2021届河北省保定高三二模数学试卷及答案

2021届河北省保定高三二模数学试卷及答案

一、单选题

1．已知，，则（       ）

A． B． C． D．

2．在等比数列中，若，，则（       ）

A．6 B． C． D．

3．已知，，则（       ）

A． B． C． D．

4．等边三角形ABC的三个顶点在一个半径为1的球面上，O为球心，G为三角形ABC的中心，且OG．则△ABC的外接圆的面积为（　　）

A．π B．2π C． D．

5．河图洛书是华夏文化的源头，两幅图案玄奥神妙，博大精深.它始于上古时期，伏羲就是根据【河图】推演出了先天八卦图，后写出了《易经》.河图上，排列成数阵的白点和黑点，蕴藏着无穷的奧秘.白点表示奇､阳，黑点表示偶､阴.此一白一黑，既含阴阳､天地运行之道，又寓五行､四象变化之理.一六在后，象北方壬癸水，玄武星象；三八在左，象东方甲乙木，青龙星象；二七在前，象南方丙丁火，朱雀星象；四九在右，象西方庚辛金，白虎星象；五十在中，象中央戊己土，表示时空奇点；而中间五点，又象太极含四象；中一点，又象太极含一气.若从这十个点数中任选两个数，则选取的恰好是两个奇数的概率为（       ）

A． B． C． D．

6．已知、是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若，则该椭圆的离心率为（       ）

A． B． C． D．

7．若n为等差数列中的第7项，则二项式展开式的中间项系数为（       ）

A．1120 B． C．1792 D．

8．已知圆弧与函数和函数的图象分别相交于，，其中且，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．4

二、多选题

9．给出下列四个命题，则不正确的是（       ）

A．“，”的否定是“，”

B．、，使得

C．“”是“”的必要不充分条件

D．“为真”是“为真”的必要不充分条件

10．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是（       ）

A．圆柱的体积为

B．圆锥的侧面积为

C．圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等

D．圆柱､圆锥､球的体积之比为3：1：2

11．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为，则下列结论正确的是（       ）

A．函数的图象关于直线对称

B．函数的图象关于点对称

C．函数在上单调递减

D．函数在上恰有4个极值点

12．函数对任意实数x都有，若，，则以下结论正确的是（       ）

A．函数对任意实数x都有

B．函数是偶函数

C．函数是奇函数

D．函数，都是周期函数，且是它们的一个周期

三、填空题

13．设、为实数，若复数，则___________.

14．某中学为了解学生的数学学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图，根据频率分布直方图，推测这3000名学生在该次数学考试中成绩不低于80分的学生人数是___________.

15．若对于，不等式恒成立，则a的最大值为___________.

四、双空题

16．已知O为角平分线AM上一点，，，且，则___________；___________.

五、解答题

17．在中，a､b､c分别是内角A､B､C的对边，以下三个条件任选一个作答，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.①成等差数列；②；③；

（1）求角C的大小；

（2）若，的面积为，求和的值.

18．已知数列，，.

（1）求；

（2）求.

19．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员､面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态､紧跟时代脉搏的热门APP.该款软件主要设有“阅读文章”､“视听学习”两个学习模块和“每日答题”､“每周答题”､“专项答题”､“挑战答题”四个答题模块，还有“四人赛”､“双人对战”两个比赛模块.某人在一天的学习过程中，每日登录积1分，除此之外只参与了“四人赛”.“四人赛”积分规则为首局第一名积3分，第二､三名积2分，第四名积1分；第二局第一名积2分，其余名次积1分；每日仅前两局得分.已知该人参与“四人赛”获得每种名次的概率均为，且每次答题相互独立，

（1）求该人在一天学习过程中积3分的概率；

（2）设该人在一天学习过程中积分为ξ，求ξ的分布列和数学期望.

20．如图，在多面体中，平面，平面，且，，，.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小.

21．如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.

（1）求四边形的面积；

（2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由.

22．已知函数.

（1）若，判断极值点的个数，并证明：图象与x轴相切；

（2）若对恒成立，求a的取值范围.

参考答案：

1．B

【解析】

【分析】

根据三角函数的知识得到，然后可选出答案.

【详解】

因为，，

所以

故选：B

2．C

【解析】

【分析】

由条件可得，然后可算出答案.

【详解】

因为数列是等比数列，所以

所以

故选：C

3．A

【解析】

【分析】

利用诱导公式以及二倍角的正弦公式即可求解.

【详解】

由，，

则，

所以.

故选：A

4．C

【解析】

【分析】

先确定△ABC的外接圆的半径，再求△ABC的外接圆的面积．

【详解】

解：设△ABC的外接圆的半径为r，则

∵O为球心，G为三角形ABC的中心，且OG，球的半径为1

∴r

∴△ABC的外接圆的面积为π

故选：C．

5．D

【解析】

【分析】

由题意可得前后左右中各个点数，求得10个数中任取2个的取法，再求得满足题意的取法，代入公式，即可得答案.

