专题1.3、7同底数幂的除法和整式的除法（讲练）-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练（北师大版）

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一、知识点
1、同底数幂的除法：（a‡0 , m , n都是正整数，并且m>n）即：同底数幂相除，底数不变，指数相减；
规定：即：任何不等于0的数的0次幂都等于1；
2、整式的除法： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字
母，则把连同它的指数作为商的一个因式；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得商相加；
二、考点点拨与训练
考点1：同底数幂的除法
典例：（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）
【答案】
【详解】
=
=
=
=．
方法或规律点拨
本题考查了幂的乘方及同底数幂的除法运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．
巩固练习
1．（2021·湖北咸宁市·八年级期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
解：A、a2∙a4=a6，故选项A不合题意；
B、(a2)3=a6，故选项不B符合题意；
C、(ab2)3=a3b6，故选项C不符合题意；
D、a6÷a2＝a4，故选项D符合题意.
故选：D．
2．（2021·云南玉溪市·八年级期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算正确，符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：B．
3．（2021·湖北荆州市·八年级期末）计算下列各式，结果为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
A、，选项错误；
B、，选项错误；
C、，选项正确；
D、不能得到，选项错误.
故选：C
4．（2021·山东滨州市·八年级期末）下列计算中，结果是的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
解：A、，结果正确，符合题意；
B、，结果不是，故不符合题意；
C、，结果不是，故不符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，故不符合题意；
故选：A．
5．（2021·重庆巴南区·八年级期末）下列计算方法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
解：A．，故原选项计算错误；
B．，计算正确；
C．，故原选项计算错误；
D．，故原选项计算错误；
故选：B．
6．（2021·山东枣庄市·七年级期末）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
解：A. ，故此选项不符合题意；
B. ，故此选项不符合题意；
C. ，故此选项不符合题意；
D. ，计算正确
故选：D．
7．（2020·浙江金华市·七年级期末）在①，②，③，④，⑤，计算结果为的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【详解】
解：①；
②；
③；
④；
⑤；
∴计算结果为只有①；
故选：A．
8．（2021·湖南长沙市·八年级期末）小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
A：，故此选项不符合题意；
B：，故此选项符合题意；
C：，故此选项不符合题意；
D：，故此选项不符合题意；
故选：B．
9．（2020·河南南阳市·八年级期中）下列运算正确的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
A、 ，故本选项不符合题意；
B、和不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
10．（2020·吉林长春市·八年级期末）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
解：A、，原选项计算错误，故不符合题意；
B、，原选项计算错误，故不符合题意；
C、，计算正确，符合题意；
D、，原选项计算错误，故不符合题意．
故选：C．
考点2：同底数幂除法公式的逆用
典例：（2020·全国八年级单元测试）（1）已知4 m=a，8n=b，用含a、b的式子表示下列代数式：
①求：22 m+3n的值；
②求：24 m－6n的值；
（2）已知2×8x×16=226，求x的值．
【答案】（1）①，②；（2）
【详解】
解：（1）①；
②；
（2），
得，解得．
方法或规律点拨
本题考查幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘除法的逆运算和幂的乘方运算的逆运算的运算法则．
巩固练习
1．（2020·吉林长春市·八年级期末）已知：，，．
（1）求的值．
（2）求的值．
（3）直接写出字母、、之间的数量关系．
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】
解（1）∵，
∴；
（2）∵，，，
∴；
（3）∵，
∴，
即．
2．（2021·全国八年级）已知，，用含，的式子表示下列代数式：
（1）求，的值；
（2）求的值．
【答案】（1）a，b；（2）
【详解】
解：∵，，
∴，；
即，
．
3．（2020·江门市第二中学八年级期中）已知5a＝3，5b＝8，5c＝72．
（1）求（5a）2的值．
（2）求5a-b+c的值．
（3）直接写出字母a、b、c之间的数量关 ．
【答案】（1）9；（2）27；（3）c=2a+b；
【详解】
解：（1）∵5a=3，
∴（5a）2=32=9；
（2）∵5a=3，5b=8，5c=72，
∴5a-b+c==27；
（3）c=2a+b；
理由：，
∴c=2a+b
故答案为：c=2a+b．
4．（2020·武威第九中学八年级月考）已知：．
求（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【详解】
解：；
．
5．（2021·全国七年级）已知5a＝3，5b＝8，5c＝72.
