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2022年北京市东城区中考数学模拟试卷（3） （word版含答案）
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这是一份2022年北京市东城区中考数学模拟试卷（3） （word版含答案），共33页。试卷主要包含了已知锐角∠AOB，如图，等内容，欢迎下载使用。
2022年北京市东城区中考数学模拟试卷（3）
一．选择题（共8小题，满分16分）
1．（2分）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食品和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将100粒芝麻的质量用科学记数法表示约为（ ）
A．20.1×10﹣3kg B．2.01×10﹣4kg
C．0.201×10﹣5kg D．2.01×10﹣6kg
2．（2分）如图所示的几何体，从上面看到的形状图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2分）把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠2＝140°，则∠1的度数为（ ）
A．50° B．35° C．40° D．45°
4．（2分）下列分解因式正确的是（ ）
A．a2﹣9＝（a﹣3）2 B．﹣4a+a2＝﹣a（4+a）
C．a2+6a+9＝（a+3）2 D．a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1
5．（2分）点A为数轴上表示﹣2的点，当点A沿数轴移动4个单位长度到点B时，点B所表示的有理数为（ ）
A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．4
6．（2分）已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20°
C．MN∥CD D．MN＝3CD
7．（2分）一块边长为a米的正方形广场，扩建后的正方形边长比原来长2米，则扩建后广场面积增大了（ ）
A．（4a+4）米2 B．（a2+4）米2 C．（2a+4）米2 D．4米2
8．（2分）根据国家统计局2016﹣2020年中国普通本专科、中等职业教育及普通高中招生人数的相关数据，绘制统计图如图：
下面有四个推断：
①2016﹣2020年，普通本专科招生人数逐年增多；
②2020年普通高中招生人数比2019年增加约4%；
③2016﹣2020年，中等职业教育招生人数逐年减少；
④2019年普通高中招生人数约是中等职业教育招生人数的1.4倍．
所有合理推断的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③④
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）当x 时，在实数范围内有意义．
10．（2分）小北同学掷两面质地均匀硬币，抛5次，4次正面朝上，则掷硬币出现正面向上概率为 ．
11．（2分）若a2﹣3a＝﹣2，则代数式1+6a﹣2a2的值为 ．
12．（2分）斛是中国古代的一种量器．据《汉书•律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉．”意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆．”如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为 尺．
13．（2分）明代的程大位创作了《算法统宗》，它是一本通俗实用的数学书，将枯燥的数学问题化成了美妙的诗歌，读来朗朗上口，是将数字入诗的代表作．其中有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为 ．
14．（2分）如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则sin∠OCB＝ ．
15．（2分）“赛龙舟”是我国的一个传统运动项目．某天，甲乙两队在一个笔直的湖面进行“赛龙舟”比赛，全程300米．两队同时出发，刚出发，乙队就以明显优势领先，甲队发现形式不利，迅速调整比赛状态，把速度提升了，并以提升后的速度赛完全程，假设乙队全程是匀速比赛状态，甲队提速前和提速后也分别是匀速运动，甲、乙两队之间的距离y（米）与乙队行驶x（秒）之间的关系如图所示，则甲队到达终点时，乙队离终点还有 米．
16．（2分）1﹣3﹣5+7+9﹣11﹣13+15+…+2009﹣2011﹣2013+2015+2017﹣2019﹣2021+2023＝ ．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：|﹣2|﹣（1﹣π）0+2cos30°+（）﹣1．
18．（5分）先阅读材料，再解答问题．
对三个数x、y、z，规定：M{x，y，z}＝；min{x，y，z}表示x、y、z这三个数中的最小数．如M{﹣1，2，3}＝，min{﹣1，2，3}＝﹣1．
解决问题：
（1）若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，求x的取值范围；
（2）①若M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，求x的值；
②猜想：若M{a，b，c}＝min{a，b，c}那么a，b，c大小关系如何？请直接写出结论；
③问：是否存在非负整数a，b，c，使得M{2a﹣b+7，3a+2c+1，4c+1}＝min{2a﹣b+7，3a+2c+1，4c+1}？若存在，请求a，b，c的值；若不存在，请说明理由．
19．（5分）解分式方程：＝0．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该一元二次方程的一个根为x＝1，求m的值．
21．（5分）已知：如图，在菱形ABCD中，E、G在直线AC上，F在直线BD上，M、N分别为EF、DG的中点，若OM⊥ON，且OM＝ON．
（1）求证：OD＝OE；
（2）若GD的延长线过M点，∠ABC＝120°，AB＝4，求DF的长．
22．（5分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A、B两点，BC⊥x轴于点C，若△OBC的面积为2，且A点的纵坐标为4，B点的纵坐标为1．
（1）求反比例函数、一次函数的表达式及直线AB与x轴交点E的坐标；
（2）已知点D（t，0）（t＞0），过点D作垂直于x轴的直线，在第一象限内与一次函数y＝﹣x+b的图象相交于点P，与反比例函数y＝上的图象相交于点Q，若点P位于点Q的上方，请结合函数图象直接写出此时t的取值范围．
23．（6分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，过D点作PF∥AC交⊙O于F，交AB于点E，∠BPF＝∠ADC
（1）求证：AE•EB＝DE•EF．
（2）求证：BP是⊙O的切线：
（3）当的半径为，AC＝2，BE＝1时，求BP的长，
24．（6分）为了了解某一景点等候检票的时间，随机调查了部分游客，统计了他们进入该景点等候检票的时间，并绘制成如图表．
等候时间x（min）
频数（人数）
频率
10≤x＜20
8
0.2
20≤x＜30
14
a
30≤x＜40
10
0.25
40≤x＜50
b
0.125
50≤x＜60
3
0.075
合计
40
1
（1）这里采用的调查方式是 （填“普查”或“抽样调查”），样本容量是 ；
（2）表中a＝ ，b＝ ，并请补全频数分布直方图；
（3）根据上述图表制作扇形统计图，则“40≤x＜50”所在扇形的圆心角度数是 °．
25．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上⼀点，∠CAB＝30°，D是直径AB上⼀动点，连接CD并过点D作CD的垂线，与⊙O的其中⼀个交点记为点E（点E位于直线CD上⽅或左侧），连接EC．已知AB＝6cm，设A、D两点间的距离为xcm，C、D两点间的距离为y1cm，E、C两点间的距离为y2cm．
⼩雪根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随⾃变量的变化而变化的规律进行了探究．下⾯是⼩雪的探究过程：
（1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值，请将表格补充完整；
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
5.20
4.36
3.60
2.65
2.65
y2/cm
5.20
4.56
4.22
4.24
4.77
5.60
6.00
（2）在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当∠ECD＝60°时，AD的长度约为 ．
