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2022年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校中考数学三模试卷（word版含答案）
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这是一份2022年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校中考数学三模试卷（word版含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校中考数学三模试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每个小题只有一一个选项是符合题意的）
1．（3分）−34的倒数是（ ）
A．43 B．−43 C．34 D．−34
2．（3分）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．圆锥 B．四棱柱 C．圆台 D．圆柱
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．5a+3a＝8 B．3ab﹣ab＝2ab
C．2a+3b＝5ab D．﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b
4．（3分）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE＝160°，则∠C的度数是（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
5．（3分）如图是一次函数y＝ax+b的图象，则关于x的方程ax+b＝1的解为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
6．（3分）在矩形ABCD中有一个菱形BEDF（点E，F分别在线段AB、CD上），记它们的面积分别为S矩形ABCD和S菱形BEDF，若S矩形ABCD：S菱形BEDF＝（2+3）：2，则tan∠EDF＝（ ）
A．3 B．23 C．33 D．32
7．（3分）如图，在圆O的内接四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是（ ）
A．4 B．23 C．433 D．833
8．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+（m+2）x+3m﹣3（m＞0）向上（下）或向左（右）平移，平移后的抛物线恰好经过原点，且平移的最小距离是2，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）在﹣2、−3、227、6、π中，无理数有 个．
10．（3分）如图，AC是正五边形ABCDE的对角线，则∠ACD为 度．
11．（3分）定义新运算：对于任意实数a、b，都有a⊗b＝13a﹣b，则x⊗1﹣x⊗2的值为 ．
12．（3分）若点A（﹣1，y1）、B（−14，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y=k2+1x（k为常数）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为 ．
13．（3分）在菱形ABCD中，∠D＝60°，CD＝4，E为菱形内部一点，且AE＝2，连接CE，点F为CE中点，连接BF，取BF中点G，连接AG，则AG的最大值为 ．
三、解答题（共13小题，计81分。解答应写出过程）
14．（5分）计算：1+（−12）﹣2﹣（π﹣4）0+|2−5|．
15．（5分）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
16．（5分）解方程：xx2−4=1−1x+2．
17．（5分）如图，已知△ABC，∠BAC＝90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，平行四边形ABCD中，BD为对角线，过BD的中点O作直线EF，分别交BA、DC的延长线于点E、F．
求证：AE＝CF．
19．（5分）如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为4厘米的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽5厘米的长条．如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？
20．（5分）在某次数学活动中，如图有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被分成四个相同的扇形，分别标有数字1、2、3、4，转盘B被分成三个相同的扇形，分别标有数字5、6、7．若是固定不变，转动转盘（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止）
（1）若单独自由转动A盘，当它停止时，指针指向偶数区的概率是 ．
（2）小明自由转动A盘，小颖自由转动B盘，当两个转盘停止后，记下各个转盘指针所指区域内对应的数字，请用画树状图或列表法求所得两数之积为10的倍数的概率．
21．（6分）某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝1.2米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝1.8米，CG＝20米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB．
22．（7分）某校想了解九年级学生某次体育达标情况，抽样调查了九（7）班的成绩，分别记作60分、70分、80分、90分、100分，并将统计结果绘制成不完整的统计图（如图）．
（1）样本容量为 ，成绩的中位数为 ．
（2）若成绩为60分的人数为6人，则n＝ ．
（3）若九年级共有1500人，请估计全年级90分及以上的同学大约多少人？
23．（7分）甲、乙两个工厂同时加工一批机器零件，两天后甲厂因维修设备停止加工，当设备维修完时，甲、乙两厂加工的零件数相等．之后甲厂再以原来的工作效率继续加工这批零件，甲、乙两厂加工零件的总数量y（件）与加工的时间x（天）的函数图象如图所示：
（1）甲厂维修设备的天数为 天．
（2）求出甲厂工作时，每天加工的零件数量．
（3）求甲厂维修完设备后，y与x之间的函数关系式．
24．（8分）如图，已知△ABC的边AB是⊙O的切线，切点为E，AC经过圆心O并与圆相交于点F，CB交⊙O于D，连接CE，DE，EF，且DE＝EF．
（1）求证：AB⊥BC；
（2）若BC＝3，sinA=35，求AF的长．
25．（8分）如图，抛物线C1：y＝﹣x2+mx+n与抛物线C2：y＝ax2﹣4x+5（a≠0）关于y轴对称，C1与x轴交于A，B两点，其中点A在点B的左侧．
（1）求抛物线C1，C2的函数表达式．
（2）在抛物线C1上是否存在一点N，在抛物线C2上是否存在一点M，使得以AB为边，且以A、B、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（10分）问题提出：
（1）如图①，已知点C到直线AB的距离是5，以C为圆心、2为半径作圆，则⊙C上一点到直线AB的最小距离为 ．
问题探究：
（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为2，E是BC边上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连结CG，则求CG的最小值．
问题解决：
