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北师大版数学六年级下 第十五讲 真题拓展—几何 基础版（教师版+学生版）
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第15讲 真题拓展——几何
一．选择题（共17小题）
1．（嵩县）把长方形拉成平行四边形，长方形和平行四边形相比，说法正确的是（ ）
A．周长相等 B．面积相等
C．周长面积都不相等
【分析】平面图形的周长就是围成它的所有线段的长度和；将长方形拉成平行四边形后，每个边的长度没变，所以它的周长就不变，但是它的高变小了，因此面积就变小了．据此解答．
【解答】解：因为把长方形拉成平行四边形后，每个边的长度没变，所以它的周长就不变；
但是平行四边形的高比长方形的宽变小了，所以平行四边形的面积就变小了；
故选：A．
【点评】此题主要考查周长的定义及长方形和平行四边形的面积公式．最好是动手操作观察即可知答案，关键理解它们的面积．
2．（岳麓区）在一条线段中间另有6个点，则这8个点可以构成（ ）条线段．
A．21 B．28 C．36 D．48
【分析】根据在一条直线上有n个点，则线段的条数的公式：n(n−1)2进行计算．
【解答】解：这条线段上有6+2＝8个点
故这条线段上的线段共有：n(n−1)2=8×(8−1)2=28（条）．
故选：B．
【点评】本题考查了线段的条数问题，线段的条数的公式要识记．
3．（长沙）如图，路线1是以AB为直径的半圆，路线2是四个半圆组成的曲线，一只蚂蚁要从A爬到B，则沿路线1和沿路线2所走的路程 （ ）
A．路线1少 B．路线2少
C．路线1和路线2一样 D．无法确定
【分析】由图可知，是四个中小圆弧的圆心在大圆弧的一条直径上，即中小圆的直径和等于大圆的直径；则大圆的周长的一半就等于四个中小圆的周长和的一半，所以路线1和沿路线2所走的路程相等；据此解答．
【解答】解：因为中小圆的直径和等于大圆的直径；则大圆的周长的一半就等于四个中小圆的周长和的一半，
所以路线1和沿路线2所走的路程相等．
故选：C．
【点评】此题主要考查了长度的比较，解答此题的关键是熟练掌握圆的周长公式．
4．（平原县）一个正方体木块，从顶点上挖去一个小长方体后，下面说法正确的是（ ）
A．体积变小，表面积也变小
B．体积变小，表面积不变
C．体积不变，表面积也不变
D．无法确定
【分析】从顶点上挖去一个小长方体后，体积明显的减少了；但表面减少了长方体3个不同的面的面积，同时又增加了3个切面，即相当于增加了长方体3个不同的面的面积，然后据此解答即可．
【解答】解：从顶点上挖去一个小长方体后，体积减少了；
表面减少了长方体3个不同的面的面积，同时又增加了3个切面，即相当于增加了长方体3个不同的面的面积，实际上表面积不变；所以体积变小，表面积不变．
故选：B．
【点评】本题关键是理解挖去的小长方体是在什么位置，注意知识的拓展：如果从顶点挖而且没有挖透那么体积变小，表面积不变；如果从一个面的中间挖而且没有挖透那么体积变小，表面积变大；如果从把两个顶点部分都挖去那么体积变小，表面积也变小．
5．（南京）图是一个长3厘米、宽和高都是2厘米的长方体．将它挖掉一个棱长1厘米的小正方体，它的表面积（ ）
A．比原来大 B．比原来小 C．不变 D．无法确定
【分析】要想知道这个立体图形的表面积发生了什么变化，只要把去掉的面积和增加的面积进行比较，看增加还是减少即可．
【解答】解：据题意和图可知，挖掉一个棱长1厘米的小正方体后，它的表面积去掉了2个面，也就是减少了2平方厘米；
但是它的表面同时增加了4个面，也就是增加了4平方厘米；
所以它的表面积增加了2平方厘米．
故选：A。
【点评】把减少的面积和增加的面积进行比较，然后判定它的面积发生了什么变化．
6．（长沙）从如图中拿走一个小正方形，那么图形的周长与原图形的周长相比将（ ）
A．不变 B．变小 C．变大
【分析】根据图示可知，减去一个小正方形后，围成长方形的线段和原来的线段条数和长度不变，所以图形的周长与原图形的周长相等，据此解答。
【解答】解：因为围成图形的线段的长度没变，所以图形的周长与原图形的周长相比将不变。
故选：A。
【点评】本题主要考查长度的比较，关键是分清变化前后图形的变化。
7．（唐县）在下面边长为8cm的正方形中，减去一个长4cm宽2cm的长方形，下面的四种方法中，剩下的部分（ ）的周长最长．
A． B． C． D．
【分析】根据各选项中长方形原来露出的各边长与减掉后露出的各边长之间的关系选择即可．
【解答】解：A、B选项长方形原来露着1个长和一个宽，减掉后依然露一个长和一个宽，周长没变．
C选项原来露着一个宽，现在露着1个宽和2个长，多2个长的长度．
D选项原来露着一个长，现在露着2个宽和1个长，多2个宽的长度．
因为长方形的长大于宽，所以C选项的剩余周长最长．
故选：C．
【点评】本题主要考查图形的长度的比较，关键是结合图示，找到减去长方形前后周长的变化．
8．（官渡区）如图两个图形相比，描述正确的是（ ）
A．周长和面积都不相等 B．周长和面积都相等
C．周长不相等，面积相等
【分析】将左边的图形分割平移，会得到一个和右边图形一样的长方形，根据两点之间线段最短，以及长方形面积公式即可判断．
【解答】解：将左边的图形分割，并平移到右侧半圆处，如图：
由图形可知，平移后的图形和右侧图形相同，面积相等，周长相等，
①②两个半圆直径相同，根据S＝2πr，可知，两个半圆面积相等，
所以两个图形面积相等；
根据两点之间线段最短，圆弧的长度大于长方形的宽，两个图形的长相等，
所以左侧图形的周长大于右侧图形的周长．
故选：C．
【点评】本题主要考查了两个图形周长和面积的比较，需要学生具有较好的几何直观，通过平移来解决问题．
9．（鸡西）欲建一道长100尺，高7尺的单层砖墙，能够使用的砖块有两种：长2尺高1尺或长1尺高1尺（且砖块不能切割）。垂直连接砖块必须如图所示交错间隔，且墙的两端必须砌平整。试问至少需要多少砖块才能建成此道墙？（ ）
A．347 B．350 C．353 D．366
【分析】从题意可以推知要使使用的砖块最少，应该尽量使用大砖，第一层使用大砖，需要50块；第二层由于必须交错间隔，所以必须要使用小砖，而使用最少的小砖的惟一方法是两端使用小砖，加上大砖共需要51块；第三层也用大砖，仍要50块，第四层类似第二层，依此类推，共七层。据此列式解答即可。
【解答】解：最后使用的砖块数为：
50+51+50+51+50+51+50＝353（块）。
故选：C。
【点评】解答本题的关键是得出要使使用的砖块最少，应该尽量使用大砖。
10．（长沙）现有1克、2克、4克、8克的砝码各1个，能称出（ ）种不同的重量。
A．4 B．10 C．15
【分析】四个砝码选1个，可以有四种情况：1克、2克、4克、8克；选2个有6种情况：1+2＝3（克）、4+1＝5（克）、8+1＝9（克）、2+4＝6（克）、8+2＝10（克）、8+4＝12（克）；选3个有4种：1+2+4＝7（克）、1+4+8＝13（克）、2+1+8＝11（克）、4+8+2＝14（克）；选4个只有一种情况：1+2+4+8＝15（克）。据此解答。
【解答】解：4+6+4+1＝15（种）
答：能称出15种不同的重量。
故选：C。
【点评】本题考查了学生排列组合方面的知识以及学生的分析推理能力。
11．（长沙）A和B都是整数，且A×B＝36，则A和B的和最小可能是（ ）
A．12 B．13 C．20 D．37
【分析】因为36＝2×2×3×3，所以当A＝B＝6时，A与B的和最小，据此解答．
【解答】解：因为36＝2×2×3×3，
所以当A＝B＝6时A+B＝6+6＝12
故选：A．
【点评】本题主要是利用在两个数的积一定时，两个数越是接近，和就越小．
12．（石家庄）“如果所有的W是T，而没有T是G，那么肯定没有G是W”这个说法是（ ）
A．真 B．假 C．不确定
【分析】根据“如果所有的W是T，而没有T是G”可得：W不是G，即肯定没有G是W；据此解答即可．
【解答】解：根据“如果所有的W是T，而没有T是G”可得：W不是G，即肯定没有G是W；所以这个说法是真的．
故选：A．
【点评】本题考查了简单归纳与推理，关键是根据它们之间的递推关系作为解答的突破口．