26．（6分）我们把抛物线：yn＝﹣x2+2n2x﹣n4+n2（n为正整数）称为“拉手系列抛物线”，为了探究它的性质，某同学经历如下过程：
（特例求解）
（1）当n＝1时，抛物线y1的顶点坐标是 ；与x轴的交点坐标是 ；
（2）当n＝2时，抛物线y2的顶点坐标是 ；与x轴的交点坐标是 ；
（3）当n＝3时，抛物线y3的顶点坐标是 ；与x轴的交点坐标是 ；
（性质探究）
（4）那么抛物线：yn＝﹣x2+2n2x﹣n4+n2（n为正整数）的下列结论正确的是 （请填入正确的序号）．
①抛物线与x轴有两个交点；
②抛物线都经过同一个定点；
③相邻两支抛物线与x轴都有一个公共的交点；
④所有抛物线yn的顶点都在抛物线y＝x2上．
（知识应用）
若“拉手系列抛物线”：yn＝﹣x2+2n2x﹣n4+n2（n为正整数），y1与x轴交于点O，A1，顶点为D1，y2与x轴交于点A1，A2，顶点为D2，…，yn与x轴交于点An﹣1，An，顶点为Dn．
（5）求线段An﹣1An的长（用含n的式子表示）．
（6）若△D1OA1的面积与△DkAk﹣1Ak的面积比为1：125，求yk的解析式．
27．（7分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥BA交BA的延长线于点D．一正方形EFGH的一条边EH与AC边在一条直线上，另一条边EF恰好经过点B．
（1）在图1中，请你通过观察、测量BE与CD的长度，猜想并写出BE与CD满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）将正方形EFGH沿AC方向平移到图2所示的位置时，EH边仍与AC边在同一直线上，另一条边EF交BC边于点M，过点M作MN⊥BA于点N．此时请你通过观察、测量ME、MN与CD的长度，猜想并写出ME、MN与CD之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）将正方形EFGH沿CA方向平移到图3所示的位置时，EH边仍与AC边在同一直线上，另一条边EF的延长线交CB边的延长线于点M，过点M作MN⊥AB交AB的延长线于点N．此时请你猜想并写出ME、MN与CD之间满足的数量关系，不需证明．
28．（7分）如图，△ABD内接于半径为5的⊙O，连接AO并延长交BD于点M，交⊙O于点C，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，AB＝AM．
（1）求证：△ABM∽△ECA．
（2）当CM＝4OM时，求BM的长；
（3）当CM＝k•OM时，设△ADE的面积为S1，△MCD的面积为S2，求的值．（用含k的代数式表示）．
2022年北京市东城区中考数学模拟试卷（3）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分）
1．（2分）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食品和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将100粒芝麻的质量用科学记数法表示约为（ ）
A．20.1×10﹣3kg B．2.01×10﹣4kg
C．0.201×10﹣5kg D．2.01×10﹣6kg
【解答】解：100×0.00000201kg＝0.000201kg＝2.01×10﹣4kg．
故选：B．
2．（2分）如图所示的几何体，从上面看到的形状图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：如图所示的几何体的从上面看到的形状图是一个纵向比横向大的矩形，且矩形中间有一条纵向的实线．
故选：D．
3．（2分）把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠2＝140°，则∠1的度数为（ ）
A．50° B．35° C．40° D．45°
【解答】解：如图，∵BC∥DE，
∴∠2＝∠3＝140°．
∵∠3＝∠A+∠1，而∠A＝90°，
∴∠1＝140°﹣90°＝50°，
故选：A．
4．（2分）下列分解因式正确的是（ ）
A．a2﹣9＝（a﹣3）2 B．﹣4a+a2＝﹣a（4+a）
C．a2+6a+9＝（a+3）2 D．a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1
【解答】解：A、原式＝（a+3）（a﹣3），错误；
B、原式＝﹣a（4﹣a），错误；
C、原式＝（a+3）2，正确；
D、原式＝（a﹣1）2，错误，
故选：C．
5．（2分）点A为数轴上表示﹣2的点，当点A沿数轴移动4个单位长度到点B时，点B所表示的有理数为（ ）
A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．4
【解答】解：∵点A为数轴上的表示﹣2的动点，
①当点A沿数轴向左移动4个单位长度时，点B所表示的有理数为﹣2﹣4＝﹣6；
②当点A沿数轴向右移动4个单位长度时，点B所表示的有理数为﹣2+4＝2．
∴点B所表示的有理数为2或﹣6．
故选：C．
6．（2分）已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20°
C．MN∥CD D．MN＝3CD
【解答】解：由作图知CM＝CD＝DN，
∴∠COM＝∠COD，故A选项正确；
∵OM＝ON＝MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON＝60°，
∵CM＝CD＝DN，
∴∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝∠MON＝20°，故B选项正确；
设∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝α，
则∠OCD＝∠OCM＝，
∴∠MCD＝180°﹣α，
又∵∠CMN＝∠CON＝α，
∴∠MCD+∠CMN＝180°，
∴MN∥CD，故C选项正确；
∵MC+CD+DN＞MN，且CM＝CD＝DN，
∴3CD＞MN，故D选项错误；
故选：D．
7．（2分）一块边长为a米的正方形广场，扩建后的正方形边长比原来长2米，则扩建后广场面积增大了（ ）
A．（4a+4）米2 B．（a2+4）米2 C．（2a+4）米2 D．4米2
【解答】解：（a+2）2﹣a2＝a2+4a+4﹣a2＝4a+4，
故选：A．
8．（2分）根据国家统计局2016﹣2020年中国普通本专科、中等职业教育及普通高中招生人数的相关数据，绘制统计图如图：
下面有四个推断：
①2016﹣2020年，普通本专科招生人数逐年增多；
②2020年普通高中招生人数比2019年增加约4%；
③2016﹣2020年，中等职业教育招生人数逐年减少；
④2019年普通高中招生人数约是中等职业教育招生人数的1.4倍．
所有合理推断的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③④
【解答】解：①2016﹣2020年，普通本专科招生人数逐年增多，正确；
②2020年普通高中招生人数比2019年增加约×100%≈4%，正确；
③从2016﹣2018年，中等职业教育招生人数逐年减少，从2019﹣2020年，中等职业教育招生人数增加，故本选项错误；
④2019年普通高中招生人数约是中等职业教育招生人数的839÷600≈1.4倍，正确．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）当x ≥ 时，在实数范围内有意义．
【解答】解：根据题意得：2x﹣1≥0时，
即x≥，二次根式有意义．
10．（2分）小北同学掷两面质地均匀硬币，抛5次，4次正面朝上，则掷硬币出现正面向上概率为 ．
【解答】解：无论哪一次掷硬币，都有两种可能，即正面朝上与反面朝上，
则掷硬币出现正面向上的概率为：；
故答案为：．
11．（2分）若a2﹣3a＝﹣2，则代数式1+6a﹣2a2的值为 5 ．
【解答】解：∵a2﹣3a＝﹣2，
∴1+6a﹣2a2＝1﹣2（a2﹣3a）＝1﹣2×（﹣2）＝1+4＝5．
故答案为5．
12．（2分）斛是中国古代的一种量器．据《汉书•律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉．”意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆．”如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为 尺．
【解答】解：如图，
∵四边形CDEF为正方形，
∴∠D＝90°，CD＝DE，
∴CE为直径，∠ECD＝45°，
由题意得AB＝2.5，
∴CE＝2.5﹣0.25×2＝2，
∴CD＝CE＝．
故答案为：．
13．（2分）明代的程大位创作了《算法统宗》，它是一本通俗实用的数学书，将枯燥的数学问题化成了美妙的诗歌，读来朗朗上口，是将数字入诗的代表作．其中有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为 ．
【解答】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为，