（1）求5c－b＋a的值；
（2）直接写出字母a，b，c之间的关系．
【答案】（1）27；（2）c=2a+b
【详解】
解：（1）∵5a＝3，5b＝8，5c＝72，
∴5c-b＋a=5c÷5b×5a＝72÷8×3=27；
（2）∵72=9×8=32×8，
∴5c＝（5a）2×5b＝52a×5b＝52a＋b，
∴c=2a+b．
6．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）已知，，求，的值．
【答案】，
【详解】
解：，
．
7．（2020·广东省深圳市龙岗区南芳学校七年级期中）（1）已知2x=3，2y=5，求的值；
（2）已知x－2y+1=0，求：的值.
【答案】（1）；（2）4
【详解】
解：（1）∵2x=3，2y=5，
∴2x-2y=2x÷22y=2x÷(2y )2=3÷52=；
（2）∵x﹣2y+1=0，
∴x﹣2y=﹣1，
∴2x÷4y×8
=2x÷22y×23
=2x﹣2y+3
=22
=4．
8．（2020·广西崇左市·）已知，求的值．
【答案】
【详解】
解：原式=xm÷x2n
=xm÷(xn)2
=3÷62
=．
考点3：单项式除以单项式
典例：（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
【答案】
【解析】解：原式

．
方法或规律点拨
本题考查的是单项式除以单项式，掌握单项式除以单项式的法则是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）的商为：（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：，
故选B．
2．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）已知，则、的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：
令3-n=0，m-2=2，解得n=3，m=4．
故答案为A．
3．（2020·太原市志达中学校初一期末）若□×2xy=16x3y2，则□内应填的单项式是（ ）
A．4x2yB．8x3y2C．4x2y2D．8x2y
【答案】D
【解析】∵□×2xy=16x3y2，
∴□=16x3y2÷2xy=8x2y．
故选D．
4．（2020·全国初二课时练习）在等式中，括号内应填入的整式为（ ）
A．-2bB．bC．2bD．-3b
【答案】A
【解析】∵，
∴括号内应填入的整式为-2b
故选A．
5．（2020·全国初二课时练习）一个三角形的面积为（x3y）2，它的一条边长为（2xy）2，那么这条边上的高为（ ）
A．x4B．x4C．x4yD．x2
【答案】A
【解析】解：设这条边上的高为
由三角形的面积公式可知：，
，
故选：．
6．（2019·黑龙江甘南·初二期末）计算： ______
【答案】
【解析】
=
=9
7．（2020·全国初二课时练习）马虎同学在计算时，由于粗心大意，把“÷”错写成“×”，计算后结果为，则________．
【答案】
【解析】由题意可得，
则．
故答案为：．
考点4：多项式除以单项式
典例：（2020·全国初二课时练习）小亮在计算（6x3y﹣3x2y2）÷3xy时，错把括号内的减号写成了加号，那么正确结果与错误结果的乘积是（ ）
A．2x2﹣xy B．2x2+xy C．4x4﹣x2y2 D．无法计算
【答案】C
【解析】解：正确结果为：
原式＝6x3y÷3xy﹣3x2y2÷3xy
＝2x2﹣xy，
错误结果为：
原式＝6x3y÷3xy+3x2y2÷3xy
＝2x2+xy，
∴（2x2﹣xy）（2x2+xy）＝4x4﹣x2y2，
故选：C．
方法或规律点拨
考查整式的乘、除法，熟练掌握整式的乘法和除法法则是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）已知M＝，则M＝（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】解：由题意可知：
，
故选：D．
2．（2020·贵州织金·期末）计算（﹣8m4n+12m3n2﹣4m2n3）÷（﹣4m2n）的结果等于（ ）
A．2m2n﹣3mn+n2B．2n2﹣3mn2+n2C．2m2﹣3mn+n2D．2m2﹣3mn+n
【答案】C
【解析】原式=，
故选C．
3．（2020·全国初二课时练习）计算：（﹣6x3+9x2﹣3x）÷（﹣3x）＝（ ）
A．2x2﹣3xB．2x2﹣3x+1C．﹣2x2﹣3x+1D．2x2+3x﹣1
【答案】B
【解析】（﹣6x3+9x2﹣3x）÷（﹣3x）
故选：B．
4．（2020·全国初二课时练习）若长方形的面积是，长为2a，则这个长方形的周长是（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【解析】解：根据题意得宽为：，
则这个长方形的周长为：．
故选：A．
5．（2020·全国初二课时练习）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：原式．
故选：B．
6．（2020·全国初二课时练习）已知被除式是x3+3x2﹣1，商式是x，余式是﹣1，则除式是（ ）
A．x2+3x﹣1B．x2+3xC．x2﹣1D．x2﹣3x+1
【答案】B
【解析】由题意可得，除式为：
=
=.