（3）如图③，有一个矩形花坛ABCD，AB＝10m，AD＝20m，根据设计造型要求，在AB上任取一动点E，连ED，过点A作AF⊥ED，交DE于点F，在FD上截取FP=3AF，连接PB、PC；现需在△PBC的区内种植一种黄色花卉，在矩形内的其它区域种植一种红色花卉，已知种植这种黄色花卉每平方米需200元，种植这种红色花卉每平方米需180元，完成这两种花卉的种植至少需花费多少元？（结果保留整数，参考数据：3≈1.7）
2022年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校中考数学三模试卷
答案与解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每个小题只有一一个选项是符合题意的）
1．（3分）−34的倒数是（ ）
A．43 B．−43 C．34 D．−34
【分析】直接利用倒数的定义分析得出答案．
【解答】解：∵−34×（−43）＝1，
∴−34的倒数是：−43．
故选：B．
2．（3分）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．圆锥 B．四棱柱 C．圆台 D．圆柱
【分析】侧面为长方形，底面为2个圆形，故原几何体为圆柱．
【解答】解：观察图形可知，该几何体侧面为长方形，底面为2个圆形，是圆柱．
故选：D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．5a+3a＝8 B．3ab﹣ab＝2ab
C．2a+3b＝5ab D．﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b
【分析】A、B、C就是合并同类项，D，按去括号法则．
【解答】解：A：原式＝8a，∴不符合题意；
B：原式＝2ab，∴符合题意；
C：原式＝2a+3b，∴不符合题意；
D：原式＝﹣a+b，∴不符合题意；
故选：B．
4．（3分）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE＝160°，则∠C的度数是（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
【分析】首先根据邻补角互补可得∠CDB＝180°﹣160°＝20°，然后再根据平行线的性质可得∠ABD＝∠CDB＝20°，进而得到∠CBD＝20°，再利用三角形内角和定理算出∠C的度数．
【解答】解：∵∠CDE＝160°，
∴∠CDB＝180°﹣160°＝20°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB＝20°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE＝20°，
∴∠C＝180°﹣20°﹣20°＝140°，
故选：B．
5．（3分）如图是一次函数y＝ax+b的图象，则关于x的方程ax+b＝1的解为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【分析】根据一次函数图象可得一次函数y＝ax+b的图象经过（4，1）点，进而得到方程的解．
【解答】解：根据图象可得，一次函数y＝ax+b的图象经过（4，1）点，
因此关于x的方程ax+b＝1的解x＝4，
故选：C．
6．（3分）在矩形ABCD中有一个菱形BEDF（点E，F分别在线段AB、CD上），记它们的面积分别为S矩形ABCD和S菱形BEDF，若S矩形ABCD：S菱形BEDF＝（2+3）：2，则tan∠EDF＝（ ）
A．3 B．23 C．33 D．32
【分析】由已知先求出cos∠BFC=32，再求出tan∠EDF，即可解答本题；
【解答】解：设CF＝x，DF＝y，BC＝h．
∵四边形BFDE是菱形，
∴BF＝DF＝y，DE∥BF．
∵S矩形ABCD：S菱形BEDF＝（2+3）：2，
∴(x+y)ℎyℎ=2+32，
∴xy=32，即cos∠BFC=32，
∴∠BFC＝30°，
∵DE∥BF，
∴∠EDF＝∠BFC＝30°，
∴tan∠EDF=33，
故选：C．
7．（3分）如图，在圆O的内接四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是（ ）
A．4 B．23 C．433 D．833
【分析】将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，根据旋转的性质得出∠E＝∠CAD＝30°，BE＝AD＝5，AC＝CE，求出A、B、E三点共线，解直角三角形求出即可．
【解答】解：∵A、B、C、D四点共圆，∠BAD＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°，
∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°，
如图1，
将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，
则∠E＝∠CAD＝30°，BE＝AD＝5，AC＝CE，
∴∠ABC+∠EBC＝（180°﹣∠CAB﹣∠ACB）+（180°﹣∠E﹣∠BCE）＝180°，
∴A、B、E三点共线，
过C作CM⊥AE于M，
∵AC＝CE，
∴AM＝EM=12×（5+3）＝4，
在Rt△AMC中，AC=AMcos30°=432=833；
故选：D．
8．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+（m+2）x+3m﹣3（m＞0）向上（下）或向左（右）平移，平移后的抛物线恰好经过原点，且平移的最小距离是2，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【分析】求得抛物线与坐标轴的交点，当左右平移距离最小时，则|1﹣m|＝2，解得m＝3，当上下平移距离最小时，则|3m﹣3|＝2，解得m=13或m=53，而当m=13或53时，|1﹣m|=23＜2，不合题意，故m＝3．
【解答】解：∵y＝x2+（m+2）x+3m﹣3＝（x+3）（x+m﹣1），
∴令y＝0，则x1＝﹣3，x2＝1﹣m，
令x＝0，则y＝3m﹣3，
∴当左右平移距离最小时，则|1﹣m|＝2，
∵m＞0，
∴m＝3，
当上下平移距离最小时，则|3m﹣3|＝2，
∴m=13或m=53，
而当m=13或53时，|1﹣m|=23＜2，故不合题意，
∴m＝3，
故选：C．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）在﹣2、−3、227、6、π中，无理数有 3 个．
【分析】无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．
【解答】解：在﹣2、−3、227、6、π中，无理数有−3、6、π，共3个．
故答案为：3．
10．（3分）如图，AC是正五边形ABCDE的对角线，则∠ACD为 72 度．
【分析】先求出正五边形每个内角的度数，再由等腰△ABC，求出∠BCA的度数，即可得到∠ACD的度数．
【解答】解：在五边形ABCDE中，
每个内角为：180°﹣360°÷5＝108°，
∵AB＝BC，
∴∠BCA＝∠BAC=12×（180°﹣108°）＝36°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠BCA＝108°﹣36°＝72°，
故答案为：72．
11．（3分）定义新运算：对于任意实数a、b，都有a⊗b＝13a﹣b，则x⊗1﹣x⊗2的值为 1 ．
【分析】直接利用新定义把原式变形，进而利用整式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵a⊗b＝13a﹣b，
∴x⊗1﹣x⊗2＝13x﹣1﹣（13x﹣2）
＝13x﹣1﹣13x+2
＝1．
故答案为：1．
12．（3分）若点A（﹣1，y1）、B（−14，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y=k2+1x（k为常数）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为 y2＜y1＜y3 ．
