2021届山东省日照高三二模数学试卷及答案

这是一份2021届山东省日照高三二模数学试卷及答案，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021届山东省日照高三二模数学试卷及答案
一、单选题
1．已知集合则（       ）
A． B． C． D．
2．已知i为虚数单位，复数，则z在复平面内对应的点位于（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知，，当时，向量与的夹角为（       ）
A． B． C． D．
4．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，则侧棱与底面内切圆半径的比为（ ）

A． B． C． D．
5．已知数列是等比数列，是其前项之积，若，则的值是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若实数满足条件，则的范围是（       ）
A． B． C． D．
7．地铁某换乘站设有编号为m1，m2，m3，m4的四个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：
安全出口编号
m1，m2
m2，m3
m3，m4
m1，m3
疏散乘客时间（s）
120
140
190
160

则疏散乘客用时最短的安全出口编号是（       ）A．m1 B．m2 C．m3 D．m4
8．已知函数是定义域为R的偶函数，且是奇函数，当时，有，若函数的零点个数为5，则实数k取值范围是（       ）
A． B．
C．或 D．或
二、多选题
9．已知曲线C的方程为，则（       ）
A．当时，曲线C为圆
B．当时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为
C．当时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆
D．存在实数使得曲线C为双曲线，其离心率为
10．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例：

用该样本估计总体，以下四个选项正确的是（       ）
A．54周岁以上参保人数最少 B．18～29周岁人群参保总费用最少
C．丁险种更受参保人青睐 D．30周岁以上的人群约占参保人群
11．已知棱长为1的正方体，过对角线作平面交棱于点E，交棱于点F，以下结论正确的是（       ）
A．四边形不一定是平行四边形
B．平面分正方体所得两部分的体积相等
C．平面与平面可以垂直
D．四边形面积的最大值为
12．若实数，则下列不等式中一定成立的是（       ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
13．某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名参加一个机器人大赛，则选出的人员中恰好有一名女生的选法有________种．
14．若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是________．
15．球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．如图，A，B，C是球面上不在同一大圆上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为，由这三条劣弧组成的图形称为球面．已知地球半径为R，北极为点N，P，Q是地球表面上的两点．若P，Q在赤道上，且经度分别为东经和东经，则球面的面积为__________．

16．如图，已知水平地面上有一半径为3的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，．若光线与地面所成角为，椭圆的离心率__________．

四、解答题
17．在中，分别为内角A，B，C的对边，且．
（1）求C的大小；
（2）若，求的面积．
18．已知正项数列，其前项和为．
（1）求数列的通项公式：
（2）设，求数列的前项和．
19．如图，在三棱锥中，，．

（1）证明：；
（2）有三个条件；
①；
②直线与平面所成的角为；
③二面角的余弦值为．
请你从中选择一个作为条件，求直线与平面所成的角的正弦值．
20．近年来，随着猪肉价格的上涨，作为饲料原材料之一的玉米，价格也出现了波动．为保证玉米销售市场稳定，相关部门某年9月份开始采取宏观调控措施．该部门调查研究发现，这一年某地各月份玉米的销售均价（元／斤）走势如图所示：

（1）该部门发现，3月到7月，各月玉米销售均价y（元／斤）与月份x之间具有较强的线性相关关系，试建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01），若不调控，依据相关关系预测12月份玉米的销售均价；
（2）该部门在这一年的12个月份中，随机抽取3个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X，求X的分布列和数学期望．
参考数据：．
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
21．已知抛物线，过抛物线E上一点作直线交抛物线于A，B两点，交轴于D，F两点，且．
（1）求E的方程：
（2）求的面积，并判断是否存在最大值，若存在请求出最大值，不存在请说明理由．
22．已知，其中且．
（1）若，曲线在点处的切线为，求直线斜率的取值范围：
（2）若在区间有唯一极值点，
①求的取值范围；
②用表示的最小值．证明：．

