2020届河北省邯郸高三二模数学试卷及答案

这是一份2020届河北省邯郸高三二模数学试卷及答案，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020届河北省邯郸高三二模数学试卷及答案
一、单选题
1．已知集合A＝{a|loga3＞1}，B＝{a|3a＞9}，则A∩（∁RB）＝（       ）
A．（0，3） B．（1，3） C．（0，2] D．（1，2]
2．已知复数（i为虚数单位），下列说法：其中正确的有（　　）
①复数z在复平面内对应的点在第四象限；
②；
③z的虚部为﹣2i；
④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶，“二十四节气”歌是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗，2016年11月30日，“二十四节气”正式被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产，也被誉为“中国的第五大发明”．某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问“二十四节气”歌，只能说出春夏两句的有45人，能说出春夏秋三句及其以上的有32人，据此估计该校三年级的500名学生中，对“二十四节气”歌只能说出第一句“春”或一句也说不出的大约有（       ）
A．69人 B．84人 C．108人 D．115人
4．已知f（x）是R上的奇函数且单调递增，则下列函数是偶函数且在（0，+∞）上单调递增的有（　　）
①y＝|f（x）|；
②y＝f（x2+x）；
③y＝f（|x|）；
④y＝ef（x）+e﹣f（x）．
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
5．设实数x，y满足不等式组，若z＝ax+y的最大值为1，则a＝（       ）
A． B． C．﹣2 D．2
6．已知函数f（x）＝sin2xcosφ+cos2xsinφ图象的一个对称中心为，则φ的一个可能值为（       ）
A． B． C． D．
7．设直线l：ax+by+c＝0与圆C：x2+y2＝4相交于A，B两点，且，则“a2+b2＝2”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知为锐角，且，，则（       ）
A． B． C． D．
9．已知直线与双曲线的两条渐近线交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB为直角三角形，则双曲线的离心率e的最大值为（       ）
A． B． C．2 D．
10．年月日，某地援鄂医护人员，，，，，，人（其中是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这名医护人员和接见他们的一位领导共人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且相邻，而不相邻的排法种数为（       ）
A．种 B．种 C．种 D．种
11．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC是下底面．M是BB1上的点，AB＝3，BC＝4，AC＝5，CC1＝7，过三点A、M、C1作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为（       ）
A． B． C． D．
12．如图，在ABC中，tanC＝4．CD是AB边上的高，若CD2﹣BD•AD＝3，则ABC的面积为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．12
二、填空题
13．抛物线上的点到焦点的距离为_____．
14．曲线y＝f（x）＝xnex在x＝1处的切线与坐标轴围成三角形的面积为，则n＝_____．
15．在ABC中，，，则_____．
16．已知三棱锥中，，平面，到平面的距离是，则三棱锥外接球的表面积为_____．
三、解答题
17．已知数列满足数列的前n项和为．
（1）求数列的通项公式及前n项和Sn；
（2）若数列的前n项和为Tn，求Sn﹣8Tn的最小值．
18．2020年初，一场新冠肺炎疫情突如其来，在党中央强有力的领导下，全国各地的医务工作者迅速驰援湖北，以大无畏的精神冲在了抗击疫情的第一线，迅速控制住疫情．但国外疫情严峻，输入性病例逐渐增多，为了巩固我国的抗疫成果，保护国家和人民群众的生命安全，我国三家生物高科技公司各自组成A、B、C三个科研团队进行加急疫苗研究，其研究方向分别是灭活疫苗、核酸疫苗和全病毒疫苗，根据这三家的科技实力和组成的团队成员，专家预测这A、B、C三个团队未来六个月中研究出合格疫苗并用于临床接种的概率分别为，，，且三个团队是否研究出合格疫苗相互独立．
（1）求六个月后A，B两个团队恰有一个研究出合格疫苗并用于临床接种的概率；
（2）设六个月后研究出合格疫苗并用于临床接种的团队个数为X，求X的分布列和数学期望．
19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，BB1BC，D是CC1的中点．

