2020届广东省湛江高三一模数学试卷及答案

这是一份2020届广东省湛江高三一模数学试卷及答案，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020届广东省湛江高三一模数学试卷及答案 一、单选题1．设集合，，则（       ）A． B． C． D．2．已知复数满足（是虚数单位），则的最大值为（       ）A．2 B．3 C．4 D．53．已知，，，则，，的大小关系是（       ）．A． B． C． D．4．已知直线，平面，则是的 （       ）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知，，则向量在方向上的投影为（       ）．A． B． C． D．6．已知，，则（       ）A． B． C． D．7．已知函数，若在为增函数，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．8．“岂曰无衣，与子同袍”，“山川异域，风月同天”．自新冠肺炎疫情爆发以来，全国各省争相施援湖北．截至3月初，山西省共派出13批抗疫医疗队前往湖北，支援抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情．某医院组建的由7位专家组成的医疗队，按照3人、2人、2人分成了三个小组，负责三个不同病房的医疗工作，则不同的安排方案共有（       ）A．105种 B．210种 C．630种 D．1260种9．点的坐标满足直线经过点，则实数的最大值为（       ）A． B． C． D．10．如图，，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左、右两支分别交于点，．若，为的中点，且，则双曲线的离心率为（       ）．A． B． C． D．211．在三棱柱中，平面，，则三棱柱的外接球的体积与三棱柱的体积之比为（       ）A． B． C． D．12．已知函数的图象与轴的两个相邻交点的横坐标为，下面4个有关函数的结论：①函数的图象关于原点对称；②在区间上，的最大值为；③是的一条对称轴；④将的图象向左平移个单位，得到的图象，若为两个函数图象的交点，则面积的最小值为．其中正确的结论个数为（       ）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题13．一组样本数据10，23，12，5，9，，21，，22的平均数为16，中位数为21，则________．14．2019国际乒联世界巡回赛男子单打决赛在甲、乙两位选手间进行，比赛实行七局四胜制（先获得四局胜利的选手获胜），已知每局比赛甲选手获胜的概率是，且前五局比赛甲领先，则甲获得冠军的概率是______．15．已知分别为三个内角的对边，，且．若分别为边的中点，且为的重心，则面积的最大值为______．16．在平面直角坐标系中，为坐标原点，是抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，若，则的面积为________．三、解答题17．已知为数列的前项和，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和．18．如图1，在中，，，为的中点，将沿折起，得到如图2所示的三棱锥，二面角为直二面角．   （1）求证：平面平面；（2）设分别为的中点，求二面角的余弦值．19．我国全面二孩政策已于2016年1月1日起正式实施．国家统计局发布的数据显示，从2012年到2017年，中国的人口自然增长率变化始终不大，在5‰上下波动（如图）．       为了了解年龄介于24岁至50岁之间的适孕夫妻对生育二孩的态度如何，统计部门按年龄分为9组，每组选取150对夫妻进行调查统计有生育二孩意愿的夫妻数，得到下表：年龄区间有意愿数808187868483837066 （1）设每个年龄区间的中间值为，有意愿数为，求样本数据的线性回归直线方程，并求该模型的相关系数（结果保留两位小数）；（2）从，，，，这五个年龄段中各选出一对夫妻（能代表该年龄段超过半数夫妻的意愿）进一步调研，再从这5对夫妻中任选2对夫妻．求其中恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的概率．（参考数据和公式：，，，，，）20．已知原点到动直线的距离为2，点到，的距离分别与到直线的距离相等．（1）证明为定值，并求点的轨迹方程；（2）是否存在过点的直线，与点的轨迹交于两点，为线段的中点，且？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数．（1）设，当时，求函数的单调减区间及极大值；（2）设函数有两个极值点，①求实数的取值范围；②求证：．22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程及直线的普通方程；（2）设直线与曲线交于，两点（点在点左边）与直线交于点．求和的值．23．已知函数．（1）若，解不等式；（2）若对任意，求证：．