13．（黄陂区）有甲、乙、丙三位老师，一位是数学老师，一位是科学老师，一位是音乐老师．已知甲不是音乐老师，音乐老师的年龄比乙小，丙比科学老师年龄大．那么，下面的判断正确的是（ ）
A．甲是数学老师，乙是音乐老师，丙是科学老师
B．甲是数学老师，乙是科学老师，丙是音乐老师
C．甲是科学老师，乙是数学老师，丙是音乐老师
D．甲是科学老师，乙是音乐老师，丙是数学老师
【分析】根据甲不是音乐老师，音乐老师比乙小，知丙是音乐老师．丙又比科学老师大，所以，乙不是科学老师，甲是科学老师．
【解答】解：根据题意，甲不是音乐老师，音乐老师比乙小，知：丙是音乐老师．又因为：丙比科学老师大，丙比乙小，所以，乙不是科学老师，甲是科学老师．
所以：甲是科学老师，乙是数学老师，丙是音乐老师．
故选：C．
【点评】本题关键根据“甲不是音乐老师，音乐老师的年龄比乙小”，推出音乐老师是丙．
14．（宜兴市）2018年俄罗斯世界杯足球比赛共有32支国家队参赛，分为8个小组，每组4队进行比赛，每支球队都必须和其他3支球队进行且只进行一场比赛，每队获胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某个小组比赛情况如表：
从表中可以看出，乙队和丙队比赛，乙队获得了多少分？（ ）
球队
场次
胜
平
负
积分
甲队
3
2
1
0
7
乙队
3
1
2
0
5
丙队
3
1
0
2
3
丁队
3
0
1
2
1
A．0分 B．1分 C．3分 D．不能确定
【分析】根据4只小队的得分情况可知：乙队平了2场，只能是和甲队和丁队进行比赛的结果；甲队胜了2场，是与丙队和丁队进行比赛的结果；丁队与丙队进行的比赛，丁负，则丙胜；则丙队与乙队的比赛，丙负．据此解答．
【解答】解：因为乙队平了2场，只能是和甲队和丁队进行比赛的结果；
甲队胜了2场，是与丙队和丁队进行比赛的结果；
丁队与丙队进行的比赛，丁负，则丙胜；
则丙队与乙队的比赛，丙负，乙胜，则乙队与丙队的比赛，乙队获得3分．
故选：C．
【点评】本题主要考查逻辑推理，关键是找到乙队平两场的对手．
15．（唐山）小王、小张和小李，一位是工人，一位是农民，一位是战士，现在知道：小李比战士年龄大，小王和农民不同岁，农民比小张年龄大．则（ ）是工人．
A．小王 B．小张 C．小李 D．不能确定
【分析】因为小王和农民不同岁，农民比小张年龄大，所以小王和小张都不是农民，则小李是农民，小李比小张年龄大；又因为小李比战士年龄大，所以小张是战士；那么剩下的小王是工人，据此解答即可．
【解答】解：因为小王和农民不同岁，农民比小张年龄大，所以小王和小张都不是农民，则小李是农民，小李比小张年龄大；
又因为小李比战士年龄大，所以小张是战士；
那么剩下的小王是工人；
答：小王是工人．
故选：A．
【点评】本题考查了简单的逻辑推理，关键是根据逻辑关系确定小李是农民．
16．（齐齐哈尔）已知两个四位数的差为7930，问这两个四位数的和最大值为多少？（ ）
A．12068 B．12560 C．13268 D．13650
【分析】已知两个四位数的差是7930，要使这两个四位数的和最大，则必须使这两个四位数最大，最大的四位数是9999，减去两个数的差7930，求出另一个四位数，然后把它们加起来，即可得解．
【解答】解：最大的四位数是9999，另一个四位数是：9999﹣7930＝2069
9999+2069＝12068
答：两个四位数的和最大值为12068．
故选：A。
【点评】差一定的情况下，我们就可以用一个数来确定另一个数，只要一个数大另一个随之大，只要一个小另一个随之小．
17．（绵阳）整数X1，X2，…X9为的和为220，且X1＜X2…＜X9，则当X1+X2+..X5的值最大时，X9﹣X1的最小值是（ ）、
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】当 X1，X2，…X9接近平均数时，X1+X2+..X5 的值最大．预留出36：（1+2+3+4+5+6+7+8）＝36，220﹣36＝184，用184÷9求得平均数后，把依次加到X2，X3，…X9．
【解答】解：由题意：x1，x2，…，x9均为正整数，
220﹣（1+2+3+…+8）＝220﹣36＝184，
184÷9＝20…4
20，20+1，20+2，20+3，20+4，20+5，20+6，20+7，20+8．这9个数的大小最接近，把余数4分给后4个数时，X9的值最小，此时这9个数分别是：20，20+1，20+2，20+3，20+4，20+5+1，
20+6+1，20+7+1，20+8+1．
X9﹣X1的最小值为：29﹣20＝9．
故选：B．
【点评】想明白这9个数越接近，差越小，这道题的题意就理解了．
二．填空题（共17小题）
18．（长沙）如图，ABCD是平行四边形，面积是72平方厘米，E、F分别为AB、BC的中点，则图中阴影部分的面积为 48 平方厘米．
【分析】根据题意，延长FE，DA延长线相交于点G，易证明△AEG≌△BEF，则AG＝BF=12DA，因为E、F分别为AB、BC的中点，所以AC与GF平行，可知AP=23GE=13GF=13AC，同理AQ=23AC，所以P、Q为AC的三等分点，由此可知AP＝PQ＝QC，所以三角形DAP，DPQ，DQC等底等高，面积相等，由AP=23GE=13GF=13AC可得三角形APE、CQF为以上三角形面积的一半，因为ABCD是平行四边形，面积是72平方厘米，所以DPQ面积为12，APE、CQF面积分别为6，所以阴影面积是48平方厘米．
【解答】解：如图，延长FE，DA延长线相交于点G，则AG＝BF=12DA．因为E、F分别为AB、BC的中点，所以AC与GF平行，可知AP=23GE=13GF=13AC，同理AQ=23AC，所以P、Q为AC的三等分点．
设AC与DE、DF交点分别为P、Q
三角形ADP、DPQ、DQC面积相等
而三角形APE、CQF为以上三角形面积的一半
所以DPQ面积为12，APE、CQF面积分别为6
阴影面积为72﹣12﹣6﹣6＝48（平方厘米）
【点评】本题考查了三角形面积的底与高的关系．
19．（衡阳）如图：它是由若干个小正方体搭成，数一数它共有 11 个这样的小正方体。
【分析】观察图形可知，这个图形是2层：下层7个，上层4个，据此加起来即可解答问题。
【解答】解：根据题干分析可得：4+7＝11（个）
答：它共有11个这样的小正方体。
故答案为：11。
【点评】此题主要考查了组合图形的计数，要注意做到分层计数，做到不重不漏。
20．（武侯区）如图中一共有 35 个三角形．
【分析】将图分成左右两部分，因为左边和右边的三角形都有一个公共的顶点，所以只要看与顶点对应的底边有几条线段就有几个三角形，乘2就可以求出左右的三角形，然后加上左右合在一起的三角形个数即可解题．
【解答】解：左边的三角形个数：5+4+3+2+1＝15（个）
右边的三角形个数：5+4+3+2+1＝15（个）
左右合在一起有：5个
一共有：15+15+5＝35（个）
故答案为：35．
【点评】解决本题的关键是根据三角形的边的关系将三角形的个数转化成线段的条数来解答．
21．（唐山）一个边长是15厘米的正方形，如果从四角剪去一个边长是1厘米的小正方形，那么它的周长是 60 厘米．
【分析】通过平移可以把减去的部分补上，周长不变；据此解答．
【解答】解：可以通过作图解决：如图：通过平移可以把减去的部分补上，剪掉的部分是2和4，多出的部分是1和3，其中线段1＝线段2，线段3＝线段4，将1平移到2的位置，将3平移到4的位置，其它几条线段同样的方法平移，则新图形的周长等于原图形的周长，周长不变；
原来正方形的周长＝15×4＝60（厘米），
答：它的周长是60厘米；
故答案为：60．
【点评】解决此题通过图形解决更直观，较易理解．
22．（株洲）长方形ABCD的长10cm，宽4.5cm，沿对角线对折后，得到如图的几何图形，阴影部分的周长是 29 cm．
【分析】根据长方形沿对角线对折后与原图形的对应关系可知阴影部分的周长＝长方形的周长，依此可列算式（10+4.5）×2求解．
【解答】解：（10+4.5）×2
＝14.5×2
＝29（cm）
答：阴影部分的周长是29cm．
故答案为：29．
【点评】考查了简单图形的折叠问题，本题的关键是找到长方形沿对角线对折后与原图形的对应关系．