【分析】根据反比例函数的性质和k2+1＞0，可以得到反比例函数y=k2+1x的图象所在的象限和在每个象限内的增减性，然后即可判断y1、y2、y3的大小关系．
【解答】解：∵反比例函数y=k2+1x（k为常数），k2+1＞0，
∴该函数图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，
∵点A（﹣1，y1）、B（−14，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y=k2+1x（k为常数）的图象上，﹣1＜−14，点A、B在第三象限，点C在第一象限，
∴y2＜y1＜y3，
故答案为：y2＜y1＜y3．
13．（3分）在菱形ABCD中，∠D＝60°，CD＝4，E为菱形内部一点，且AE＝2，连接CE，点F为CE中点，连接BF，取BF中点G，连接AG，则AG的最大值为 12+7 ．
【分析】先根据题目条件中的中点可联想中位线的性质，构造中位线将OF和GH的长度先求出来，再利用三角形的三边关系判断，当AG＝AH+HG时最大．
【解答】解：如图所示：连接BD交AC于点O，连接FO，取OB的中点H，连接HG和AH，
∵在菱形ABCD中，
∴O为AC中点，
∵F为CE中点，
∴OF=12AE＝1，
当C、F、E、A共线时，OF也为1，
∵G为BF中点、H为OB中点，
∴GH=12OF=12，
∵在菱形ABCD中且∠D＝60°，
∴∠ABO=12∠ABC=12∠ADC＝30°，∠BOA＝90°，
∴OA=12AB＝2，，
∴OB=42−22=23，
∴OH=3，
∴AH=22+(3)2=7，
∵AG≤AH+HG，
∴AG≤12+7，
∴AG的最大值为12+7．
故答案为：12+7．
三、解答题（共13小题，计81分。解答应写出过程）
14．（5分）计算：1+（−12）﹣2﹣（π﹣4）0+|2−5|．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和负整数指数幂的性质分别化简各数，进而得出答案．
【解答】解：原式＝1+4﹣1+5−2
＝2+5．
15．（5分）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，
∴（x﹣2）2＝5，
∴x＝2±5，
∴x1＝2+5，x2＝2−5．
16．（5分）解方程：xx2−4=1−1x+2．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x＝x2﹣4﹣x+2，
整理得：x2﹣2x﹣2＝0，
解得：x1＝1+3，x2＝1−3，
当x＝1+3或1−3时，（x+2）（x﹣2）≠0，
∴分式方程的解为x1＝1+3，x2＝1−3．
17．（5分）如图，已知△ABC，∠BAC＝90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】过点A作AD⊥BC于D，利用等角的余角相等可得到∠BAD＝∠C，则可判断△ABD与△CAD相似．
【解答】解：如图，AD为所作．
18．（5分）如图，平行四边形ABCD中，BD为对角线，过BD的中点O作直线EF，分别交BA、DC的延长线于点E、F．
求证：AE＝CF．
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得出AB＝CD，再证△EBO≌△FDO（AAS），得出BE＝DF，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠E＝∠F，
∵O是BD的中点，
∴OB＝OD，
在△EBO和△FDO中，
∠E=∠F∠BOE=∠DOFOB=OD，
∴△EBO≌△FDO（AAS），
∴BE＝DF，
又∵AB＝CD，
∴BE﹣AB＝DF﹣CD．
即AE＝CF．
19．（5分）如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为4厘米的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽5厘米的长条．如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？
【分析】显然要设正方形的边长是x厘米，根据“两次剪下的长条面积正好相等”这一关系列出方程即可求解．
【解答】解：设正方形的边长是x厘米，依题意有
4x＝5（x﹣4），
解得x＝20，
则4x＝80．
故每一个长条的面积为80平方厘米．
20．（5分）在某次数学活动中，如图有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被分成四个相同的扇形，分别标有数字1、2、3、4，转盘B被分成三个相同的扇形，分别标有数字5、6、7．若是固定不变，转动转盘（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止）
（1）若单独自由转动A盘，当它停止时，指针指向偶数区的概率是 12 ．
（2）小明自由转动A盘，小颖自由转动B盘，当两个转盘停止后，记下各个转盘指针所指区域内对应的数字，请用画树状图或列表法求所得两数之积为10的倍数的概率．
【分析】（1）根据概率公式列式计算即可得解；
（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵指针指向1、2、3、4区是等可能情况，
∴指针指向偶数区的概率是：24=12；
（2）根据题意画出树状图如下：
一共有12种情况，两数之积为10的倍数的情况有2种，
所以，P（两数之积为10的倍数）=212=16．
21．（6分）某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝1.2米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝1.8米，CG＝20米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB．
【分析】根据相似三角形的性质列比例式，解方程即可得到结论．
【解答】解：根据题意得，△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，
∴DCBA=ECEA，GHAB=FGAF
∵DC＝HG，
∴FGAF=ECEA，
∴1.81.8+20+CA=1.21.2+AC，
∴CA＝40（米），
∴2AB=1.21.2+40，
∴AB≈68.7米，
答：古塔的高度AB约为68.7米．
22．（7分）某校想了解九年级学生某次体育达标情况，抽样调查了九（7）班的成绩，分别记作60分、70分、80分、90分、100分，并将统计结果绘制成不完整的统计图（如图）．
（1）样本容量为 50 ，成绩的中位数为 80分 ．
（2）若成绩为60分的人数为6人，则n＝ 108° ．
（3）若九年级共有1500人，请估计全年级90分及以上的同学大约多少人？
【分析】（1）根据100分的人数和所占的百分比求出样本容量，再根据中位数的定义即可得出成绩的中位数；
（2）用360°乘以70分的人数所占的百分比即可；
（3）用全校的总人数乘以90分以及上的同学所占的百分比即可．
【解答】解：（1）样本容量为：4÷8%＝50；
把这些数从小到大排列，中位数是第25、26个数的平均数，
则成绩的中位数为80+802=80（分）；
故答案为：50；80分；
（2）n=50−4−10−15−650×360°＝108°；
故答案为：108°；
（3）根据题意得：
1500×4+1050=420（人），
答：估计全校90分以及上的同学大约420人．
23．（7分）甲、乙两个工厂同时加工一批机器零件，两天后甲厂因维修设备停止加工，当设备维修完时，甲、乙两厂加工的零件数相等．之后甲厂再以原来的工作效率继续加工这批零件，甲、乙两厂加工零件的总数量y（件）与加工的时间x（天）的函数图象如图所示：