（1）证明：B1C⊥平面ABD；
（2）若AB＝BC，E是A1C1的中点，求二面角A﹣BD﹣E的大小．
20．已知A（0，2），B（0，﹣2），动点P（x，y）满足PA，PB的斜率之积为．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）已知直线l：y＝kx+m，C的右焦点为F，直线l与C交于M，N两点，若F是△AMN的垂心，求直线l的方程．
21．已知函数．
（1）证明：函数f（x）在（0，π）上是减函数；
（2）若， ，求m的取值范围．
22．已知在极坐标系中曲线C的极坐标方程为．
（1）求曲线C与极轴所在直线围成图形的面积；
（2）设曲线C与曲线ρsinθ＝1交于A，B，求|AB|．
23．设x，y，z∈R，z（x+2y）＝m．
（1）若m＝1，求的最小值；
（2）若x2+2y2+3z2＝m2﹣8，求实数m的取值范围．

参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
先利用对数不等式和指数不等式的解法求得A，B，进而利用补集和交集的定义求得结论．
【详解】
因为集合A＝{a|loga3＞1}；
由loga3＞logaa，
当a＞1时，
当时，无解
所以 A＝（1，3），
由，
所以a＞2，
所以B＝（2，+∞），
所以∁RB＝（﹣∞，2]；
所以A∩（∁RB）＝（1，2]．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算以及指数不等式，对数不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
2．B
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一分析四个命题得答案．
【详解】
∵，
∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣2），在第四象限；
|z|；z的虚部为﹣2；．
故①②正确；③④错误．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查复数的运算，复数的概念及几何意义，还考查了理解辨析，运算求解的能力，属于基础题.
3．D
【解析】
【分析】
先求出只能说出第一句“春”或一句也说不出的学生人数，可得它所占的比例，再用样本容量500乘以此比例，即为所求．
【详解】
由题意，只能说出第一句，或一句也说不出的同学有100﹣45﹣32＝23人，
故只能说出第一句“春”或一句也说不出的学生占的比例为，
故只能说出第一句“春”或一句也说不出的学生共有500115人，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查抽样方法，还考查了理解辨析和运算求解的能力，属于基础题.
4．B
【解析】
【分析】
由已知可得f（x）是R上的奇函数且单调递增，当x＞0时，f（x）＞f（0）＝0，然后结合函数的性质分别进行检验即可．
【详解】
因为f（x）是R上的奇函数且单调递增，
故当x＞0时，f（x）＞f（0）＝0，
①g（﹣x）＝|f（﹣x）|＝|f（x）|＝g（x）为偶函数，且当x＞0时，g（x）＝|f（x）|＝f（x）单调递增，符合题意；
②g（﹣x）＝f（x2﹣x）≠g（x），故不满足偶函数；
③g（﹣x）＝f（|﹣x|）＝f（|x|）＝g（x）为偶函数，且 x＞0时g（x）＝f（x）单调递增，符合题意；
④g（﹣x）＝ef（﹣x）+e﹣f（﹣x）＝e﹣f（x）+ef（x）＝g（x），满足偶函数，且x＞0时，f（x）＞0，ef（x）＞1，因为 在 单调递增，
由复合函数的单调性可知g（x）＝ef（x）+e﹣f（x）单调递增，符合题意．
故选：B．
本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
5．D
【解析】
【分析】
画出约束条件表示的可行域，判断目标函数z＝ax+y取得最大值的位置，求出a即可．
【详解】
作出实数x，y满足不等式组的可行域如图：

