
运动时间为：t2＝ eq \f(90°,360°) T＝ eq \f(1,4) T
所以轨迹半径之比：r1∶r2＝ eq \r(3) ∶1
时间之比：t1∶t2＝2∶3
根据半径公式r＝ eq \f(mv,qB) 得，速度大小之比：v1∶v2＝r1∶r2＝ eq \r(3) ∶1
故A、C正确，B、D错误；故选A、C。实验操作
轨迹特点
不加磁场时
电子束的径迹是直线
给励磁线圈通电后
电子束的径迹是圆周
保持电子速度不变，改变磁感应强度
磁感应强度越大，轨迹半径越小
保持磁感应强度不变，改变电子速度
电子速度越大，轨迹半径越大