2021【KS5U解析】浙江省浙南名校联盟高一下学期期中考试联考数学试题含解析

这是一份2021【KS5U解析】浙江省浙南名校联盟高一下学期期中考试联考数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了选择题.，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年浙江省浙南名校联盟高一（下）期中数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．已知集合A＝{x|x2﹣5x≤0}，B＝{x||x|＜3}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣3，5] B．[﹣3，5] C．（﹣∞，5] D．[0，3）
2．若复数，则z的共轭复数的虚部为（　　）
A． B． C． D．
3．已知平面向量，，若，则实数x的值是（　　）
A． B．1 C．5 D．﹣8
4．已知命题p：∃x∈R，x2+a＜0，那么“a≤0”是“p为真命题”的（　　）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
5．已知函数y＝cosax+b（a＞0）的图像如图所示，则函数y＝loga（x+b）的图像可能是（　　）

A． B．
C． D．
6．声强级Li（单位：dB）与声强I（单位：ω/m2）之间的关系是：Li＝101g，其中I0指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为1ω/m2，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[60，70]（单位：dB）．下列选项中错误的是（　　）
A．闻阈的声强级为0dB
B．此歌唱家唱歌时的声强范围[10﹣6，10﹣5]（单位：dB）
C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍
D．声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍
7．已知平行四边形ABCD，若，，且EF交AC于点M，则＝（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数f（x）＝max{x2，3﹣2|x|}，其中，若方程有四个不同的实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），则x1x4+x2+x3的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．下面关于空间几何体叙述正确的是（　　）
A．正四棱柱是长方体
B．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥
10．已知函数f（x）＝2|sinx|+|cosx|，下列说法正确的有（　　）
A．f（x）为偶函数
B．f（x）在上单调递增
C．f（x）为周期函数
D．方程f（x）＝2在[0，π]上有三个实根
11．下列说法正确的有（　　）
A．的最小值为2
B．已知x＞1，则的最小值为
C．若正数x、y满足x+2y＝3xy，则2x+y的最小值为3
D．设x、y为实数，若9x2+y2+xy＝1，则3x+y的最大值为
12．设函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c∈R，a＞0），则下列说法正确的是（　　）
A．若f（x）＝x有实根，则方程f（f（x））＝x有实根
B．若f（x）＝x无实根，则方程f（f（x））＝x无实根
C．若，则函数y＝f（x）与y＝f（f（x））都恰有2个零点
D．若，则函数y＝f（x）与y＝f（f（x））都恰有2零点
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13．求值：＝　 　．
14．如图，△A'B'C'是△ABC用“斜二测画法”画出的直观图，其中O'B'＝O'C'＝1，，那么△ABC的周长是 　 　．

15．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3，，CD＝4，，则四边形ABCD的面积为　 　．
16．已知非零向量，，，满足，，，若，则的取值范围是　 　．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，且．
（1）求tanθ的值；
（2）求[sin（3π﹣θ）﹣2cos（π+θ）]的值．
18．已知△ABC的内角A，B，C所对得到边分别为a，b，c，向量，，且．
（1）求角C的值；
（2）若△ABC为锐角三角形，，求a﹣b的取值范围．
19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝1，∠CAB＝90°．
（1）求该直三棱柱的表面积S；
（2）若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，当该大棱柱表面积最大时，求该大棱柱的外接球的体积．

20．用洗衣机洗衣时，洗涤并甩干后进入漂洗阶段．每次漂洗都经历放水、漂洗、甩干三个过程．每次漂洗时，衣服的残留物都能均匀溶于水，在甩干时也能被均匀甩出，并且每次甩干后重量（残留物和水分重量总和）不变．假设衣服在洗涤并甩干后，残留物与水分共有m千克，其中水分占．
（1）求第一次漂洗后剩余残留物y与这次漂洗放入水的重量x的函数关系式．
（2）若进行两次漂洗，加入水总重量为a千克，求剩余残留物y的最小值．
21．已知函数sinxcosx﹣cos2x．
（1）求f（x）的对称轴；
（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，M是AB边上一点，且MA＝2MB，求△MBC的最大面积．
22．已知函数y＝f（x）与y＝g（x）的图像关于点（1，1）对称，且二次函数f（x）＝ax2+bx+c过点（1，0），f（0）f（2）＞0．
（1）求的取值范围：
（2）试判断y＝g（x）的图像与直线y＝2﹣a是否有两个不同的交点？若有，请求出两交点间距离的取值范围；若没有，请说明理由．