可知A（﹣1，3），B（﹣4，0），O（0，0），
将目标函数z＝ax+y转化为：，平移直线，
当0＜a≤3或﹣1≤a＜0时，直线经过A（﹣1，3），在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值为1，解得a＝2，
当a＞3时，直线经过O（0，0），在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值为1，无解，
当a＜﹣1时，直线经过B（﹣4，0），在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值为1，解得a（舍去），
当a＝0时，目标函数z＝ax+y取得最大值为3，不符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查线性规划求最值问题，还考查了数形结合的思想和分类讨论求解的能力，属于中档题.
6．A
【解析】
先对已知函数利用和差角公式进行化简，然后结合正弦函数的对称性求解.
【详解】
因为f（x）＝sin2xcosφ+cos2xsinφ＝sin（2x+φ），
又因为f（x）图象的一个对称中心为，
所以sin（φ）＝0，
所以φkπ，
即φkπ，k∈Z，
结合选项可知，当k＝﹣1时，φ.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了和差角公式在三角化简中的应用及正弦函数的对称性的应用，属于基础题.
7．B
【解析】
【分析】
由半径r＝2和弦长，可得圆心（0，0）到直线l的距离d＝1，即a2+b2＝c2．进而判断出结论．
【详解】
因为半径r＝2和弦长，
所以圆心（0，0）到直线l的距离d＝1，
即a2+b2＝c2．
由“a2+b2＝2＝c2，解得c．
∴“a2+b2＝2”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查逻辑条件的判断，还考查了理解辨析和运算求解的能力，属于基础题.
8．B
【解析】
【分析】
利用二倍角的余弦公式，同角的三角函数关系化简已知等式解得，可求的值，根据同角三角函数关系可求的值，进而利用二倍角公式化简所求即可求解．
【详解】
解：∵，解得，
∴，
∵，∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，考查同角的三角函数关系，考查简单的三角恒等变换，属于基础题．
9．D
【解析】
【分析】
当时，e；当或时，求出，
再利用二次函数的图象和性质求出函数的最大值即得解.
【详解】
解：当时，双曲线是等轴双曲线时，e；
当或时，双曲线不是等轴双曲线时，直线l与渐近线中的一条垂直，
所以，
∴，
所以e2，
当a时，取得最大值；
∴e．
所以双曲线的离心率e的最大值为．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线离心率的计算和函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10．D
【解析】
【分析】
根据题意，分步进行分析：①领导和队长站在两端，由排列数公式计算可得其排法数目，②中间人分种情况讨论：若相邻且与相邻，若相邻且不与相邻，由加法原理可得其排法数目，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
让这名医护人员和接见他们的一位领导共人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且相邻
分2步进行分析：
①领导和队长站在两端，有种情况，
②中间人分种情况讨论：
若相邻且与相邻，有种安排方法，
若相邻且不与相邻，有种安排方法，
则中间人有种安排方法，
则有种不同的安排方法；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了带有限制的排列问题，解题关键是掌握分步计数原理和特殊元素优先排列，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
11．D
【解析】
【分析】
由题意画出图形，可得当截面周长最小时的BM值，再由已知可得AB⊥平面BB1C1C，分别求出截面上下两部分的体积，作比即可得解．
【详解】
由AB＝3，BC＝4，AC＝5得AB2+BC2＝AC2，∴AB⊥BC，AB⊥平面BB1C1C，
将侧面BCC1B1折叠到平面ABB1A1内，如图，

连接，与BB1 的交点即为M，由相似可得BM＝3，
设四棱锥A﹣BCC1M的体积为V1，则，
三棱柱ABC﹣A1B1C1 的体积，
∴当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为．
故选：D．
【点睛】
本题考查了棱柱几何性质的应用，考查了立体图形体积的求解，属于中档题.
12．B
【解析】
【分析】
由题得，再利用余弦定理和勾股定理化简即得解.
【详解】
解：由题得
＝BC2+AC2﹣AB2
＝AC2+BC2



故选：B．
【点睛】
本题主要考查余弦定理和三角形的面积公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
13．
【解析】
【分析】
求出抛物线的准线方程，利用抛物线的性质求解即可．
【详解】
抛物线，
标准方程为：．准线方程为：y，
点到焦点的距离为到准线的距离：．
故答案为：．
【点睛】
本题解题关键是掌握抛物线定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
14．2或
【解析】
【分析】
先求出x＝1处的切线方程，然后分别求出切线与x，y轴交点的横坐标、纵坐标，然后表示出三角形的面积，即可得解．
【详解】
由已知得：＝(xn+nxn﹣1)ex，
所以f(1)＝e，＝（n+1）e，
所以切线方程为y﹣e＝(n+1)e(x﹣1)．
令x＝0得y＝﹣ne；令y＝0得x，
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为，解得n＝2或.
故答案为：2或．
【点睛】
本题考查了导数几何意义的应用与导数的计算，考查了运算求解能力，属于基础题.
15．﹣8
【解析】
【分析】
先根据平面向量的减法运算可知，再代入原等式化简，并结合数量积的运算即可得解．
【详解】
解：∵，，
∴.
故答案为：﹣8．
【点睛】
本题主要考查平面向量的运算，考查平面向量的数量积运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16．20π
【解析】
【分析】
取的中点，连结，，由题意得，推导出平面⊥平面，过点向引垂线交于，则平面，延长到，是的外心，过作平面的垂线，交的垂直平分面于，是三棱锥外接球球心，三棱锥外接球半径，由此能求出三棱锥外接球表面积．
【详解】
取的中点，连结，，
根据题意画出图象：如图