【详解】

由题意得：后方点数为1,6，左侧为3,8，前方为2,7，右侧为4,9，中间为5,10，

即从1,2,310中任取2个，共有种可能，

取出2个奇点共有种可能，

则选取的恰好是两个奇数的概率为.

故选：D

6．D

【解析】

【分析】

利用勾股定理得出，利用椭圆的定义求得、，利用勾股定理可得出关于、的等量关系，由此可解得该椭圆的离心率.

【详解】

如下图所示，设，则，，所以，，

所以，，

由椭圆定义可得，，，

所以，，

所以，为等腰直角三角形，可得，，

所以，该椭圆的离心率为.

故选：D.

【点睛】

方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；

（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；

（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

7．A

【解析】

【分析】

利用等差数列的通项公式可求出，再由二项式展开式的通项公式即可求解.

【详解】

由题意可得等差数列的公差为，首项为，

所以，

所以，

所以二项式展开式的中间项

，

所以中间项系数为.

故选：A

8．B

【解析】

【分析】

由函数与函数互为反函数可得，然后可得，然后利用基本不等式的知识求解即可.

【详解】

因为函数与函数互为反函数，所以关于对称

所以

因为，在圆弧上

所以，所以

所以

当且仅当，即时等号成立

故选：B

9．ACD

【解析】

【分析】

利用全称命题的否定可判断A选项的正误；利用特殊值法可判断B选项的正误；利用集合的包含关系可判断C选项的正误；利用充分条件和必要条件的定义可判断D选项的正误.

【详解】

对于A选项，“，”的否定是“，”，A选项错误；

对于B选项，取，则，B选项正确；

对于C选项，解不等式得或，

或，所以，“”是“”的充分不必要条件，C选项错误；

对于D选项，充分性：若为真，则、均为真命题，从而为真，充分性成立；

必要性：若为真，则、中至少一个为真命题，从而不一定为真命题，必要性不成立.D选项错误.

故选：ACD.

10．BD

【解析】

【分析】

依次判断每个选项：圆柱的体积为，A错误；圆锥的侧面积为，B正确；圆柱的侧面积为，C错误；计算体积之比为3：1：2，D正确，得到答案.

【详解】

依题意圆柱的底面半径为R，

则圆柱的高为，圆柱的体积为，∴A错误；

圆锥的母线长为，圆锥的侧面积为，∴B正确；

∵圆柱的侧面积为，圆锥表面积为，∴C错误；

，，

，∴D正确.

故选：BD.

11．AD

【解析】

【分析】

根据图象变换得的解析式，根据正弦型函数的性质，逐一分析选项，即可得答案.

【详解】

由题意得，

对于A：令，解得对称轴方程为，

令，解得一条对称轴方程为，故A正确；

对于B：令，解得对称中心为，

无论k取任何整数，，故B错误；

对于C：因为，所以，

所以在此范围内单调递增，故C错误.

对于D：因为，所以，

当时，函数取得极值，所以函数在上恰有4个极值点，故D正确.

故选：AD

12．ABD

【解析】

【分析】

利用函数的奇偶性定义以及周期性定义逐一判断即可.

【详解】

，，

，， ，

所以，故A正确；

，

，

， ，

所以，函数是偶函数，故B正确.

，为的周期，

的周期为，

时，

，

且，

所以是偶函数且周期为，故C错误，D正确.

故选：ABD

13．

【解析】

【分析】

利用复数的除法和复数相等可得出、的值，进而可求得的值.

【详解】

因为，则，

所以，，，因此，.

故答案为：.

14．

【解析】

【分析】

首先计算成绩不低于80的两个小矩形的面积之和，即成绩不低于80的学生的频率，再乘以3000即可．

【详解】

解：由频率分布直方图成绩不低于80的学生的频率为

10×（0.020+0.008）＝0.28，

所以成绩不低于80分的学生数是3000×＝

故答案为：

15．1

【解析】

【分析】

由已知可得，不等式化为在恒成立，令，不等式化为，再根据的单调性，再将不等式转化为恒成立，即可求出的范围.

【详解】

对于，不等式恒成立，

所以，不等式化为，

令，即在上恒成立，

单调递减，

单调递增，

且当时，，当时，，

要使在上恒成立，

只需上恒成立，

所以，即的最大值为.

故答案为：1.

【点睛】

将不等式两边化为同结构式，把不等式转化为函数值的大小是解题的关键.

16．         

【解析】

【分析】

利用向量的加、减法运算以及向量数量积的几何意义即可求解.

