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2022（南通、泰州、扬州、淮安、宿迁、徐州、连云港）七高三下学期二模试题数学含答案
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这是一份2022（南通、泰州、扬州、淮安、宿迁、徐州、连云港）七高三下学期二模试题数学含答案，共11页。
2022届高三年级模拟试卷
数 学
(满分：150分 考试时间：120分钟)
2022．3
一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集U＝{－3，－2，－1，1，2，3}，集合A＝{－1，1}，B＝{1，2，3}，则(∁UA)∩B＝( )
A. {1} B. {1，2} C. {2，3} D. {1，2，3}
2. 已知复数z满足z(1＋2i)＝i(1＋z)，则z＝( )
A. ＋i B. －i C. 1＋i D. 1－i
3. 已知|a|＝3，|b|＝2，(a＋2b)·(a－3b)＝－18，则a与b的夹角为( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
4. 时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关．研究表明，当气温上升到20℃时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28℃时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次．已知某景区一天内5～17时的气温T(单位：℃)与时间t(单位：h)近似满足关系式T＝20－10sin (t－)，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历(参考数据：sin ≈0.8)( )
A. 1.4 h B. 2.4 h C. 3.2 h D. 5.6 h
5. 设(1＋3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a5＝a6，则n＝( )
A. 6 B. 7 C. 10 D. 11
6. 已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“Sn＋S3n＞2S2n”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，B(9，6)，动点C在线段OB上，BD⊥y轴，CE⊥y轴，CF⊥BD，垂足分别是D，E，F，OF与CE相交于点P.已知点Q在点P的轨迹上，且∠OAQ＝120°，则AQ＝( )
A. 4 B. 2 C. D.
8. 已知f(x)是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1)f(x).若g(x＋1)是偶函数，则g(－0.5)＝( )
A. －3 B. －2 C. 2 D. 3
二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数为x0，若在这组数据中添加一个数据x0，得到一组新数据x0，x1，x2，…，xn，则( )
A. 这两组数据的平均数相同 B. 这两组数据的中位数相同
C. 这两组数据的标准差相同 D. 这两组数据的极差相同
10. 若a＞b＞0＞c，则( )
A. ＞ B. ＞
C. ac＞bc D. a－c＞2
11. 在正六棱锥PABCDEF中，已知底面边长为1，侧棱长为2，则下列说法正确的是( )
A. AB⊥PD
B. 共有4条棱所在的直线与AB是异面直线
C. 该正六棱锥的内切球的半径为
D. 该正六棱锥的外接球的表面积为
12. 已知直线y＝a与曲线y＝相交于A，B两点，与曲线y＝相交于B，C两点，若点A，B，C的横坐标分别为x1，x2，x3，则( )
A. x2＝aex2 B. x2＝ln x1 C. x3＝ex2 D. x1x3＝x
三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若tan θ＝3sin 2θ，θ为锐角，则cos 2θ＝________．
14. 设函数f(x)＝若f(f(a))＝4，则a＝________．
15. 已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)是双曲线右支上的两点，x1＋y1＝x2＋y2＝3.记△PQF1，△PQF2的周长分别为C1，C2，若C1－C2＝8，则双曲线的右顶点到直线PQ的距离为________．
16. 某同学的通用技术作品如图所示，该作品由两个相同的正四棱柱制作而成．已知正四棱柱的底面边长为3 cm，则这两个正四棱柱的公共部分构成的多面体的面数为________，体积为________cm3.(第一空2分，第二空3分)
四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin A＝2sin B.
(1) 若b＝2，c＝2，求角C的大小；
(2) 若点D在边AB上，且AD＝c，求证：CD平分∠ACB.
18.(本小题满分12分)
如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为2，∠A1AC＝60°，A1B＝.
(1) 求证：平面A1ACC1⊥平面ABC；
(2) 求二面角BA1B1C1的正弦值．
19. (本小题满分12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，an＋Sn＝－.