参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
解出集合B的解集，按照交集定义求得交集即可.
【详解】
，则
故选：C
2．B
【解析】
根据三角函数的诱导公式，求得复数，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】
由
即复数，
所以复数对应的点为位于第二象限.
故选：B
3．B
【解析】
【分析】
根据题意，设向量与的夹角为，由数量积的计算公式可得，变形可得的值，结合的范围分析可得答案．
【详解】
根据题意，设向量与的夹角为，
若，则，
变形可得：，
又由，则，
故选：B．
4．A
【解析】
首先画出正六棱锥的底面和侧面，利用几何图形中边长的关系，求侧棱与底面内切圆半径的比.
【详解】
如图，正六边形时正六棱锥的底面，等腰三角形是正六棱在的侧面，设侧棱，底面边长，底面内切圆半径，,
则是等边三角形，，侧面中，，
，即.

故选：A
5．A
【解析】
【分析】
先设等比数列的公比为，根据题意，得到，再由等比数列的性质，即可求出结果.
【详解】
因为数列是等比数列，设公比为，
由得，即，即，
由等比数列的性质可得，
.
故选：A
6．D
【解析】
【分析】
的几何意义即圆上的点到定点的斜率，求得斜率取值范围即可.
【详解】
的几何意义即圆上的点到定点的斜率，由图知，斜率的范围处在圆的两条切线斜率之间，其中AC斜率不存在，设AB的斜率为k，

则AB的方程为，
由切线性质有，，解得，故的取值范围为，
故选：D
【点睛】
方法点睛：根据的几何意义即点到的斜率，从而转化为斜率范围进行求解.
7．B
【解析】
【分析】
由题意可得同时开放，两个安全出口和同时开放，两个安全出口所用时间比较可得比快，若同时开放，两个安全出口和同时开放，两个安全出口的用时间比较可得比快，若同时开放，两个安全出口和同时开放，两个安全出口所用时间比较可得比快，从而可得结论
【详解】
同时开放，两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为120（），同时开放，两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为140（），得比快；
同时开放，两个安全出口，疏1000名乘客需要时间为190（），同时开放，两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为160（），得比快，
同时开放，两个安全出口，疏1000名乘客需要时间为140（），同时开放，两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为160（），得比快，
综上所述：疏散乘客用时最短的一个安全出口的编号是，
故选：B
8．C
【解析】
【分析】
依据题干可知函数的周期为4，数形结合结合进行判断即可.
【详解】
∵偶函数，∴，
是奇函数，得，
即，，得
函数的零点个数
即方程根的个数
即与的图像交点的个数，
因为的图像为半圆，因为
如图所示：