又
，
平面，
，平面，
平面平面，
过点向引垂线交于，
则平面，

解得，，
延长到，使，
∴是的外心，
过作平面ABC的垂线，交的垂直平分面于，
是三棱锥外接球球心，
三棱锥外接球半径，
三棱锥外接球表面积．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了求三棱锥的外接球表面积问题，解题关键是掌握三棱锥几何特征，数形结合求三棱锥的外接球半径的解法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
17．（1）；Sn2n+1﹣2；（2）2．
【解析】
【分析】
（1）先求得首项，再由时，求出，然后求得前n项和Sn；
（2）由（1）可求得，然后求出Tn，再求Sn﹣8Tn的表达式，最后利用基本不等式求出最小值即可．
【详解】
解：（1）由已知得当n＝1时，，解得，
当n≥2时，n，
∴，当n＝1也符合.
∴，Sn2n+1﹣2.
（2）由（1）知，
∴Tn，
∴Sn﹣8Tn＝2n+1﹣2﹣82n+110≥210，
当且仅当2n+1即当n＝1时取得最小值﹣2．
【点睛】
本题主要考查数列通项公式的求法，考查等比数列的求和基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18．（1）；（2）分布列详见解析，数学期望为．
【解析】
【分析】
（1）A，B两个团队恰有一个研究出合格疫苗并用于临床接种分两种情况：A团队研究出但B团队未研究出，B团队研究出但A团队未研究出，然后根据相互独立事件的概率求解即可；
（2）X的可能取值为0，1，2，3，再根据相互独立事件的概率逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．
【详解】
解：（1）由题意得，六个月后，A、B两个团队恰有一个研究出合格疫苗并用于临床接种的概率为．
（2）X的可能取值为0，1，2，3，
， ，
， ．
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P





数学期望．
【点睛】
本题考查古典概型的概率计算,考查互斥事件和相互独立事件发生的概率,考查离散型随机变量的分布列和期望,属于中档题.
19．（1）详见解析；（2）60°．
【解析】
【分析】
（1）设BC＝2，证明△DCB∽△CBB1，得∠BDC＝∠BCB1，可得∠DBC+∠BCB1＝90°，则BD⊥B1C，由三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得BB1⊥AB，进一步得到AB⊥平面BCC1B1，从而有AB⊥B1C，进一步得到B1C⊥平面ABD；
（2）设BC＝2，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求出平面ABD的一个法向量与平面BDE的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣BD﹣E的大小．
【详解】
（1）设BC＝2，
∴，，．
∴，则△DCB∽△CBB1，得∠BDC＝∠BCB1，
∵∠DBC+∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠BCB1＝90°，
得BD⊥B1C．
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，
∴BB1⊥平面ABC，
又AB⊂平面ABC，
∴BB1⊥AB，
又∵AB⊥BC，BB1∩BC＝B，
∴AB⊥平面BCC1B1，
而B1C⊂平面BCC1B1，
∴AB⊥B1C，
又BD∩AB＝B，
∴B1C⊥平面ABD；
（2）解：设BC＝2，建立如图所示空间直角坐标系，