(1) 从下面两个结论中选择一个进行证明，并求数列{an}的通项公式；
① 数列{2nan}是等差数列；
② 数列是等比数列；
(注：如果选择多个方案进行解答，按第一个方案解答计分．)
(2) 记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
20.(本小题满分12分)
某地举行象棋比赛，淘汰赛阶段的比赛规则是：两人一组，先胜一局者进入复赛，败者淘汰．比赛双方首先进行一局慢棋比赛，若和棋，则加赛快棋；若连续两局快棋都是和棋，则再加赛一局超快棋，超快棋只有胜与负两种结果．在甲与乙的比赛中，甲慢棋比赛胜与和的概率分别为，，快棋比赛胜与和的概率均为，超快棋比赛胜的概率为，且各局比赛相互独立．
(1) 求甲恰好经过三局进入复赛的概率；
(2) 记淘汰赛阶段甲与乙比赛的局数为X，求X的概率分布列和数学期望．
21. (本小题满分12分)
已知曲线C由C1：＋＝1(a＞b＞0，x≥0)和C2：x2＋y2＝b2(x＜0)两部分组成，C1所在椭圆的离心率为，上、下顶点分别为B1，B2，右焦点为F，C2与x轴相交于点D，四边形B1FB2D的面积为＋1.
(1) 求a，b的值；
(2) 若直线l与C1相交于A，B两点，AB＝2，点P在C2上，求△PAB面积的最大值．
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝|ex－|－a ln x.
(1) 当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2) 若f(x)＞a，求实数a的取值范围．
2022届高三年级模拟试卷(南通等七市联考)
数学参考答案及评分标准
1. C 2. A 3. B 4. B 5. B 6. C 7. A 8. D 9. AD 10. ABD 11. BCD 12. ACD
13. － 14. ln 2 15. 16. 8 18
17. (1) 解：在△ABC中，由正弦定理，得＝，
因为sin A＝2sin B，所以a＝2b.(2分)
又b＝2，所以a＝4.
在△ABC中，由余弦定理，得cos C＝＝＝－.(4分)
因为C∈(0，π)，所以C＝.(5分)
(2) 证明：(证法1)在△ACD中，由正弦定理，得＝，
即＝ ①.
在△BCD中，同理可得＝ ②.(7分)
因为∠ADC＋∠BDC＝π，所以sin ∠ADC＝sin ∠BDC.
又a＝2b，由①②，得sin ∠ACD＝sin ∠BCD.(9分)
因为0＜∠ACD＋∠BCD＜π，
所以∠ACD＝∠BCD，即CD平分∠ACB.(10分)
(证法2)设△ACD，△BCD的面积分别为S1，S2，
因为AD＝c，所以S2＝2S1.(7分)
又S1＝b×CD×sin ∠ACD，S2＝a×CD×sin ∠BCD，
故a×CD×sin ∠BCD＝2×b×CD×sin ∠ACD，
所以sin ∠BCD＝sin ∠ACD.(9分)
因为0＜∠BCD＋∠ACD＜π，所以∠BCD＝∠ACD，即CD平分∠ACB.(10分)
18. (1) 证明：取AC的中点O，连接OA1，OB，A1C.
因为AA1＝AC＝2，∠A1AC＝60°，
所以△A1AC为正三角形，所以A1O⊥AC，且A1O＝.(2分)
在正三角形ABC中，
同理可得，BO⊥AC，且BO＝.
所以∠A1OB为二面角A1ACB的平面角．(4分)
又因为A1B＝，所以A1O2＋OB2＝A1B2，所以∠A1OB＝90°，
所以平面A1ACC1⊥平面ABC.(6分)
(2) 解：由(1)知，OA1⊥OB，OA1⊥OC，OC⊥OB.
以{OB，OC，OA1}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
则O(0，0，0)，B(，0，0)，A1(0，0，)，A(0，－1，0).
在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1＝＝(，1，0)，A1B＝(，0，－).