（1）甲厂维修设备的天数为 2 天．
（2）求出甲厂工作时，每天加工的零件数量．
（3）求甲厂维修完设备后，y与x之间的函数关系式．
【分析】（1）根据当设备维修完时，甲、乙两厂加工的零件数相等和函数图象中的计算，可以分别计算出甲、乙的工作效率，从而可以得到甲厂维修设备的天数；
（2）根据（1）函数图象中的数据，可以计算出甲厂工作时，每天加工的零件数量；
（3）根据（1）中的结果可以计算出点B和点C的坐标，然后设出甲厂维修完设备后，y与x之间的函数关系式，然后将点B和点C的坐标代入计算即可．
【解答】解：（1）由图象可得，
甲的工作效率为：（160÷2）÷2＝40（件/天），
乙的工作效率为：120÷2﹣40＝20（件/天），
则甲厂维修设备的天数为：（160÷2）÷20﹣2＝2，
故答案为：2；
（2）由图象可得，
甲的工作效率为：（160÷2）÷2＝40（件/天），
答：甲厂工作时，每天加工零件40件；
（3）由（1）可知点B的坐标为（4，160），
点C的纵坐标为：160+（40+20）×（8﹣4）＝400，
∴点C的坐标为（8，400），
设甲厂维修完设备后，y与x之间的函数关系式是y＝kx+b，
4k+b=1608k+b=400，
解得k=60b=−80，
即甲厂维修完设备后，y与x之间的函数关系式是y＝60x﹣80．
24．（8分）如图，已知△ABC的边AB是⊙O的切线，切点为E，AC经过圆心O并与圆相交于点F，CB交⊙O于D，连接CE，DE，EF，且DE＝EF．
（1）求证：AB⊥BC；
（2）若BC＝3，sinA=35，求AF的长．
【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥AB，由EF＝ED得到∠FCE＝∠DCE,由OE＝OC得到∠FCE＝∠OEC,这样即可证明OE∥CB,再根据平行线的性质证出∠B＝∠OEA＝90°,从而得证．
（2）根据正弦的定义求出AC，设半径为r，在直角三角形AOE中根据sinA=35，列方程求出r的值，将r的值代入AF＝5﹣2r即可．
【解答】解：（1）如图，连接OE,
∵AB是⊙O的切线,切点为E,
∴OE⊥AB,
∴∠OEA＝90°,
∵EF＝ED,
∴∠FCE＝∠DCE,
∵OE＝OC,
∴∠FCE＝∠OEC,
∴OE∥CB,
∴∠B＝∠OEA＝90°,
∴AB⊥BC．
(2)设⊙O的半径OC＝OE＝OF＝r,
∵BC＝3，sinA=35，∠B＝90°,
∴AC＝5,
在直角三角形AOE中，
sinA=OEAO=r5−r=35,
解得：r=158，
∴AF＝5﹣2r＝5﹣2×158=54．
25．（8分）如图，抛物线C1：y＝﹣x2+mx+n与抛物线C2：y＝ax2﹣4x+5（a≠0）关于y轴对称，C1与x轴交于A，B两点，其中点A在点B的左侧．
（1）求抛物线C1，C2的函数表达式．
（2）在抛物线C1上是否存在一点N，在抛物线C2上是否存在一点M，使得以AB为边，且以A、B、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意C1与C2关于y轴对称，即C1与C2的形状，开口大小和开口方向，和最大值都一样，而对称轴互为相反数，即可得C1、C2的表达式；
（2）令C1的纵坐标为0，可得A、B的横坐标，由AB中点坐标为（2，0），N在抛物线C1上，M在抛物线C2上，所以AB只能为平行四边形一边，由MN∥AB且MN＝AB，可得MN＝AB＝6，设N（t，﹣t2+4t+5），M在x轴左半轴或在x轴右半轴，则M（t+6，﹣t2+4t+5）或（t﹣6，﹣t2+4t+5），当M（t﹣6，﹣t2+4t+5）时，由M、N纵坐标相等，可得t＝3，即得M、N坐标，当M（t+6，﹣t2+4t+5）时，由M、N纵坐标相等，可得t＝﹣3即得M、N坐标．
【解答】解：（1）∵C1、C2关于y轴对称，
∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，
∴a＝﹣1，
∴C2：y＝ax2﹣4x+5，当x＝0时，y＝5，
∴C1：y＝﹣x2+mx+n，当x＝0时，y＝n，
∴n＝5，
∵a＝﹣1，
∴C2的对称轴为x=−−42a=−2，
故C1的对称轴为x=m2=2，
得m＝4，（对称轴关于y轴对称，则C1的对称轴为2）
∴C1：y＝﹣x2+4x+5，C2：y＝﹣x2﹣4x+5；
（2）∵AB的中点为（2，0），且点N在抛物线C1上，点M在抛物线C2上，
∴AB只能为平行四边形的一边，
∴MN∥AB且MN＝AB，
C1：y＝﹣x2+4x+5，
令y＝0，得x2﹣4x﹣5＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
则AB＝5﹣（﹣1）＝6，
∴MN＝6，
设N（t，﹣t2+4t+5），则M（t+6，﹣t2+4t+5）或（t﹣6，﹣t2+4t+5），
①当M（t+6，﹣t2+4t+5）时，
则﹣（t+6）2﹣4（t+6）+5＝﹣t2+4t+5，解得t＝﹣3，
∴﹣t2+4t+5＝﹣16，
∴N（﹣3，﹣16），M（3，﹣16）；
②当M（t﹣6，﹣t2+4t+5）时，
则﹣（t﹣6）2﹣4（t﹣6）+5＝﹣t2+4t+5，解得t＝3，
∴﹣t2+4t+5＝8，
∴N（3，8），M（﹣3，8）；
综上可知存在满足条件的点M、N，其坐标为M（3，﹣16），N（﹣3，﹣16）或M（﹣3，8），N（3，8）．
26．（10分）问题提出：
（1）如图①，已知点C到直线AB的距离是5，以C为圆心、2为半径作圆，则⊙C上一点到直线AB的最小距离为 3 ．
问题探究：
（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为2，E是BC边上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连结CG，则求CG的最小值．
问题解决：
（3）如图③，有一个矩形花坛ABCD，AB＝10m，AD＝20m，根据设计造型要求，在AB上任取一动点E，连ED，过点A作AF⊥ED，交DE于点F，在FD上截取FP=3AF，连接PB、PC；现需在△PBC的区内种植一种黄色花卉，在矩形内的其它区域种植一种红色花卉，已知种植这种黄色花卉每平方米需200元，种植这种红色花卉每平方米需180元，完成这两种花卉的种植至少需花费多少元？（结果保留整数，参考数据：3≈1.7）
【分析】（1）画图即可判断；
（2）取AB的中点O，连接OC，根据题意得：G点的运动轨迹是以AB中点O为圆心，OA为半径的弧，所以OC和OG的长度是定值，因此O、C、G共线时，CG取最小值，根据勾股定理计算即可；
（3）以AD为边向上作等边三角形ADJ，以点J为圆心，AJ为半径作圆，在⊙J上取一点T，连接AT，DT，过点J作JQ⊥BC于点Q，过点P作PH⊥BC于点H，求出PH的最小值即可解决问题．
【解答】解：（1）过点C作CM⊥AB于点H，则CH＝5，
以点C为圆心，2为半径作圆，交CH于点P，
∴⊙上一点到直线AB的最小距离为PH＝CH﹣CP＝5﹣2＝3；
（2）取AB的中点O，连接OC，
根据题意得：G点的运动轨迹是以AB中点O为圆心，OA为半径的弧，
∴OC、OG为定值，
当O、C、G共线时，CG取得最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，
∵O是AB的中点，
∴OB＝1，
在Rt△OBC中，OC=22+12=5，
∴CG的最小值为5−1；
（3）以AD为边向上作等边三角形ADJ，以点J为圆心，AJ为半径作圆，
在⊙J上取一点T，连接AT，DT，过点J作JQ⊥BC于点Q，过点P作PH⊥BC于点H，
∵AF⊥ED，FP=3AF，
∴tan∠APF=33，
∴∠APF＝30°，
∴∠APD＝150°，
∵△ADJ为等边三角形，
∴∠AJD＝60°，
∴∠ATD＝30°，
∴∠APD+∠ATD＝180°，
∴A、T、D、P四点共圆，
∵AB＝10m，AD＝AJ＝DJ＝BC＝20m，
∴JQ＝（10+103）m，
∵PJ+PQ≥JQ，
∴PH的最小值为10+103−20＝（103−10）m，
