第一章 重点突破训练：整式的乘除运算应用举例-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练（北师大版）

第三章 重点突破训练：垂径定理的应用举例

典例体系（本专题83题32页）

考点1：同底数幂乘法公式的逆用

典例：（2020·全国初二课时练习）已知，，则的值为________．

方法或规律点拨

本题主要考查同底数幂的乘法公式的逆用，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则和公式.

巩固练习

1．（2020·泉州市第六中学初二期中）若x＝，y＝，用含x的式子表示y，则y＝（   ）

A．3x+5 B． C． D．

2．（2020·山东定陶·初一期末），则值为（   ）

A．32 B．64 C．128 D．256

3．（2020·全国初二课时练习）ax＝3，ay＝4，则ax+y＝（　　）

A．3 B．4 C．7 D．12

4．（2020·河南洛宁·期中）若2x＝2，2y＝3，2z＝5，则2x＋y＋z的值为________．

5．（2020·江苏江阴·初一期末）若am＝2，an＝3，则am+n的值是_____．

6．（2020·全国初二课时练习）已知 ，则 ________________．

7．（2020·全国初二课时练习）已知2m＝4，2n＝16，则m+n＝_____．

考点2：幂的乘方公式的逆用

典例：（2020·汉中市杨河学校初一月考）若x、y为整数，且，求x+2y的值为_________．

方法或规律点拨

本题考查了幂的乘方的逆运用和同底数幂相乘，掌握运算法则是解题关键．

巩固练习

1．（2020·湖南茶陵·初一期末）若9x=4，27y=7，则32x+3y 的值为（　  ）

A．28 B．18 C．14 D．11

2．（2020·湖南茶陵·初一期末）若且，，则的值为（    ）

A．6 B．12 C．9 D．7

3．（2020·全国初二课时练习）若，则x：y：z等于（    ）

A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：3：6 D．6：2：1

4．（2020·陕西渭滨·初一期末）已知，，其中，为正整数，则(   )

A． B． C． D．

5．（2020·山东博兴·月考）若xm=2，xn=3，则xm+2n的值为________．

6．（2020·绍兴市长城中学期中）已知bm=3，bn=4，则b2m+n=_____．

7．（2020·思南县张家寨初级中学期末）若=3，则=____．

8．（2019·四川雁江·初二期末）若，，则__________________．

9．（2020·河南渑池·初二期末）如果那么_________________．(用含的式子表示)

10．（2020·湖南隆回·初一期末）已知=3，=2，则=_________________．

11．（2020·全国初二课时练习）已知32m=8n，则m、n满足的关系正确的是（　　）

A．4m=n B．5m=3n C．3m=5n D．m=4n

12．（2020·江苏兴化·初一期中）若，，则用含的代数式表示为______．

考点3：比较不同底数幂的大小

典例：（2020·贵州白云·初三二模）（1）填空：         2=64；

（2）比较与的大小．

方法或规律点拨

本题考查幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，熟练运用该法则的逆运算将与化为指数相同的数是解题的关键．

巩固练习

1．（2020·广西江州·初一期中）如果，，，那么（ ）

A． B． C． D．

2．（2020·枣庄市市中区实验中学初一月考）已知，，，则、、的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

3．（2020·莆田青璜中学初二月考）若m=2100，n=375，则m、n的大小关系正确的是（　  ）

A．m＞n B．m＜n C．相等 D．大小关系无法确定

4．（2020·德惠市第三中学月考）比较大小_______．

5．（2020·甘肃靖远五中初一期中）比较大小：_________（填“”、“”或“”）

考点4：积的乘方公式的逆用

典例：（2020·汉中市杨河学校初一月考）按题目要求计算：

（1）已知，求的值；

（2）已知、，用含有、的式子表示．

方法或规律点拨

本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则并灵活运用幂的乘方和积的乘方的逆运算是解答本题的关键．

巩固练习

1．（2020·江苏南通田家炳中学初一月考）计算其结果用幂的形式可表示为（    ）

A． B． C． D．

2．（2020·沈阳市第一二七中学期中）计算：×＝_________．

3．（2019·南阳市第三中学月考）计算：__________．

4．（2020·湖南涟源·初一期末）计算：________．

5．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）（____）2；（______）2；（______）2；

