2022宜春上高二中高一下学期第六次月考试题（3月）数学含解析

2024届高一年级第六次月考数学试卷

命题人：况玲     审题人：谭绍敏

一、单选题

1．（       ）

A． B． C． D．

2．下列四式不能化简为的是（       ）

A．    B．

C．    D．

3．已知角的终边经过点，且，则实数的a值是（       ）

A． B． C．或 D．1

4．函数在区间上的图象大致是（       ）

A．B．C． D．

5．为了得到的图象，只需把函数的图象（       ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

6．已知点在第一象限，则在内的的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

7．已知函数，则方程的根的个数是（       ）

A．4 B．5 C．6 D．7

8．已知函数，有三个不同的零点，，，且，则的范围为（       ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列说法错误的有（       ）

A．如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与或的方向相同

B．在中，必有

C．若，则，，一定为一个三角形的三个顶点

D．若，均为非零向量，则

10．设角，，为的三个内角，则无论三角形的形状如何变化，下列各式的值为常数的有（       ）

A． B．

C． D．

11．已知函数，若函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的结论中，正确的是（       ）

A．      B．

C．图象的对称中心为

D．在区间上单调递增

12．函数在内有唯一零点的充分条件是（       ）

A．的最小正周期为π B．在内单调

C．在内有且仅有一条对称轴 D．在内的值域为

三、填空题

13．设，且的终边与角的终边相同，则________．

14．下面几个命题：

①若，则；   ②若，则；

③若，则；   ④若向量满足，则．

其中正确命题的是________

15．已知扇形的半径为r，弧长为l，若其周长为6，当该扇形面积最大时，其圆心角为，则_________．

16．已知函数，且函数在区间上单调递减，则的最大值为___________.

四、解答题

17．已知是第三象限角，且．

（1）化简；

（2）若，求的值．

18．已知函数.

（1）求它的振幅、最小正周期、初相；

（2）画出函数在上的图象.

19．如图，已知函数，点A､分别是的图象与轴、轴的交点，分别是的图象上横坐标为、的两点，轴，且点A关于点的对称点恰为点.

（1）求函数的解析式；

（2）若，，求；

（3）若关于的函数在区间上恰好有一个零点，求实数的取值范围.

20．一个半径为2米的水轮如图所示，其圆心O距离水面1米，已知水轮按逆时针匀速转动，每4秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．

（1）以过点O且与水面垂直的直线为y轴，过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；

（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过2米？

21．已知点，是函数图象上的任意两点，且角的终边经过点，若时，的最小值为．

(1)求函数的解析式；

(2)若方程在内有两个不同的解，求实数的取值范围．

22．已知函数．

(1)若，，求的对称中心；

(2)已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值；

(3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围．

2024届高一年级第六次月考数学试卷答题卡

一、单选题（每小题5分，共40分）

二、多选题（每小题5分，多选或错选不给分，漏选得2分）

三、填空题（每小题5分，共20分）

13、                  14、              

15、                   16、              

三、解答题（17题10分，18-22题每小题12分）

17．（10分）

18.（12分）

19.（12分）

20.（12分）

21.（12分）

22.（12分）

2024届高一年级第六次月考数学试卷参考答案

1-8．CDBAD  BDD

9．ACD  10．BD  11．AC  12．AD

13．1  14．①  15．  16．

17．（1）；（2）．

【分析】（1）由诱导公式化简；

（2）由诱导公式化简已知式得，再由平方关系求得即可得．

【详解】

（1）；

（2），，是第三象限角，所以，所以．

18．(1)，，；(2)图象见解析.

(1)利用函数的相关概念写出的振幅、最小正周期、初相；

(2)利用“五点法”作出在区间上的图象即可.

【详解】

(1)函数的振幅为、最小正周期、初相为；

(2)当时，，列表如下：

在坐标平面内描点，连线得在上的图象如下：

19．（1）；（2）；（3）.

【分析】

（1）先利用对称性得到相邻的对称中心和对称轴的横坐标，即得周期，求得，再利用点B坐标代入计算求得，即得函数解析式；

（2）先利用同角三角函数基本关系计算，再代入函数解析式，化简计算即可；

（3）先由，得到在区间上恰好有一个根，再作余弦函数在区间上的图象，结合图象得到或时符合题意，解得参数范围即可.

【详解】

解：（1）∵点A与点关于点对称，点的横坐标为.

又点与点关于直线对称，

函数的最小正周期，，

又代入B点，，，得，符合，

因此；

（2）由，，，

所以，·

所以；

（3）在区间上恰好有一个零点，令，得在区间上恰好有一个根，

当时，设，由于方程恰好仅一根，如图，可知，或时，方程在区间上恰好有一个根，

或，或，即或，

解得或.

所以实数的取值范围是.

20．（1）；（2）秒．

【分析】

（1）设，根据题意求得、的值，以及函数的最小正周期，可求得的值，根据的大小可得出的值，由此可得出关于的函数解析式；

（2）由得出，令，求得的取值范围，进而可解不等式，可得出的取值范围，进而得解.

【详解】

解：（1）如图所示，标出点M与点N，设，

根据题意可知，，所以，

根据函数的物理意义可知：，

又因为函数的最小正周期为，所以，

所以可得：．

（2）根据题意可知，，即，

当水轮转动一圈时，，可得：，

所以此时，

解得：，

又因为（秒），即水轮转动任意一圈内，有秒的时间点P距水面的高度超过2米．

21．(1)；(2)或．

【分析】

（1）根据函数图象性质可得参数值及函数解析式；

（2）设，将方程转化为函数与公共点问题.

(1)角的终边经过点，,,,

由时，的最小值为，

得，即，,.

(2)∵，，，设，

问题等价于方程在仅有一根或有两个相等的根．

，，

作出曲线，与直线的图象．

时，；时，；时，．

当或时，直线与曲线有且只有一个公共点．

的取值范围是：或．

22．(1)或;   (2);(3).

【分析】

（1）由，可求得函数的最小正周期，进而确定参数的值，再由整体代换即可求得对称中心；（2）由三角函数的平移变换求得的解析式，再由零点的定义确定参数的值，结合图象可得的最小值；（3）将所给条件转化为和的值域的包含关系，即可求得参数的取值范围．

(1)

∵的最小正周期为，

又∵，，∴的最小正周期是，

故，解得，

当时，，由，的对称中心为；

当时，，由，的对称中心为；

综上所述，的对称中心为或.

(2)

∵函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，

∴.

又∵是的一个零点，

，即，

∴或，

解得或，

由可得

∴，最小正周期.

令，则

即或，解得或，；

若函数在（且）上恰好有10个零点，故

要使最小，须、恰好为的零点，故.

(3)

由（2）知，对任意，存在，使得成立，则，

当时，，

当时，，

由可得，解得，

故实数的取值范围为.

【点睛】

本题第（3）小问为不等式的恒成立问题，解决方法如下：

一般地，已知函数，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若，，有，则的值域是值域的子集．