∴完成这两种花卉的最低种植费用为12×20×PH×200+[10×20−12×20×PH]×180
＝200PH+36000
＝200（103−10）+36000
≈37400（元）．
2022年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校中考数学三模试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每个小题只有一一个选项是符合题意的）
1．（3分）−34的倒数是（ ）
A．43 B．−43 C．34 D．−34
2．（3分）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．圆锥 B．四棱柱 C．圆台 D．圆柱
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．5a+3a＝8 B．3ab﹣ab＝2ab
C．2a+3b＝5ab D．﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b
4．（3分）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE＝160°，则∠C的度数是（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
5．（3分）如图是一次函数y＝ax+b的图象，则关于x的方程ax+b＝1的解为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
6．（3分）在矩形ABCD中有一个菱形BEDF（点E，F分别在线段AB、CD上），记它们的面积分别为S矩形ABCD和S菱形BEDF，若S矩形ABCD：S菱形BEDF＝（2+3）：2，则tan∠EDF＝（ ）
A．3 B．23 C．33 D．32
7．（3分）如图，在圆O的内接四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是（ ）
A．4 B．23 C．433 D．833
8．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+（m+2）x+3m﹣3（m＞0）向上（下）或向左（右）平移，平移后的抛物线恰好经过原点，且平移的最小距离是2，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）在﹣2、−3、227、6、π中，无理数有 个．
10．（3分）如图，AC是正五边形ABCDE的对角线，则∠ACD为 度．
11．（3分）定义新运算：对于任意实数a、b，都有a⊗b＝13a﹣b，则x⊗1﹣x⊗2的值为 ．
12．（3分）若点A（﹣1，y1）、B（−14，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y=k2+1x（k为常数）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为 ．
13．（3分）在菱形ABCD中，∠D＝60°，CD＝4，E为菱形内部一点，且AE＝2，连接CE，点F为CE中点，连接BF，取BF中点G，连接AG，则AG的最大值为 ．
三、解答题（共13小题，计81分。解答应写出过程）
14．（5分）计算：1+（−12）﹣2﹣（π﹣4）0+|2−5|．
15．（5分）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
16．（5分）解方程：xx2−4=1−1x+2．
17．（5分）如图，已知△ABC，∠BAC＝90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，平行四边形ABCD中，BD为对角线，过BD的中点O作直线EF，分别交BA、DC的延长线于点E、F．
求证：AE＝CF．
19．（5分）如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为4厘米的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽5厘米的长条．如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？
20．（5分）在某次数学活动中，如图有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被分成四个相同的扇形，分别标有数字1、2、3、4，转盘B被分成三个相同的扇形，分别标有数字5、6、7．若是固定不变，转动转盘（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止）
（1）若单独自由转动A盘，当它停止时，指针指向偶数区的概率是 ．
（2）小明自由转动A盘，小颖自由转动B盘，当两个转盘停止后，记下各个转盘指针所指区域内对应的数字，请用画树状图或列表法求所得两数之积为10的倍数的概率．
21．（6分）某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝1.2米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝1.8米，CG＝20米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB．
22．（7分）某校想了解九年级学生某次体育达标情况，抽样调查了九（7）班的成绩，分别记作60分、70分、80分、90分、100分，并将统计结果绘制成不完整的统计图（如图）．
（1）样本容量为 ，成绩的中位数为 ．
（2）若成绩为60分的人数为6人，则n＝ ．
（3）若九年级共有1500人，请估计全年级90分及以上的同学大约多少人？
23．（7分）甲、乙两个工厂同时加工一批机器零件，两天后甲厂因维修设备停止加工，当设备维修完时，甲、乙两厂加工的零件数相等．之后甲厂再以原来的工作效率继续加工这批零件，甲、乙两厂加工零件的总数量y（件）与加工的时间x（天）的函数图象如图所示：
（1）甲厂维修设备的天数为 天．
（2）求出甲厂工作时，每天加工的零件数量．
（3）求甲厂维修完设备后，y与x之间的函数关系式．
24．（8分）如图，已知△ABC的边AB是⊙O的切线，切点为E，AC经过圆心O并与圆相交于点F，CB交⊙O于D，连接CE，DE，EF，且DE＝EF．
（1）求证：AB⊥BC；
（2）若BC＝3，sinA=35，求AF的长．
25．（8分）如图，抛物线C1：y＝﹣x2+mx+n与抛物线C2：y＝ax2﹣4x+5（a≠0）关于y轴对称，C1与x轴交于A，B两点，其中点A在点B的左侧．
（1）求抛物线C1，C2的函数表达式．
（2）在抛物线C1上是否存在一点N，在抛物线C2上是否存在一点M，使得以AB为边，且以A、B、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（10分）问题提出：
（1）如图①，已知点C到直线AB的距离是5，以C为圆心、2为半径作圆，则⊙C上一点到直线AB的最小距离为 ．
问题探究：
（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为2，E是BC边上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连结CG，则求CG的最小值．
问题解决：
（3）如图③，有一个矩形花坛ABCD，AB＝10m，AD＝20m，根据设计造型要求，在AB上任取一动点E，连ED，过点A作AF⊥ED，交DE于点F，在FD上截取FP=3AF，连接PB、PC；现需在△PBC的区内种植一种黄色花卉，在矩形内的其它区域种植一种红色花卉，已知种植这种黄色花卉每平方米需200元，种植这种红色花卉每平方米需180元，完成这两种花卉的种植至少需花费多少元？（结果保留整数，参考数据：3≈1.7）