参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．已知集合A＝{x|x2﹣5x≤0}，B＝{x||x|＜3}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣3，5] B．[﹣3，5] C．（﹣∞，5] D．[0，3）
解：因为集合A＝{x|x2﹣5x≤0}＝{x|0≤x≤5}，
又B＝{x||x|＜3}＝{x|﹣3＜x＜3}，
则A∩B＝{x|0≤x＜3}．
故选：D．
2．若复数，则z的共轭复数的虚部为（　　）
A． B． C． D．
解：∵＝，
∴，
∴z的共轭复数的虚部为，
故选：A．
3．已知平面向量，，若，则实数x的值是（　　）
A． B．1 C．5 D．﹣8
解：根据题意，平面向量，，
则﹣＝（x﹣2，﹣2），
若，则（﹣）•＝2（x﹣2）﹣6＝0，解可得x＝5；
故选：C．
4．已知命题p：∃x∈R，x2+a＜0，那么“a≤0”是“p为真命题”的（　　）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
解：∵命题p：∃x∈R，x2+a＜0，
∴△＝﹣4a＞0，∴a＜0，
∴p为真命题时，a＜0，
∵{a|a＜0}⊊{a|a≤0}，
∴a≤0是p为真命题的必要不充分条件，
故选：B．
5．已知函数y＝cosax+b（a＞0）的图像如图所示，则函数y＝loga（x+b）的图像可能是（　　）

A． B．
C． D．
解：由函数y＝cosax+b（a＞0）的图象知，函数的最小正周期满足＞2π，
所以T＞4π，即＞4π，
所以0＜a＜；
又1＜cos0+b＜2，
所以0＜b＜1，
所以函数y＝loga（x+b）的大致图象如图所示：