6．（2020·江苏丹阳·初一期中）计算：______．

7．（2020·德惠市第三中学月考）用简便方法计算：．

8．（2019·广西田东·初一期中）已知，求a2018b2019的值

9．（2020·河北路北·初三三模）下图中是小明完成的一道作业题，请你参考小明的方法解答下面的问题：

（1）计算：

①；

②．

（2）若，直接写出的值．

考点5：整式乘法中不含某一项的问题

典例：（2020·全国初二课时练习）已知的展开式中不含项和项．

（1）求m，n的值；

（2）在（1）的条件下，求的值．

佳佳的解法如下：

解：（1）．

∵展开式中不含含项和项，∴，解得．

（2）

．

请问佳佳的解法正确吗？如果不正确，请写出正确的解题过程．

方法或规律点拨

此题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟知其运算法则．

巩固练习

1．（2020·长沙湘一立信实验学校月考）若的乘积中不含x的一次项，则a等于（    ）

A．0 B．1 C．2 D．

2．（2020·浙江东阳·初一期末）已知（x﹣2）（x2+mx+n）的乘积项中不含x2和x项，则m，n的值分别为（　　）

A．m＝2，n＝4 B．m＝3，n＝6 C．m＝﹣2，n＝﹣4 D．m＝﹣3，n＝﹣6

3．（2020·山东高唐·初一期中）要使的积中不含有x的一次项，则x等于（   ）

A．－4 B．2 C．3 D．4

4．（2020·陕西渭滨·初一期末）中不含项，下列正确的是（    ）

A．  B． C． D．

5．（2020·达州市通川区第八中学期中）已知（2x2﹣3x+a）（x+2）计算结果中不含x项，则a＝_____．

6．（2020·山东牡丹·期末）若与的乘积中不含的一次项，则实数的值为___________．

7．（2020·四川成都实外初二开学考试）若多项式x2＋2mx﹣1与x2﹣2x＋n的乘积中不含x2和x3项，则m2﹣mn＋n2＝_____．

8．（2020·贵州石阡·期末）在（x+a）（x2﹣6x+b）的展开式中，不含x2和x项，则a＝_____，b＝_____．

9．（2020·江苏建邺·初一期末）已知：（x+2）（x2﹣2ax+3）中不含x2项，a＝_____．

10．（2020·四川龙泉驿·初一期末）若（x﹣3）（x2+ax+b）的积中不含x的二次项和一次项，则a+b的值为_____．

11．（2020·德惠市第三中学月考）若的乘积中不含项，求的值．

12．（2020·河南洛宁·期中）若多项式和多项式相乘的积中不含项且含x项的系数是-3，求a和b的值．

考点6：整式乘法的应用

典例：（2020·全国初二课时练习）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：(2x+a)(3x+b)．甲由于把第一个多项式中的“+a”看成了“﹣a”，得到的结果为6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10．

(1)求正确的a、b的值．

(2)计算这道乘法题的正确结果．

方法或规律点拨

本题考查多项式乘多项式；解题关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，是常考题型，解题时要细心．

巩固练习

1．（2020·苏州高新区实验初级中学）某同学在计算乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是，由此可以推断正确的计算结果是(　　)

A． B．

C． D．无法确定

2．（2020·东营市实验中学初三三模）柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见下图：

第一层有2×3听罐头，第二层有3×4听罐头，第三层有4×5听罐头，……

根据这堆罐头排列的规律，第n（n为正整数）层有_______听罐头（用含n的式子表示）

3．（2020·偃师市实验中学初二月考）“行列式”是一种基本运算．定义若，则x=____________________．

4．（2020·全国初二课时练习）一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽(a＋2b)米，坝高a米．

(1)求防洪堤坝的横断面积；

(2)如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？

5．（2019·江门市第二中学初二月考）一块长方形硬纸片，长为(5a2＋4b2)m，宽为6a4m，在它的四个角上分别剪去一个边长为a3m的小正方形然后折成一个无盖的盒子，请你求这个无盖盒子的表面积．

6．（2020·湖南永州·初一期末）规定：对于依次排列的多项式，，，(,,,是常数)，当它们满足(是常数)，则称,,,是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子，例如：对于多项式,,，因为，所以3，2，5，4是一组平衡数，2是该组平衡数的平衡因子．

(1)已知1，2，5，6是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子；

(2)当，，，是一组平衡数，当， ，请直接写出一组,的值；

(3)当，，，ｄ之间满足什么数量关系，它们是一组平衡数，并说明理由．

考点7：整式乘法与面积问题

典例：（2020·山东济南·）如图，现有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为米的正方形.

（1）求绿化的面积（用含的代数式表示）；

（2）若，绿化成本为元/平方米，则完成绿化共需要多少元？

方法或规律点拨

本题主要考查了多项式的乘法，准确列出阴影部分面积的表达式是解题的关键．

巩固练习

1．（2019·甘肃临泽·初一月考）一张长方形餐桌的表面如图所示，图中空白部分的面积是阴影部分面积的（  ）

A．2倍 B．3倍 C． D．

2．（2020·陕西洛川·初二期末）如图，边长分别为和的两个正方形拼接在一起，则图中阴影部分的面积为（  ）

A． B． C． D．

3．（2020·安徽义安·初一期末）如图，阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．

4．（2020·重庆市求精中学校期中）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示大长方形面积的多项式：①（2a + b）(m + n)； ②2a(m + n)+b(m + n)； ③m(2a+ b)+n(2a + b)；④2am+2an+bm+bn．你认为其中正确的有（  ）

A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④

5．（2020·沈阳市第一二七中学期中）如图，现有正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，若要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片（    ）

A．5张 B．6张 C．7张 D．8张

6．（2019·河北涿鹿·期末）如图1，将7张长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（     ）

A．a=b B．a=2b C．a=3b D．a=4b

7．（2020·泉州市第六中学初二期中）将边长分别为a和b的两个正方形如图所示放置，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．

