专题3.1-3表示变量之间的关系（讲练）-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练（北师大版）

这是一份专题3.1-3表示变量之间的关系（讲练）-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练（北师大版），文件包含专题31-3表示变量之间的关系讲练-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练解析版北师大版docx、专题31-3表示变量之间的关系讲练-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练原卷版北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
专题3.1-3表示变量之间的关系
典例体系（本专题共36题20页）

一、知识点
1.变量、自变量、因变量
1）在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。
2）如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。
3）自变量与因变量的确定：
2.三种变量之间关系的表达方法与特点：
表达方法
特　　点
表格法
多个变量可以同时出现在同一张表格中
关系式法
准确地反映了因变量与自变量的数值关系
图象法
直观、形象地给出了因变量随自变量的变化趋势
二、考点点拨与训练
考点1:用图象表示变量之间关系
典例：（2021·重庆北碚区·西南大学附中九年级期末）体育训练课上，小健同学与小宇同学在AB之间进行往返蛙跳训练．小健先出发10s，小宇随后出发．当小宇恰好追上小健时，王老师立即飞奔3秒到小宇身边对他进行指导，一分钟后小宇继续前行，但速度减为原来的，小健和小宇相距的路程y（米）与小健出发时间t（秒）的关系如图所示，则当小宇再次出发时，两人还有__________秒二次相遇．

【答案】
【详解】解：如图，标注字母，
由 可得小健的速度
由 可得小宇的速度
由函数图像段，段的含义可得：当时，
小健从到达点，返回点，

小宇跳了：
此时小宇距点：

当小宇再次出发到相遇，还需要

故答案为：
方法或规律点拨
本题考查的是函数图像及从函数图像中获取信息，掌握函数图像上点的横纵坐标的含义是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·浙江八年级期末）小明和小华同时从小华家出发到球场去．小华先到并停留了8分钟，发现东西忘在了家里，于是沿原路以同样的速度回家去取．已知小明的速度为180米/分，他们各自距离小华家的路程（米）与出发时间（分）之间的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．小明到达球场时小华离球场3150米
B．小华家距离球场3500米
C．小华到家时小明已经在球场待了8分钟
D．整个过程一共耗时30分钟
【答案】A
【详解】解：设小华的速度为x米/分，则依题意得：
（20-18）x+180×20=10x
解得：x=450
∴（450×10-3600）÷180=5（分）
∴当小明到达球场时小华离球场的距离为：450×（5+2）=3150（米）．
故A选项正确；
小华家距球场450×10=4500米，故B选项错误；
小华到达家时小明在球场呆的时间为：10+8+10-4500÷180=3（分）
故C选项错误；
整个过程耗时10+8+10=28（分）
故D选项错误．
故选A．
2．（2021·河南郑州市·八年级期末）如图所示直线反映了某公司产品的销售成本和销售收入与销售量之间的关系，则下列说法错误的是（　　）

A．直线l1反映了该公司产品的销售收入与销售量之间的关系
B．未开始销售时，该公司为销售所花的成本为2000元
C．当销售量大于 4吨时，该公司赢利
D．每销售1吨产品，销售收入为 500 元
【答案】D
【详解】解：观察图象可知直线l1反映了该公司产品的销售收入与销售量之间的关系，故A的说法正确，不符合题意；
直线l2反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的关系，未开始销售时，该公司为销售所花的成本为2000元，故B的说法正确，不符合题意；
当销售量大于4吨时，销售收入大于销售成本，该公司赢利，故C说法正确，不符合题意；
每销售1吨产品，销售收入为1000元，故D说法错误，符合题意；
故选：D．
3．（2021·浙江宁波市·八年级期末）小聪上午8：00从家里出发，骑“共享单车”去一家超市购物，然后从这家超市原路返回家中，小聪离家的路程（米）和经过的时间（分）之间的函数关系如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．从小聪家到超市的路程是1300米 B．小聪从家到超市的平均速度为100米/分
C．小聪在超市购物用时45分钟 D．小聪从超市返回家中的平均速度为100米/秒
【答案】D
【详解】
解：A、观察图象发现：从小聪家到超市的路程是1800米，故该选项错误；
B、小聪去超市共用了10分钟，行程1800米，速度为1800÷10＝180米/分，故该选项错误；
C、小聪在超市逗留了45−10＝35分钟，故该选项错误；
D、（1800−1300）÷（50−45）＝500÷5＝100，所以小聪从超市返回的速度为100米/分，故该选项正确；
故选：D．
4．（2021·江苏苏州市·八年级期末）向一个垂直放置的容器内匀速注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化情况如图所示．则这个容器的形状可能是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：由函数的图像可得段最陡，段次之，段较平缓，
所以水面上升速度段最快，段次之，段最慢，
所以对应的容器的粗细为段最粗，段次之，段最细，
所以不符合题意，符合题意．
故选：．
5．（2021·陕西西安市·八年级期末）甲、乙两汽车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时间t的对应关系如图所示．下列结论错误的是（ ）．

