初中数学中考冲刺 特殊四边形综合培优练习试卷（含解析）

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初中数学中考冲刺 特殊四边形综合培优练习试卷答案
一．选择题
1．解：①如图，延长FP交AB与G，连PC，延长AP交EF与H，
∵GF∥BC，
∴∠DPF＝∠DBC，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠DBC＝45°
∴∠DPF＝∠DBC＝45°，
∴∠PDF＝∠DPF＝45°，
∴PF＝EC＝DF，
在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，
∴DP＝EC．
故①正确；
②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝4，
故②正确；
③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45°，
∴当∠PAD＝45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，
故③错误．
④∵四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，
由正方形为轴对称图形，
∴AP＝PC，
∴AP＝EF，
∵BD平分∠ABC，PG⊥AB，PE⊥BC，
∴PG＝PE，
∵AP＝PC，∠AGP＝∠EPF＝90°，
∴△AGP≌△FPE（SAS），
∴∠BAP＝∠PFE，
∵GF∥BC，
∴∠AGP＝90°，
∴∠BAP+∠APG＝90°，
∵∠APG＝∠HPF，
∴∠PFH+∠HPF＝90°，
∴AP⊥EF，
故④正确；
⑤由EF＝PC＝AP，
∴当AP最小时，EF最小，
则当AP⊥BD时，即AP＝BD＝×2＝时，EF的最小值等于，
故⑤正确；
故选：C．

2．解：由题意进行分类讨论：
①当P点在AB上，Q点在BC上时（t≤4），
BP＝2t，CQ＝6﹣t，
要使△BDP与△ACQ面积相等，则BP＝CQ，
即2t＝6﹣t，
解得：t＝2；
②当P点在AD上，Q点在BC上时（4＜t≤6），
DP＝14﹣2t，CQ＝6﹣t，
要使△BDP与△ACQ面积相等，则DP＝CQ，
即14﹣2t＝6﹣t，
解得：t＝8（舍去）；
③当P点在AD上，Q点在CD上时（6＜t≤7），
DP＝14﹣2t，CQ＝t﹣6，
要使△BDP与△ACQ面积相等，则DP＝CQ，
即14﹣2t＝t﹣6，
解得t＝；
④当P点在CD上，Q点在CD上时（7＜t≤11），
DP＝2t﹣14，CQ＝t﹣6，
要使△BDP与△ACQ面积相等，则DP＝CQ，
即2t﹣14＝t﹣6，
解得：t＝8；
⑤当P点在BC上，Q点在CD上时（11＜t≤14），
BP＝28﹣2t，CQ＝t﹣6，
要使△BDP与△ACQ面积相等，则BP＝CQ，
即28﹣2t＝t﹣6，
解得：t＝；
综上可得共有4种情况满足题意，所以满足条件的t值得个数为4．
故选：C．
3．解：∵四边形EFGH为正方形，
∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，
∵OG＝GP，
∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，
∴∠PBG＝22.5°，
∵∠DBC＝45°，
∴∠GBC＝22.5°，
∴∠PBG＝∠GBC，
∵∠BGP＝∠BGC＝90°，
在△BPG和△BCG中，
，
∴△BPG≌△BCG（ASA），
∴PG＝CG．
设OG＝PG＝CG＝x，
∵O为EG，BD的交点，
∴EG＝2x，FG＝x，
∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
∴BF＝CG＝x，
∴BG＝x+x，
∴BC2＝BG2+CG2＝x2（+1）2+x2＝（4+2）x2，
∴＝＝＝2+．
故选：B．
4．解：∵四边形AEDC和AMNB为正方形，
∴AE＝AC，AB＝AM，∠EAC＝∠MAB＝90°，
∴∠EAB＝∠CAM，
在△EAB和△CAM中，
，
∴△EAB≌△CAM（SAS），
∴∠EBA＝∠CMA＝30°，
∴∠BPQ＝∠APM＝60°，
∴∠BQP＝90°，
∴PQ＝PB，
在Rt△AMP中，
设AP＝1，则PM＝2，
根据勾股定理得AM＝，
∴PB＝﹣1，
∴PQ＝，
∴QM＝QP+PM＝+2＝，
在△ACB和△DCG中，
，
∴△ACB≌△DCG（SAS），
∴DG＝AB＝，
∴＝＝﹣1．
故选：D．
5．解：由折叠的性质得，AB＝BG，CD＝CG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，
∴BG＝BC＝CG，
∴△GBC是等边三角形；故①正确；
∵将正方形ABCD对折，使点A点与D重合，点B与C重合，折痕EF，
∴FE⊥BC，EF⊥AD，AF＝DF＝BE＝CE＝BC＝1，
∵△GBC为等边三角形，
∴∠BGE＝30°，
∴GE＝BE＝，
∴FG＝EF﹣GE＝2﹣，
∵再次折叠，使点A与点D重合于正方形内点G处，折痕分别为BH、CI，
∴∠D＝∠A＝90°＝∠HGB＝∠IGC，
∴∠HGI＝120°，
∴∠HGF＝∠IGF＝∠HGI＝60°，
∴HF＝IF＝FG＝2﹣3，
∴AH＝AF﹣HF＝4﹣2，
∴tan∠BHA＝＝＝2+；故②正确；
∵HI＝HF+IF＝4﹣6，
∴△IGH的面积＝HI•FG＝×（2﹣）×（4﹣6）＝7﹣12，故③正确；
设等边三角形BGC的中心为O，以OG为半径作优弧BGC，如图：