设平面BA1B1的法向量m＝(x，y，z)，
则令x＝1，得y＝－，z＝1，
所以平面BA1B1的一个法向量m＝(1，－，1).(8分)
又平面A1B1C1的一个法向量n＝(0，0，1)，(9分)
且cos 〈m，n〉＝＝＝.(10分)
设二面角BA1B1C1的大小为α，根据图形可知α为钝角，
所以sin α＝＝＝，
所以二面角BA1B1C1的正弦值为.(12分)
19．解：(1) 若选①：因为an＋Sn＝－，所以an＋1＋Sn＋1＝－，
所以(an＋1＋Sn＋1)－(an＋Sn)＝－－(－)，即2an＋1－an＝，(2分)
所以2n＋1an＋1－2nan＝1.
又当n＝1时，a1＋S1＝－，得a1＝－，2a1＝－1，
所以数列{2nan}是以－1为首项，1为公差的等差数列．(4分)
所以2nan＝－1＋(n－1)×1＝n－2，所以an＝.(6分)
若选②：因为an＋Sn＝－，所以an＋1＋Sn＋1＝－，
所以(an＋1＋Sn＋1)－(an＋Sn)＝－－(－)，即2an＋1－an＝，(2分)
所以an＋1＝an＋，所以an＋1－＝(an－).
又当n＝1时，a1＋S1＝－，得a1＝－，所以a1－＝－1，所以＝.
所以数列是以－1为首项，为公比的等比数列．(4分)
所以an－＝(－1)×()n－1＝－，所以an＝.(6分)
(2) (解法1)由(1)知Sn＝－－an＝－－＝－.(7分)
因为bn＝＝＝－.(10分)
所以数列{bn}的前n项和Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－＝－2.(12分)
(解法2)由(1)知Sn＝－－an＝－－＝－，(7分)
所以bn＝＝＝＝＝－.(10分)
所以数列{bn}的前n项和Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(－2)＋(－)＋…＋(－)＝－2.(12分)
20. 解：(1) 记“甲恰好经过三局进入复赛”为事件A，
则在甲与乙的比赛中，第一、二局为和棋，第三局甲胜，
所以P(A)＝××＝.(3分)
答：甲恰好经过三局进入复赛的概率为.(4分)
(2) 随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.(6分)
则P(X＝1)＝1－＝，P(X＝2)＝×(1－)＝，
P(X＝3)＝××(1－)＝，P(X＝4)＝××＝.(10分)
所以X的概率分布列为
X
1
2
3
4
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.(12分)
21. 解：(1) 如图，因为C2：x2＋y2＝b2(x＜0)与x轴相交于点D，所以D(－b，0).
设C1所在椭圆的右焦点为F(c，0)，所以c＝.
因为C1所在椭圆的离心率e＝，所以＝.
所以a＝2b，c＝b.(1分)
所以B1B2＝2b，FD＝b＋c.
所以四边形B1FB2D的面积S＝·B1B2·FD＝×2b(b＋c).(2分)
因为四边形B1FB2D的面积为＋1，所以b2＋bc＝＋1，
即(＋1)b2＝＋1，解得b＝1，所以a＝2，b＝1.(4分)
(2) 由(1)得曲线C1：＋y2＝1(x≥0).
当直线l斜率不存在时，
不妨设A(0，1)，B(0，－1)，此时△PAB的面积S≤1，
当且仅当P(－1，0)时等号成立．(5分)
当直线l斜率存在时，由C1的对称性，不妨设l的方程为y＝kx＋m(k≥0)，
由消去y，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≥0，x2≥0，
所以(6分)
所以m≤－1.
所以AB＝|x1－x2|＝＝＝.(7分)
又AB＝2，所以＝2，整理，得m2＝.(8分)
因为m≤－1，所以k2≥，m＝－·.
作斜率为k的直线l′与半圆C2相切，切点为P，此时△PAB的面积最大，
设直线l′的方程为y＝kx＋n(n＞0)，
因为＝1，所以n＝.(9分)
因为直线l′与直线AB距离d＝＝＝1＋·，
设t＝≥，则d＝1＋＝1＋≤1＋＝2.(11分)
所以△PAB面积的最大值为AB·dmax＝2，当且仅当t＝时等号成立，
此时直线AB的方程为y＝x－，点P(－，).