故选：A．
6．声强级Li（单位：dB）与声强I（单位：ω/m2）之间的关系是：Li＝101g，其中I0指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为1ω/m2，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[60，70]（单位：dB）．下列选项中错误的是（　　）
A．闻阈的声强级为0dB
B．此歌唱家唱歌时的声强范围[10﹣6，10﹣5]（单位：dB）
C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍
D．声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍
解：因为Li＝101g＝10lgI﹣10lgI0，当I＝1ω/m2时，Li＝120，
代入公式可得I0＝10﹣121ω/m2，
对于A，当I＝I0时，Li＝10lg1＝0，故选项A正确；
对于B，由题意可得，60≤10lgI﹣10lg10﹣12≤70，即60≤10lgI+120≤70，
所以﹣6≤lgI≤﹣5，解得10﹣6≤I≤10﹣5，故选项B正确；
对于C，当I变为2I时，代入Li'＝10lg（2I）﹣10lgI0≠2Li，故选项C错误；
对于D，设声强变为原来的k倍，则10lg（kI）﹣10lgI＝10，解得k＝10，故选项D正确．
故选：C．
7．已知平行四边形ABCD，若，，且EF交AC于点M，则＝（　　）
A． B． C． D．
解：因为M在AC上，所以存在实数t，使得．
在平行四边形中，，所以．
因为E，M，F三点共线，所以3t+2t＝1，解得．
故选：B．
8．已知函数f（x）＝max{x2，3﹣2|x|}，其中，若方程有四个不同的实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），则x1x4+x2+x3的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
解：方程有四个不同的实根，等价于函数y＝f（x）与y＝ax+有四个交点，
画出函数f（x）的大致图像，如图所示：
由图像可知x1，x4是y＝ax+与y＝x2的交点的横坐标，
联立方程，消去y得：，
∴x1x4＝，
当直线y＝ax+过点（﹣1，1）时，a＝，
易知直线y＝ax+恒过定点（0，），又a＞0，
∴要使函数y＝f（x）与y＝ax+有四个交点，则0＜a，
联立方程，解得x＝﹣，
∴﹣1，
联立方程，解得x＝，
联立方程，解得x＝，
∴，
∴，
∴，
故选：B．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．下面关于空间几何体叙述正确的是（　　）
A．正四棱柱是长方体
B．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥
解：因为正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱是长方体，故选项A正确；
因为底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥，故选项B错误；
由棱台的定义，棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台，故选项C错误；
直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥，故选项D正确．
故选：AD．
10．已知函数f（x）＝2|sinx|+|cosx|，下列说法正确的有（　　）
A．f（x）为偶函数
B．f（x）在上单调递增
C．f（x）为周期函数
D．方程f（x）＝2在[0，π]上有三个实根
解：f（﹣x）＝2|sin（﹣x）|+|cos（﹣x）|＝2|sinx|+|cosx|＝f（x），为偶函数，A对；
＞，B错；
f（π+x）＝2|sin（π+x）|+|cos（π+x）|＝2|sinx|+|cosx|＝f（x），则π为函数的一个周期，C对；
f（+x）＝2|sin（+x）|+|cos（+x）|＝|sinx|+2|cosx|＝f（﹣x），函数关于x＝对称，故只需判断0的图像，
当0时，f（0）＝1，，f（x）＝2sinx+cosx＝sin（x+θ），（tanθ＝，0），
0＜x+θ＜，则函数在0上单调递增，再单调递减，且可以取最大值，
则可以画出f（x）在[0，π]上的图象，如图，

则D对；
故选：ACD．
11．下列说法正确的有（　　）
A．的最小值为2
B．已知x＞1，则的最小值为
C．若正数x、y满足x+2y＝3xy，则2x+y的最小值为3
D．设x、y为实数，若9x2+y2+xy＝1，则3x+y的最大值为
解：对于A选项，当x＜0时，，故A选项错误，
对于B选项，当x＞1时，x﹣1＞0，
则，
当且仅当时，等号成立，故B选项正确，
对于C选项，若正数x、y满足x+2y＝3xy，
则，
，
当且仅当x＝y＝1时，等号成立，故C选项正确，
对于D选项，，
所以，可得，
当且仅当y＝3x时，等号成立，故3x+y的最大值为，D选项正确．
故选：BCD．
12．设函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c∈R，a＞0），则下列说法正确的是（　　）
A．若f（x）＝x有实根，则方程f（f（x））＝x有实根
B．若f（x）＝x无实根，则方程f（f（x））＝x无实根
C．若，则函数y＝f（x）与y＝f（f（x））都恰有2个零点
D．若，则函数y＝f（x）与y＝f（f（x））都恰有2零点
解：对于选项A：若f（x）＝x有实根x＝x0，则方程f（f（x））＝f（x0）＝x0，A选项正确，
对于选项B：因为a＞0，若方程f（x）＝x无实根，则f（x）﹣x＞0对任意的x∈R恒成立，
所以f（f（x））＞f（x）＞x，从而方程f（f（x））＝x无实根，B选项正确，
对于选项C：取f（x）＝x2﹣x，则f（）＝﹣＜0，函数y＝f（x）有2个零点，
则f（f（x））＝[f（x）]2﹣f（x）＝0，可得f（x）＝0或f（x）＝1，
即x2﹣x＝0或x2﹣x＝1，
解得x＝0或1或，
此时，函数y＝f（f（x））有4个零点，C选项错误，
对于选项D：因为，设t＝f（﹣），则t＝f（x）min，
因为f（t）＜0且a＞0，
所以函数f（x）必有2个零点，设为x1，x2，且x1＜x2，
则x1＜t＜x2，所以方程f（x）＝x1无解，方程f（x）＝x2有2个解，
因此若，则函数y＝f（x）与y＝f（f（x））都恰有2零点，D选项正确，
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13．求值：＝　5　．
解：＝8﹣1﹣lg10＝7﹣2＝5．
故答案为：5．
14．如图，△A'B'C'是△ABC用“斜二测画法”画出的直观图，其中O'B'＝O'C'＝1，，那么△ABC的周长是 　6　．