23．（马鞍山）如图所示，把底面直径4厘米、高10厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体．这个长方体的体积是 125.6 立方厘米，表面积是 190.72 平方厘米．
【分析】把圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体．这个近似长方体的长等于圆柱的底面周长的一半，宽等于圆柱的底面半径，高等于圆柱的高，体积不变等于圆柱的体积，然后根据长方体的体积公式和表面积公式解答即可．
【解答】解：长方体的长：3.14×4÷2＝6.28（厘米）；
长方体的宽：4÷2＝2（厘米）；
体积：6.28×2×10
＝12.56×10
＝125.6（立方厘米）；
表面积是：（6.28×2+6.28×10+2×10）×2
＝（12.56+62.8+20）×2
＝190.72（平方厘米）．
答：这个近似长方体的体积是125.6立方厘米，表面积是190.72平方厘米．
故答案为：125.6，190.72．
【点评】本题重点考查了圆柱体的体积推导公式的过程中的一些知识点：长方体的长等于圆柱的底面周长的一半，宽等于圆柱的底面半径，高等于圆柱的高．
24．（长沙）如图所示：任意四边形ABCD，E是AB中点，F是CD中点，已知四边形ABCD面积是10，则阴影部分的面积是 5 ．
【分析】如下图有连接BD，就把阴影部分的面积分成了两个三角形，由等底等高的三角形的面积相等可知，求出S△DEB=12S△ADB和S△BDF=12S△BDC，所以阴影部分的面积=12S△ADB+12S△BDC＝5．
【解答】解：因为AE＝BE，而△ADE与△BDE的高一样，所以S△ADE＝S△BDE=12S△ABD；
因为DF＝FC，而△BDF与△BCF的高一样，所以S△BDF＝S△BCF=12S△BDC；
所以S△BDE+S△BDF＝阴影部分的面积=12四边形ABCD面积＝5；
故答案为：5．
【点评】解题的关键是找到阴影部分的面积与四边形ABCD的关系．
25．（扶风县）如图是由同样大小的小方块堆积起来的，每个小方块的棱长是1分米，这堆小方块露在外面的面积是 15平方分米 ．
【分析】从上面看，露出的小正方体的面有4个；
从正面看，露出的小正方体的面有6个；
从侧面看，露出的小正方体的面有5个；
其它的三个面都被墙面和地面遮挡，由此即可求得这堆小正方形露在外面的面积．
【解答】解：根据题干分析可得：
（4+6+5）×1×1＝15（平方分米），
答：这堆小方块露在外面的面积是15平方分米．
故答案为：15平方分米．
【点评】此题要注意是求露出来的表面积，所以这里的表面积是指只有三个面观察到的正方体的面的面积之和．
26．（江北区）如图是由两个边长分别为3厘米和4厘米的正方形组成，以虚线这条边为轴快速旋转后形成一个立体图形，这个立体图形所占空间大小是 285.74 立方厘米．
【分析】这个图形旋转以后，会组成大小两个圆柱，小圆柱的底面半径是3厘米，高是3厘米，大圆柱的底面半径是4厘米，高是4厘米，然后根据圆柱的体积＝底面积×高，然后把两个圆柱的体积加起来即可．
【解答】解：根据题意得
3.14×32×3+3.14×42×4
＝84.78+200.96
＝285.74（立方厘米）
故答案为：285.74．
【点评】本题考查了圆柱的体积，解决本题的关键是要知道图形旋转后得到的立体图形是什么．
27．（海门市）如图，5个棱长为2分米的正方体硬纸箱堆放在墙角，体积一共是 40 立方分米，露在外面的硬纸面积是 40 平方分米．
【分析】（1）观察图形可知，这个立体图形的体积是图中5个小正方体的体积之和，利用正方体的体积公式计算出1个小正方体的体积，再乘5即可；
（2）这个图形的前面有4个正方体面露在外面，右面、上面都有3个正方体面露在外面，所以一共是4+3+3＝10个面，据此解答即可．
【解答】解：（1）体积是：2×2×2×5＝40（立方分米）
（2）露在外部的面积是：2×2×（4+3+3）
＝4×10
＝40（平方分米）
答：体积一共是40立方分米，露在外面的硬纸面积是40平方分米．
故答案为：40，40．
【点评】此题考查规则图形的表面积和体积的计算，解决此题的关键是求出露在外面的面的总个数．
28．（长沙）如图，平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，连接AP，若S△APH＝2，则S四边形PGCD＝ 8
【分析】根据平行四边形的定义可以得到四边形HPFD、四边形PGCF是平行四边形，根据平行四边形的性质、三角形的面积公式计算即可。
【解答】解：因为EF∥BC，GH∥AB，
所以四边形HPFD、四边形PGCF是平行四边形，
∵S△APH＝2，CG＝2BG，
∴S△DPH＝2S△APH＝4，
∴平行四边形HPFD的面积＝8，
∴平行四边形PGCF的面积=12×平行四边形HPFD的面积＝4，
∴S四边形PGCD＝4+4＝8，
故答案为：8。
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定、三角形的面积公计算，掌握平行四边形的性质定理是解题的关键。
29．（顺德区）如图是由5个棱长是3厘米的正方体搭成的立体图形，将这个立体图形的表面（包括底面）涂上相同颜色．其中只有3个面涂上颜色的正方体有 1 个；整个立体图形的表面积是 180 平方厘米．
【分析】三面涂色的正方体特点是：有3个面与其他正方体相连；可以利用数正方体的面的个数来求立体图形的表面积．
【解答】解：观察图形可得：三面涂上红色的正方体有1个，如下图（标3的这个正方体）：
涂色的面共有：
4×3+3+5
＝12+3+5
＝20（个）
涂色面积为：
3×3×20
＝9×20
＝180（平方厘米）
答：其中只有三个面涂色的正方体有1个，整个立体图形的表面积是180平方厘米．
故答案为：1，180．
【点评】根据正方体的排列特点，找出露在外部的面即是涂色面，这是解题关键．
30．（海安市）正方形网格中，小方格的顶点叫作格点．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在正方形网格的格点上，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的格点C共有 9 个．
【分析】（1）如果AB作底的话，符合条件的格点C共有5个．
（2）如果AB作一个腰的话，符合条件的格点C共有4个．
【解答】解：根据分析，
（1）如果AB作底的话，符合条件的格点C共有5个．
（2）如果AB作腰的话，符合条件的格点C共有4个．
5+4＝9（个）
故答案为：9．
【点评】解答此题的关键是分两种情况解答：AB作底和AB作腰．
31．（岳麓区）如图，在半圆的边界周围有6个点A1、A2、A3、A4、A5、A6，其中A1、A2、A3在半圆的直径上，问以这6个点为端点可以组成 19 个三角形．
【分析】如果其中两点在直径上，一共有9个三角形，如果两点在弧上，另一点在直径上，一共有9个三角形；如果三点都在弧上，只有1个三角形，三点都在直径上不能连成三角形，据此即可解答．
【解答】解：根据题干分析可得：9+9+1＝19（个），
答：一共可以组成19个三角形．
故答案为：19．
【点评】此题考查了图形的计数，要注意三点在一直线上不能围成三角形．
32．（成都）用3、4、5、0四个数可以写 18 个不同的四位数，其中最大的是 5430
【分析】3、4、5、0四个数字没有0，都可以放在任何位置，组成没有重复数字的不同的四位数，即把这四个数字填入4个数位中，分4步完成，第一个数位有3种填法，第二个数位有3种填法，第三个数位有2种填法，第四个数位只有1种填法，用乘法原理，即可得解．要求最大的四位数，把最大的数字排在首位，然后也按从大到小的顺序排列即可．
【解答】解：3×3×2×1＝18（个）
用3、4、5、0四个数字组成最大的数是5430．
答：3、4、5、0四个数可以写 18个不同的四位数，其中最大的是 5430．
故答案为：18；5430．
【点评】用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析要完成的“一件事”是什么，可以“分类”还是需要“分步”．
33．（宁波）甲、乙、丙三位同学进行跑步比赛，跑完后他们每人说了一句话，甲说：我是第一，乙说：我是第二，丙说：我不是第一．可是其中一人说了假话，那么得第一名的是 甲 ．