综上，△PAB的面积的最大值为2.(12分)
22. 解：(1) 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f(x)＝ex＋＋ln x，f′(x)＝ex－＋.(2分)
所以f(1)＝e＋1，f′(1)＝e.
所以所求的切线方程为y－(e＋1)＝e(x－1)，即ex－y＋1＝0.(4分)
(2) 当a≤0时，f(x)＝ex－－a ln x＝ex－a(＋ln x).
设h(x)＝＋ln x，则h′(x)＝.
令h′(x)＜0，得0＜x＜1，所以h(x)在(0，1)上是减函数；令h′(x)＞0，得x＞1，所以h(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以h(x)min＝h(1)＝1，h(x)≥1.
因为ex＞0，a≤0，所以f(x)＝ex－a(＋ln x)＞0，所以f(x)＞a，
所以a≤0符合题意．(7分)
当a＞0时，函数f(x)＝|ex－|－a ln x＝||－a ln x.
设g(x)＝xex－a(x≥0)，则g′(x)＝(x＋1)ex＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数．
因为g(0)＝－a＜0，g(a)＝a(ea－1)＞0，且函数g(x)在[0，＋∞)上的图象是不间断的，所以存在x0∈(0，a)，使得g(x0)＝x0ex0－a＝0，所以a＝x0ex0，
所以f(x)＝(9分)
① 当0＜x≤x0时，f(x)＝－ex－a ln x，所以f′(x)＝－－ex－＜0，
所以f(x)在(0，x0]上是减函数．
② 当x＞x0时，ex－＞0，所以f′(x)＝ex＋－＝(ex－)＋＞0，
所以f(x)在(x0，＋∞)上是增函数．
由①②，得f(x)min＝f(x0)＝－a ln x0，又f(x)＞a，所以－a ln x0＞a，
解得x0＜，所以0＜a＝x0ex0＜×e＝e－1.
综上，实数a的取值范围是(－∞，e－1).(12分)
2022届高三年级模拟试卷
数 学
(满分：150分 考试时间：120分钟)
2022．3
一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集U＝{－3，－2，－1，1，2，3}，集合A＝{－1，1}，B＝{1，2，3}，则(∁UA)∩B＝( )
A. {1} B. {1，2} C. {2，3} D. {1，2，3}
2. 已知复数z满足z(1＋2i)＝i(1＋z)，则z＝( )
A. ＋i B. －i C. 1＋i D. 1－i
3. 已知|a|＝3，|b|＝2，(a＋2b)·(a－3b)＝－18，则a与b的夹角为( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
4. 时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关．研究表明，当气温上升到20℃时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28℃时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次．已知某景区一天内5～17时的气温T(单位：℃)与时间t(单位：h)近似满足关系式T＝20－10sin (t－)，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历(参考数据：sin ≈0.8)( )
A. 1.4 h B. 2.4 h C. 3.2 h D. 5.6 h
5. 设(1＋3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a5＝a6，则n＝( )
A. 6 B. 7 C. 10 D. 11
6. 已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“Sn＋S3n＞2S2n”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，B(9，6)，动点C在线段OB上，BD⊥y轴，CE⊥y轴，CF⊥BD，垂足分别是D，E，F，OF与CE相交于点P.已知点Q在点P的轨迹上，且∠OAQ＝120°，则AQ＝( )