由（1）知，E（1，1，2），D（0，2，），
A（2，0，0），B1（0，0，），C（0，2，0）．
由（1）知平面ABD的一个法向量，
，．
设平面BDE的一个法向量为．
由，
取z，得．
∴cos．
由图可知二面角A﹣BD﹣E为锐角，
则二面角A﹣BD﹣E的大小为60°．
【点睛】
本题主要考查线线垂直，线面垂直的转化以及向量法求二面角问题，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.
20．（1）1（x≠0）；（2）y＝x．
【解析】
【分析】
（1）根据动点P（x，y）满足PA，PB的斜率之积为，可得P的坐标之间的关系，且横坐标不为0，求出P的轨迹方程；
（2）由（1）可得右焦点F的坐标，联立直线与椭圆的方程可得两根之和及两根之积，由F是△AMN的垂心可得AF⊥MN，NF⊥AM，可得m的值．
【详解】
（1）因为动点P（x，y）满足PA，PB的斜率之积为，
所以（x≠0），
整理可得1，
所以动点P的轨迹C的方程：1（x≠0）；
（2）由（1）可得右焦点F（2，0），可得kAF1，
因为F为垂心，
所以直线MN的斜率为1，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
联立直线l与椭圆的方程：，整理得：3x2+4mx+2m2﹣8＝0，
△＝16m2﹣4×3×（2m2﹣8）＞0，即m2＜12，
x1+x2，x1x2，
因为AM⊥NF，
所以kAMkNF＝﹣1，即1，
整理可得y2（y1﹣2）+x1（x2﹣2）＝0，
即y1y2+x1x2﹣2x1﹣2y2＝0，
即y1y2+x1x2﹣2x1﹣2（x2+m）＝0，
整理可得y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）﹣2m＝0，
而y1y2＝（x1+m）（x2+m）＝x1x2+m（x1+x2）+m2
所以22m0，
解得m或m＝2（舍），
所以直线l的方程为：y＝x．
【点睛】
本题主要考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系以及垂心的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
21．（1）详见解析；（2）（﹣∞，0]．
【解析】
【分析】
（1）求导，结合基本不等式可得≤0在（0，π）上恒成立，由此即可得证；
（2）当m≤0时，由（1）在上成立；当m＞0时，利用导数可推导存在，使得与矛盾，综合即可得出结论．
【详解】
（1）因为，
则，当且仅当sinx＝1时取等号，
故函数在（0，π）上是减函数；
（2）因为，当m≤0时，由（1）知，成立；
当m＞0时，令，＝﹣sinx+1＞0，
∴在上单调递增，
∴，即，
∴，
令，
则，
，
令＝2mcos2x﹣x，＝﹣4mcosxsinx﹣1＜0，
∴在上单调递减，
则在上递增，
∵，
∴存在，使得q（t）＝0，即时，＞＝0，
∴＞0，则在递增，故，
∴存在，使得与矛盾，
∴实数m的取值范围为（﹣∞，0]．
【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式恒成立问题以及基本不等式，放缩法的应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.
22．（1）；（2）2．
【解析】
【分析】
（1）直接利用转换关系，将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程，得到曲线C与极轴所在直线围成的图形是一个半径为2的圆周及一个两直角边分别为2与2的直角三角形，即可求得面积.
（2）联立方程组，分别求出A和B的坐标，再利用两点间的距离公式求出结果．
【详解】
（1）因为曲线C的极坐标方程为，
所以当 时，，
当 时，x，
所以曲线C与极轴所在直线围成的图形是一个半径为2的圆周及一个两直角边分别为2与2的直角三角形，
如图所示：

所以．
（2）因为曲线C与曲线ρsinθ＝1交于A，B，
由，得A（2，），转换为直角坐标为A（）．
极坐标方程ρsinθ＝1转换为直角坐标方程为y＝1，
极坐标方程转换为直角坐标方程为x，
所以B（），
所以|AB|＝．
【点睛】
本题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程以及联立方程组求交点坐标，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
23．（1）1；（2）（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．
【解析】
【分析】
（1）由均值不等式及其变形，可得到两数的平方和不小于两数和平方的一半，对运用刚得到的基本不等式的变形性质，结合已知进行求解即可；
（2）由均值不等式和绝对值不等式得x2+2y2+3z2＝（x2+z2）+2（y2+z2）≥2|xz|+4|yz|≥2|xz+2yz|＝2|z（x+2y）|＝|m|，进而得到关于m的不等式，解出即可．
【详解】
（1）∵a2+b2≥2ab，
∴2（a2+b2）≥（a+b）2，即a2+b2（a+b）2，
∴x2+4y2z2（x+2y）2z2•2|（x+2y）z|＝1，
当且仅当x＝2y，x+2y＝z时，即x＝2yz，等号成立，
∴x2+4y2z2的最小值是1．
（2）∵m2﹣8＝x2+2y2+3z2＝（x2+z2）+2（y2+z2）≥2|xz|+4|yz|，（当且仅当|x|＝|y|＝|z|时等号成立），
又2|xz|+4|yz|≥2|xz+2yz|＝2|z（x+2y）|＝|m|，（当且仅当xz与yz非异号时等号成立）．
∴m2﹣8≥2|m|，即m2﹣2|m|﹣8≥0，
解得|m|≥4，即m≥4或m≤﹣4，
所以m的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．
【点睛】
本题主要考查基本不等式、绝对值三角不等式的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了转化运算求解问题的能力，属于中档题.