【详解】

如图，

作，

由是角平分线，可得，，

由可知为的中点，故，

,

设，则，解得，

故，

.

故答案为：；.

17．（1）；（2）；

【解析】

【分析】

（1）选①；利用等差中项可得，再由正弦定理的边角互化以及两角和的正弦公式、三角形的内角和性质可得，从而可得；选②，利用正弦定理的边角互化以及两角和的正弦公式、三角形的内角和性质即可求解；选③，利用利用两角和与差的余弦公式以及正弦定理的边角互化即可求解.

（2）利用余弦定理以及三角形的面积公式可得，，进而求出 ，再由正弦定理即可求解.

【详解】

（1）选①；成等差数列，

则，

所以，

整理可得，

因为，则，即，

又因为 ，

所以.

选②，，

所以，

，

整理可得，

因为，则，即，

又因为 ，

所以.

选③，，

则，

化简可得，

因为，，

所以，即，

又因为 ，

所以.

（2）在中，由余弦定理可得，

又，

即，所以，

所以，

由，

所以，，

所以

18．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据题意，左右同取e为底的对数，可得，利用累乘法即可求得，根据，计算整理，即可得答案.

（2）由（1）可得，利用错位相减求和法，即可求得答案.

【详解】

（1）因为

所以，即，

所以，，

所以，

所以，又，

所以，所以

（2）设①，

所以②，

①-②得，

所以，

所以.

【点睛】

解题的关键是根据题中所给形式，左右同取对数，将次幂化为系数，再利用累乘法求解，考查分析理解，计算求值的能力，属基础题.

19．（1） ；（2）分布列见详解；数学期望为.

【解析】

【分析】

（1）利用相互独立事件的概率计算公式即可求解.

（2）ξ的取值为，再利用相互独立事件的概率计算公式求出随机变量的概率，进而得出分布列，根据数学期望的计算公式即可求解.

【详解】

（1）依题意可知，登录积1分，

所以若积3分，则需比赛得分

即第一局积1分，第二局积1分，

所以.

（2）ξ的取值为，

；；

；

.

故ξ的分布列为

所以

20．（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由线面垂直的性质可得出，利用勾股定理证得，再利用线面垂直的判定定理可证得平面；

（2）取的中点，连接，证明出平面，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成的锐二面角的大小.

【详解】

（1）平面，、平面，，，

，，所以，，

平面，平面，，

，，，

，，，

，平面；

（2）取的中点，连接，

平面，平面，，

，为的中点，则，

，平面，

不妨以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、，

设平面的法向量为，，，

由，取，可得，

易知平面的一个法向量为，，

因此，平面与平面所成的锐二面角的大小为.

【点睛】

思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：

（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；

（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；

（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.

21．（1）；（2）是，且定值为.

【解析】

【分析】

（1）求出点、的坐标，计算出点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得四边形的面积；

（2）设点，求出点的坐标，计算出点到直线的距离，利用平行四边形的面积公式化简可得结果.

【详解】

（1）因为双曲线，由双曲线的定义可得，

又因为，，，

因为，所以，，轴，

点的横坐标为，所以，，，可得，即点，

过点且与渐近线平行的直线的方程为，

联立，解得，即点，

直线的方程为，点到直线的距离为，

且，因此，四边形的面积为；

（2）四边形的面积为定值，理由如下：

设点，双曲线的渐近线方程为，

则直线的方程为，

联立，解得，即点，

直线的方程为，即，

点到直线的距离为

，且，

因此，（定值）.

【点睛】

方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

22．（1）1个零点，证明见解析； （2）.

【解析】

【分析】

（1）当时，求得，令，即，设，利用导数求得单调递增，得到当时，有且仅有一个零点，设，求得，，进而求得，即可得到答案；

（2）由转化为恒成立，令，得到，从而有，要使不等式恒成立只需，即可求解.

【详解】

（1）当时，函数的定义域为，

且，

判断函数极值点的个数，即的根的个数，

令，即，

设，可得，

因为，所以，

所以单调递增，即单调递增，

又因为，

又由，

所以当时，有且仅有一个零点，

设，所以，

即，

所以，即，

由，

代入可得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以，所以图象与x轴相切.

（2）由对恒成立，

即恒成立，

即恒成立，

令，

设单调递增，当时，，

当时，，所以存在唯一的，使得，

设，

当时，单调递减，

当时，单调递增，

所以时，取得极小值也是最小值，

即时，等号成立，

所以时，等号成立，

即时，等号成立，

所以.

【点睛】

不等式恒成立求参数常用方法与策略：

1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；

2、有关指对不等式恒成立问题要注意同构式的应用，以及结合不等式放缩找到解题的突破点，熟记常用的不等式如等等.