2022年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校中考数学三模试卷
答案与解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每个小题只有一一个选项是符合题意的）
1．（3分）−34的倒数是（ ）
A．43 B．−43 C．34 D．−34
【分析】直接利用倒数的定义分析得出答案．
【解答】解：∵−34×（−43）＝1，
∴−34的倒数是：−43．
故选：B．
2．（3分）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．圆锥 B．四棱柱 C．圆台 D．圆柱
【分析】侧面为长方形，底面为2个圆形，故原几何体为圆柱．
【解答】解：观察图形可知，该几何体侧面为长方形，底面为2个圆形，是圆柱．
故选：D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．5a+3a＝8 B．3ab﹣ab＝2ab
C．2a+3b＝5ab D．﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b
【分析】A、B、C就是合并同类项，D，按去括号法则．
【解答】解：A：原式＝8a，∴不符合题意；
B：原式＝2ab，∴符合题意；
C：原式＝2a+3b，∴不符合题意；
D：原式＝﹣a+b，∴不符合题意；
故选：B．
4．（3分）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE＝160°，则∠C的度数是（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
【分析】首先根据邻补角互补可得∠CDB＝180°﹣160°＝20°，然后再根据平行线的性质可得∠ABD＝∠CDB＝20°，进而得到∠CBD＝20°，再利用三角形内角和定理算出∠C的度数．
【解答】解：∵∠CDE＝160°，
∴∠CDB＝180°﹣160°＝20°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB＝20°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE＝20°，
∴∠C＝180°﹣20°﹣20°＝140°，
故选：B．
5．（3分）如图是一次函数y＝ax+b的图象，则关于x的方程ax+b＝1的解为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【分析】根据一次函数图象可得一次函数y＝ax+b的图象经过（4，1）点，进而得到方程的解．
【解答】解：根据图象可得，一次函数y＝ax+b的图象经过（4，1）点，
因此关于x的方程ax+b＝1的解x＝4，
故选：C．
6．（3分）在矩形ABCD中有一个菱形BEDF（点E，F分别在线段AB、CD上），记它们的面积分别为S矩形ABCD和S菱形BEDF，若S矩形ABCD：S菱形BEDF＝（2+3）：2，则tan∠EDF＝（ ）
A．3 B．23 C．33 D．32
【分析】由已知先求出cos∠BFC=32，再求出tan∠EDF，即可解答本题；
【解答】解：设CF＝x，DF＝y，BC＝h．
∵四边形BFDE是菱形，
∴BF＝DF＝y，DE∥BF．
∵S矩形ABCD：S菱形BEDF＝（2+3）：2，
∴(x+y)ℎyℎ=2+32，
∴xy=32，即cos∠BFC=32，
∴∠BFC＝30°，
∵DE∥BF，
∴∠EDF＝∠BFC＝30°，
∴tan∠EDF=33，
故选：C．
7．（3分）如图，在圆O的内接四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是（ ）
A．4 B．23 C．433 D．833
【分析】将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，根据旋转的性质得出∠E＝∠CAD＝30°，BE＝AD＝5，AC＝CE，求出A、B、E三点共线，解直角三角形求出即可．
【解答】解：∵A、B、C、D四点共圆，∠BAD＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°，
∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°，
如图1，
将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，
则∠E＝∠CAD＝30°，BE＝AD＝5，AC＝CE，
∴∠ABC+∠EBC＝（180°﹣∠CAB﹣∠ACB）+（180°﹣∠E﹣∠BCE）＝180°，
∴A、B、E三点共线，
过C作CM⊥AE于M，
∵AC＝CE，
∴AM＝EM=12×（5+3）＝4，
在Rt△AMC中，AC=AMcos30°=432=833；
故选：D．
8．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+（m+2）x+3m﹣3（m＞0）向上（下）或向左（右）平移，平移后的抛物线恰好经过原点，且平移的最小距离是2，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【分析】求得抛物线与坐标轴的交点，当左右平移距离最小时，则|1﹣m|＝2，解得m＝3，当上下平移距离最小时，则|3m﹣3|＝2，解得m=13或m=53，而当m=13或53时，|1﹣m|=23＜2，不合题意，故m＝3．
【解答】解：∵y＝x2+（m+2）x+3m﹣3＝（x+3）（x+m﹣1），
∴令y＝0，则x1＝﹣3，x2＝1﹣m，
令x＝0，则y＝3m﹣3，
∴当左右平移距离最小时，则|1﹣m|＝2，
∵m＞0，
∴m＝3，
当上下平移距离最小时，则|3m﹣3|＝2，
∴m=13或m=53，
而当m=13或53时，|1﹣m|=23＜2，故不合题意，
∴m＝3，
故选：C．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）在﹣2、−3、227、6、π中，无理数有 3 个．
【分析】无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．
【解答】解：在﹣2、−3、227、6、π中，无理数有−3、6、π，共3个．
故答案为：3．
10．（3分）如图，AC是正五边形ABCDE的对角线，则∠ACD为 72 度．
【分析】先求出正五边形每个内角的度数，再由等腰△ABC，求出∠BCA的度数，即可得到∠ACD的度数．
【解答】解：在五边形ABCDE中，
每个内角为：180°﹣360°÷5＝108°，
∵AB＝BC，
∴∠BCA＝∠BAC=12×（180°﹣108°）＝36°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠BCA＝108°﹣36°＝72°，
故答案为：72．
11．（3分）定义新运算：对于任意实数a、b，都有a⊗b＝13a﹣b，则x⊗1﹣x⊗2的值为 1 ．
【分析】直接利用新定义把原式变形，进而利用整式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵a⊗b＝13a﹣b，
∴x⊗1﹣x⊗2＝13x﹣1﹣（13x﹣2）
＝13x﹣1﹣13x+2
＝1．
故答案为：1．
12．（3分）若点A（﹣1，y1）、B（−14，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y=k2+1x（k为常数）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为 y2＜y1＜y3 ．
【分析】根据反比例函数的性质和k2+1＞0，可以得到反比例函数y=k2+1x的图象所在的象限和在每个象限内的增减性，然后即可判断y1、y2、y3的大小关系．
【解答】解：∵反比例函数y=k2+1x（k为常数），k2+1＞0，
