2021四川省凉山彝族自治州西昌市高二下学期期中检测数学（理）试题含答案

西昌市2020—2021学年度下期期中检测

高二数学（理科）

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题（在下列给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本题有12小题，每小题5分，共60分．）

1．给出下列命题

（1）概率为1的事件为必然事件；

（2）因为抛掷一枚质地均匀硬币正面向上概率为，所以抛掷相同硬币10次一定有5次正面向上；

（3）事件A与事件B中至少有一个发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率大；

（4）将空间中所有单位向量起点都平移到同一点O，则这些单位向量终点位于半径为1的球面上．

其中假命题的个数是（    ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

2．一个不透明袋子中装有大小和质地完全相同的2个红球和2个白球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．则下列事件中互斥而不对立的是（    ）

A．“第一次摸到红球”与“第二次摸到红球”

B．“至少摸到一次红球”与“至少摸到一次白球”

C．“两次都摸到红球”与“两次都摸到白球”

D．“两次都摸到红球”与“至少摸到一次白球”

3．对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ）

A．若且，则 B．

C．若，且，则 D．

4．已知，，则满足概率是（    ）

A． B． C． D．

5．设直线m，n方向向量分别记作，，，表示两个平面，若，，则“”是“”（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分也不必要条件

6．已知平面ABCD外任意一点O满足，．则取值是（    ）

A． B． C． D．

7．如图在三棱锥P－ABC中，点G是△ABC的重心，点E为线段PA中点，设，，，则（    ）

A． B． C． D．

8．不定项选择题是高中物理选择题中必考题型之一，正确答案为A、B、C、D四个选项中的一个或多个，假设某考生对A、B、C、D选项正确与否完全不知道，则该考生猜对答案概率是（    ）

A． B． C． D．

9．已知，求的值是（    ）

A． B． C．1 D．－1

10．在棱长为2的正方体内随机取一点P，则点P到各顶点之距离均不小于1的概率是（    ）

A． B． C． D．

11．2021年3月19日西昌市发布森林草原防灭火橙色预警，某校派遣3位行政领导和6位普通教师到安哈镇3个不同执勤点执勤．要求：每个执勤点需要1名行政领导带领2名普通教师参与执勤，则共多少种不同的分配方案？（    ）

A．90 B．540 C．1620 D．3240

12．在区间内随机取两个实数x，y，则满足条件的概率是（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共计20分）

13．展开式中系数是______（用数字作答）．

14．中国古代几何中的勾股容圆，是阐述直角三角形中内切圆问题．此类问题最早见于《九章算术》“勾股”章，该章第16题为：“今有勾八步，股十五步，间勾中容圆，径几何？”意思是“直角三角形的两条直角边分别为8和15，则其内切圆直径是多少？”若向上述直角三角形内随机抛掷140颗米粒（大小忽略不计，取），落在三角形内切圆内的米粒数大约是______．

15．如图，在平行六面体中，AB＝AD＝2，，，点E是AB中点，则异面直线与DE所成角余弦值是______．

16．用一个平面去截棱长为2的正方体所得截面形状为正六边形时，正方体各个顶点到平面的距离是______．

三、解答题（本题有6小题，17题10分，18-22题各为12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．某校准备施行“禁止智能手机进校园”有关规定，为进一步了解同学们对此项规定的支持程度，学校在全校随机抽取了130名同学进行调查，其中男生比女生多10人，表示反对规定的30人中有10人是女生．