【分析】根据题意，因为有一人说的是假话，假设甲说的是假的，则乙是第二是对的，丙不是第一也是对的，丙只能是第三，与甲说的假话矛盾；假设丙说的是假话，则他是第一，与甲矛盾；假设乙说的是假的，则甲是第一，丙是第二，乙是第三，合理．
【解答】解：假设甲说的是假的，则乙是第二是对的，丙不是第一也是对的，丙只能是第三，与甲说的假话矛盾；
假设丙说的是假话，则他是第一，与甲矛盾；
假设乙说的是假的，则甲是第一，丙是第二，乙是第三，合理．
答：乙说的是假话，第一名为甲．
故答案为：甲．
【点评】本题主要考查逻辑推理问题，关键利用假设法找出矛盾，从而找出说假话的人．
34．（长沙）现有1元，5角、2角、1角的纸币各一张，一共可以组成 15 种不同的币值．
【分析】根据题意知道，一张1元、一张5角、一张2角、一张1角，就是4种不同的币值，再由一张1元、一张5角、一张2角、一张1角，可以组成币值是3角，6角，7角，8角，11角，12角，13角，15角，16角，17角，18角，就是11种不同币值，由此即可得出答案．
【解答】解：（1）一张1元、一张5角、一张2角、一张1角，就是4种不同的币值，
（2）1元＝10角；
又因为，1+2＝3（角），
5+1＝6（角），
5+2＝7（角），
5+2+1＝8（角），
10+1＝11（角），
10+2＝12（角）
10+1+2＝13（角），
10+5＝15（角），
10+5+1＝16（角），
10+5+2＝17（角），
10+5+2+1＝18（角），
所以共11种不同的币值，
一共有：4+11＝15（种），
答：可组成15种不同的币值．
故答案为：15．
【点评】解答此题的关键是，根据题意，能利用所给的币值，找出组成的不同币值时，一定不要重复和遗漏．
三．计算题（共2小题）
35．（成都）如图，一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱和一个圆锥组成，圆柱的底面直径和高都是12厘米．其内有一些水，正放时水面离容器顶部11厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的体积是多少立方厘米？（π取3.14）
【分析】底面半径为：12÷2＝6（厘米），利用圆锥体积公式及圆柱体积公式，设圆锥的高为x厘米，根据水的体积不变，列方程为：3.14×62×（12+x﹣11）＝3.14×62×（12﹣5）+3.14×62×x，解得x＝9，则容器的体积为：3.14×62×12+3.14×62×9×13=1695.6（立方厘米）．
【解答】解：
设圆锥的高为x厘米，
12÷2＝6（厘米）
3.14×62×（12+x﹣11）＝3.14×62×（12﹣5）+3.14×62×x
1+x＝7+13x
x＝9
则容器的体积为：
3.14×62×12+3.14×62×9×13
＝3.14×36×15
＝1695.6（立方厘米）
答：这个容器的体积是1695.6立方厘米．
【点评】本题主要考查等积变形，关键根据空白部分的体积求圆锥的高，利用圆柱和圆锥体积做题．
36．（长沙）求下面图形的体积。（π取3.14）
【分析】观察图形可知，这个组合图形的体积等于这个长38、宽32、高12的长方体的体积与底面半径是（32﹣10﹣10）÷2＝6，长为38的半圆柱的体积之差，据此利用长方体的体积＝长×宽×高，半圆柱的体积＝底面积×高÷2，代入数据计数即可解答问题。
【解答】解：（32﹣10﹣10）÷2
＝12÷2
＝6
38×32×12﹣3.14×62×38×12
＝14592﹣3.14×36×19
＝14592﹣2147.76
＝12444.24
答：这个图形的体积是12444.24。
【点评】此题主要考查了组合图形的体积的计算方法，一般都是转换到规则图形中利用体积公式进行计算解答。
四．应用题（共2小题）
37．（长沙）如图，三角形ABC中，AF：FB＝BD：DC＝CE：AE＝4：3，且三角形ABC的面积是74，求三角形GHI的面积．
【分析】本题考察三角形的面积计算．考虑到△HIG的面积不能直接求，可以计算出△AGC、△BIC、△BAH的面积，再用整体减去这三部分，剩余的就是△GHI的面积，依此解答．
【解答】解：如图，连接BG，
设△AGC的面积为12份，根据燕尾定理，
S△AGC：S△BGC＝AF：FB＝4：3＝12：9，
S△AGB：S△AGC＝BD：DC＝4：3＝16：12，
得△BGC的面积为9份，△ABG的面积为16份，
则△ABC的面积为9+12+16＝37（份），
因此△AGC的面积为74÷37×12＝24，
同理连接AI、CH得△ABH的面积为74÷37×12＝24，△BIC的面积为74÷37×12＝24，
所以△GHI的面积为74﹣24×3＝2．
【点评】本题关键在于利用燕尾定理求出围在△GHI外部的三个三角形的面积，利用整体法进行计算即可．
38．（上街区）有一个足够深的水槽，底面是长为16厘米、宽为12厘米的长方形，原本在水槽里盛有6厘米深的水和6厘米深的油（油在水的上方）．如果在水槽中放入一个长、宽、高分别为8厘米、8厘米、12厘米的铁块，那么油层的层高是多少厘米？
【分析】首先根据长方体的体积＝长×宽×高，求出原来水槽中水的体积是多少；然后根据长方形的面积＝长×宽，可得水槽的底面积是192（16×12＝192）平方厘米，铁块的底面积是64（8×8＝64）平方厘米，用水槽的底面积减去铁块的底面积，求出放入铁块后水所占的底面积是128（192﹣64＝128）平方厘米，再用原来水槽中水的体积除以放入铁块后水所占的底面积，求出现在水的高度为9厘米，所以仍然有3（12﹣9＝3）厘米高的铁块在油里，求出这3厘米高的铁块的体积为多少，再除以水槽的底面积就是油层增加的高度，再加上原来的高度6厘米就是此时油层的层高；据此解答．
【解答】解：（16×12×6）÷（16×12﹣8×8）
＝1152÷（192﹣64）
＝1152÷128
＝9（厘米）
8×8×（12﹣9）÷（16×12）+6
＝8×8×3÷192+6
＝192÷192+6
＝1+6
＝7（厘米）
答：此时油层的层高是7厘米．
【点评】此题主要考查了长方体的体积的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出在油里的铁块的高度是多少．
五．解答题（共2小题）
39．（宁波）一个圆柱形木块切成四块（如图1），表面积增加48平方厘米；切成三块（如图2），表面积增加了50.24平方厘米．若削成一个最大的圆锥体（如图3），体积减少了多少立方厘米？
【分析】根据圆柱的切割特点可知，如图2切割成3块，则表面积是增加了4个圆柱的底面的面积，据此求出一个底面的面积是50.24÷4＝12.56平方厘米，根据圆的面积公式可得：r2＝12.56÷3.14＝4，因为22＝4，所以这个圆的半径是2厘米，再根据图1的切割方法，沿底面直径切割后，表面积是增加了8个以底面半径和高为边长的长方形，据此可以求出这个长方形的面积是：48÷8＝6平方厘米，因为半径是2厘米，所以利用长方形的面积公式可得，圆柱的高是：6÷2＝3厘米，据此求出了圆柱的底面半径和高，再利用圆柱的体积公式即可求出这个圆柱的体积，如图3，把这个圆柱先削成一个最大的圆锥，则削掉的部分的体积就是这个圆柱的体积的23．
【解答】解：50.24÷4＝12.56（平方厘米）；
12.56÷3.14＝4，因为22＝4；
所以这个圆柱的底面半径是2厘米；
48÷8÷2
＝6÷2
＝3（厘米）；
3.14×22×3×（1−13）
＝3.14×4×3×23
＝25.12（立方厘米）
答：体积减少了25.12立方厘米．
【点评】抓住圆柱的两种切割特点，根据增加的表面积分别求出这个圆柱的底面半径和高，是解决本题的关键．
40．（2016•宁波）一块空地上堆放了216块砖（如图），这个砖堆有两面靠墙．现在把这个砖堆的表面涂满石灰，被涂上石灰的砖共有 106 块．
【分析】解：如下图，把这个砖堆分成9垛：容易算出，这9垛的第1层（最上层）的砖都被涂上了石灰，这些砖共有：4×3×3＝36（块）；从第二层开始，仅有A、B、C、D、E这5垛的砖被涂上石灰，而且每层块数相同，都是：（1+4）×2+4＝14（块）．这个砖堆中被涂上石灰的砖共有：36+14×5＝106（块）．
【解答】解：4×3×6+14×5，
＝36+70，
＝106（块）．