当P、Q在正方形ABCD内（包括边上）的弧上时，总有∠BPC＝∠BQC＝60°，故④错误，
∴正确的有①②③，
故选：A．
6．解：①∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，
∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，故①正确；
②∵EF＝，
∴OE＝2，
∵AO＝AB＝3，
∴AE＝AO+OE＝2+3＝5，故②正确；
③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，
则FG＝1，
CF＝＝＝，
BH＝3﹣1＝2，
DH＝3+1＝4，
BD＝＝＝2，故③错误；
④△COF的面积S△COF＝×3×1＝，故④正确；

∴其中正确的结论为①②④，故选：A．
二．填空题
7．解：如图，过点A作AF⊥y轴于点F，连接AM，OM，
∵∠BAC＝∠BOC＝90°，M为BC中点，
∴AM＝OM，
∴点M在线段AO的垂直平分线上，
作线段AO的垂直平分线交y轴，x轴于点D，E，当PM⊥DE，PM最小，
连接AD，则AD＝OD，

∵A（2，4），
∴AF＝2，OF＝4，
设OD＝AD＝t，则FD＝4﹣t，
∵FD2+AF2＝AD2，
∴（4﹣t）2+22＝t2，
∴t＝，
∴OD＝，
∵∠FOA+∠AOE＝90°，∠AOE+∠OED＝90°，
∴∠FOA＝∠OED，
∵∠AFO＝∠DOE＝90°，
∴△FAO∽△ODE，
∴，
即AF•OE﹣OD•OF，
∴OE＝5，
∵P（1，0），
∴PE＝4，
在Rt△AFO中，
OA＝＝2，
当PM⊥DE时，PM最小，
∴∠PME＝∠AFO＝90°，
∴△PME∽△AFO，
∴，
∴，
∴PM＝，
故答案为：．
8．解：∵点B坐标为（4，6），
∴OA＝BC＝4，OC＝AB＝6，
∵点D为AB边中点，
∴BD＝AD＝3，
由翻折可知：B′D＝BD＝AD＝3，
∴以点D为圆心，3为半径的圆D过点B，B′，A，
∵点E在射线BC上运动，
∴B′在圆D上运动，
如图，连接OD，交圆D于点P，过点P作PM⊥OA于点M，

当B′运动到点P时，OB'长度存在最小值，
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：
OD＝＝＝5，
∴OP＝OD﹣DP＝5﹣3＝2，
∴OB'长度的最小值为2，
∵sin∠DOA＝＝，
∴PM＝OP•sin∠DOA＝2×＝，
∴OM＝＝＝，
∴P（，），
此时B′（，）．
故答案为：（，）．
9．解：设正方形的边长为1，AE＝BF＝a，
∴FC＝＝，
在正方形ABCD中，AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠ABE＝∠BCF，S△ABE＝S△BCF，
∵∠ABE+∠EBC＝90°，
∴∠BCF+∠EBC＝90°，
∴∠CBH＝90°，
∴BH⊥CF，
∵S△ABE＝S△BCF，
∴S四边形AFHE＝S△BHC，
∵S△BCF＝BC•BF＝FC•BH，
∴1×a＝×BH，
∴BH＝，
∵∠HCB＝∠BCF，∠CHB＝∠CBF＝90°，
∴△HBC∽△BFC，
∴＝＝a，
∴HC＝＝，
∴S△BHC＝HC•BH＝×＝，
∵S四边形AFHE+S△BHC＝S正方形ABCD，
∴2S△BHC＝S正方形ABCD，
∴2×＝，
解得a＝或a＝（舍去），
∴＝．
故答案为：．
10．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB＝∠DCG＝90°，
∵CF是∠DCG的角平分线，
∴∠FCG＝45°，
∵FG⊥BG，
∴∠CFG＝45°，
∴FG＝CG，
设CE＝x，则BE＝12﹣x，
∴EG＝CE+CG＝x+FG，
∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，
∴∠B＝∠G＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEG＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG，
∵∠B＝∠G＝90°，
∴△BAE∽△GEF；
∴＝，
∴＝，
∴FG＝12﹣x，
∴S△ECF＝×CE×FG＝×x•（12﹣x）＝﹣（x2﹣12x）＝﹣（x﹣6）2+18，
∵﹣＜0，
∴当EC＝6时，S△ECF最大＝18．
故答案为：18．
三．解答题
11．解：（1）位置关系：DF⊥BE，
理由如下：∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝BC，∠DCB＝90°，
∴∠ECB＝90°，
在△BCE和△DCG中，
，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴∠E＝∠DGC＝∠BGF，
∴∠E+∠EDF＝∠DGC+∠EDF＝90°，
∴∠EFD＝90°，
∴DF⊥BE；
（2）∵G为BC的中点，CG＝CE，
∴BG＝CG＝CE＝a，
则DG＝BE＝a，
∵DF⊥BE，∠ECB＝90°，
∴sin∠EBC＝，
∴GF＝a；
（3）如图，连接AC交DF于H，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠HDA＝∠HGC，∠HAD＝∠HCG，
∴△CHG∽△AHD，
∴，
∴GH＝a，
∴．
12．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝7，BC＝AD＝4，AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAE，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴DE＝AD＝4，
同理可得CF＝BC＝4，
∴EF＝DE+FC﹣CD＝1，故答案为：1；
（2）①如图1所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，BC＝AD＝4，AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAE，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴DE＝AD＝4，
同理：BC＝CF＝4，
∵点E与点F重合，
∴AB＝CD＝DE+CF＝8；
②如图2所示：