解：把直观图还原出原图形，如图所示：

则OB＝OC＝O'B'＝O'C'＝1，
OA＝2O′A′＝2×＝，
所以BC＝OB+OC＝2，AB＝AC＝＝2，
所以△ABC的周长是AB+AC+BC＝2+2+2＝6．
故答案为：6．
15．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3，，CD＝4，，则四边形ABCD的面积为　　．
解：如图，设＝x，则cos∠ABD＝，cos∠BDC＝，
∵在四边形ABCD中，AB∥CD，∴cos∠ABD＝cos∠BDC，
即＝，解得x＝2．
∴cos∠ABD＝＝，sin，
则四边形ABCD的面积为S＝S△ADB+S△BDC＝+＝．
故答案为：．

16．已知非零向量，，，满足，，，若，则的取值范围是　[﹣1，+1]　．
解：∵，，，
∴•＝2×1×cos＜，＞＝1，∴cos＜，＞＝，∵＜，＞∈[0，π]，∴＜，＞＝，
建立如图平面坐标系，且A（2，0），B（，），

设＝＝（2，0），＝＝（，），＝＝（x，y），
∵，∴x2+y2﹣x﹣y＝0，
∴C在以B（，）为圆心，1为半径的圆上，
∵表示圆上点到点A（2，0）的距离，
又∵圆心B（，）到点A（2，0）的距离为＝，
∴的最大值为+1，最小值为﹣1，
∴的取值范围为[﹣1，+1]．
故答案为：[﹣1，+1]．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，且．
（1）求tanθ的值；
（2）求[sin（3π﹣θ）﹣2cos（π+θ）]的值．
解：（1）由＝cosθsinθ，得，
∵，∴sinθ+cosθ＞0，sinθ﹣cosθ＜0，
∴，＝，
∴，，∴．
（2）∵•[sin（3π﹣θ）﹣2cos（π+θ）]＝（sinθ﹣cosθ）（sinθ+2cosθ）
＝＝．
18．已知△ABC的内角A，B，C所对得到边分别为a，b，c，向量，，且．
（1）求角C的值；
（2）若△ABC为锐角三角形，，求a﹣b的取值范围．
解：（1）∵向量，，且，
∴a＝2b﹣2ccosA，即2b＝a+2ccosA，
∴2sinB＝sinA+2sinCcosA，
∴2sin（A+C）＝sinA+2sinCcosA，即2sinAcosC+2cosAsinC＝sinA+2sinCcosA，
∴2sinAcosC＝sinA，
∵A∈（0，π），sinA≠0，
∴，
∵C∈（0，π），
∴．
（2）∵，，
∴由正弦定理可得，
∴a﹣b＝4sinA﹣4sinB＝，
∵△ABC为锐角三角形，可得，可得，有，则，
∴a﹣b的取值范围为（﹣2，2）．
19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝1，∠CAB＝90°．
（1）求该直三棱柱的表面积S；
（2）若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，当该大棱柱表面积最大时，求该大棱柱的外接球的体积．