A．A，B两城相距 B．行程中甲、乙两车的速度比为3∶5
C．乙车于7：20追上甲车 D．9：00时，甲、乙两车相距
【答案】C
【详解】
根据题意得：A，B两城相距，故选项A结论正确；
根据题意得：甲车从A城出发前往B城共消耗5小时，乙车从A城出发前往B城共消耗3小时；
甲车的速度
乙车的速度
∴行程中甲、乙两车的速度比为，故答案B结论正确；
设乙车出发x小时后，乙车追上甲车
得：
∴
∵乙车于6：00出发
∴乙车于7：30追上甲车，故选项C结论错误；
∵9：00时，甲车还有一个小时的到B城
∴9：00时，甲、乙两车相距，故选项D结论正确；
故选：C．
6．（2021·江苏南京市·八年级期末）在某次比赛中，甲、乙两支龙舟队的行进路程、都是行进时间的函数，它们的图像如图所示．下列结论：①乙龙舟队先到达终点；②时，甲龙舟队处于领先位置；③当时，甲龙舟队的速度比乙龙舟队的速度快；④在比赛过程中，甲、乙两支龙舟队恰有次相距，其中正确结论的序号是（ ）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【详解】
①乙到达终点，甲到达终点，故①正确；
②由图像可得，时甲行驶路程大于乙，故②正确；
③当时，甲的速度为，乙的速度为，故③错误；从直线的倾斜程度也可得；
④当时，甲乙相距，所以在、时各有一次相距，当时，甲乙相距，所以共有次，故④正确，
故正确结论的序号是：①②④，
故选：C．
7．（2021·江苏连云港市·八年级期末）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度（米）与火车行驶时间（秒）之间的关系用图像描述如图所示，有下列结论：①火车的速度为30米/秒；②火车的长度为120米；③火车整体都在隧道内的时间为35秒；④隧道长度为1200米．其中正确的结论是（ ）

A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①③④
【答案】D
【详解】在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒．故①正确；
火车的长度是150米，故②错误；
整个火车都在隧道内的时间是：45−5−5＝35秒，故③正确；
隧道长是：45×30−150＝1200（米），故④正确．
故选D．
8．（2021·江苏盐城市·八年级期末）小明从家跑步到学校，接着立即原路步行回家．如图是小明离家的路程y（米）与时间x（分）之间的函数关系的图像，则小明步行回家的平均速度是__________米/分．

【答案】80
【详解】解：由图象可知小明家到学校的距离是800米，
从5分钟到15分钟的一段线段代表小明步行回家．
其步行速度为800÷（15-5）=80（米/分）．
故答案为80．
9．（2021·山东泰安市·七年级期末）黑龙江省某企业用货车向乡镇运送农用物资，行驶2小时后，天空突然下起大雨，影响车辆行驶速度，货车行驶的路程y（km）与行驶时间x（h）的函数关系如图所示，当x=1.5时货车的速度是_____km/h．

【答案】78
【详解】解：由图象可知，2小时内的速度不变，
∵156÷2=78 km/h．
∴x=1.5时货车的速度是78km/h．
故答案为：78．
10．（2021·北京西城区·八年级期末）已知小腾家、食堂、图书馆在同一条直线上．小腾从家去食堂吃早餐，接着去图书馆查阅资料，然后回家．下面的图象反映了这个过程中小腾离家的距离y（单位：m）与时间x（单位：）之间的对应关系．根据图象可知，小腾从食堂到图书馆所用时间为_____；请你根据图象再写出一个结论：______．

【答案】12 食堂离图书馆780m(答案不唯一)
【详解】
解：小腾从食堂到图书馆所用时间为35−23＝12min，
食堂离图书馆1200−420＝780m (答案不唯一)．
故答案为：12，食堂离图书馆780m（答案不唯一）．
11．（2020·浙江金华市·八年级期中）某仓库调拨一批物资，调进物资共用8小时，调进物资4小时后同时开始调出物资（调进与调出的速度保持不变）．该仓库库存物资m（吨）与时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则这批物资从开始调进到全部调出所需要的时间是________小时．