故答案为：106．
【点评】此题有一定难度，如果借助图理解就很容易了，考查了学生的空间想象力
第15讲 真题拓展——几何
一．选择题（共17小题）
1．（嵩县）把长方形拉成平行四边形，长方形和平行四边形相比，说法正确的是（ ）
A．周长相等 B．面积相等
C．周长面积都不相等
【分析】平面图形的周长就是围成它的所有线段的长度和；将长方形拉成平行四边形后，每个边的长度没变，所以它的周长就不变，但是它的高变小了，因此面积就变小了．据此解答．
【解答】解：因为把长方形拉成平行四边形后，每个边的长度没变，所以它的周长就不变；
但是平行四边形的高比长方形的宽变小了，所以平行四边形的面积就变小了；
故选：A．
【点评】此题主要考查周长的定义及长方形和平行四边形的面积公式．最好是动手操作观察即可知答案，关键理解它们的面积．
2．（岳麓区）在一条线段中间另有6个点，则这8个点可以构成（ ）条线段．
A．21 B．28 C．36 D．48
【分析】根据在一条直线上有n个点，则线段的条数的公式：n(n−1)2进行计算．
【解答】解：这条线段上有6+2＝8个点
故这条线段上的线段共有：n(n−1)2=8×(8−1)2=28（条）．
故选：B．
【点评】本题考查了线段的条数问题，线段的条数的公式要识记．
3．（长沙）如图，路线1是以AB为直径的半圆，路线2是四个半圆组成的曲线，一只蚂蚁要从A爬到B，则沿路线1和沿路线2所走的路程 （ ）
A．路线1少 B．路线2少
C．路线1和路线2一样 D．无法确定
【分析】由图可知，是四个中小圆弧的圆心在大圆弧的一条直径上，即中小圆的直径和等于大圆的直径；则大圆的周长的一半就等于四个中小圆的周长和的一半，所以路线1和沿路线2所走的路程相等；据此解答．
【解答】解：因为中小圆的直径和等于大圆的直径；则大圆的周长的一半就等于四个中小圆的周长和的一半，
所以路线1和沿路线2所走的路程相等．
故选：C．
【点评】此题主要考查了长度的比较，解答此题的关键是熟练掌握圆的周长公式．
4．（平原县）一个正方体木块，从顶点上挖去一个小长方体后，下面说法正确的是（ ）
A．体积变小，表面积也变小
B．体积变小，表面积不变
C．体积不变，表面积也不变
D．无法确定
【分析】从顶点上挖去一个小长方体后，体积明显的减少了；但表面减少了长方体3个不同的面的面积，同时又增加了3个切面，即相当于增加了长方体3个不同的面的面积，然后据此解答即可．
【解答】解：从顶点上挖去一个小长方体后，体积减少了；
表面减少了长方体3个不同的面的面积，同时又增加了3个切面，即相当于增加了长方体3个不同的面的面积，实际上表面积不变；所以体积变小，表面积不变．
故选：B．
【点评】本题关键是理解挖去的小长方体是在什么位置，注意知识的拓展：如果从顶点挖而且没有挖透那么体积变小，表面积不变；如果从一个面的中间挖而且没有挖透那么体积变小，表面积变大；如果从把两个顶点部分都挖去那么体积变小，表面积也变小．
5．（南京）图是一个长3厘米、宽和高都是2厘米的长方体．将它挖掉一个棱长1厘米的小正方体，它的表面积（ ）
A．比原来大 B．比原来小 C．不变 D．无法确定
【分析】要想知道这个立体图形的表面积发生了什么变化，只要把去掉的面积和增加的面积进行比较，看增加还是减少即可．
【解答】解：据题意和图可知，挖掉一个棱长1厘米的小正方体后，它的表面积去掉了2个面，也就是减少了2平方厘米；
但是它的表面同时增加了4个面，也就是增加了4平方厘米；
所以它的表面积增加了2平方厘米．
故选：A。
【点评】把减少的面积和增加的面积进行比较，然后判定它的面积发生了什么变化．
6．（长沙）从如图中拿走一个小正方形，那么图形的周长与原图形的周长相比将（ ）
A．不变 B．变小 C．变大
【分析】根据图示可知，减去一个小正方形后，围成长方形的线段和原来的线段条数和长度不变，所以图形的周长与原图形的周长相等，据此解答。
【解答】解：因为围成图形的线段的长度没变，所以图形的周长与原图形的周长相比将不变。
故选：A。
【点评】本题主要考查长度的比较，关键是分清变化前后图形的变化。
7．（唐县）在下面边长为8cm的正方形中，减去一个长4cm宽2cm的长方形，下面的四种方法中，剩下的部分（ ）的周长最长．
A． B． C． D．
【分析】根据各选项中长方形原来露出的各边长与减掉后露出的各边长之间的关系选择即可．
【解答】解：A、B选项长方形原来露着1个长和一个宽，减掉后依然露一个长和一个宽，周长没变．
C选项原来露着一个宽，现在露着1个宽和2个长，多2个长的长度．
D选项原来露着一个长，现在露着2个宽和1个长，多2个宽的长度．
因为长方形的长大于宽，所以C选项的剩余周长最长．
故选：C．
【点评】本题主要考查图形的长度的比较，关键是结合图示，找到减去长方形前后周长的变化．
8．（官渡区）如图两个图形相比，描述正确的是（ ）
A．周长和面积都不相等 B．周长和面积都相等
C．周长不相等，面积相等
【分析】将左边的图形分割平移，会得到一个和右边图形一样的长方形，根据两点之间线段最短，以及长方形面积公式即可判断．
【解答】解：将左边的图形分割，并平移到右侧半圆处，如图：
由图形可知，平移后的图形和右侧图形相同，面积相等，周长相等，
①②两个半圆直径相同，根据S＝2πr，可知，两个半圆面积相等，
所以两个图形面积相等；
根据两点之间线段最短，圆弧的长度大于长方形的宽，两个图形的长相等，
所以左侧图形的周长大于右侧图形的周长．
故选：C．
【点评】本题主要考查了两个图形周长和面积的比较，需要学生具有较好的几何直观，通过平移来解决问题．
9．（鸡西）欲建一道长100尺，高7尺的单层砖墙，能够使用的砖块有两种：长2尺高1尺或长1尺高1尺（且砖块不能切割）。垂直连接砖块必须如图所示交错间隔，且墙的两端必须砌平整。试问至少需要多少砖块才能建成此道墙？（ ）
A．347 B．350 C．353 D．366
【分析】从题意可以推知要使使用的砖块最少，应该尽量使用大砖，第一层使用大砖，需要50块；第二层由于必须交错间隔，所以必须要使用小砖，而使用最少的小砖的惟一方法是两端使用小砖，加上大砖共需要51块；第三层也用大砖，仍要50块，第四层类似第二层，依此类推，共七层。据此列式解答即可。
【解答】解：最后使用的砖块数为：
50+51+50+51+50+51+50＝353（块）。
故选：C。
【点评】解答本题的关键是得出要使使用的砖块最少，应该尽量使用大砖。
10．（长沙）现有1克、2克、4克、8克的砝码各1个，能称出（ ）种不同的重量。
A．4 B．10 C．15
【分析】四个砝码选1个，可以有四种情况：1克、2克、4克、8克；选2个有6种情况：1+2＝3（克）、4+1＝5（克）、8+1＝9（克）、2+4＝6（克）、8+2＝10（克）、8+4＝12（克）；选3个有4种：1+2+4＝7（克）、1+4+8＝13（克）、2+1+8＝11（克）、4+8+2＝14（克）；选4个只有一种情况：1+2+4+8＝15（克）。据此解答。
【解答】解：4+6+4+1＝15（种）
答：能称出15种不同的重量。
故选：C。
【点评】本题考查了学生排列组合方面的知识以及学生的分析推理能力。
11．（长沙）A和B都是整数，且A×B＝36，则A和B的和最小可能是（ ）
A．12 B．13 C．20 D．37
【分析】因为36＝2×2×3×3，所以当A＝B＝6时，A与B的和最小，据此解答．
【解答】解：因为36＝2×2×3×3，
所以当A＝B＝6时A+B＝6+6＝12
故选：A．
【点评】本题主要是利用在两个数的积一定时，两个数越是接近，和就越小．
12．（石家庄）“如果所有的W是T，而没有T是G，那么肯定没有G是W”这个说法是（ ）
A．真 B．假 C．不确定
【分析】根据“如果所有的W是T，而没有T是G”可得：W不是G，即肯定没有G是W；据此解答即可．
【解答】解：根据“如果所有的W是T，而没有T是G”可得：W不是G，即肯定没有G是W；所以这个说法是真的．
故选：A．
【点评】本题考查了简单归纳与推理，关键是根据它们之间的递推关系作为解答的突破口．
13．（黄陂区）有甲、乙、丙三位老师，一位是数学老师，一位是科学老师，一位是音乐老师．已知甲不是音乐老师，音乐老师的年龄比乙小，丙比科学老师年龄大．那么，下面的判断正确的是（ ）
A．甲是数学老师，乙是音乐老师，丙是科学老师
B．甲是数学老师，乙是科学老师，丙是音乐老师