故答案为：．
14．（2分）如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则sin∠OCB＝ ．
【解答】解：连接OB，作OD⊥BC于D，如图所示：
∵△ABC是边长为8的等边三角形，
∴∠ABC＝60°，BC＝8，
∵⊙O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，
∴OD是⊙O的半径，∠OBC＝∠OBA＝∠ABC＝30°，
∵tan∠OBC＝，
∴BD＝＝＝3，
∴CD＝BC﹣BD＝8﹣3＝5，
OC＝＝＝2，
∴sin∠OCB＝＝＝．
15．（2分）“赛龙舟”是我国的一个传统运动项目．某天，甲乙两队在一个笔直的湖面进行“赛龙舟”比赛，全程300米．两队同时出发，刚出发，乙队就以明显优势领先，甲队发现形式不利，迅速调整比赛状态，把速度提升了，并以提升后的速度赛完全程，假设乙队全程是匀速比赛状态，甲队提速前和提速后也分别是匀速运动，甲、乙两队之间的距离y（米）与乙队行驶x（秒）之间的关系如图所示，则甲队到达终点时，乙队离终点还有 米．
【解答】解：由图可得，
乙队的速度为300÷100＝3（米/秒），
设甲队开始的速度为a米/秒，
15（3﹣a）＝（45﹣15）×[a（1+）﹣3]，
解得a＝2，
∴甲队提速后的速度为2×（1+）＝3.5（米/秒），
∴甲队到达终点用的时间为：15+（300﹣15×2）÷3.5＝15+＝15+77＝92（秒），
∴甲队到达终点时，乙队离终点还有3×（100﹣92）＝3×7＝3×＝（米），
故答案为：．
16．（2分）1﹣3﹣5+7+9﹣11﹣13+15+…+2009﹣2011﹣2013+2015+2017﹣2019﹣2021+2023＝ 0 ．
【解答】【答案】0
解：1﹣3﹣5+7+9﹣11﹣13+15+…+2009﹣2011﹣2013+2015+2017﹣2019﹣2021+2023
＝（1﹣3）+（﹣5+7）+（9﹣11）+（﹣13+15）+…+（2009﹣2011）+（﹣2013+2015）+（2017﹣2019）+（﹣2021+2023）
＝﹣2+2+（﹣2）+2+…+（﹣2）+2
＝0．
故答案为：0．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：|﹣2|﹣（1﹣π）0+2cos30°+（）﹣1．
【解答】解：|﹣2|﹣（1﹣π）0+2cos30°+（）﹣1
＝
＝．
18．（5分）先阅读材料，再解答问题．
对三个数x、y、z，规定：M{x，y，z}＝；min{x，y，z}表示x、y、z这三个数中的最小数．如M{﹣1，2，3}＝，min{﹣1，2，3}＝﹣1．
解决问题：
（1）若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，求x的取值范围；
（2）①若M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，求x的值；
②猜想：若M{a，b，c}＝min{a，b，c}那么a，b，c大小关系如何？请直接写出结论；
③问：是否存在非负整数a，b，c，使得M{2a﹣b+7，3a+2c+1，4c+1}＝min{2a﹣b+7，3a+2c+1，4c+1}？若存在，请求a，b，c的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，得 ，即0≤x≤1，
（2）①∵M{2，x+1，2x}＝＝x+1＝min{2，x+1，2x}，
∴，解得：，
∴x＝1；
②证明：由M{a，b，c}＝min{a，b，c}，可令 ＝a，即b+c＝2a；
又∵，
解之得：a+c≤2b，a+b≤2c；
把b+c＝2a代入a+c≤2b 可得c≤b；把b+c＝2a代入a+b≤2c可得b≤c；
∴b＝c；将b＝c代入b+c＝2a得c＝a；
∴a＝b＝c，
③由②可知：，
整理得4a+b＝6，3a＝2c，
∵a，b，c是非负整数，
∴a＝0，b＝6，c＝0
19．（5分）解分式方程：＝0．
【解答】解：方程两边都乘以x（x﹣1）得：x﹣8+3x＝0，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x（x﹣1）≠0，
所以x＝2是原方程的解，
即原方程的解是：x＝2．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该一元二次方程的一个根为x＝1，求m的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣1）＝4m2+5＞0，
∴m的取值范围是全体实数．
（2）将x＝1代入原方程，1﹣（2m+1）+（m﹣1）＝0，
解得：m＝﹣1．
21．（5分）已知：如图，在菱形ABCD中，E、G在直线AC上，F在直线BD上，M、N分别为EF、DG的中点，若OM⊥ON，且OM＝ON．
（1）求证：OD＝OE；
（2）若GD的延长线过M点，∠ABC＝120°，AB＝4，求DF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠EOF＝∠COD＝90°，
∵M、N分别为EF、DG的中点，
∴OM＝EF＝EM＝FM，ON＝DG＝DN＝CN，
∴∠F＝∠MOF，∠G＝∠NOG，
∵OM⊥ON，
∴∠MOF＝∠NOG，
∴∠F＝∠G，
∵OM＝ON，
∴EF＝DG，
在△OEF和△ODG中，，
∴△OEF≌△ODG（AAS），
∴OD＝OE；
（2）解：GD的延长线过M点，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠ADC＝∠ABC＝120°，AC⊥BD，OD＝OB，∠ADB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝4，
∴OD＝BD＝2，
由（1）得：∠F＝∠G，
∵∠G+∠ODG＝90°，∠MDF＝∠ODG，
∴∠F+∠MDF＝90°，
∴∠DMF＝90°，
∴DM⊥EF，
作OH⊥DM于H，则DH∥FM，
∵OM＝ON，OM⊥ON，
∴OH＝MN＝MH，
∴FM＝OM＝OH，
∵OH∥FM，
∴△DMF∽△DHO，
∴＝＝，
∴DF＝OD＝2．
22．（5分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A、B两点，BC⊥x轴于点C，若△OBC的面积为2，且A点的纵坐标为4，B点的纵坐标为1．
（1）求反比例函数、一次函数的表达式及直线AB与x轴交点E的坐标；
（2）已知点D（t，0）（t＞0），过点D作垂直于x轴的直线，在第一象限内与一次函数y＝﹣x+b的图象相交于点P，与反比例函数y＝上的图象相交于点Q，若点P位于点Q的上方，请结合函数图象直接写出此时t的取值范围．
【解答】解：（1）∵△OBC的面积为2，B点的纵坐标为1．
∴×OC×1＝2，解得OC＝4，
∴B（4，1），
把B（4，1）代入y＝得k＝4×1＝4，
∴反比例函数解析式为y＝；
把B（4，1）代入y＝﹣x+b得﹣4+b＝1，解得b＝5，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5；
当y＝0时，﹣x+5＝0，解得x＝5，
∴E（5，0）；
（2）当y＝4时，＝4，解得x＝1，
∴A（1，4），
当点P位于点Q的上方，此时t的取值范围为1＜t＜4．
23．（6分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，过D点作PF∥AC交⊙O于F，交AB于点E，∠BPF＝∠ADC
（1）求证：AE•EB＝DE•EF．
（2）求证：BP是⊙O的切线：
（3）当的半径为，AC＝2，BE＝1时，求BP的长，
【解答】（1）证明：连接AF、BD，
在△AEF和△DEB中，∠AEF＝∠DEB，∠AFE＝∠DBE，
∴△AEF∽△DEB，
∴＝，即AE•BE＝DE•EF；
（2）证明：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
又∵∠ABC＝∠ADC，∠ADC＝∠BPF，
∴∠ABC＝∠BPF，
∵PF∥AC，
∴∠CAB＝∠PEB，
∴∠PEB+∠BPF＝90°，即∠PBE＝90°，
∴PB⊥AB，
∴PB是⊙O的切线；
（3）在Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC2＝20﹣4＝16，即BC＝4，
在Rt△ABC和Rt△EPB中，∠ABC＝∠ADC＝∠BPF，
∴△ABC∽△EPB，
∴＝，
∴BP＝2．
24．（6分）为了了解某一景点等候检票的时间，随机调查了部分游客，统计了他们进入该景点等候检票的时间，并绘制成如图表．
等候时间x（min）
频数（人数）
频率
10≤x＜20
8
0.2
20≤x＜30
14
a
30≤x＜40
10
0.25
40≤x＜50
b
0.125
50≤x＜60
3
0.075
合计
40
1
（1）这里采用的调查方式是 抽样调查 （填“普查”或“抽样调查”），样本容量是 40 ；
（2）表中a＝ 0.35 ，b＝ 5 ，并请补全频数分布直方图；