∵点E与点C重合，
∴DE＝AD＝4，
∵CF＝BC＝4，
∴点F与点D重合，
∴EF＝DC＝4；
（2）分三种情况：①如图3所示：

同（1）得：AD＝DE，
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴AD＝DE＝EF＝CF，
∴＝；
②如图4所示：

同（1）得：AD＝DE＝CF，
∵DF＝FE＝CE，
∴＝；
③如图5所示：

同（1）得：AD＝DE＝CF，
∵DF＝DC＝CE，
∴＝2；
综上所述，的值为2或或．
13．解：（1）当x＝40时，n＝×40+＝20，
∴C（40，20），
当y＝0时，0＝x+，
∴x＝﹣15，
∴A（﹣15，0），
∴A（﹣15，0），C（40，20）；
（2）证明：∵点B（0，20），点C（40，20），
∴BC＝40，BC∥x轴，
∵A（﹣15，0），D（25，0），
∴AD＝25﹣（﹣15）＝40，
∵AD∥BC，AD＝40＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（3）由题意可知；AB＝A1B1＝＝25，∠AOB＝∠A1OB1＝90°，
①△AOB旋转后，若A1B1∥x轴，连接B1D，成四边形OA1B1D，如图1，

∵A1B1＝OD＝25，
∴四边形OA1B1D构成平行四边形，
此时，设A1B1与y轴交于H，
则OH＝＝＝12，A1H＝＝9，
∴点A1的坐标为（﹣9，12）；
②△AOB旋转后，若A1B1的中点E在x轴上，成四边形OA1DB1，如图2，

∵∠A1OB1＝90°
∴OE＝A1B1＝，
∴OE＝ED＝，
∴四边形OA1DB1构成平行四边形，
设作A1N⊥x轴交于N，∠A1OB1＝∠OA1D＝90°
则A1N＝＝12，ON＝＝9，
∴点A1的坐标为（9，12）；
③△AOB旋转后，若A1B1∥x轴，成四边形ODA1B1，如图3，

又∵A1B1＝OD＝25，
∴四边形ODA1B1构成平行四边形，
此时，设A1B1与y轴交于M
则OM＝＝＝12，A1M＝＝9，
∴点A1的坐标为（9，﹣12），
综上所述，满足条件A1为（﹣9，12），（9，12），（9，﹣12）．
14．解：（1）根据题意，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4；
（2）当x＝0时，y＝﹣2x2+2x+4＝4，
∴C（0，4），
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+4，
当x＝m时，y＝﹣2x2+2x+4＝﹣2m2+2m+4，
∴F（m，﹣2m2+2m+4），D（m，﹣2m+4），
∴DF＝﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m＝﹣2（m﹣1）2+2，
∵﹣2＜0，0＜m＜2，
∴当m＝1时，DF取最大值，最大值为2，
∴线段DF长度的最大值为2；
（3）如图：

当OD⊥BC时，∠ODB＝90°．
∵∠OED＝∠BED＝90°，
∴∠DOE+∠ODE＝∠ODE+∠BDE＝90°，
∴∠DOE＝∠BDE，
∴△OED∽△DEB，
∴，
即OE•BE＝DE2，
∴m（2﹣m）＝（4﹣2m）2，
∴解得m1＝，m2＝2（不合题意，舍去），
∴BE＝，DE＝，DF＝，
∴，
∵∠FPD＝∠BED＝90°，∠FDP＝∠BDE，
∴△FPD∽△BED，
∴，
∴．
∴PF的长为．