∴该函数图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，
∵点A（﹣1，y1）、B（−14，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y=k2+1x（k为常数）的图象上，﹣1＜−14，点A、B在第三象限，点C在第一象限，
∴y2＜y1＜y3，
故答案为：y2＜y1＜y3．
13．（3分）在菱形ABCD中，∠D＝60°，CD＝4，E为菱形内部一点，且AE＝2，连接CE，点F为CE中点，连接BF，取BF中点G，连接AG，则AG的最大值为 12+7 ．
【分析】先根据题目条件中的中点可联想中位线的性质，构造中位线将OF和GH的长度先求出来，再利用三角形的三边关系判断，当AG＝AH+HG时最大．
【解答】解：如图所示：连接BD交AC于点O，连接FO，取OB的中点H，连接HG和AH，
∵在菱形ABCD中，
∴O为AC中点，
∵F为CE中点，
∴OF=12AE＝1，
当C、F、E、A共线时，OF也为1，
∵G为BF中点、H为OB中点，
∴GH=12OF=12，
∵在菱形ABCD中且∠D＝60°，
∴∠ABO=12∠ABC=12∠ADC＝30°，∠BOA＝90°，
∴OA=12AB＝2，，
∴OB=42−22=23，
∴OH=3，
∴AH=22+(3)2=7，
∵AG≤AH+HG，
∴AG≤12+7，
∴AG的最大值为12+7．
故答案为：12+7．
三、解答题（共13小题，计81分。解答应写出过程）
14．（5分）计算：1+（−12）﹣2﹣（π﹣4）0+|2−5|．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和负整数指数幂的性质分别化简各数，进而得出答案．
【解答】解：原式＝1+4﹣1+5−2
＝2+5．
15．（5分）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，
∴（x﹣2）2＝5，
∴x＝2±5，
∴x1＝2+5，x2＝2−5．
16．（5分）解方程：xx2−4=1−1x+2．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x＝x2﹣4﹣x+2，
整理得：x2﹣2x﹣2＝0，
解得：x1＝1+3，x2＝1−3，
当x＝1+3或1−3时，（x+2）（x﹣2）≠0，
∴分式方程的解为x1＝1+3，x2＝1−3．
17．（5分）如图，已知△ABC，∠BAC＝90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】过点A作AD⊥BC于D，利用等角的余角相等可得到∠BAD＝∠C，则可判断△ABD与△CAD相似．
【解答】解：如图，AD为所作．
18．（5分）如图，平行四边形ABCD中，BD为对角线，过BD的中点O作直线EF，分别交BA、DC的延长线于点E、F．
求证：AE＝CF．
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得出AB＝CD，再证△EBO≌△FDO（AAS），得出BE＝DF，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠E＝∠F，
∵O是BD的中点，
∴OB＝OD，
在△EBO和△FDO中，
∠E=∠F∠BOE=∠DOFOB=OD，
∴△EBO≌△FDO（AAS），
∴BE＝DF，
又∵AB＝CD，
∴BE﹣AB＝DF﹣CD．
即AE＝CF．
19．（5分）如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为4厘米的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽5厘米的长条．如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？
【分析】显然要设正方形的边长是x厘米，根据“两次剪下的长条面积正好相等”这一关系列出方程即可求解．
【解答】解：设正方形的边长是x厘米，依题意有
4x＝5（x﹣4），
解得x＝20，
则4x＝80．
故每一个长条的面积为80平方厘米．
20．（5分）在某次数学活动中，如图有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被分成四个相同的扇形，分别标有数字1、2、3、4，转盘B被分成三个相同的扇形，分别标有数字5、6、7．若是固定不变，转动转盘（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止）
（1）若单独自由转动A盘，当它停止时，指针指向偶数区的概率是 12 ．
（2）小明自由转动A盘，小颖自由转动B盘，当两个转盘停止后，记下各个转盘指针所指区域内对应的数字，请用画树状图或列表法求所得两数之积为10的倍数的概率．
【分析】（1）根据概率公式列式计算即可得解；
（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵指针指向1、2、3、4区是等可能情况，
∴指针指向偶数区的概率是：24=12；
（2）根据题意画出树状图如下：
一共有12种情况，两数之积为10的倍数的情况有2种，
所以，P（两数之积为10的倍数）=212=16．
21．（6分）某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝1.2米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝1.8米，CG＝20米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB．
【分析】根据相似三角形的性质列比例式，解方程即可得到结论．
【解答】解：根据题意得，△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，
∴DCBA=ECEA，GHAB=FGAF
∵DC＝HG，
∴FGAF=ECEA，
∴1.81.8+20+CA=1.21.2+AC，
∴CA＝40（米），
∴2AB=1.21.2+40，
∴AB≈68.7米，
答：古塔的高度AB约为68.7米．
22．（7分）某校想了解九年级学生某次体育达标情况，抽样调查了九（7）班的成绩，分别记作60分、70分、80分、90分、100分，并将统计结果绘制成不完整的统计图（如图）．
（1）样本容量为 50 ，成绩的中位数为 80分 ．
（2）若成绩为60分的人数为6人，则n＝ 108° ．
（3）若九年级共有1500人，请估计全年级90分及以上的同学大约多少人？
【分析】（1）根据100分的人数和所占的百分比求出样本容量，再根据中位数的定义即可得出成绩的中位数；
（2）用360°乘以70分的人数所占的百分比即可；
（3）用全校的总人数乘以90分以及上的同学所占的百分比即可．
【解答】解：（1）样本容量为：4÷8%＝50；
把这些数从小到大排列，中位数是第25、26个数的平均数，
则成绩的中位数为80+802=80（分）；
故答案为：50；80分；
（2）n=50−4−10−15−650×360°＝108°；
故答案为：108°；
（3）根据题意得：
1500×4+1050=420（人），
答：估计全校90分以及上的同学大约420人．
23．（7分）甲、乙两个工厂同时加工一批机器零件，两天后甲厂因维修设备停止加工，当设备维修完时，甲、乙两厂加工的零件数相等．之后甲厂再以原来的工作效率继续加工这批零件，甲、乙两厂加工零件的总数量y（件）与加工的时间x（天）的函数图象如图所示：
（1）甲厂维修设备的天数为 2 天．
（2）求出甲厂工作时，每天加工的零件数量．
（3）求甲厂维修完设备后，y与x之间的函数关系式．
【分析】（1）根据当设备维修完时，甲、乙两厂加工的零件数相等和函数图象中的计算，可以分别计算出甲、乙的工作效率，从而可以得到甲厂维修设备的天数；