（3）根据上述图表制作扇形统计图，则“40≤x＜50”所在扇形的圆心角度数是 45 °．
【解答】解：（1）这里采用的调查方式是抽样调查，样本容量为8÷0.2＝40，
故答案为：抽样调查、40；
（2）a＝14÷40＝0.35、b＝40××0.125＝5，
补全条形图如下：
故答案为：0.35、5；
（3）“40≤x＜50”所在扇形的圆心角度数是360°×0.125＝45°，
故答案为：45．
25．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上⼀点，∠CAB＝30°，D是直径AB上⼀动点，连接CD并过点D作CD的垂线，与⊙O的其中⼀个交点记为点E（点E位于直线CD上⽅或左侧），连接EC．已知AB＝6cm，设A、D两点间的距离为xcm，C、D两点间的距离为y1cm，E、C两点间的距离为y2cm．
⼩雪根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随⾃变量的变化而变化的规律进行了探究．下⾯是⼩雪的探究过程：
（1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值，请将表格补充完整；
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
5.20
4.36
3.60
3
2.65
2.65
3
y2/cm
5.20
4.56
4.22
4.24
4.77
5.60
6.00
（2）在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当∠ECD＝60°时，AD的长度约为 4.5cm或6cm ．
【解答】解：（1）当x＝3时，
∵AB＝6cm，AD＝3cm
∴点D与点O重合，此时△DCE是等腰直角三角形
∴CD＝DE＝3
∴y1＝3
当x＝6时，点D与点B重合
∴CD＝BC
∵∠CAB＝30°
∴CD＝BC＝AB＝3
故答案为：3，3．
（2）函数图象如图所示：
（3）当∠ECD＝60°时
在Rt△ECD中
∵∠EDC＝90°
∴∠CED＝30°
∴EC＝2CD
∴y2＝2y1
∴由函数图象可知，满足条件的x的值为4.5cm或6cm．
故答案为：4.5或6．
26．（6分）我们把抛物线：yn＝﹣x2+2n2x﹣n4+n2（n为正整数）称为“拉手系列抛物线”，为了探究它的性质，某同学经历如下过程：
（特例求解）
（1）当n＝1时，抛物线y1的顶点坐标是 （1，1） ；与x轴的交点坐标是 （0，0），（2，0） ；
（2）当n＝2时，抛物线y2的顶点坐标是 （4，4） ；与x轴的交点坐标是 （2，0），（6，0） ；
（3）当n＝3时，抛物线y3的顶点坐标是 （9，9） ；与x轴的交点坐标是 （6，0），（12，0） ；
（性质探究）
（4）那么抛物线：yn＝﹣x2+2n2x﹣n4+n2（n为正整数）的下列结论正确的是 ①③ （请填入正确的序号）．
①抛物线与x轴有两个交点；
②抛物线都经过同一个定点；
③相邻两支抛物线与x轴都有一个公共的交点；
④所有抛物线yn的顶点都在抛物线y＝x2上．
（知识应用）
若“拉手系列抛物线”：yn＝﹣x2+2n2x﹣n4+n2（n为正整数），y1与x轴交于点O，A1，顶点为D1，y2与x轴交于点A1，A2，顶点为D2，…，yn与x轴交于点An﹣1，An，顶点为Dn．
（5）求线段An﹣1An的长（用含n的式子表示）．
（6）若△D1OA1的面积与△DkAk﹣1Ak的面积比为1：125，求yk的解析式．
【解答】解：（特例求解）对于yn＝﹣x2+2n2x﹣n4+n2，函数的对称轴为直线x＝﹣＝n2，当x＝n2时，yn＝﹣x2+2n2x﹣n4+n2＝n2，故顶点坐标为（n2，n2），
令yn＝﹣x2+2n2x﹣n4+n2＝0，解得x＝n2﹣n或n2+n，
故当n＝1时，顶点坐标为（1，1）；与x轴的交点为（0，0），（2，0）；
当n＝2时，顶点坐标为（4，4）；与x轴的交点为（2，0），（6，0）；
当n＝3时，顶点坐标为（9，9）；与x轴的交点为（6，0），（12，0）；
故答案为：（1）（1，1）；（0，0），（2，0）；
（2）（4，4）；（2，0），（6，0）；
（3）（9，9）；（6，0），（12，0）；
（性质探究）
（4）①△＝4n4﹣4（n4﹣n2）＝4n2＞0，故抛物线与x轴有两个交点正确，符合题意；
②从特例求解看，抛物线都经过同一个定点不正确，故不符合题意；
③从特例求解看，相邻两支抛物线与x轴都有一个公共的交点正确，符合题意；
④从顶点坐标看，所有抛物线yn的顶点都在抛物线y＝x上，故④不正确，不符合题意；
故答案为：①③；
（知识应用）
（5）由（特例求解）知顶点坐标为（n2，n2），抛物线和x轴交点的坐标为（n2﹣n，0）或（n2+n，0）；
则An﹣1An的长＝（n2+n）﹣（n2﹣n）＝2n；
（6）由（5）知，△DkAk﹣1Ak的顶点坐标为（k2，k2），Ak﹣1Ak的长＝2k，
∵△D1OA1的面积＝OA1•＝×（2﹣0）×1＝1，
而△D1OA1的面积与△DkAk﹣1Ak的面积比为1：125，
则△DkAk﹣1Ak的面积＝×Ak﹣1Ak×＝×（2k）×k2＝125，解得k＝5，
即n＝k＝5，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+50x﹣600．
27．（7分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥BA交BA的延长线于点D．一正方形EFGH的一条边EH与AC边在一条直线上，另一条边EF恰好经过点B．
（1）在图1中，请你通过观察、测量BE与CD的长度，猜想并写出BE与CD满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）将正方形EFGH沿AC方向平移到图2所示的位置时，EH边仍与AC边在同一直线上，另一条边EF交BC边于点M，过点M作MN⊥BA于点N．此时请你通过观察、测量ME、MN与CD的长度，猜想并写出ME、MN与CD之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）将正方形EFGH沿CA方向平移到图3所示的位置时，EH边仍与AC边在同一直线上，另一条边EF的延长线交CB边的延长线于点M，过点M作MN⊥AB交AB的延长线于点N．此时请你猜想并写出ME、MN与CD之间满足的数量关系，不需证明．
【解答】解：（1）BE＝CD…2分
证明：∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）；
又∵CD⊥BA，BE⊥CE，
∴∠EBC＝∠DCB（等角的余角相等）；
在△BEC和△CDB中，
，
∴△BEC≌△CDB（ASA），
∴BE＝CD（全等三角形的对应边相等）；
（2）ME+MN＝CD．…3分
证明：作MK⊥CD于K．
∵MN⊥BA于N，∠D＝90°，MK⊥CD，
∴四边形MNDK为矩形．
∴MN＝KD，MK∥BD．…4分
∴∠DBC＝∠KMC．
∵AB＝AC，
∴∠ECM＝∠DBC＝∠KMC．…5分
又∵∠E＝∠MKC＝90°，CM＝MC，
∴△EMC≌△KCM（AAS）．
∴ME＝CK．…6分
∴CK+KD＝ME+MN＝CD，即ME+MN＝CD．…7分
（3）ME﹣MN＝CD．…8分
过C作CK⊥MN于K．
∵MN⊥BA，CD⊥BA，
∴四边形CKND是矩形．…9分
∴CD＝NK，CK∥BA．
∴∠MCK＝∠DBC．
又∵AC＝AB，
∴∠DCB＝∠BCA．
又∵∠ECM＝∠BCA，
∴∠ECM＝∠MCK．
∵正方形EFGH，
∴∠HEF＝∠MEC＝90°．
又∵MC＝MC，
∴△ECM≌△KCM．
∴EM＝KM．…11分
又∵MK＝MN+NK，
∴ME﹣MN＝CD．…12分
28．（7分）如图，△ABD内接于半径为5的⊙O，连接AO并延长交BD于点M，交⊙O于点C，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，AB＝AM．
（1）求证：△ABM∽△ECA．
（2）当CM＝4OM时，求BM的长；
（3）当CM＝k•OM时，设△ADE的面积为S1，△MCD的面积为S2，求的值．（用含k的代数式表示）．
【解答】证明：（1）∵AE∥BD，
∴∠AMB＝∠CAE，
又∵∠ABD＝∠ACD，
∴△ABM∽△ECA；
（2）解：∵AB＝AM，△ABM∽△ECA，
∴AE＝CE，
∵CM＝4OM，
∴可以假设OM＝k，CM＝4k，
∴OA＝OC＝5k＝5，
∴k＝1，
∴AM＝6，CM＝4，
∵DM∥AE，
∴DM：AE＝CM：CA＝4：10，
设DM＝4m，则EA＝EC＝10m，
∵AB＝AM，
∴∠ABM＝∠AMB，
∵∠AMB＝∠DMC，∠B＝∠C，
∴∠DMC＝∠C，
∴DM＝DC＝4m，
∴DE＝EC﹣DC＝6m，
∵AC是直径，
∴∠ADE＝∠ADC＝90°，
∴AD＝＝＝8m，
∵AD2+CD2＝AC2，
∴（8m）2+（4m）2＝102
∵m＞0，
∴m＝，
∵△AMB∽△DMC，
∴＝，
∴＝，
∴BM＝．
（3）设△CDM的面积为x．
∵CM＝kOM，
∴OM＝，CM＝，AM＝5+＝，