解：（1）；
（2）由题得：最小，如下图所示

组合1：组合2：组合3：
四棱柱还可以有另外两种情况，
因为两个棱柱的表面积是固定的，当拼起来时，接触面积重合，重合的面积在新图形中只被算一次，当接触面积最小时，表面积最大，所以组合1大柱体的表面积最大，
所以此时外接球直径，，；
20．用洗衣机洗衣时，洗涤并甩干后进入漂洗阶段．每次漂洗都经历放水、漂洗、甩干三个过程．每次漂洗时，衣服的残留物都能均匀溶于水，在甩干时也能被均匀甩出，并且每次甩干后重量（残留物和水分重量总和）不变．假设衣服在洗涤并甩干后，残留物与水分共有m千克，其中水分占．
（1）求第一次漂洗后剩余残留物y与这次漂洗放入水的重量x的函数关系式．
（2）若进行两次漂洗，加入水总重量为a千克，求剩余残留物y的最小值．
解：（1）由题意可知，，即；
（2）设第一次漂洗后残留物为y1，第一次加入水量为x1，第二次加入的水量为x2，
则有x1+x2＝a，
因为，即，
又，
所以，
又，
当且仅当时取等号，
故二次漂洗后残留物y的最小值为．
21．已知函数sinxcosx﹣cos2x．
（1）求f（x）的对称轴；
（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，M是AB边上一点，且MA＝2MB，求△MBC的最大面积．
解：（1）＝
令，k∈Z，得对称轴为，k∈Z．
（2）由（1）知，，
因为，所以．
又因为A∈（0，π），所以，
①当时，，，
解法1：由余弦定理可知，，得，
所以，当且仅当b＝c时取等号，，当且仅当b＝c时取等号，
解法2：设△ABC外接圆半径为R，则由正弦定理可知，
圆上弦长BC＝2一定，动点A在圆弧上运动，当b＝c时，△ABC底边BC上的高最大，此时△ABC面积最大值为，所以△MBC的最大面积为．
②当时，，，
方法如①，，
即△MBC的最大面积为，当且仅当b＝c时取等号．
22．已知函数y＝f（x）与y＝g（x）的图像关于点（1，1）对称，且二次函数f（x）＝ax2+bx+c过点（1，0），f（0）f（2）＞0．
（1）求的取值范围：
（2）试判断y＝g（x）的图像与直线y＝2﹣a是否有两个不同的交点？若有，请求出两交点间距离的取值范围；若没有，请说明理由．
解：（1）由题得a+b+c＝0，∵f（0）f（2）＝c（4a+2b+c）＞0，
∴（a+b）（3a+b）＜0即，
∵a2＞0∴；
（2）解法1：设点P（x，y）是函数y＝g（x）图像上的任意一点，
则点P（x，y）关于点（1，1）对称的点P'（x'，y'）在函数y＝f（x）的图像上．
∴即，
∵点P'（x'，y'）在在函数y＝f（x）的图像上，
∴2﹣y＝f（2﹣x），
∴y＝2﹣f（2﹣x）（若直接写出g（x）＝2﹣f（2﹣x）就给分）
即g（x）＝2﹣f（x）＝2﹣a（2﹣x）2﹣bx﹣c＝﹣ax2+（4a+b）x+2﹣4a﹣2b﹣c＝﹣ax2+（4a+b）x+2﹣3a﹣b，
由方程g（x）＝2﹣a，得ax2﹣（4a+b）x+2a+b＝0，
∵△＝（4a+b）2﹣4a（2a+b）＝，
设y＝g（x）的图像与直线y＝2﹣a有两个不同的交点A（x1，y1），B（x2，y2），
即x1，x2是方程ax2﹣（4a+b）x+2a+b＝0的两个根，
∴，
，
∴
＝＝，
∵∴，
∴．
解法2：∵函数y＝f（x）与y＝g（x）的图像关于点（1，1）对称，
∴y＝g（x）的图像与直线y＝2﹣a是否有两个不同的交点
⇔y＝f（x）与y＝a是否有两个不同的交点，
由方程f（x）＝a得ax2+bx+c﹣a＝0即ax2+bx﹣2a﹣b＝0，
∵△＝b2+8a2+4ab＝（b+2a）2+4a2＞0，
∴y＝f（x）与y＝a有两个不同的交点A（x1，y1），B（x2，y2），
即x1，x2是方程ax2+bx﹣2a﹣b＝0的两个根，
∴，
，
∴
＝＝，
∵∴，
∴．