【答案】8.8
【详解】
解：调进物资的速度是：（吨/小时），
当在第4个小时时，库存物资有60吨，在第8个小时时，库存物资是20吨，
∴调出速度是：（吨/小时），
∴剩余的20吨完全调出需要：（小时），
∴这批物资从开始调进到全部调出所需要的时间是：（小时）．
故答案是：8.8．
考点2：用列表法表示函数
典例： （2020·广东揭阳市·七年级期中）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）．
x（人）
500
1000
1500
2000
2500
3000
…
y（元）
﹣3000
﹣2000
﹣1000
0
1000
2000
…
（1）在这个变化过程中，每月的乘车人数x与每月利润y分别是　 　变量和　 　变量；
（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到　 　人以上时，该公交车才不会亏损；
（3）当每月乘车人数为4000人时，每月利润为多少元？
【答案】（1）每月的乘车人数，每月利润；（2）2000人；（3）4000元
【详解】
解：（1）在这个变化过程中，每月的乘车人数是自变量，每月利润是因变量；
故答案为：每月的乘车人数，每月利润；
（2）根据表格可得：当每月乘客量达到2000人以上时，该公交车才不会亏损，
故答案为：2000；
（3）有表中的数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，
当每月的乘车人数为2000人时，利润为0元，故每月乘车人数为4000人时，每月的利润是（4000-2000）÷500×1000=4000元．
方法或规律点拨
本题考查了根据表格与函数知识，正确读懂表格，理解表格体现变化趋势是解题关键．
巩固练习
1．（2021·浙江绍兴市·八年级期末）下表为某旅游景点旺季时的售票量、售票收入的变化情况，在该变化过程中，常量是( )．
日期
10月1日
10月2日
10月3日
10月4日
10月5日
10月6日
10月7日
售票量x(张)
31542
22452
3850
48746
56426
27615
12714
售票收入y(元)
3154200
2245200
3854000
4874600
5642600
2761500
1271400
A．票价 B．售票量 C．日期 D．售票收入
【答案】A
【详解】
根据题意，10月1日到10月7日的数据计算，得票价均为100元
∴常量是票价
故选：A．
2．（2018·山东济南市·七年级期中）小明到单位附近的加油站加油，如图是小明所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是（ ）

A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
【答案】D
【详解】
解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，
单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
故选：D．
3．（2021·全国八年级）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据
温度/℃
﹣20
﹣10
0
10
20
30
声速/m/s
318
324
330
336
342
348
下列说法错误的是（ ）
A．这个问题中，空气温度和声速都是变量
B．空气温度每降低10℃，声速减少6m/s
C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1710m
D．由数据可以推测，在一定范围内，空气温度越高，声速越快
【答案】B
【详解】
解：这个问题中，空气温度和声速都是变量，因此选项A不符合题意；
在一定的范围内，空气温度每降低10℃，声速减少6m/s，表格之外的数据就不一定有这样规律，因此选项B符合题意；
当空气温度为20℃时，声速为342m/s，声音5s可以传播342×5＝1710m，因此选项C不符合题意；
从表格可得，在一定范围内，空气温度越高，声速越快，因此选项D不符合题意；
故选：B．
4．（2021·全国九年级）弹簧挂重物会伸长，测得弹簧长度最长为20cm，与所挂物体重量间有下面的关系．
x
0
1
2
3
4
……
y
8
8.5
9
9.5
10
……
下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，x是自变量，y是因变量 B．所挂物体为6kg，弹簧长度为11cm
C．物体每增加1kg，弹簧长度就增加 D．挂30kg物体时一定比原长增加15cm
【答案】D
【详解】解：A．因为弹簧长度随所挂物体的重量的变化而变化，所以是自变量，是因变量．故本选项正确；
B．当所挂物体为时，弹簧的长度为．故本选项正确；
C．从表格数据中分析可知，物体每增加，弹簧长度就增加．故本选项正确；
D．当所挂物体为时，弹簧长度为．故本选项不正确．
故选：D
5．（2020·河北邢台市·八年级月考）某销售商对某品牌豆浆机的销量与定价的关系进行了调查，结果如下表所示，则（ ）
定价（元）
100
110
120
130
140
150
销量（台）
80
100
110
100
80
60
A．定价是常量 B．销量是自变量 C．定价是自变量 D．定价是因变量
【答案】C
【详解】
由表格可知，定价与销量都是变量，其中，定价是自变量，销量是因变量，
故选：C．
6．（2021·全国八年级）在实验课上，小亮利用同一块木板测得小车从不同高度（h）与下滑的时间（t）的关系如下表：
支撑物高h（cm）
10
20
30
40
50
…
下滑时间t（s）
3.25
3.01
2.81
2.66
2.56
…
以下结论错误的是（　　）
A．当h＝40时，t约2.66秒
B．随高度增加，下滑时间越来越短
C．估计当h＝80cm时，t一定小于2.56秒
D．高度每增加了10cm，时间就会减少0.24秒
【答案】D
【详解】
解：当支撑物高度从10cm升高到20cm，下滑时间的减少0.24s，
从20cm升高到30cm时，下滑时间就减少0.2s，
从30cm升高到40cm时，下滑时间就减少0.15s，
从40cm升高到50cm时，下滑时间就减少0.1s，
因此，“高度每增加了10cm，时间就会减少0.24秒”是错误的，
故选：D．
7．（2020·陕西榆林市·七年级期末）已知声音在空气中的传播速度与空气的温度有关，在一定范围内，其关系如下表所示：
温度/