A. 4 B. 2 C. D.
8. 已知f(x)是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1)f(x).若g(x＋1)是偶函数，则g(－0.5)＝( )
A. －3 B. －2 C. 2 D. 3
二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数为x0，若在这组数据中添加一个数据x0，得到一组新数据x0，x1，x2，…，xn，则( )
A. 这两组数据的平均数相同 B. 这两组数据的中位数相同
C. 这两组数据的标准差相同 D. 这两组数据的极差相同
10. 若a＞b＞0＞c，则( )
A. ＞ B. ＞
C. ac＞bc D. a－c＞2
11. 在正六棱锥PABCDEF中，已知底面边长为1，侧棱长为2，则下列说法正确的是( )
A. AB⊥PD
B. 共有4条棱所在的直线与AB是异面直线
C. 该正六棱锥的内切球的半径为
D. 该正六棱锥的外接球的表面积为
12. 已知直线y＝a与曲线y＝相交于A，B两点，与曲线y＝相交于B，C两点，若点A，B，C的横坐标分别为x1，x2，x3，则( )
A. x2＝aex2 B. x2＝ln x1 C. x3＝ex2 D. x1x3＝x
三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若tan θ＝3sin 2θ，θ为锐角，则cos 2θ＝________．
14. 设函数f(x)＝若f(f(a))＝4，则a＝________．
15. 已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)是双曲线右支上的两点，x1＋y1＝x2＋y2＝3.记△PQF1，△PQF2的周长分别为C1，C2，若C1－C2＝8，则双曲线的右顶点到直线PQ的距离为________．
16. 某同学的通用技术作品如图所示，该作品由两个相同的正四棱柱制作而成．已知正四棱柱的底面边长为3 cm，则这两个正四棱柱的公共部分构成的多面体的面数为________，体积为________cm3.(第一空2分，第二空3分)
四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin A＝2sin B.
(1) 若b＝2，c＝2，求角C的大小；
(2) 若点D在边AB上，且AD＝c，求证：CD平分∠ACB.
18.(本小题满分12分)
如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为2，∠A1AC＝60°，A1B＝.
(1) 求证：平面A1ACC1⊥平面ABC；
(2) 求二面角BA1B1C1的正弦值．
19. (本小题满分12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，an＋Sn＝－.
(1) 从下面两个结论中选择一个进行证明，并求数列{an}的通项公式；
① 数列{2nan}是等差数列；
② 数列是等比数列；
(注：如果选择多个方案进行解答，按第一个方案解答计分．)
(2) 记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
20.(本小题满分12分)
某地举行象棋比赛，淘汰赛阶段的比赛规则是：两人一组，先胜一局者进入复赛，败者淘汰．比赛双方首先进行一局慢棋比赛，若和棋，则加赛快棋；若连续两局快棋都是和棋，则再加赛一局超快棋，超快棋只有胜与负两种结果．在甲与乙的比赛中，甲慢棋比赛胜与和的概率分别为，，快棋比赛胜与和的概率均为，超快棋比赛胜的概率为，且各局比赛相互独立．
(1) 求甲恰好经过三局进入复赛的概率；
(2) 记淘汰赛阶段甲与乙比赛的局数为X，求X的概率分布列和数学期望．
21. (本小题满分12分)
已知曲线C由C1：＋＝1(a＞b＞0，x≥0)和C2：x2＋y2＝b2(x＜0)两部分组成，C1所在椭圆的离心率为，上、下顶点分别为B1，B2，右焦点为F，C2与x轴相交于点D，四边形B1FB2D的面积为＋1.
(1) 求a，b的值；
(2) 若直线l与C1相交于A，B两点，AB＝2，点P在C2上，求△PAB面积的最大值．
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝|ex－|－a ln x.
(1) 当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2) 若f(x)＞a，求实数a的取值范围．
2022届高三年级模拟试卷(南通等七市联考)
数学参考答案及评分标准
1. C 2. A 3. B 4. B 5. B 6. C 7. A 8. D 9. AD 10. ABD 11. BCD 12. ACD
13. － 14. ln 2 15. 16. 8 18
17. (1) 解：在△ABC中，由正弦定理，得＝，
因为sin A＝2sin B，所以a＝2b.(2分)
又b＝2，所以a＝4.
在△ABC中，由余弦定理，得cos C＝＝＝－.(4分)
因为C∈(0，π)，所以C＝.(5分)
(2) 证明：(证法1)在△ACD中，由正弦定理，得＝，
即＝ ①.