C．甲是科学老师，乙是数学老师，丙是音乐老师
D．甲是科学老师，乙是音乐老师，丙是数学老师
【分析】根据甲不是音乐老师，音乐老师比乙小，知丙是音乐老师．丙又比科学老师大，所以，乙不是科学老师，甲是科学老师．
【解答】解：根据题意，甲不是音乐老师，音乐老师比乙小，知：丙是音乐老师．又因为：丙比科学老师大，丙比乙小，所以，乙不是科学老师，甲是科学老师．
所以：甲是科学老师，乙是数学老师，丙是音乐老师．
故选：C．
【点评】本题关键根据“甲不是音乐老师，音乐老师的年龄比乙小”，推出音乐老师是丙．
14．（宜兴市）2018年俄罗斯世界杯足球比赛共有32支国家队参赛，分为8个小组，每组4队进行比赛，每支球队都必须和其他3支球队进行且只进行一场比赛，每队获胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某个小组比赛情况如表：
从表中可以看出，乙队和丙队比赛，乙队获得了多少分？（ ）
球队
场次
胜
平
负
积分
甲队
3
2
1
0
7
乙队
3
1
2
0
5
丙队
3
1
0
2
3
丁队
3
0
1
2
1
A．0分 B．1分 C．3分 D．不能确定
【分析】根据4只小队的得分情况可知：乙队平了2场，只能是和甲队和丁队进行比赛的结果；甲队胜了2场，是与丙队和丁队进行比赛的结果；丁队与丙队进行的比赛，丁负，则丙胜；则丙队与乙队的比赛，丙负．据此解答．
【解答】解：因为乙队平了2场，只能是和甲队和丁队进行比赛的结果；
甲队胜了2场，是与丙队和丁队进行比赛的结果；
丁队与丙队进行的比赛，丁负，则丙胜；
则丙队与乙队的比赛，丙负，乙胜，则乙队与丙队的比赛，乙队获得3分．
故选：C．
【点评】本题主要考查逻辑推理，关键是找到乙队平两场的对手．
15．（唐山）小王、小张和小李，一位是工人，一位是农民，一位是战士，现在知道：小李比战士年龄大，小王和农民不同岁，农民比小张年龄大．则（ ）是工人．
A．小王 B．小张 C．小李 D．不能确定
【分析】因为小王和农民不同岁，农民比小张年龄大，所以小王和小张都不是农民，则小李是农民，小李比小张年龄大；又因为小李比战士年龄大，所以小张是战士；那么剩下的小王是工人，据此解答即可．
【解答】解：因为小王和农民不同岁，农民比小张年龄大，所以小王和小张都不是农民，则小李是农民，小李比小张年龄大；
又因为小李比战士年龄大，所以小张是战士；
那么剩下的小王是工人；
答：小王是工人．
故选：A．
【点评】本题考查了简单的逻辑推理，关键是根据逻辑关系确定小李是农民．
16．（齐齐哈尔）已知两个四位数的差为7930，问这两个四位数的和最大值为多少？（ ）
A．12068 B．12560 C．13268 D．13650
【分析】已知两个四位数的差是7930，要使这两个四位数的和最大，则必须使这两个四位数最大，最大的四位数是9999，减去两个数的差7930，求出另一个四位数，然后把它们加起来，即可得解．
【解答】解：最大的四位数是9999，另一个四位数是：9999﹣7930＝2069
9999+2069＝12068
答：两个四位数的和最大值为12068．
故选：A。
【点评】差一定的情况下，我们就可以用一个数来确定另一个数，只要一个数大另一个随之大，只要一个小另一个随之小．
17．（绵阳）整数X1，X2，…X9为的和为220，且X1＜X2…＜X9，则当X1+X2+..X5的值最大时，X9﹣X1的最小值是（ ）、
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】当 X1，X2，…X9接近平均数时，X1+X2+..X5 的值最大．预留出36：（1+2+3+4+5+6+7+8）＝36，220﹣36＝184，用184÷9求得平均数后，把依次加到X2，X3，…X9．
【解答】解：由题意：x1，x2，…，x9均为正整数，
220﹣（1+2+3+…+8）＝220﹣36＝184，
184÷9＝20…4
20，20+1，20+2，20+3，20+4，20+5，20+6，20+7，20+8．这9个数的大小最接近，把余数4分给后4个数时，X9的值最小，此时这9个数分别是：20，20+1，20+2，20+3，20+4，20+5+1，
20+6+1，20+7+1，20+8+1．
X9﹣X1的最小值为：29﹣20＝9．
故选：B．
【点评】想明白这9个数越接近，差越小，这道题的题意就理解了．
二．填空题（共17小题）
18．（长沙）如图，ABCD是平行四边形，面积是72平方厘米，E、F分别为AB、BC的中点，则图中阴影部分的面积为 48 平方厘米．
【分析】根据题意，延长FE，DA延长线相交于点G，易证明△AEG≌△BEF，则AG＝BF=12DA，因为E、F分别为AB、BC的中点，所以AC与GF平行，可知AP=23GE=13GF=13AC，同理AQ=23AC，所以P、Q为AC的三等分点，由此可知AP＝PQ＝QC，所以三角形DAP，DPQ，DQC等底等高，面积相等，由AP=23GE=13GF=13AC可得三角形APE、CQF为以上三角形面积的一半，因为ABCD是平行四边形，面积是72平方厘米，所以DPQ面积为12，APE、CQF面积分别为6，所以阴影面积是48平方厘米．
【解答】解：如图，延长FE，DA延长线相交于点G，则AG＝BF=12DA．因为E、F分别为AB、BC的中点，所以AC与GF平行，可知AP=23GE=13GF=13AC，同理AQ=23AC，所以P、Q为AC的三等分点．
设AC与DE、DF交点分别为P、Q
三角形ADP、DPQ、DQC面积相等
而三角形APE、CQF为以上三角形面积的一半
所以DPQ面积为12，APE、CQF面积分别为6
阴影面积为72﹣12﹣6﹣6＝48（平方厘米）
【点评】本题考查了三角形面积的底与高的关系．
19．（衡阳）如图：它是由若干个小正方体搭成，数一数它共有 11 个这样的小正方体。
【分析】观察图形可知，这个图形是2层：下层7个，上层4个，据此加起来即可解答问题。
【解答】解：根据题干分析可得：4+7＝11（个）
答：它共有11个这样的小正方体。
故答案为：11。
【点评】此题主要考查了组合图形的计数，要注意做到分层计数，做到不重不漏。
20．（武侯区）如图中一共有 35 个三角形．
【分析】将图分成左右两部分，因为左边和右边的三角形都有一个公共的顶点，所以只要看与顶点对应的底边有几条线段就有几个三角形，乘2就可以求出左右的三角形，然后加上左右合在一起的三角形个数即可解题．
【解答】解：左边的三角形个数：5+4+3+2+1＝15（个）
右边的三角形个数：5+4+3+2+1＝15（个）
左右合在一起有：5个
一共有：15+15+5＝35（个）
故答案为：35．
【点评】解决本题的关键是根据三角形的边的关系将三角形的个数转化成线段的条数来解答．
21．（唐山）一个边长是15厘米的正方形，如果从四角剪去一个边长是1厘米的小正方形，那么它的周长是 60 厘米．
【分析】通过平移可以把减去的部分补上，周长不变；据此解答．
【解答】解：可以通过作图解决：如图：通过平移可以把减去的部分补上，剪掉的部分是2和4，多出的部分是1和3，其中线段1＝线段2，线段3＝线段4，将1平移到2的位置，将3平移到4的位置，其它几条线段同样的方法平移，则新图形的周长等于原图形的周长，周长不变；
原来正方形的周长＝15×4＝60（厘米），
答：它的周长是60厘米；
故答案为：60．
【点评】解决此题通过图形解决更直观，较易理解．
22．（株洲）长方形ABCD的长10cm，宽4.5cm，沿对角线对折后，得到如图的几何图形，阴影部分的周长是 29 cm．
【分析】根据长方形沿对角线对折后与原图形的对应关系可知阴影部分的周长＝长方形的周长，依此可列算式（10+4.5）×2求解．
【解答】解：（10+4.5）×2
＝14.5×2
＝29（cm）
答：阴影部分的周长是29cm．
故答案为：29．
【点评】考查了简单图形的折叠问题，本题的关键是找到长方形沿对角线对折后与原图形的对应关系．
23．（马鞍山）如图所示，把底面直径4厘米、高10厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体．这个长方体的体积是 125.6 立方厘米，表面积是 190.72 平方厘米．