0
10
20
30
传播速度/
318
324
330
336
342
348
下列说法错误的是（ ）
A．自变量是温度，因变量是传播速度 B．温度越高，传播速度越快
C．当温度为时，声音可以传播 D．温度每升高，传播速度增加
【答案】C
【详解】解：A、自变量是温度，因变量是传播速度，故原题说法正确；
B、温度越高，传播速度越快，故原题说法正确；
C、当温度为10℃时，声音5s可以传播1680m，故原题说法错误；
D、温度每升高10℃，传播速度增加6m/s，故原题说法正确；
故选：C．
8．（2020·辽宁丹东市·七年级期末）某路公交车每月有人次乘坐，每月的收入为元，每人次乘坐的票价相同，下面的表格是与的部分数据．
/人次
500
1000
1500
2000
2500
3000
…
/元
1000
2000

4000

6000
…
（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）请将表格补充完整．
（3）若该路公交车每月的支出费用为4000元，如果该路公交车每月的利润要达到10000元，则每月乘坐该路公交车要达到多少人次？（利润收入支出费用）
【答案】（1）反映了收入y与人次x两个变量之间的关系，其中x是自变量，y是因变量；（2）表格见解析；（3）7000人次．
【详解】
解：（1）反映了收入y与人次x两个变量之间的关系，其中x是自变量，y是因变量．
（2）由表格可知：每增加500人次乘坐，每月的收入就增加1000元，
表格补充如下：

（3）（元）
（人次）
答：每月乘坐该路公交车要达到7000人次
9．（2019·河北沧州市·八年级期中）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如下表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）：
x（人）
500
1000
1500
2000
2500
3000
…
y（元）
﹣3000
﹣2000
﹣1000
0
1000
2000
…
（1）在这个变化过程中，　 　是自变量，　 　是因变量；
（2）观察表中数据，计算平均每个人的车费是_______元；
（3）写出利润y与乘车人数x之间的关系式；
（4）若5月份想获得利润5000元，请你估计乘客量需要达到多少人？
【答案】（1）每月的乘车人数x，每月的利润y；（2）2；（3）y=2x－4000；（4）若5月份想获得利润5000元，乘客量需要达到4500人．
【详解】
解：（1）在这个变化过程中，每月的乘车人数x是自变量，每月的利润y是因变量；
故答案为：每月的乘车人数x，每月的利润y；
（2）观察表中数据可知，当y=0时对应的x=2000，4000÷2000=2元，
故答案为：2；
（3）y=2x－4000；
（4）当y=5000时，2x－4000=5000，解得：x=4500；
答：若5月份想获得利润5000元，乘客量需要达到4500人．
考点3：用关系式表示变量之间关系
典例：（2020·山东青岛市·七年级期中）如图所示，在一个边长为10cm的正方形的四个角都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化．
（1）在这个变化过程中，自变量．因变量各是什么？
（2）如果小正方形的边长为xcm，图中阴影部分的面积ycm2，请写出y与x的关系式；
（3）当小正方形的边长由1cm变化到3cm时，阴影部分的面积发生了怎样的变化？

【答案】（1）自变量是小正方形的边长，因变量为阴影部分的面积；（2）y＝100﹣4x2；（3）当小正方形的边长由1cm变化到3cm时，阴影部分的面积减少32cm2
【详解】
解：（1）∵当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化
∴自变量是小正方形的边长，因变量为阴影部分的面积；
（2）由题意可得y＝10×10－4x2＝100﹣4x2；
（3）当x＝1时，y＝100﹣4＝96，
当x＝3时，y＝100﹣4×32＝64，
96﹣64＝32cm2
所以当小正方形的边长由1cm变化到3cm时，阴影部分的面积减少32cm2．
方法或规律点拨
此题考查的是函数解析式的应用，掌握实际问题中的等量关系是解题关键．
巩固练习
1．（2021·浙江杭州市·八年级期末）把一个长为5，宽为2的长方形的长减少x (0≤x