参考答案：1．D【解析】解出集合，再求出，根据交集定义即可求得.【详解】由，解得或，或．由，解得，．．．故选：D．【点睛】本题主要考查的是集合的交集，补集的运算，以及分式、绝对值不等式，以及对数不等式的求解，是基础题.2．B【解析】由复数的几何意义可知对应的轨迹，从而得到的最大值.【详解】由复数的模的几何意义可知，复数在复平面内对应的点的轨迹为：以为圆心，以2为半径的圆的内部（包括圆周）．而表示点到点的距离，所以当点为时，最大，故的最大值是.故选：B．【点睛】本题主要考查的是复数模的求法，考查了复数模的几何意义，体现了数形结合的解题思想方法，是基础题.3．C【解析】由对数运算，指数运算，即可容易判断.【详解】∵，，，∴．∵，∴．故选：C．【点睛】本题考查指数运算和对数运算，属综合基础题。4．B【解析】【分析】根据面面平行的判定和性质可得选项.【详解】因为直线，平面，由得平行或相交；由得，所以是的必要但不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查面面平行的判定和性质，以及充分必要条件的判断，属于基础题.5．D【解析】求得的坐标，利用向量的坐标即可求得结果.【详解】∵，，∴．∴，．∴向量在方向上的投影为．故选：D．【点睛】本题考查向量的坐标运算，涉及数量积的坐标运算，属综合基础题.6．D【解析】根据已知条件以及，解得，再利用二倍角公式即可化简求得结果.【详解】，且，，解得．又，．，，．故选：D．【点睛】本题主要考查的是同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，是基础题.7．C【解析】根据复合函数的单调性可知在在上为增函数，且，从而列出不等式组，即可得实数的取值范围.【详解】在上为增函数，且函数在上为增函数，在上为增函数，且．当时，在上为减函数，不符合题意，故.当时，，解得．故选：C．【点睛】本题主要考查的是对数函数，二次函数的单调性以及复合函数单调性的判断方法，要注意先考虑函数的定义域，是中档题.8．C【解析】利用分步计数原理，先将7人按照3人、2人、2人分成了三个小组，再安排到不同的病房，【详解】7人分成三个小组并安排到不同病房工作，有种方法.故选：C．【点睛】本题主要考查的是分步计数原理的应用，以及平均分组的问题，考查学生的分析问题解决问题的能力，是中档题.9．B【解析】作出不等式组对应平面区域，利用实数的几何意义即可得到实数的最大值.【详解】根据线性约束条件画出可行域，得到如图所示的三角形区域．直线的方程可化为，当直线在轴上的截距最小时，实数取得最大值．在图中作出直线并平移，使它与图中的阴影区域有公共点，且在轴上的截距最小．由图可知，当直线过点时，截距最小．由，求得，代入到中，解得，即．故选：B．【点睛】本题主要考查的是线性规划的应用，解题的关键是画出不等式组对应可行域，以及实数的几何意义，是基础题.10．A【解析】根据双曲线的定义，结合几何关系，用表示出三角形的三条边，由余弦定理即可求得结果.【详解】连接，，设，则由已知可得．∵，为双曲线上的点，∴，．∵为的中点，且，∴．∴．∴．∴，，．∵在直角中，．∴．∴．∴．故选：A．【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及双曲线的定义，属中档题.11．C【解析】根据题意求出三棱柱的外接球半径，从而得出球的体积，再求出三棱柱的体积，即可得出它们的比.【详解】如图，为三棱柱上、下底面的中心，为的中点，连接，则为三棱柱外接球的球心，为外接球半径．在直角中，易求得，，．．又，．故选：C．【点睛】本题主要考查的是空间几何体的结构和空间几何体的体积，解题的关键是根据外接球性质找到外接球的球心，是中档题.12．B【解析】根据题意求出函数的表达式，再根据选项要求一一判断即可.【详解】，．将代入，得．又，．．不是奇函数．的图象不关于原点对称，①错；当时，，由的单调性可知：，即的最大值为，②对；由，得的对称轴方程为，不是的对称轴，③错；，由，得，，相邻两个交点的横坐标之差为，将代入，得到交点的纵坐标为，面积的最小值为，④对．故选：B．【点睛】本题主要考查的是三角函数模型的性质和应用，以及三角函数图像平移问题，解题的关键是熟练掌握三角函数模型的性质，是中档题.13．0【解析】由平均数的求解，即可求得的关系式，根据中位数的大小，即可容易求得，则问题得解.【详解】∵数据的平均数为16，∴．∴．∵，且数据的中位数为21，∴，．∴．∴．故答案为：.【点睛】本题考查一组数据的平均数和中位数的求解，属基础题.14．【解析】根据题意甲要获得冠军，则甲要么以夺冠，要么以夺冠，分别求出，即可得甲获得冠军的概率.【详解】每局比赛甲选手获胜的概率是，且前五局比赛甲领先，甲以夺冠的概率为，甲以夺冠的概率为．甲最终夺冠的概率为．故答案为：.【点睛】本题主要考查的是相互独立事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，是基础题.15．【解析】利用正弦定理，余弦定理求得，可得面积的最大值，再根据题意及平面几何知识可得，从而得到面积的最大值.【详解】由，根据正弦定理，可得，．由余弦定理可知，，分别为边的中点，且为的重心，由平面几何知识可知，．面积的最大值为．故答案为：.【点睛】本题主要考查的是解三角形中的正余弦定理，三角形面积公式，牢记三角形面积公式以及在实际中的应用，是中档题.16．【解析】根据题意，设出直线的方程，联立抛物线方程，由焦点弦公式即可容易求得，结合点到直线的距离公式，即可容易求得结果.【详解】由已知，不妨设，，，．若直线斜率不存在，，与已知矛盾；则直线斜率存在，设，与抛物线联立，得，则，．由抛物线的定义，焦点弦长．∴，∴点到直线的距离为，∴．故答案为：.