故由图像可知斜率k应该在与之间或为，
点到直线的距离为1，故（舍）
点到直线的距离为1，故（舍）
点到直线的距离为1，故（舍）
所以或，
故选：C．
【点睛】
关键点点睛：本题画出图象是是解题的关键同时找到直线与曲线交点个数的零界情况.
9．AB
【解析】
【分析】
满足选项A，B，C，D的条件，逐一分析曲线C的方程并判断得解.
【详解】
对于A选项：m=1时，方程为，即，曲线C是圆，A正确；
对于B选项：m=5时，方程为，曲线C为双曲线，其渐近线方程为，B正确；
对于C选项：m>1时，不妨令m=5，由选项B知，曲线C为双曲线，C不正确；
对于D选项：要曲线C为双曲线，必有，即m<-1或m>3，
m<-1时，曲线C：，m>3时，曲线C：，
因双曲线离心率为时，它实半轴长与虚半轴长相等，而-(m+1)≠3-m，m+1≠m-3，D不正确.
故选：AB
10．AC
【解析】
【分析】
根据选项逐一对相应的统计图进行分析判断即可.
【详解】
解：对A：由扇形图可知，54周岁以上参保人数最少，故选项A正确；
对B：由折线图可知，18～29周岁人群人均参保费用最少，但是由扇形图知参保人数并不是最少的，所以参保总费用不是最少，故选项B错误；
对C：由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故选项C正确；
对D：由扇形图可知，30周岁以上的人群约占参保人群，故选项D错误.
故选：AC.
11．BCD
【解析】
【分析】
利用平行平面的性质可判断A错误；利用正方体的对称性可判断B正确；当E、F为棱中点时，由线面垂直可得面面垂直，从而判断C正确；当E与A重合，F与重合时，四边形的面积有最大值，可判断D正确.
【详解】
解：对于选项A，因为平面，平面平面
，平面平面，
所以，同理可证，所以四边形是平行四边形，故A错误；
对于选项B，由正方体的对称性可知，平面分正方体所得两部分的体积相等，故B正确；
对于选项C，在正方体中，有，
又，所以平面，当E、F分别为棱的中点时，
有，则平面，又因为平面，
所以平面平面，故C正确；
对于选项D，四边形在平面内的投影是正方形，
当E与A重合，F与重合时，四边形的面积有最大值，
此时，故D正确；
故选：BCD．
【点睛】
关键点点睛：根据正方体的特殊几何性质，结合直线与平面、平面与平面的平行垂直判定与性质定理求解.
12．ABD
【解析】
【分析】
构造函数，利用导数可确定的单调性，根据单调性可依次判断出ABC的正误；构造函数，利用导数可确定单调性，根据单调性可确定D正确.
【详解】
对于A，设，则，
当时，恒成立，在上单调递减，
，，，即，
，A正确；
对于B，由A知，在上恒成立，在上单调递减，
，，，即，
，即，
，B正确；
对于C，若，则，即；
由A知，当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，若，此时与大小关系不确定，即与大小关系不确定，C错误；
对于D，设，则；
令，则，
当时，，即在上单调递增，
当时，，此时，在上单调递减，
，，，即，
，D正确.
故选：ABD.
13．6
【解析】
【分析】
根据组合知识直接计算.
【详解】
选出的人员中恰好有一名女生的选法有种
故答案为：6
14．
【解析】
【分析】
计算不等式，然后得出且等号不能同时取得，计算即可.
【详解】
由得，
因为是不等式成立的充分不必要条件，
∴满足且等号不能同时取得，即，解得．
故答案为：
15．
【解析】
【分析】
PQ在赤道上，且经度分别为东经20°和东经60°，则相差40°，由球面三角形的定义可知，球面三角形NPQ占整个上半球比例为，从而求得球面三角形NPQ的面积.
【详解】
因为PQ在赤道上，且经度分别为东经和东经，
上半球面面积为，球面的面积为；
故答案为：
16．
【解析】
【分析】
根据平行投影计算出椭圆C的短半轴长b，再求出光线与水平面所成锐角的正弦，进而求得椭圆C的长轴长2a而得解.
【详解】
连接，则，因为，如图：

所以，所以
在照射过程中，椭圆的短半轴长b是球的半径R，即，
过球心与椭圆长轴所在直线确定的平面截球面所得大圆及对应光线，如图：

椭圆的长轴长是，过A向做垂线，垂足是B，则，
由题意得：，又，
则，，即，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：
17．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）先利用正弦定理将转化为，再利用两角和的正弦公式化简可求得答案；
（2）由余弦定理结合已知条件可求出，，然后利用三角形的面积公式可求得结果
【详解】
解：（1）∵，
∴根据正弦定理可得，
，
∴，
∴．因为，
∴，又
∴．
（2）由余弦定理，得，
解得，由得
所以的面积
所以的面积．
18．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）Sn前后两项作差消去，求得an的前后两项关系，从而求得an的通项公式；
（2）由（1）求得bn，对n分奇数，偶数两种情况讨论，分组求和求得数列前n项和.
【详解】
解：（1）由已知，①
所以有，②
②-①，得，即，∴，
所以数列是公比为的等比数列．
又，∴．所以
（2）由（1）得，
当n为奇数时，


当n为偶数时，


综上所述，
【点睛】
方法点睛：（1）通过an+1=Sn+1-Sn得到an前后两项的关系，从而求得通项公式；
（2）对于含有(-1)n的问题可以讨论n的奇偶性，即可去掉该项，然后按照分组求和的方法求得数列前n项和.
19．（1）证明见解析；（2）选任何一个，结果均为．
【解析】
【分析】
（1）取中点，连接，证明平面，可证线线垂直；
（2）分析图形，在上取点，使得（即平面平面），这样以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求线面角的正弦值．不管选①②③中哪一个，都推导出．得出各点坐标，用向量法求解即可．
【详解】
（1）取中点，连接，则，
又，．，所以，
所以，所以，
，平面，所以平面，
又平面，所以；