【分析】把圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体．这个近似长方体的长等于圆柱的底面周长的一半，宽等于圆柱的底面半径，高等于圆柱的高，体积不变等于圆柱的体积，然后根据长方体的体积公式和表面积公式解答即可．
【解答】解：长方体的长：3.14×4÷2＝6.28（厘米）；
长方体的宽：4÷2＝2（厘米）；
体积：6.28×2×10
＝12.56×10
＝125.6（立方厘米）；
表面积是：（6.28×2+6.28×10+2×10）×2
＝（12.56+62.8+20）×2
＝190.72（平方厘米）．
答：这个近似长方体的体积是125.6立方厘米，表面积是190.72平方厘米．
故答案为：125.6，190.72．
【点评】本题重点考查了圆柱体的体积推导公式的过程中的一些知识点：长方体的长等于圆柱的底面周长的一半，宽等于圆柱的底面半径，高等于圆柱的高．
24．（长沙）如图所示：任意四边形ABCD，E是AB中点，F是CD中点，已知四边形ABCD面积是10，则阴影部分的面积是 5 ．
【分析】如下图有连接BD，就把阴影部分的面积分成了两个三角形，由等底等高的三角形的面积相等可知，求出S△DEB=12S△ADB和S△BDF=12S△BDC，所以阴影部分的面积=12S△ADB+12S△BDC＝5．
【解答】解：因为AE＝BE，而△ADE与△BDE的高一样，所以S△ADE＝S△BDE=12S△ABD；
因为DF＝FC，而△BDF与△BCF的高一样，所以S△BDF＝S△BCF=12S△BDC；
所以S△BDE+S△BDF＝阴影部分的面积=12四边形ABCD面积＝5；
故答案为：5．
【点评】解题的关键是找到阴影部分的面积与四边形ABCD的关系．
25．（扶风县）如图是由同样大小的小方块堆积起来的，每个小方块的棱长是1分米，这堆小方块露在外面的面积是 15平方分米 ．
【分析】从上面看，露出的小正方体的面有4个；
从正面看，露出的小正方体的面有6个；
从侧面看，露出的小正方体的面有5个；
其它的三个面都被墙面和地面遮挡，由此即可求得这堆小正方形露在外面的面积．
【解答】解：根据题干分析可得：
（4+6+5）×1×1＝15（平方分米），
答：这堆小方块露在外面的面积是15平方分米．
故答案为：15平方分米．
【点评】此题要注意是求露出来的表面积，所以这里的表面积是指只有三个面观察到的正方体的面的面积之和．
26．（江北区）如图是由两个边长分别为3厘米和4厘米的正方形组成，以虚线这条边为轴快速旋转后形成一个立体图形，这个立体图形所占空间大小是 285.74 立方厘米．
【分析】这个图形旋转以后，会组成大小两个圆柱，小圆柱的底面半径是3厘米，高是3厘米，大圆柱的底面半径是4厘米，高是4厘米，然后根据圆柱的体积＝底面积×高，然后把两个圆柱的体积加起来即可．
【解答】解：根据题意得
3.14×32×3+3.14×42×4
＝84.78+200.96
＝285.74（立方厘米）
故答案为：285.74．
【点评】本题考查了圆柱的体积，解决本题的关键是要知道图形旋转后得到的立体图形是什么．
27．（海门市）如图，5个棱长为2分米的正方体硬纸箱堆放在墙角，体积一共是 40 立方分米，露在外面的硬纸面积是 40 平方分米．
【分析】（1）观察图形可知，这个立体图形的体积是图中5个小正方体的体积之和，利用正方体的体积公式计算出1个小正方体的体积，再乘5即可；
（2）这个图形的前面有4个正方体面露在外面，右面、上面都有3个正方体面露在外面，所以一共是4+3+3＝10个面，据此解答即可．
【解答】解：（1）体积是：2×2×2×5＝40（立方分米）
（2）露在外部的面积是：2×2×（4+3+3）
＝4×10
＝40（平方分米）
答：体积一共是40立方分米，露在外面的硬纸面积是40平方分米．
故答案为：40，40．
【点评】此题考查规则图形的表面积和体积的计算，解决此题的关键是求出露在外面的面的总个数．
28．（长沙）如图，平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，连接AP，若S△APH＝2，则S四边形PGCD＝ 8
【分析】根据平行四边形的定义可以得到四边形HPFD、四边形PGCF是平行四边形，根据平行四边形的性质、三角形的面积公式计算即可。
【解答】解：因为EF∥BC，GH∥AB，
所以四边形HPFD、四边形PGCF是平行四边形，
∵S△APH＝2，CG＝2BG，
∴S△DPH＝2S△APH＝4，
∴平行四边形HPFD的面积＝8，
∴平行四边形PGCF的面积=12×平行四边形HPFD的面积＝4，
∴S四边形PGCD＝4+4＝8，
故答案为：8。
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定、三角形的面积公计算，掌握平行四边形的性质定理是解题的关键。
29．（顺德区）如图是由5个棱长是3厘米的正方体搭成的立体图形，将这个立体图形的表面（包括底面）涂上相同颜色．其中只有3个面涂上颜色的正方体有 1 个；整个立体图形的表面积是 180 平方厘米．
【分析】三面涂色的正方体特点是：有3个面与其他正方体相连；可以利用数正方体的面的个数来求立体图形的表面积．
【解答】解：观察图形可得：三面涂上红色的正方体有1个，如下图（标3的这个正方体）：
涂色的面共有：
4×3+3+5
＝12+3+5
＝20（个）
涂色面积为：
3×3×20
＝9×20
＝180（平方厘米）
答：其中只有三个面涂色的正方体有1个，整个立体图形的表面积是180平方厘米．
故答案为：1，180．
【点评】根据正方体的排列特点，找出露在外部的面即是涂色面，这是解题关键．
30．（海安市）正方形网格中，小方格的顶点叫作格点．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在正方形网格的格点上，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的格点C共有 9 个．
【分析】（1）如果AB作底的话，符合条件的格点C共有5个．
（2）如果AB作一个腰的话，符合条件的格点C共有4个．
【解答】解：根据分析，
（1）如果AB作底的话，符合条件的格点C共有5个．
（2）如果AB作腰的话，符合条件的格点C共有4个．
5+4＝9（个）
故答案为：9．
【点评】解答此题的关键是分两种情况解答：AB作底和AB作腰．
31．（岳麓区）如图，在半圆的边界周围有6个点A1、A2、A3、A4、A5、A6，其中A1、A2、A3在半圆的直径上，问以这6个点为端点可以组成 19 个三角形．
【分析】如果其中两点在直径上，一共有9个三角形，如果两点在弧上，另一点在直径上，一共有9个三角形；如果三点都在弧上，只有1个三角形，三点都在直径上不能连成三角形，据此即可解答．
【解答】解：根据题干分析可得：9+9+1＝19（个），
答：一共可以组成19个三角形．
故答案为：19．
【点评】此题考查了图形的计数，要注意三点在一直线上不能围成三角形．
32．（成都）用3、4、5、0四个数可以写 18 个不同的四位数，其中最大的是 5430
【分析】3、4、5、0四个数字没有0，都可以放在任何位置，组成没有重复数字的不同的四位数，即把这四个数字填入4个数位中，分4步完成，第一个数位有3种填法，第二个数位有3种填法，第三个数位有2种填法，第四个数位只有1种填法，用乘法原理，即可得解．要求最大的四位数，把最大的数字排在首位，然后也按从大到小的顺序排列即可．
【解答】解：3×3×2×1＝18（个）
用3、4、5、0四个数字组成最大的数是5430．
答：3、4、5、0四个数可以写 18个不同的四位数，其中最大的是 5430．
故答案为：18；5430．
【点评】用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析要完成的“一件事”是什么，可以“分类”还是需要“分步”．
33．（宁波）甲、乙、丙三位同学进行跑步比赛，跑完后他们每人说了一句话，甲说：我是第一，乙说：我是第二，丙说：我不是第一．可是其中一人说了假话，那么得第一名的是 甲 ．
【分析】根据题意，因为有一人说的是假话，假设甲说的是假的，则乙是第二是对的，丙不是第一也是对的，丙只能是第三，与甲说的假话矛盾；假设丙说的是假话，则他是第一，与甲矛盾；假设乙说的是假的，则甲是第一，丙是第二，乙是第三，合理．