在△BCD中，同理可得＝ ②.(7分)
因为∠ADC＋∠BDC＝π，所以sin ∠ADC＝sin ∠BDC.
又a＝2b，由①②，得sin ∠ACD＝sin ∠BCD.(9分)
因为0＜∠ACD＋∠BCD＜π，
所以∠ACD＝∠BCD，即CD平分∠ACB.(10分)
(证法2)设△ACD，△BCD的面积分别为S1，S2，
因为AD＝c，所以S2＝2S1.(7分)
又S1＝b×CD×sin ∠ACD，S2＝a×CD×sin ∠BCD，
故a×CD×sin ∠BCD＝2×b×CD×sin ∠ACD，
所以sin ∠BCD＝sin ∠ACD.(9分)
因为0＜∠BCD＋∠ACD＜π，所以∠BCD＝∠ACD，即CD平分∠ACB.(10分)
18. (1) 证明：取AC的中点O，连接OA1，OB，A1C.
因为AA1＝AC＝2，∠A1AC＝60°，
所以△A1AC为正三角形，所以A1O⊥AC，且A1O＝.(2分)
在正三角形ABC中，
同理可得，BO⊥AC，且BO＝.
所以∠A1OB为二面角A1ACB的平面角．(4分)
又因为A1B＝，所以A1O2＋OB2＝A1B2，所以∠A1OB＝90°，
所以平面A1ACC1⊥平面ABC.(6分)
(2) 解：由(1)知，OA1⊥OB，OA1⊥OC，OC⊥OB.
以{OB，OC，OA1}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
则O(0，0，0)，B(，0，0)，A1(0，0，)，A(0，－1，0).
在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1＝＝(，1，0)，A1B＝(，0，－).
设平面BA1B1的法向量m＝(x，y，z)，
则令x＝1，得y＝－，z＝1，
所以平面BA1B1的一个法向量m＝(1，－，1).(8分)
又平面A1B1C1的一个法向量n＝(0，0，1)，(9分)
且cos 〈m，n〉＝＝＝.(10分)
设二面角BA1B1C1的大小为α，根据图形可知α为钝角，
所以sin α＝＝＝，
所以二面角BA1B1C1的正弦值为.(12分)
19．解：(1) 若选①：因为an＋Sn＝－，所以an＋1＋Sn＋1＝－，
所以(an＋1＋Sn＋1)－(an＋Sn)＝－－(－)，即2an＋1－an＝，(2分)
所以2n＋1an＋1－2nan＝1.
又当n＝1时，a1＋S1＝－，得a1＝－，2a1＝－1，
所以数列{2nan}是以－1为首项，1为公差的等差数列．(4分)
所以2nan＝－1＋(n－1)×1＝n－2，所以an＝.(6分)
若选②：因为an＋Sn＝－，所以an＋1＋Sn＋1＝－，
所以(an＋1＋Sn＋1)－(an＋Sn)＝－－(－)，即2an＋1－an＝，(2分)
所以an＋1＝an＋，所以an＋1－＝(an－).
又当n＝1时，a1＋S1＝－，得a1＝－，所以a1－＝－1，所以＝.
所以数列是以－1为首项，为公比的等比数列．(4分)
所以an－＝(－1)×()n－1＝－，所以an＝.(6分)
(2) (解法1)由(1)知Sn＝－－an＝－－＝－.(7分)
因为bn＝＝＝－.(10分)
所以数列{bn}的前n项和Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－＝－2.(12分)
(解法2)由(1)知Sn＝－－an＝－－＝－，(7分)
所以bn＝＝＝＝＝－.(10分)
所以数列{bn}的前n项和Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(－2)＋(－)＋…＋(－)＝－2.(12分)
20. 解：(1) 记“甲恰好经过三局进入复赛”为事件A，
则在甲与乙的比赛中，第一、二局为和棋，第三局甲胜，
所以P(A)＝××＝.(3分)
答：甲恰好经过三局进入复赛的概率为.(4分)
(2) 随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.(6分)
则P(X＝1)＝1－＝，P(X＝2)＝×(1－)＝，
P(X＝3)＝××(1－)＝，P(X＝4)＝××＝.(10分)
所以X的概率分布列为
X
1
2
3
4
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.(12分)
21. 解：(1) 如图，因为C2：x2＋y2＝b2(x＜0)与x轴相交于点D，所以D(－b，0).