∴AC：CM＝（2+2k）：k，
∴△ACD的面积＝•x，
∵DM∥AE，
∴CD：DE＝CM：AM＝k：（2+k），
∴△ADE的面积＝••x，
∴＝．
2022年北京市东城区中考数学模拟试卷（3）
一．选择题（共8小题，满分16分）
1．（2分）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食品和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将100粒芝麻的质量用科学记数法表示约为（ ）
A．20.1×10﹣3kg B．2.01×10﹣4kg
C．0.201×10﹣5kg D．2.01×10﹣6kg
2．（2分）如图所示的几何体，从上面看到的形状图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2分）把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠2＝140°，则∠1的度数为（ ）
A．50° B．35° C．40° D．45°
4．（2分）下列分解因式正确的是（ ）
A．a2﹣9＝（a﹣3）2 B．﹣4a+a2＝﹣a（4+a）
C．a2+6a+9＝（a+3）2 D．a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1
5．（2分）点A为数轴上表示﹣2的点，当点A沿数轴移动4个单位长度到点B时，点B所表示的有理数为（ ）
A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．4
6．（2分）已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20°
C．MN∥CD D．MN＝3CD
7．（2分）一块边长为a米的正方形广场，扩建后的正方形边长比原来长2米，则扩建后广场面积增大了（ ）
A．（4a+4）米2 B．（a2+4）米2 C．（2a+4）米2 D．4米2
8．（2分）根据国家统计局2016﹣2020年中国普通本专科、中等职业教育及普通高中招生人数的相关数据，绘制统计图如图：
下面有四个推断：
①2016﹣2020年，普通本专科招生人数逐年增多；
②2020年普通高中招生人数比2019年增加约4%；
③2016﹣2020年，中等职业教育招生人数逐年减少；
④2019年普通高中招生人数约是中等职业教育招生人数的1.4倍．
所有合理推断的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③④
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）当x 时，在实数范围内有意义．
10．（2分）小北同学掷两面质地均匀硬币，抛5次，4次正面朝上，则掷硬币出现正面向上概率为 ．
11．（2分）若a2﹣3a＝﹣2，则代数式1+6a﹣2a2的值为 ．
12．（2分）斛是中国古代的一种量器．据《汉书•律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉．”意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆．”如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为 尺．
13．（2分）明代的程大位创作了《算法统宗》，它是一本通俗实用的数学书，将枯燥的数学问题化成了美妙的诗歌，读来朗朗上口，是将数字入诗的代表作．其中有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为 ．
14．（2分）如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则sin∠OCB＝ ．
15．（2分）“赛龙舟”是我国的一个传统运动项目．某天，甲乙两队在一个笔直的湖面进行“赛龙舟”比赛，全程300米．两队同时出发，刚出发，乙队就以明显优势领先，甲队发现形式不利，迅速调整比赛状态，把速度提升了，并以提升后的速度赛完全程，假设乙队全程是匀速比赛状态，甲队提速前和提速后也分别是匀速运动，甲、乙两队之间的距离y（米）与乙队行驶x（秒）之间的关系如图所示，则甲队到达终点时，乙队离终点还有 米．
16．（2分）1﹣3﹣5+7+9﹣11﹣13+15+…+2009﹣2011﹣2013+2015+2017﹣2019﹣2021+2023＝ ．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：|﹣2|﹣（1﹣π）0+2cos30°+（）﹣1．
18．（5分）先阅读材料，再解答问题．
对三个数x、y、z，规定：M{x，y，z}＝；min{x，y，z}表示x、y、z这三个数中的最小数．如M{﹣1，2，3}＝，min{﹣1，2，3}＝﹣1．
解决问题：
（1）若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，求x的取值范围；
（2）①若M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，求x的值；
②猜想：若M{a，b，c}＝min{a，b，c}那么a，b，c大小关系如何？请直接写出结论；
③问：是否存在非负整数a，b，c，使得M{2a﹣b+7，3a+2c+1，4c+1}＝min{2a﹣b+7，3a+2c+1，4c+1}？若存在，请求a，b，c的值；若不存在，请说明理由．
19．（5分）解分式方程：＝0．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该一元二次方程的一个根为x＝1，求m的值．
21．（5分）已知：如图，在菱形ABCD中，E、G在直线AC上，F在直线BD上，M、N分别为EF、DG的中点，若OM⊥ON，且OM＝ON．
（1）求证：OD＝OE；
（2）若GD的延长线过M点，∠ABC＝120°，AB＝4，求DF的长．
22．（5分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A、B两点，BC⊥x轴于点C，若△OBC的面积为2，且A点的纵坐标为4，B点的纵坐标为1．
（1）求反比例函数、一次函数的表达式及直线AB与x轴交点E的坐标；
（2）已知点D（t，0）（t＞0），过点D作垂直于x轴的直线，在第一象限内与一次函数y＝﹣x+b的图象相交于点P，与反比例函数y＝上的图象相交于点Q，若点P位于点Q的上方，请结合函数图象直接写出此时t的取值范围．
23．（6分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，过D点作PF∥AC交⊙O于F，交AB于点E，∠BPF＝∠ADC
（1）求证：AE•EB＝DE•EF．
（2）求证：BP是⊙O的切线：
（3）当的半径为，AC＝2，BE＝1时，求BP的长，
24．（6分）为了了解某一景点等候检票的时间，随机调查了部分游客，统计了他们进入该景点等候检票的时间，并绘制成如图表．
等候时间x（min）
频数（人数）
频率
10≤x＜20
8
0.2
20≤x＜30
14
a
30≤x＜40
10
0.25
40≤x＜50
b
0.125
50≤x＜60
3
0.075
合计
40
1
（1）这里采用的调查方式是 （填“普查”或“抽样调查”），样本容量是 ；
（2）表中a＝ ，b＝ ，并请补全频数分布直方图；
（3）根据上述图表制作扇形统计图，则“40≤x＜50”所在扇形的圆心角度数是 °．
25．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上⼀点，∠CAB＝30°，D是直径AB上⼀动点，连接CD并过点D作CD的垂线，与⊙O的其中⼀个交点记为点E（点E位于直线CD上⽅或左侧），连接EC．已知AB＝6cm，设A、D两点间的距离为xcm，C、D两点间的距离为y1cm，E、C两点间的距离为y2cm．
⼩雪根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随⾃变量的变化而变化的规律进行了探究．下⾯是⼩雪的探究过程：
（1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值，请将表格补充完整；
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
5.20
4.36
3.60
2.65
2.65
y2/cm
5.20
4.56
4.22
4.24
4.77
5.60
6.00
（2）在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当∠ECD＝60°时，AD的长度约为 ．
26．（6分）我们把抛物线：yn＝﹣x2+2n2x﹣n4+n2（n为正整数）称为“拉手系列抛物线”，为了探究它的性质，某同学经历如下过程：
（特例求解）
（1）当n＝1时，抛物线y1的顶点坐标是 ；与x轴的交点坐标是 ；
（2）当n＝2时，抛物线y2的顶点坐标是 ；与x轴的交点坐标是 ；