【点睛】本题考查由抛物线焦点弦求直线方程，以及求抛物线中三角形面积，属中档题.17．（1）．（2）【解析】（1）根据，，，求得；（2）由（1）可得，再利用错位相减法求得数列的前项和．【详解】（1），．．数列是以为首项，以为公比的等比数列．．（2），．．①．②，得．【点睛】本题主要考查的是数列通项公式的求法以及数列求和的常用方法，错位相减法求和的方法的应用，考查学生的分析和计算能力，是中档题.18．（1）见解析（2）【解析】（1）通过计算证明出二面角为直二面角，即可证明平面平面；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求平面的法向量和平面的法向量，利用向量数量积可得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：在中，，为的中点，．又，．．，．二面角为直二面角，平面平面．平面．又平面，平面平面．（2）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．可求得，，，．分别为的中点，，．，，设平面的法向量为，由得令，则．设平面的法向量为，由得令，则．，二面角的余弦值为．【点睛】本题主要考查的是面面垂直的判定，利用向量法求二面角的余弦值，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，考查学生的计算能力，是中档题.19．（1）．-0.63（2）【解析】（1）根据题意，结合参考数据和公式，代值计算即可求得结果；（2）列举出所有选取的结果，找出满足题意的选取结果，根据古典概型的概率计算公式即可求得.【详解】解：（1）由题意可求得：，，，，，∴．又∵，，∴．∴．∴．∴回归直线方程为．∴． （2）由题意可知，在，，年龄段中，超过半数的夫要有生育二孩意愿，在，年龄段中，超过半数的夫妻没有生育二孩意愿．设从，，年龄段中选出的夫妻分别为，，，从，年龄段中选出的夫妻分别为，． 则从中选出2对夫妻的所有可能结果为，，，，，，，，，，共10种情况．其中恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的情况有，，，，，，共6种． ∴恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的概率．【点睛】本题考查线性回归方程、回归系数的计算，涉及古典概型的概率求解，计算量相对较大，需认真计算即可.20．（1）见解析，．（2）见解析，或．【解析】（1）根据题意易证为定值，由，判定的轨迹为中心在原点，以为焦点的椭圆，根据椭圆定义可得椭圆方程；（2）根据题意知直线的斜率存在，设出直线方程，与椭圆联立，由得出的取值范围，再由推得，有韦达定理即可得出直线的方程.【详解】（1）设点到直线的距离分别为．由已知，，，又为的中点，．由椭圆定义可知，点的轨迹为中心在原点，以为焦点的椭圆．，．．点的轨迹方程为．（2）假设直线存在，当的斜率不存在时，显然不成立设，，．由得，或．，．，．．．．解得或．，且，存在直线满足条件，直线的方程为或，即或．【点睛】本题主要考查的是椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，直线与椭圆联立，利用韦达定理是解题的关键，是中档题.21．（1）单调减区间为，，．（2）①．②见解析【解析】（1）求出函数，再求出其导函数，令，解出，根据单调性和极值求法即可求解.（2）①函数有两个极值点，即方程有两个不等实根．分离参数，转化成图像有两个交点，利用导数判定函数的单调性，即可得到实数的取值范围；②不妨设，由①知，且有，可得，将可化．再构造函数，利用导数证出，即可证明.【详解】（1），．当时，．令，解得，当时，，为单调减函数；当时，，为单调增函数；当时，，为单调减函数，函数的单调减区间为，，．（2）①函数有两个极值点，方程有两个不等实根．由，显然时方程无根，．设，则．令，得．当时，，为单调递增函数；当时，，为单调递减函数．且当时，；当时，，．．实数的取值范围是．②证明：不妨设，由①知，且有可化为．又．即证，即证，即．设，即证当时成立．设，，在上为增函数．，即成立．成立．【点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、函数极值点问题，构造函数是解决本题的关键考查考生的分类讨论思想、等价转化能力、数学计算能力，是难题.22．（1），．（2），．【解析】（1）利用公式和正弦的和角公式，将极坐标方程即可转化为直角坐标方程；消去参数，则参数方程即可转化为普通方程；（2）设出的极坐标点，联立与曲线的极坐标方程，即可求极坐标系下两点之间的距离.【详解】解：（1）∵，又∵，，∴曲线的直角坐标方程为 ∵（为参数），消去，得．∴直线的普通方程为． （2）设点，，．∵曲线的极坐标方程为，将代入，．∴，．∵直线的极坐标方程为，∴，解得．∴，．【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程之间的相互转化，涉及极坐标系下求两点之间的距离，属综合中档题.23．（1）（2）证明见详解.【解析】（1）分类讨论，即可求得不等式的解集；（2）使用两次绝对值三角不等式，即可容易证明.【详解】（1）解：∵，∴．∴或或，解得或或．∴不等式的解集为． （2）证明：∵，又∵，∴．∴成立．【点睛】本题考查利用分类讨论求绝对值不等式的解集，以及利用绝对值三角不等式证明不等式，属综合基础题.