8．（2020·湖南期末）如图，某中学校园内有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，学校计划在中间留一块边长为（a+b）米的正方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化．

（1）求绿化的面积．（用含a、b的代数式表示）

（2）当a＝2，b＝4时，求绿化的面积．

9．（2020·福建省惠安科山中学月考）如图，有一块长为a米、宽为b米的长方形空地，现计划将这块空地四周均留出2米宽修道路，中间用来绿化．

（1）求出绿地的面积；（用含a、b的代数式表示）

（2）若a=2b，且道路的面积为224米2，求原长方形空地的宽．

10．（2020·渠县第四中学初一期中）如图，在一块长为2x m，宽为y(2x>y)m的长方形铁皮的四个角上，分别截去半径为m的圆．

（1）求剩余铁皮的面积(即阴影部分的面积)；

（2）当x＝6，y＝8时，剩余铁皮的面积是多少？(π取3.14)

【答案】（1）；（2）

【解析】解：(1)S阴＝2xy－4××π×＝ (m2)．

(2)当x＝6，y＝8时，

S阴＝2xy－πy2≈2× 6× 8－× 3．14× 82＝45．76(m2)．

11．（2019·浙江瑞安·初一期末）如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“”型的图形（阴影部分）.

（1）用含，的代数式表示“”型图形的面积并化简.

（2）若米，“”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价.

12．（2020·江苏建湖·初一期中）学习《乘法公式》时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．

（1）如图1，是由边长为a、b的正方形和长为a、宽为b的长方形拼成的大长方形，由图1可得等式：　   　；

（2）知识迁移：

①如图2，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个大正方体，类比（1），用不同的方法表示这个大正方体的体积，可得等式：　   　；

②已知a＋b＝7，a2b＝48，ab2＝36，利用①中所得等式，求代数式a3＋b3的值．

13．（2020·全国初一课时练习）今年假期某校对操场进行了维修改造，如图是操场的一角.在长为米，宽为米的长方形场地中间，并排着两个大小相同的篮球场，这两个篮球场之间以及篮球场与长方形场地边沿的距离都为米.

(1)直接写出一个篮球场的长和宽；(用含字母，，的代数式表示)

(2)用含字母，，的代数式表示这两个篮球场占地面积的和，并求出当，，时，这两个篮球场占地面积的和.

【答案】(1)长：米，宽：米；(2)；.

【解析】解：(1) 依题意可得：长：（b-2c）米， 宽： 米

(2) 由(1)得到的长和宽代入 S=2（b-2c）×（a-3c）=（b-2c）（a-3c）=（ab-3bc-2ac+6c2）m2   

14．（2020·四川省营山中学校初一期中）如图，有一块长为米，宽为米的长方形空地，计划修筑东西、南北走向的两条道路，其余进行绿化（阴影部分），已知道路宽为米，东西走向的道路与空地北边界相距1米，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．

考点8：整式的混合运算

典例：（2020·淄博市淄川区城南镇第一中学初一期中）（1）计算：

①．   

②．

③．       

④

（2）先化简，再求值：

①，其中，．

②，其中，满足．

方法或规律点拨

本题考查了整式的加减乘除混合运算、以及化简求值，掌握各运算法则是解题关键．

巩固练习

1．（2020·湖北江汉·三模）计算：．

2．（2020·河南舞钢·期中）先化简，再求值：

[（2x﹣y）2+（2x﹣y）（2x+y）+8xy]÷4x，其中x＝﹣，y＝4

3．（2020·重庆南开中学期末）化简：.

4．（2020·全国初二课时练习）计算：（1）；

（2）．

5．（2020·四川龙泉驿·初一期中）化简求值

（1）（2x+1）2﹣4（x﹣1）（x+1），其中x＝；

（2）[（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷（2x），其中x＝﹣2，y＝．

6．（2020·灌南县新知双语学校初一月考）计算：

（1） 10  22  2  (3)3 ；     （2）2(x3 )2  x3  (3x3 )3  (5x)2  x7

7．（2019·北京顺义·牛栏山一中实验学校初一月考）计算：．

8．（2019·贵州花溪·初一学业考试）一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是，宽是这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积．

（1）图1中原长方形铁皮的面积为_；（用的代数式表示）

（2）若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每元钱可涂的面积为，则涂完这个铁盒需要多少钱？（用的代数式表示）

（3）是否存在一个最大正整数，使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍？若存在，请直接写出这个，若不存在，请说明理由．

9．（2019·山东博兴·初二期末）计算：

(1)

(2)

10．（2019·山西实验中学初一期中）计算：

（1）

（2）

（3）

（4）

11．（2019·江西临川一中初二期中）探究题：

观察下列式子：（x2-1）÷（x-1）=x+1；

（x3-1）÷（x-1）=x2+x+1；

（x4-1）÷（x-1）=x3+x2+x+1；

（x5-1）÷（x-1）=x4+x3+x2+x+1；

（1）你能得到一般情况下的结果吗？（n为正整数）

（2）根据（1）的结果计算：1+2+22+23+24+…+262+263．