（3）当n＝3时，抛物线y3的顶点坐标是 ；与x轴的交点坐标是 ；
（性质探究）
（4）那么抛物线：yn＝﹣x2+2n2x﹣n4+n2（n为正整数）的下列结论正确的是 （请填入正确的序号）．
①抛物线与x轴有两个交点；
②抛物线都经过同一个定点；
③相邻两支抛物线与x轴都有一个公共的交点；
④所有抛物线yn的顶点都在抛物线y＝x2上．
（知识应用）
若“拉手系列抛物线”：yn＝﹣x2+2n2x﹣n4+n2（n为正整数），y1与x轴交于点O，A1，顶点为D1，y2与x轴交于点A1，A2，顶点为D2，…，yn与x轴交于点An﹣1，An，顶点为Dn．
（5）求线段An﹣1An的长（用含n的式子表示）．
（6）若△D1OA1的面积与△DkAk﹣1Ak的面积比为1：125，求yk的解析式．
27．（7分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥BA交BA的延长线于点D．一正方形EFGH的一条边EH与AC边在一条直线上，另一条边EF恰好经过点B．
（1）在图1中，请你通过观察、测量BE与CD的长度，猜想并写出BE与CD满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）将正方形EFGH沿AC方向平移到图2所示的位置时，EH边仍与AC边在同一直线上，另一条边EF交BC边于点M，过点M作MN⊥BA于点N．此时请你通过观察、测量ME、MN与CD的长度，猜想并写出ME、MN与CD之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）将正方形EFGH沿CA方向平移到图3所示的位置时，EH边仍与AC边在同一直线上，另一条边EF的延长线交CB边的延长线于点M，过点M作MN⊥AB交AB的延长线于点N．此时请你猜想并写出ME、MN与CD之间满足的数量关系，不需证明．
28．（7分）如图，△ABD内接于半径为5的⊙O，连接AO并延长交BD于点M，交⊙O于点C，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，AB＝AM．
（1）求证：△ABM∽△ECA．
（2）当CM＝4OM时，求BM的长；
（3）当CM＝k•OM时，设△ADE的面积为S1，△MCD的面积为S2，求的值．（用含k的代数式表示）．
2022年北京市东城区中考数学模拟试卷（3）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分）
1．（2分）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食品和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将100粒芝麻的质量用科学记数法表示约为（ ）
A．20.1×10﹣3kg B．2.01×10﹣4kg
C．0.201×10﹣5kg D．2.01×10﹣6kg
【解答】解：100×0.00000201kg＝0.000201kg＝2.01×10﹣4kg．
故选：B．
2．（2分）如图所示的几何体，从上面看到的形状图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：如图所示的几何体的从上面看到的形状图是一个纵向比横向大的矩形，且矩形中间有一条纵向的实线．
故选：D．
3．（2分）把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠2＝140°，则∠1的度数为（ ）
A．50° B．35° C．40° D．45°
【解答】解：如图，∵BC∥DE，
∴∠2＝∠3＝140°．
∵∠3＝∠A+∠1，而∠A＝90°，
∴∠1＝140°﹣90°＝50°，
故选：A．
4．（2分）下列分解因式正确的是（ ）
A．a2﹣9＝（a﹣3）2 B．﹣4a+a2＝﹣a（4+a）
C．a2+6a+9＝（a+3）2 D．a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1
【解答】解：A、原式＝（a+3）（a﹣3），错误；
B、原式＝﹣a（4﹣a），错误；
C、原式＝（a+3）2，正确；
D、原式＝（a﹣1）2，错误，
故选：C．
5．（2分）点A为数轴上表示﹣2的点，当点A沿数轴移动4个单位长度到点B时，点B所表示的有理数为（ ）
A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．4
【解答】解：∵点A为数轴上的表示﹣2的动点，
①当点A沿数轴向左移动4个单位长度时，点B所表示的有理数为﹣2﹣4＝﹣6；
②当点A沿数轴向右移动4个单位长度时，点B所表示的有理数为﹣2+4＝2．
∴点B所表示的有理数为2或﹣6．
故选：C．
6．（2分）已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20°
C．MN∥CD D．MN＝3CD
【解答】解：由作图知CM＝CD＝DN，
∴∠COM＝∠COD，故A选项正确；
∵OM＝ON＝MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON＝60°，
∵CM＝CD＝DN，
∴∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝∠MON＝20°，故B选项正确；
设∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝α，
则∠OCD＝∠OCM＝，
∴∠MCD＝180°﹣α，
又∵∠CMN＝∠CON＝α，
∴∠MCD+∠CMN＝180°，
∴MN∥CD，故C选项正确；
∵MC+CD+DN＞MN，且CM＝CD＝DN，
∴3CD＞MN，故D选项错误；
故选：D．
7．（2分）一块边长为a米的正方形广场，扩建后的正方形边长比原来长2米，则扩建后广场面积增大了（ ）
A．（4a+4）米2 B．（a2+4）米2 C．（2a+4）米2 D．4米2
【解答】解：（a+2）2﹣a2＝a2+4a+4﹣a2＝4a+4，
故选：A．
8．（2分）根据国家统计局2016﹣2020年中国普通本专科、中等职业教育及普通高中招生人数的相关数据，绘制统计图如图：
下面有四个推断：
①2016﹣2020年，普通本专科招生人数逐年增多；
②2020年普通高中招生人数比2019年增加约4%；
③2016﹣2020年，中等职业教育招生人数逐年减少；
④2019年普通高中招生人数约是中等职业教育招生人数的1.4倍．
所有合理推断的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③④
【解答】解：①2016﹣2020年，普通本专科招生人数逐年增多，正确；
②2020年普通高中招生人数比2019年增加约×100%≈4%，正确；
③从2016﹣2018年，中等职业教育招生人数逐年减少，从2019﹣2020年，中等职业教育招生人数增加，故本选项错误；
④2019年普通高中招生人数约是中等职业教育招生人数的839÷600≈1.4倍，正确．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）当x ≥ 时，在实数范围内有意义．
【解答】解：根据题意得：2x﹣1≥0时，
即x≥，二次根式有意义．
10．（2分）小北同学掷两面质地均匀硬币，抛5次，4次正面朝上，则掷硬币出现正面向上概率为 ．
【解答】解：无论哪一次掷硬币，都有两种可能，即正面朝上与反面朝上，
则掷硬币出现正面向上的概率为：；
故答案为：．
11．（2分）若a2﹣3a＝﹣2，则代数式1+6a﹣2a2的值为 5 ．
【解答】解：∵a2﹣3a＝﹣2，
∴1+6a﹣2a2＝1﹣2（a2﹣3a）＝1﹣2×（﹣2）＝1+4＝5．
故答案为5．
12．（2分）斛是中国古代的一种量器．据《汉书•律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉．”意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆．”如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为 尺．
【解答】解：如图，
∵四边形CDEF为正方形，
∴∠D＝90°，CD＝DE，
∴CE为直径，∠ECD＝45°，
由题意得AB＝2.5，
∴CE＝2.5﹣0.25×2＝2，
∴CD＝CE＝．
故答案为：．
13．（2分）明代的程大位创作了《算法统宗》，它是一本通俗实用的数学书，将枯燥的数学问题化成了美妙的诗歌，读来朗朗上口，是将数字入诗的代表作．其中有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为 ．
【解答】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为，
故答案为：．
14．（2分）如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则sin∠OCB＝ ．
【解答】解：连接OB，作OD⊥BC于D，如图所示：