故选B.
7．（2020·全国初二课时练习）计算（﹣4a2+12a3b）÷（﹣4a2）的结果是（ ）
A．1﹣3abB．﹣3abC．1+3abD．﹣1﹣3ab
【答案】A
【解析】（-4a2+12a3b）÷（-4a2）=1-3ab．
故选A．
8．（2020·全国初二课时练习）一个长方形的面积为2x2y﹣4xy3+3xy，长为2xy，则这个长方形的宽为（ ）
A．x﹣2y2B．x﹣y3C．x﹣2y+3D．xy﹣2y
【答案】A
【解析】解：∵长方形的面积为2x2y﹣4xy3+3xy，长为2xy，
∴宽为：（2x2y﹣4xy3+3xy）÷2xy＝x﹣2y2，
故选：A．
9．（2020·全国初二课时练习）已知A=2x，B是多项式，在计算B÷A时，小强同学把B÷A误看了B+A，结果得2x2-x，则B÷A的结果是（ ）
A．2x2+xB．2x2-3xC．D．
【答案】D
【解析】∵B+A=2x2−x，A=2x，
∴B=2x2−x−2x=2x2−3x，
∴B÷A=(2x2−3x)÷2x=x−.
故选：D.
10．（2020·全国初二课时练习）面积为9a2-6ab+3a的长方形一边长为3a，另一边长为（ ）
A．3a-2b+1B．2a-3bC．2a-3b+1D．3a-2b
【答案】A
【解析】另一边长为(9a2-6ab+3a)÷3a=3a-2b+1
故选A.
12．（2020·全国课时练习）若与一个多项式的积为，则这个多项式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
故选C
考点5：整式的四则混合运算
典例：（2020·江苏南通田家炳中学初二月考）（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
方法或规律点拨
本题考查了整式的混合运算，涉及了积的乘方、单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式、多项式除单项式等，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
【答案】
【解析】原式
2．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
【答案】
【解析】原式
3．（2020·江苏梁溪·期末）求的值，其中．
【答案】20
【解析】解：解：（x-1）（2x+1）-2（x-5）（x+2）
=2x2+x-2x-1-2x2-4x+10x+20
=5x+19，
当时，原式=5×+19=20．
4．（2020·达州市通川区第八中学期中）先化简，再求值：，其中，.
【答案】4
【解析】原式
=
=
当，时，原式.
5．（2020·广西平桂·期中）先化简，再求值：(x﹣y)(x﹣2y)﹣(3x﹣2y)(x+3y)，其中x＝4，y＝﹣1．
【答案】﹣2x2﹣10xy+8y2，16.
【解析】原式＝(x2﹣2xy﹣xy+2y2)﹣(3x2+9xy﹣2xy﹣6y2)
＝x2﹣3xy+2y2﹣3x2﹣7xy+6y2
＝﹣2x2﹣10xy+8y2
当x＝4，y＝﹣1时，
原式＝﹣2×42﹣10×4×(﹣1)+8×(﹣1)2
＝﹣32+40+8
＝16
7．（2020·广西平桂·期中）王老师给学生出了一道题：
先化简，在求值：，其中，．同学们看了题目后发表不同的看法.小张说：“条件是多余的.”小李说：“不给这个条件，就不能求出结果，所以不多余.”
（1）你认为他们谁说的有道理？为什么？
（2）若的值等于此题计算的结果，试求的值.
【答案】（1）小张说的有道理，理由见解析；（2）9
【解析】解：（1）小张说的有道理，理由如下：
∵化简得结果为，中不含字母
∴条件是多余的，小张说的有道理.
（2）当时，
由题意得：，
.
即的值为9.
8．（2020·陕西碑林·西北工业大学附属中学初一期中）先化简，再求值：
，（其中x＝﹣4，y＝3）．
【答案】；过程见详解．
【解析】解：
＝
＝
＝，
当x＝﹣4，y＝3时，原式＝4-13＝-9．
9．（2020·江苏南通田家炳中学初二月考）先化简，再求值(3a+2b)(2a﹣3b)﹣(a﹣2b)(2a﹣b)，其中．
【答案】4a2﹣8b2；
【解析】(3a+2b)(2a﹣3b)﹣(a﹣2b)(2a﹣b)
=(6a2+4ab﹣9ab﹣6b2)﹣(2a2-4ab﹣ab+2b2)
=6a2+4ab﹣9ab﹣6b2﹣2a2+4ab+ab﹣2b2
=4a2﹣8b2，
当a=﹣1.5，b=时，
原式=4×()2﹣8×()2
=9-
=．