设C1所在椭圆的右焦点为F(c，0)，所以c＝.
因为C1所在椭圆的离心率e＝，所以＝.
所以a＝2b，c＝b.(1分)
所以B1B2＝2b，FD＝b＋c.
所以四边形B1FB2D的面积S＝·B1B2·FD＝×2b(b＋c).(2分)
因为四边形B1FB2D的面积为＋1，所以b2＋bc＝＋1，
即(＋1)b2＝＋1，解得b＝1，所以a＝2，b＝1.(4分)
(2) 由(1)得曲线C1：＋y2＝1(x≥0).
当直线l斜率不存在时，
不妨设A(0，1)，B(0，－1)，此时△PAB的面积S≤1，
当且仅当P(－1，0)时等号成立．(5分)
当直线l斜率存在时，由C1的对称性，不妨设l的方程为y＝kx＋m(k≥0)，
由消去y，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≥0，x2≥0，
所以(6分)
所以m≤－1.
所以AB＝|x1－x2|＝＝＝.(7分)
又AB＝2，所以＝2，整理，得m2＝.(8分)
因为m≤－1，所以k2≥，m＝－·.
作斜率为k的直线l′与半圆C2相切，切点为P，此时△PAB的面积最大，
设直线l′的方程为y＝kx＋n(n＞0)，
因为＝1，所以n＝.(9分)
因为直线l′与直线AB距离d＝＝＝1＋·，
设t＝≥，则d＝1＋＝1＋≤1＋＝2.(11分)
所以△PAB面积的最大值为AB·dmax＝2，当且仅当t＝时等号成立，
此时直线AB的方程为y＝x－，点P(－，).
综上，△PAB的面积的最大值为2.(12分)
22. 解：(1) 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f(x)＝ex＋＋ln x，f′(x)＝ex－＋.(2分)
所以f(1)＝e＋1，f′(1)＝e.
所以所求的切线方程为y－(e＋1)＝e(x－1)，即ex－y＋1＝0.(4分)
(2) 当a≤0时，f(x)＝ex－－a ln x＝ex－a(＋ln x).
设h(x)＝＋ln x，则h′(x)＝.
令h′(x)＜0，得0＜x＜1，所以h(x)在(0，1)上是减函数；令h′(x)＞0，得x＞1，所以h(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以h(x)min＝h(1)＝1，h(x)≥1.
因为ex＞0，a≤0，所以f(x)＝ex－a(＋ln x)＞0，所以f(x)＞a，
所以a≤0符合题意．(7分)
当a＞0时，函数f(x)＝|ex－|－a ln x＝||－a ln x.
设g(x)＝xex－a(x≥0)，则g′(x)＝(x＋1)ex＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数．
因为g(0)＝－a＜0，g(a)＝a(ea－1)＞0，且函数g(x)在[0，＋∞)上的图象是不间断的，所以存在x0∈(0，a)，使得g(x0)＝x0ex0－a＝0，所以a＝x0ex0，
所以f(x)＝(9分)
① 当0＜x≤x0时，f(x)＝－ex－a ln x，所以f′(x)＝－－ex－＜0，
所以f(x)在(0，x0]上是减函数．
② 当x＞x0时，ex－＞0，所以f′(x)＝ex＋－＝(ex－)＋＞0，
所以f(x)在(x0，＋∞)上是增函数．
由①②，得f(x)min＝f(x0)＝－a ln x0，又f(x)＞a，所以－a ln x0＞a，
解得x0＜，所以0＜a＝x0ex0＜×e＝e－1.
综上，实数a的取值范围是(－∞，e－1).(12分)
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