（1）完成下列表格，并判断是否有99%的把握认为“规定是否被支持与性别有关”；

（2）从被调查的“反对规定”的同学中，采取分层抽样方法抽取6名同学，再从这6名同学中任意抽取2名，求抽取的2人中有女生的概率．

参考公式：

18．如图，在正四棱锥P－ABCD中，侧棱长为，底面边长为2．点E，F分别CD，BC中点．求证：

（1）PA⊥EF；

（2）平面PAD⊥平面PBC．

19．在森林草原防灭火工作中，包括甲，乙在内6名教师被分配到A，B，C，D，E五个不同的执勤点参与执勤，每个执勤点至少要有一名教师．求

（1）甲、乙两名教师同时在A执勤点执勤的概率；

（2）甲、乙两名教师不在同一执勤点执勤的概率．

20．如图，在直三棱柱中，∠BAC＝90°，，点M，N，P，Q分别是AB，，，中点，点R是中点，证明：

（1）PQ∥平面ABC；

（2）求PR与平面所成角的余弦值．

21．已知关于x的方程，记“该方程有两个不等的正实根”为事件A．

（1）设抛掷两枚质地均匀的正方体骰子向上的点数分别为a、b，求事件A发生的概率；

（2）对于随机数x、y，且x、，若a＝2x－1，，求事件A发生的概率．

22．如图，在平行四边形ABCD中，，BC＝2，，四边形ACEF为矩形，平面ACEF⊥平面ABCD，AF＝1．求证：

（1）平面ABF∥平面CDE；

（2）点P为线段EF上动点，且，是否存在实数，使得平面PBC与平面CDE所成锐二面角余弦值为，若存在求出实数的值，若不存在请说明理由．

参考答案

一、选择题（12个小题，每小题5分，共计60分）

二、填空题（4个小题，每小题5分，共计20分）

13．－56    14．63    15．    16．或

三、解答题（6个小题，17题10分，18－22题各为12分，共计70分）

17．解：（1）

所以没有99%的把握认为“规定是否被支持与性别有关”

（2）因为反对规定的男生有20人，女生有10人，所以抽取6人中男生4人，可记为a，b，c，d

女生2人，记为A、B，

则从6人中抽取2名同学有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15个结果，

其中有女生的有aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB，共9个结果，

则抽取2人中有女生的概率为

18．解：连接AC，BD交于点O，连接PO，由正四棱锥性质OA，OB，OP两两互相垂直，

以OA，OB，OP分别为x，y，z轴建系如图．

易得，

∴，，，，，，

（1），，∵，∴，即PA⊥EF

（2）设平面PAB，平面PCD法向量分别为，

，取，∴

，取，∴

，∴，∴平面PAB⊥平面PCD

19．解：记“甲、乙两名教师同时在A路口执勤”为事件，

“甲、乙两名教师不在同一路口执勤”为事件．

6名教师分配到5个不同路口执勤共个基本事件，

（1）事件发生包含个基本事件，由古典概型

（2）∵事件发生包含个基本事件，由古典概型，

∴

20．解：（1）建系如图示，易得点，，，，，

由中点坐标公式得，，，

（1），平面ABC一个法向量为

且平面ABC，∴PQ∥平面ABC

（法二：连接利用判定定理证明也可）

（2）设平面法向量为，PR与平面线面角为

，，

∵，∴

21．解：关于x的一元二次方程有两个不等的正实根，则有

（1）抛掷两枚质地均匀的正方体骰子向上的点数分别为a、b，则总的基本事件个数为36个，

则事件A有：b＝4，a＝3，4，5，6，b＝5，a＝3，4，5，6，b＝6，a＝4，5，6共11个基本事件，

（2）对于两个随机数x、y，且x、，a＝2x－1，，

，

所以事件A构成的区域如下图中的阴影部分区域如图所示：

阴影部分区域的面积为，

因此，

22．解：∵四边形ACEF为矩形，∴AF⊥AC

平面ACEF⊥平面ABCD

平面平面ABCD＝AC

平面ACEF

∴AF⊥平面ABCD，∴AF⊥AB，AF⊥AC（没有利用面面垂直性质定理证垂直而直接建系扣2分）

在△ABC中，，BC＝2，

∴AB⊥AC

以A为坐标原点，建系如图示：

，，，，

（1）设平面ECD法向量为，，∴

又平面ABF法向量为，∴

故平面ECD∥平面ABF

（法2：利用面面平行判定定理证明，CD∥平面FAB，CE∥平面FAB，得结论给6分）

（2）∵得点，∴，

设平面MBC法向量为

由（1）知平面ECD法向量

或（舍）

故当点M为EF中点时满足条件，