【解答】解：假设甲说的是假的，则乙是第二是对的，丙不是第一也是对的，丙只能是第三，与甲说的假话矛盾；
假设丙说的是假话，则他是第一，与甲矛盾；
假设乙说的是假的，则甲是第一，丙是第二，乙是第三，合理．
答：乙说的是假话，第一名为甲．
故答案为：甲．
【点评】本题主要考查逻辑推理问题，关键利用假设法找出矛盾，从而找出说假话的人．
34．（长沙）现有1元，5角、2角、1角的纸币各一张，一共可以组成 15 种不同的币值．
【分析】根据题意知道，一张1元、一张5角、一张2角、一张1角，就是4种不同的币值，再由一张1元、一张5角、一张2角、一张1角，可以组成币值是3角，6角，7角，8角，11角，12角，13角，15角，16角，17角，18角，就是11种不同币值，由此即可得出答案．
【解答】解：（1）一张1元、一张5角、一张2角、一张1角，就是4种不同的币值，
（2）1元＝10角；
又因为，1+2＝3（角），
5+1＝6（角），
5+2＝7（角），
5+2+1＝8（角），
10+1＝11（角），
10+2＝12（角）
10+1+2＝13（角），
10+5＝15（角），
10+5+1＝16（角），
10+5+2＝17（角），
10+5+2+1＝18（角），
所以共11种不同的币值，
一共有：4+11＝15（种），
答：可组成15种不同的币值．
故答案为：15．
【点评】解答此题的关键是，根据题意，能利用所给的币值，找出组成的不同币值时，一定不要重复和遗漏．
三．计算题（共2小题）
35．（成都）如图，一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱和一个圆锥组成，圆柱的底面直径和高都是12厘米．其内有一些水，正放时水面离容器顶部11厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的体积是多少立方厘米？（π取3.14）
【分析】底面半径为：12÷2＝6（厘米），利用圆锥体积公式及圆柱体积公式，设圆锥的高为x厘米，根据水的体积不变，列方程为：3.14×62×（12+x﹣11）＝3.14×62×（12﹣5）+3.14×62×x，解得x＝9，则容器的体积为：3.14×62×12+3.14×62×9×13=1695.6（立方厘米）．
【解答】解：
设圆锥的高为x厘米，
12÷2＝6（厘米）
3.14×62×（12+x﹣11）＝3.14×62×（12﹣5）+3.14×62×x
1+x＝7+13x
x＝9
则容器的体积为：
3.14×62×12+3.14×62×9×13
＝3.14×36×15
＝1695.6（立方厘米）
答：这个容器的体积是1695.6立方厘米．
【点评】本题主要考查等积变形，关键根据空白部分的体积求圆锥的高，利用圆柱和圆锥体积做题．
36．（长沙）求下面图形的体积。（π取3.14）
【分析】观察图形可知，这个组合图形的体积等于这个长38、宽32、高12的长方体的体积与底面半径是（32﹣10﹣10）÷2＝6，长为38的半圆柱的体积之差，据此利用长方体的体积＝长×宽×高，半圆柱的体积＝底面积×高÷2，代入数据计数即可解答问题。
【解答】解：（32﹣10﹣10）÷2
＝12÷2
＝6
38×32×12﹣3.14×62×38×12
＝14592﹣3.14×36×19
＝14592﹣2147.76
＝12444.24
答：这个图形的体积是12444.24。
【点评】此题主要考查了组合图形的体积的计算方法，一般都是转换到规则图形中利用体积公式进行计算解答。
四．应用题（共2小题）
37．（长沙）如图，三角形ABC中，AF：FB＝BD：DC＝CE：AE＝4：3，且三角形ABC的面积是74，求三角形GHI的面积．
【分析】本题考察三角形的面积计算．考虑到△HIG的面积不能直接求，可以计算出△AGC、△BIC、△BAH的面积，再用整体减去这三部分，剩余的就是△GHI的面积，依此解答．
【解答】解：如图，连接BG，
设△AGC的面积为12份，根据燕尾定理，
S△AGC：S△BGC＝AF：FB＝4：3＝12：9，
S△AGB：S△AGC＝BD：DC＝4：3＝16：12，
得△BGC的面积为9份，△ABG的面积为16份，
则△ABC的面积为9+12+16＝37（份），
因此△AGC的面积为74÷37×12＝24，
同理连接AI、CH得△ABH的面积为74÷37×12＝24，△BIC的面积为74÷37×12＝24，
所以△GHI的面积为74﹣24×3＝2．
【点评】本题关键在于利用燕尾定理求出围在△GHI外部的三个三角形的面积，利用整体法进行计算即可．
38．（上街区）有一个足够深的水槽，底面是长为16厘米、宽为12厘米的长方形，原本在水槽里盛有6厘米深的水和6厘米深的油（油在水的上方）．如果在水槽中放入一个长、宽、高分别为8厘米、8厘米、12厘米的铁块，那么油层的层高是多少厘米？
【分析】首先根据长方体的体积＝长×宽×高，求出原来水槽中水的体积是多少；然后根据长方形的面积＝长×宽，可得水槽的底面积是192（16×12＝192）平方厘米，铁块的底面积是64（8×8＝64）平方厘米，用水槽的底面积减去铁块的底面积，求出放入铁块后水所占的底面积是128（192﹣64＝128）平方厘米，再用原来水槽中水的体积除以放入铁块后水所占的底面积，求出现在水的高度为9厘米，所以仍然有3（12﹣9＝3）厘米高的铁块在油里，求出这3厘米高的铁块的体积为多少，再除以水槽的底面积就是油层增加的高度，再加上原来的高度6厘米就是此时油层的层高；据此解答．
【解答】解：（16×12×6）÷（16×12﹣8×8）
＝1152÷（192﹣64）
＝1152÷128
＝9（厘米）
8×8×（12﹣9）÷（16×12）+6
＝8×8×3÷192+6
＝192÷192+6
＝1+6
＝7（厘米）
答：此时油层的层高是7厘米．
【点评】此题主要考查了长方体的体积的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出在油里的铁块的高度是多少．
五．解答题（共2小题）
39．（宁波）一个圆柱形木块切成四块（如图1），表面积增加48平方厘米；切成三块（如图2），表面积增加了50.24平方厘米．若削成一个最大的圆锥体（如图3），体积减少了多少立方厘米？
【分析】根据圆柱的切割特点可知，如图2切割成3块，则表面积是增加了4个圆柱的底面的面积，据此求出一个底面的面积是50.24÷4＝12.56平方厘米，根据圆的面积公式可得：r2＝12.56÷3.14＝4，因为22＝4，所以这个圆的半径是2厘米，再根据图1的切割方法，沿底面直径切割后，表面积是增加了8个以底面半径和高为边长的长方形，据此可以求出这个长方形的面积是：48÷8＝6平方厘米，因为半径是2厘米，所以利用长方形的面积公式可得，圆柱的高是：6÷2＝3厘米，据此求出了圆柱的底面半径和高，再利用圆柱的体积公式即可求出这个圆柱的体积，如图3，把这个圆柱先削成一个最大的圆锥，则削掉的部分的体积就是这个圆柱的体积的23．
【解答】解：50.24÷4＝12.56（平方厘米）；
12.56÷3.14＝4，因为22＝4；
所以这个圆柱的底面半径是2厘米；
48÷8÷2
＝6÷2
＝3（厘米）；
3.14×22×3×（1−13）
＝3.14×4×3×23
＝25.12（立方厘米）
答：体积减少了25.12立方厘米．
【点评】抓住圆柱的两种切割特点，根据增加的表面积分别求出这个圆柱的底面半径和高，是解决本题的关键．
40．（2016•宁波）一块空地上堆放了216块砖（如图），这个砖堆有两面靠墙．现在把这个砖堆的表面涂满石灰，被涂上石灰的砖共有 106 块．
【分析】解：如下图，把这个砖堆分成9垛：容易算出，这9垛的第1层（最上层）的砖都被涂上了石灰，这些砖共有：4×3×3＝36（块）；从第二层开始，仅有A、B、C、D、E这5垛的砖被涂上石灰，而且每层块数相同，都是：（1+4）×2+4＝14（块）．这个砖堆中被涂上石灰的砖共有：36+14×5＝106（块）．
【解答】解：4×3×6+14×5，
＝36+70，
＝106（块）．
故答案为：106．
【点评】此题有一定难度，如果借助图理解就很容易了，考查了学生的空间想象力
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