（2）在上取点，使得，连接，由于与是平面内相交直线，所以平面，
以为轴建立空间直角坐标系，如图，
，，因此同理，
选①，，则是等边三角形，，，
则，，，，
，，，
设平面的一个法向量是，
则，取，则，即，
记直线与平面（即平面）所成的角为，
则．
选②，由平面得是（即）与平面所成的角，
所以，，
以下同选①；
选③，作，垂足为，连接，
由平面，平面，所以，
又，平面，而平面，所以，
所以是二面角即二面角的平面角，
已知即为，则，，
所以，
以下同选①．

【点睛】
方法点睛：本题考查证明线面垂直，考查求直线与平面所成的角，求线面角常用方法：
（1）定义法：作出直线与平面所成的角并证明，然后在直角三角形中计算可得；
（2）向量法：建立空间直角坐标系，由直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦的绝对值等于直线与平面所成角的正弦值计算．
20．（1），可预测第12月份玉米销售均价为1.47元/斤；（2）分布列见解析；期望为．
【解析】
【分析】
(1)由图写出3~7所对应均价，并算出它们的平均数，利用最小二乘法计算即可得解；
(2)写出随机变量X的所有可能值，并算出各值对应的概率，列出分布列算出期望得解.
【详解】
（1）由题意
月份x
3
4
5
6
7
均价y
0.95
0.98
1.11
1.12
1.20

计算可得：，
∴，
∴从3月到7月，y关于x的回归方程为，
当时，代入回归方程得，即可预测第12月份玉米销售均价为1.47元/斤；
（2）X的取值为1，2，3，
，，
，
X的分布列为
X
1
2
3
P




.
【点睛】
关键点睛：古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求概率的事件包含的基本事件数．
21．（1）；（2）(且)；不存在．
【解析】
【分析】
(1)将点代入抛物线E的方程即可得解；
(2)由题设条件可得直线AC斜率与直线BC斜率互为相反数，由此求得直线AB斜率，设出直线AB方程，由弦长公式及点到直线距离公式列式，求出的面积，再借助函数探讨最大值问题即可.
【详解】
（1）因为抛物线E过点，所以，所以，
所以E的方程，．
（2）因为，所以直线AC斜率与直线BC斜率满足，
设，则，，
，则有，
直线AB斜率；设直线的方程为：， 由消去x得：，
由题意易知，直线AB不过点C，即，
由根与系数的关系知：，
，
又因为点C到直线的距离，
的面积(且)，
设，，
时，，即，的面积不存在最大值.
【点睛】
结论点睛：直线l：y=kx+b上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离；
直线l：x=my+t上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离.
22．（1）；（2）①；②证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）由导数的几何意义知，直线斜率的取值范围即为的值域；
（2）①设，由题意有且只有一个变号零点，对分和讨论即可；
②由①知，利用诱导公式化简得，然后对分情况讨论并结合放缩法可证..
【详解】
解：（1）当时，
，
所以，
令，
当时，，当时，，
所以，直线l斜率的取值范围是．
（2）①设，则，

i）若，则在区间内，且使
，所以在内至少有两个变号零点，
即在区间内至少有两个极值点，故不满足题意．．
ii）时，令，得
令，解得：，故m只能取1，
令，解得：，此时n无解．
故，仅当时，，

因为，
当时，，
当时，，
所以在有唯一的极大值点．
综上，时，在区间有唯一极大值点．
②证明：由①知，，
此时，
a）当时，即时，由不等式：时，
知得
所以，．
b）当时，即时，


综上，.
【点睛】
关键点点睛：（2）问中①的关键是利用三角恒等变换将化简为，然后对分：和讨论；
（2）问中②的关键是利用①知，从而求出，并化简得，然后分情况讨论并结合放缩法可证明.