∵△ABC是边长为8的等边三角形，
∴∠ABC＝60°，BC＝8，
∵⊙O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，
∴OD是⊙O的半径，∠OBC＝∠OBA＝∠ABC＝30°，
∵tan∠OBC＝，
∴BD＝＝＝3，
∴CD＝BC﹣BD＝8﹣3＝5，
OC＝＝＝2，
∴sin∠OCB＝＝＝．
15．（2分）“赛龙舟”是我国的一个传统运动项目．某天，甲乙两队在一个笔直的湖面进行“赛龙舟”比赛，全程300米．两队同时出发，刚出发，乙队就以明显优势领先，甲队发现形式不利，迅速调整比赛状态，把速度提升了，并以提升后的速度赛完全程，假设乙队全程是匀速比赛状态，甲队提速前和提速后也分别是匀速运动，甲、乙两队之间的距离y（米）与乙队行驶x（秒）之间的关系如图所示，则甲队到达终点时，乙队离终点还有 米．
【解答】解：由图可得，
乙队的速度为300÷100＝3（米/秒），
设甲队开始的速度为a米/秒，
15（3﹣a）＝（45﹣15）×[a（1+）﹣3]，
解得a＝2，
∴甲队提速后的速度为2×（1+）＝3.5（米/秒），
∴甲队到达终点用的时间为：15+（300﹣15×2）÷3.5＝15+＝15+77＝92（秒），
∴甲队到达终点时，乙队离终点还有3×（100﹣92）＝3×7＝3×＝（米），
故答案为：．
16．（2分）1﹣3﹣5+7+9﹣11﹣13+15+…+2009﹣2011﹣2013+2015+2017﹣2019﹣2021+2023＝ 0 ．
【解答】【答案】0
解：1﹣3﹣5+7+9﹣11﹣13+15+…+2009﹣2011﹣2013+2015+2017﹣2019﹣2021+2023
＝（1﹣3）+（﹣5+7）+（9﹣11）+（﹣13+15）+…+（2009﹣2011）+（﹣2013+2015）+（2017﹣2019）+（﹣2021+2023）
＝﹣2+2+（﹣2）+2+…+（﹣2）+2
＝0．
故答案为：0．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：|﹣2|﹣（1﹣π）0+2cos30°+（）﹣1．
【解答】解：|﹣2|﹣（1﹣π）0+2cos30°+（）﹣1
＝
＝．
18．（5分）先阅读材料，再解答问题．
对三个数x、y、z，规定：M{x，y，z}＝；min{x，y，z}表示x、y、z这三个数中的最小数．如M{﹣1，2，3}＝，min{﹣1，2，3}＝﹣1．
解决问题：
（1）若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，求x的取值范围；
（2）①若M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，求x的值；
②猜想：若M{a，b，c}＝min{a，b，c}那么a，b，c大小关系如何？请直接写出结论；
③问：是否存在非负整数a，b，c，使得M{2a﹣b+7，3a+2c+1，4c+1}＝min{2a﹣b+7，3a+2c+1，4c+1}？若存在，请求a，b，c的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，得 ，即0≤x≤1，
（2）①∵M{2，x+1，2x}＝＝x+1＝min{2，x+1，2x}，
∴，解得：，
∴x＝1；
②证明：由M{a，b，c}＝min{a，b，c}，可令 ＝a，即b+c＝2a；
又∵，
解之得：a+c≤2b，a+b≤2c；
把b+c＝2a代入a+c≤2b 可得c≤b；把b+c＝2a代入a+b≤2c可得b≤c；
∴b＝c；将b＝c代入b+c＝2a得c＝a；
∴a＝b＝c，
③由②可知：，
整理得4a+b＝6，3a＝2c，
∵a，b，c是非负整数，
∴a＝0，b＝6，c＝0
19．（5分）解分式方程：＝0．
【解答】解：方程两边都乘以x（x﹣1）得：x﹣8+3x＝0，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x（x﹣1）≠0，
所以x＝2是原方程的解，
即原方程的解是：x＝2．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该一元二次方程的一个根为x＝1，求m的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣1）＝4m2+5＞0，
∴m的取值范围是全体实数．
（2）将x＝1代入原方程，1﹣（2m+1）+（m﹣1）＝0，
解得：m＝﹣1．
21．（5分）已知：如图，在菱形ABCD中，E、G在直线AC上，F在直线BD上，M、N分别为EF、DG的中点，若OM⊥ON，且OM＝ON．
（1）求证：OD＝OE；
（2）若GD的延长线过M点，∠ABC＝120°，AB＝4，求DF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠EOF＝∠COD＝90°，
∵M、N分别为EF、DG的中点，
∴OM＝EF＝EM＝FM，ON＝DG＝DN＝CN，
∴∠F＝∠MOF，∠G＝∠NOG，
∵OM⊥ON，
∴∠MOF＝∠NOG，
∴∠F＝∠G，
∵OM＝ON，
∴EF＝DG，
在△OEF和△ODG中，，
∴△OEF≌△ODG（AAS），
∴OD＝OE；
（2）解：GD的延长线过M点，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠ADC＝∠ABC＝120°，AC⊥BD，OD＝OB，∠ADB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝4，
∴OD＝BD＝2，
由（1）得：∠F＝∠G，
∵∠G+∠ODG＝90°，∠MDF＝∠ODG，
∴∠F+∠MDF＝90°，
∴∠DMF＝90°，
∴DM⊥EF，
作OH⊥DM于H，则DH∥FM，
∵OM＝ON，OM⊥ON，
∴OH＝MN＝MH，
∴FM＝OM＝OH，
∵OH∥FM，
∴△DMF∽△DHO，
∴＝＝，
∴DF＝OD＝2．
22．（5分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A、B两点，BC⊥x轴于点C，若△OBC的面积为2，且A点的纵坐标为4，B点的纵坐标为1．
（1）求反比例函数、一次函数的表达式及直线AB与x轴交点E的坐标；
（2）已知点D（t，0）（t＞0），过点D作垂直于x轴的直线，在第一象限内与一次函数y＝﹣x+b的图象相交于点P，与反比例函数y＝上的图象相交于点Q，若点P位于点Q的上方，请结合函数图象直接写出此时t的取值范围．
【解答】解：（1）∵△OBC的面积为2，B点的纵坐标为1．
∴×OC×1＝2，解得OC＝4，
∴B（4，1），
把B（4，1）代入y＝得k＝4×1＝4，
∴反比例函数解析式为y＝；
把B（4，1）代入y＝﹣x+b得﹣4+b＝1，解得b＝5，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5；
当y＝0时，﹣x+5＝0，解得x＝5，
∴E（5，0）；
（2）当y＝4时，＝4，解得x＝1，
∴A（1，4），
当点P位于点Q的上方，此时t的取值范围为1＜t＜4．
23．（6分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，过D点作PF∥AC交⊙O于F，交AB于点E，∠BPF＝∠ADC
（1）求证：AE•EB＝DE•EF．
（2）求证：BP是⊙O的切线：
（3）当的半径为，AC＝2，BE＝1时，求BP的长，
【解答】（1）证明：连接AF、BD，
在△AEF和△DEB中，∠AEF＝∠DEB，∠AFE＝∠DBE，
∴△AEF∽△DEB，
∴＝，即AE•BE＝DE•EF；
（2）证明：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
又∵∠ABC＝∠ADC，∠ADC＝∠BPF，
∴∠ABC＝∠BPF，
∵PF∥AC，
∴∠CAB＝∠PEB，
∴∠PEB+∠BPF＝90°，即∠PBE＝90°，
∴PB⊥AB，
∴PB是⊙O的切线；
（3）在Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC2＝20﹣4＝16，即BC＝4，
在Rt△ABC和Rt△EPB中，∠ABC＝∠ADC＝∠BPF，
∴△ABC∽△EPB，
∴＝，
∴BP＝2．
24．（6分）为了了解某一景点等候检票的时间，随机调查了部分游客，统计了他们进入该景点等候检票的时间，并绘制成如图表．
等候时间x（min）
频数（人数）
频率
10≤x＜20
8
0.2
20≤x＜30
14
a
30≤x＜40
10
0.25
40≤x＜50
b
0.125
50≤x＜60
3
0.075
合计
40
1
（1）这里采用的调查方式是 抽样调查 （填“普查”或“抽样调查”），样本容量是 40 ；
（2）表中a＝ 0.35 ，b＝ 5 ，并请补全频数分布直方图；
（3）根据上述图表制作扇形统计图，则“40≤x＜50”所在扇形的圆心角度数是 45 °．
【解答】解：（1）这里采用的调查方式是抽样调查，样本容量为8÷0.2＝40，
故答案为：抽样调查、40；
（2）a＝14÷40＝0.35、b＝40××0.125＝5，