（2）根据（1）函数图象中的数据，可以计算出甲厂工作时，每天加工的零件数量；
（3）根据（1）中的结果可以计算出点B和点C的坐标，然后设出甲厂维修完设备后，y与x之间的函数关系式，然后将点B和点C的坐标代入计算即可．
【解答】解：（1）由图象可得，
甲的工作效率为：（160÷2）÷2＝40（件/天），
乙的工作效率为：120÷2﹣40＝20（件/天），
则甲厂维修设备的天数为：（160÷2）÷20﹣2＝2，
故答案为：2；
（2）由图象可得，
甲的工作效率为：（160÷2）÷2＝40（件/天），
答：甲厂工作时，每天加工零件40件；
（3）由（1）可知点B的坐标为（4，160），
点C的纵坐标为：160+（40+20）×（8﹣4）＝400，
∴点C的坐标为（8，400），
设甲厂维修完设备后，y与x之间的函数关系式是y＝kx+b，
4k+b=1608k+b=400，
解得k=60b=−80，
即甲厂维修完设备后，y与x之间的函数关系式是y＝60x﹣80．
24．（8分）如图，已知△ABC的边AB是⊙O的切线，切点为E，AC经过圆心O并与圆相交于点F，CB交⊙O于D，连接CE，DE，EF，且DE＝EF．
（1）求证：AB⊥BC；
（2）若BC＝3，sinA=35，求AF的长．
【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥AB，由EF＝ED得到∠FCE＝∠DCE,由OE＝OC得到∠FCE＝∠OEC,这样即可证明OE∥CB,再根据平行线的性质证出∠B＝∠OEA＝90°,从而得证．
（2）根据正弦的定义求出AC，设半径为r，在直角三角形AOE中根据sinA=35，列方程求出r的值，将r的值代入AF＝5﹣2r即可．
【解答】解：（1）如图，连接OE,
∵AB是⊙O的切线,切点为E,
∴OE⊥AB,
∴∠OEA＝90°,
∵EF＝ED,
∴∠FCE＝∠DCE,
∵OE＝OC,
∴∠FCE＝∠OEC,
∴OE∥CB,
∴∠B＝∠OEA＝90°,
∴AB⊥BC．
(2)设⊙O的半径OC＝OE＝OF＝r,
∵BC＝3，sinA=35，∠B＝90°,
∴AC＝5,
在直角三角形AOE中，
sinA=OEAO=r5−r=35,
解得：r=158，
∴AF＝5﹣2r＝5﹣2×158=54．
25．（8分）如图，抛物线C1：y＝﹣x2+mx+n与抛物线C2：y＝ax2﹣4x+5（a≠0）关于y轴对称，C1与x轴交于A，B两点，其中点A在点B的左侧．
（1）求抛物线C1，C2的函数表达式．
（2）在抛物线C1上是否存在一点N，在抛物线C2上是否存在一点M，使得以AB为边，且以A、B、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意C1与C2关于y轴对称，即C1与C2的形状，开口大小和开口方向，和最大值都一样，而对称轴互为相反数，即可得C1、C2的表达式；
（2）令C1的纵坐标为0，可得A、B的横坐标，由AB中点坐标为（2，0），N在抛物线C1上，M在抛物线C2上，所以AB只能为平行四边形一边，由MN∥AB且MN＝AB，可得MN＝AB＝6，设N（t，﹣t2+4t+5），M在x轴左半轴或在x轴右半轴，则M（t+6，﹣t2+4t+5）或（t﹣6，﹣t2+4t+5），当M（t﹣6，﹣t2+4t+5）时，由M、N纵坐标相等，可得t＝3，即得M、N坐标，当M（t+6，﹣t2+4t+5）时，由M、N纵坐标相等，可得t＝﹣3即得M、N坐标．
【解答】解：（1）∵C1、C2关于y轴对称，
∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，
∴a＝﹣1，
∴C2：y＝ax2﹣4x+5，当x＝0时，y＝5，
∴C1：y＝﹣x2+mx+n，当x＝0时，y＝n，
∴n＝5，
∵a＝﹣1，
∴C2的对称轴为x=−−42a=−2，
故C1的对称轴为x=m2=2，
得m＝4，（对称轴关于y轴对称，则C1的对称轴为2）
∴C1：y＝﹣x2+4x+5，C2：y＝﹣x2﹣4x+5；
（2）∵AB的中点为（2，0），且点N在抛物线C1上，点M在抛物线C2上，
∴AB只能为平行四边形的一边，
∴MN∥AB且MN＝AB，
C1：y＝﹣x2+4x+5，
令y＝0，得x2﹣4x﹣5＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
则AB＝5﹣（﹣1）＝6，
∴MN＝6，
设N（t，﹣t2+4t+5），则M（t+6，﹣t2+4t+5）或（t﹣6，﹣t2+4t+5），
①当M（t+6，﹣t2+4t+5）时，
则﹣（t+6）2﹣4（t+6）+5＝﹣t2+4t+5，解得t＝﹣3，
∴﹣t2+4t+5＝﹣16，
∴N（﹣3，﹣16），M（3，﹣16）；
②当M（t﹣6，﹣t2+4t+5）时，
则﹣（t﹣6）2﹣4（t﹣6）+5＝﹣t2+4t+5，解得t＝3，
∴﹣t2+4t+5＝8，
∴N（3，8），M（﹣3，8）；
综上可知存在满足条件的点M、N，其坐标为M（3，﹣16），N（﹣3，﹣16）或M（﹣3，8），N（3，8）．
26．（10分）问题提出：
（1）如图①，已知点C到直线AB的距离是5，以C为圆心、2为半径作圆，则⊙C上一点到直线AB的最小距离为 3 ．
问题探究：
（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为2，E是BC边上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连结CG，则求CG的最小值．
问题解决：
（3）如图③，有一个矩形花坛ABCD，AB＝10m，AD＝20m，根据设计造型要求，在AB上任取一动点E，连ED，过点A作AF⊥ED，交DE于点F，在FD上截取FP=3AF，连接PB、PC；现需在△PBC的区内种植一种黄色花卉，在矩形内的其它区域种植一种红色花卉，已知种植这种黄色花卉每平方米需200元，种植这种红色花卉每平方米需180元，完成这两种花卉的种植至少需花费多少元？（结果保留整数，参考数据：3≈1.7）
【分析】（1）画图即可判断；
（2）取AB的中点O，连接OC，根据题意得：G点的运动轨迹是以AB中点O为圆心，OA为半径的弧，所以OC和OG的长度是定值，因此O、C、G共线时，CG取最小值，根据勾股定理计算即可；
（3）以AD为边向上作等边三角形ADJ，以点J为圆心，AJ为半径作圆，在⊙J上取一点T，连接AT，DT，过点J作JQ⊥BC于点Q，过点P作PH⊥BC于点H，求出PH的最小值即可解决问题．
【解答】解：（1）过点C作CM⊥AB于点H，则CH＝5，
以点C为圆心，2为半径作圆，交CH于点P，
∴⊙上一点到直线AB的最小距离为PH＝CH﹣CP＝5﹣2＝3；
（2）取AB的中点O，连接OC，
根据题意得：G点的运动轨迹是以AB中点O为圆心，OA为半径的弧，
∴OC、OG为定值，
当O、C、G共线时，CG取得最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，
∵O是AB的中点，
∴OB＝1，
在Rt△OBC中，OC=22+12=5，
∴CG的最小值为5−1；
（3）以AD为边向上作等边三角形ADJ，以点J为圆心，AJ为半径作圆，
在⊙J上取一点T，连接AT，DT，过点J作JQ⊥BC于点Q，过点P作PH⊥BC于点H，
∵AF⊥ED，FP=3AF，
∴tan∠APF=33，
∴∠APF＝30°，
∴∠APD＝150°，
∵△ADJ为等边三角形，
∴∠AJD＝60°，
∴∠ATD＝30°，
∴∠APD+∠ATD＝180°，
∴A、T、D、P四点共圆，
∵AB＝10m，AD＝AJ＝DJ＝BC＝20m，
∴JQ＝（10+103）m，
∵PJ+PQ≥JQ，
∴PH的最小值为10+103−20＝（103−10）m，
∴完成这两种花卉的最低种植费用为12×20×PH×200+[10×20−12×20×PH]×180
＝200PH+36000
＝200（103−10）+36000
≈37400（元）．
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