补全条形图如下：
故答案为：0.35、5；
（3）“40≤x＜50”所在扇形的圆心角度数是360°×0.125＝45°，
故答案为：45．
25．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上⼀点，∠CAB＝30°，D是直径AB上⼀动点，连接CD并过点D作CD的垂线，与⊙O的其中⼀个交点记为点E（点E位于直线CD上⽅或左侧），连接EC．已知AB＝6cm，设A、D两点间的距离为xcm，C、D两点间的距离为y1cm，E、C两点间的距离为y2cm．
⼩雪根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随⾃变量的变化而变化的规律进行了探究．下⾯是⼩雪的探究过程：
（1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值，请将表格补充完整；
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
5.20
4.36
3.60
3
2.65
2.65
3
y2/cm
5.20
4.56
4.22
4.24
4.77
5.60
6.00
（2）在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当∠ECD＝60°时，AD的长度约为 4.5cm或6cm ．
【解答】解：（1）当x＝3时，
∵AB＝6cm，AD＝3cm
∴点D与点O重合，此时△DCE是等腰直角三角形
∴CD＝DE＝3
∴y1＝3
当x＝6时，点D与点B重合
∴CD＝BC
∵∠CAB＝30°
∴CD＝BC＝AB＝3
故答案为：3，3．
（2）函数图象如图所示：
（3）当∠ECD＝60°时
在Rt△ECD中
∵∠EDC＝90°
∴∠CED＝30°
∴EC＝2CD
∴y2＝2y1
∴由函数图象可知，满足条件的x的值为4.5cm或6cm．
故答案为：4.5或6．
26．（6分）我们把抛物线：yn＝﹣x2+2n2x﹣n4+n2（n为正整数）称为“拉手系列抛物线”，为了探究它的性质，某同学经历如下过程：
（特例求解）
（1）当n＝1时，抛物线y1的顶点坐标是 （1，1） ；与x轴的交点坐标是 （0，0），（2，0） ；
（2）当n＝2时，抛物线y2的顶点坐标是 （4，4） ；与x轴的交点坐标是 （2，0），（6，0） ；
（3）当n＝3时，抛物线y3的顶点坐标是 （9，9） ；与x轴的交点坐标是 （6，0），（12，0） ；
（性质探究）
（4）那么抛物线：yn＝﹣x2+2n2x﹣n4+n2（n为正整数）的下列结论正确的是 ①③ （请填入正确的序号）．
①抛物线与x轴有两个交点；
②抛物线都经过同一个定点；
③相邻两支抛物线与x轴都有一个公共的交点；
④所有抛物线yn的顶点都在抛物线y＝x2上．
（知识应用）
若“拉手系列抛物线”：yn＝﹣x2+2n2x﹣n4+n2（n为正整数），y1与x轴交于点O，A1，顶点为D1，y2与x轴交于点A1，A2，顶点为D2，…，yn与x轴交于点An﹣1，An，顶点为Dn．
（5）求线段An﹣1An的长（用含n的式子表示）．
（6）若△D1OA1的面积与△DkAk﹣1Ak的面积比为1：125，求yk的解析式．
【解答】解：（特例求解）对于yn＝﹣x2+2n2x﹣n4+n2，函数的对称轴为直线x＝﹣＝n2，当x＝n2时，yn＝﹣x2+2n2x﹣n4+n2＝n2，故顶点坐标为（n2，n2），
令yn＝﹣x2+2n2x﹣n4+n2＝0，解得x＝n2﹣n或n2+n，
故当n＝1时，顶点坐标为（1，1）；与x轴的交点为（0，0），（2，0）；
当n＝2时，顶点坐标为（4，4）；与x轴的交点为（2，0），（6，0）；
当n＝3时，顶点坐标为（9，9）；与x轴的交点为（6，0），（12，0）；
故答案为：（1）（1，1）；（0，0），（2，0）；
（2）（4，4）；（2，0），（6，0）；
（3）（9，9）；（6，0），（12，0）；
（性质探究）
（4）①△＝4n4﹣4（n4﹣n2）＝4n2＞0，故抛物线与x轴有两个交点正确，符合题意；
②从特例求解看，抛物线都经过同一个定点不正确，故不符合题意；
③从特例求解看，相邻两支抛物线与x轴都有一个公共的交点正确，符合题意；
④从顶点坐标看，所有抛物线yn的顶点都在抛物线y＝x上，故④不正确，不符合题意；
故答案为：①③；
（知识应用）
（5）由（特例求解）知顶点坐标为（n2，n2），抛物线和x轴交点的坐标为（n2﹣n，0）或（n2+n，0）；
则An﹣1An的长＝（n2+n）﹣（n2﹣n）＝2n；
（6）由（5）知，△DkAk﹣1Ak的顶点坐标为（k2，k2），Ak﹣1Ak的长＝2k，
∵△D1OA1的面积＝OA1•＝×（2﹣0）×1＝1，
而△D1OA1的面积与△DkAk﹣1Ak的面积比为1：125，
则△DkAk﹣1Ak的面积＝×Ak﹣1Ak×＝×（2k）×k2＝125，解得k＝5，
即n＝k＝5，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+50x﹣600．
27．（7分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥BA交BA的延长线于点D．一正方形EFGH的一条边EH与AC边在一条直线上，另一条边EF恰好经过点B．
（1）在图1中，请你通过观察、测量BE与CD的长度，猜想并写出BE与CD满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）将正方形EFGH沿AC方向平移到图2所示的位置时，EH边仍与AC边在同一直线上，另一条边EF交BC边于点M，过点M作MN⊥BA于点N．此时请你通过观察、测量ME、MN与CD的长度，猜想并写出ME、MN与CD之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）将正方形EFGH沿CA方向平移到图3所示的位置时，EH边仍与AC边在同一直线上，另一条边EF的延长线交CB边的延长线于点M，过点M作MN⊥AB交AB的延长线于点N．此时请你猜想并写出ME、MN与CD之间满足的数量关系，不需证明．
【解答】解：（1）BE＝CD…2分
证明：∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）；
又∵CD⊥BA，BE⊥CE，
∴∠EBC＝∠DCB（等角的余角相等）；
在△BEC和△CDB中，
，
∴△BEC≌△CDB（ASA），
∴BE＝CD（全等三角形的对应边相等）；
（2）ME+MN＝CD．…3分
证明：作MK⊥CD于K．
∵MN⊥BA于N，∠D＝90°，MK⊥CD，
∴四边形MNDK为矩形．
∴MN＝KD，MK∥BD．…4分
∴∠DBC＝∠KMC．
∵AB＝AC，
∴∠ECM＝∠DBC＝∠KMC．…5分
又∵∠E＝∠MKC＝90°，CM＝MC，
∴△EMC≌△KCM（AAS）．
∴ME＝CK．…6分
∴CK+KD＝ME+MN＝CD，即ME+MN＝CD．…7分
（3）ME﹣MN＝CD．…8分
过C作CK⊥MN于K．
∵MN⊥BA，CD⊥BA，
∴四边形CKND是矩形．…9分
∴CD＝NK，CK∥BA．
∴∠MCK＝∠DBC．
又∵AC＝AB，
∴∠DCB＝∠BCA．
又∵∠ECM＝∠BCA，
∴∠ECM＝∠MCK．
∵正方形EFGH，
∴∠HEF＝∠MEC＝90°．
又∵MC＝MC，
∴△ECM≌△KCM．
∴EM＝KM．…11分
又∵MK＝MN+NK，
∴ME﹣MN＝CD．…12分
28．（7分）如图，△ABD内接于半径为5的⊙O，连接AO并延长交BD于点M，交⊙O于点C，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，AB＝AM．
（1）求证：△ABM∽△ECA．
（2）当CM＝4OM时，求BM的长；
（3）当CM＝k•OM时，设△ADE的面积为S1，△MCD的面积为S2，求的值．（用含k的代数式表示）．
【解答】证明：（1）∵AE∥BD，
∴∠AMB＝∠CAE，
又∵∠ABD＝∠ACD，
∴△ABM∽△ECA；
（2）解：∵AB＝AM，△ABM∽△ECA，
∴AE＝CE，
∵CM＝4OM，
∴可以假设OM＝k，CM＝4k，
∴OA＝OC＝5k＝5，
∴k＝1，
∴AM＝6，CM＝4，
∵DM∥AE，
∴DM：AE＝CM：CA＝4：10，
设DM＝4m，则EA＝EC＝10m，
∵AB＝AM，
∴∠ABM＝∠AMB，
∵∠AMB＝∠DMC，∠B＝∠C，
∴∠DMC＝∠C，
∴DM＝DC＝4m，
∴DE＝EC﹣DC＝6m，
∵AC是直径，
∴∠ADE＝∠ADC＝90°，
∴AD＝＝＝8m，
∵AD2+CD2＝AC2，
∴（8m）2+（4m）2＝102
∵m＞0，
∴m＝，
∵△AMB∽△DMC，
∴＝，
∴＝，
∴BM＝．
（3）设△CDM的面积为x．
∵CM＝kOM，
∴OM＝，CM＝，AM＝5+＝，
∴AC：CM＝（2+2k）：k，
∴△ACD的面积＝•x，
∵DM∥AE，
∴CD：DE＝CM：AM＝k：（2+k），
∴△ADE的面积＝••x，
∴＝．
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