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2021年山东省临沂市费县中考数学二模试卷及答案
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这是一份2021年山东省临沂市费县中考数学二模试卷及答案，共29页。
2021年山东省临沂市费县中考数学二模试卷
一.选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（3分）计算3+（﹣2）的结果是（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5
2．（3分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体
3．（3分）某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：
鞋的尺码（cm）
24
24.5
25
25.5
26
26.5
销售数量（双）
2
7
18
10
8
3
则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
4．（3分）一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都在另一三角板的斜边上，则∠1的度数为（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
5．（3分）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：如图，（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N．（2）分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC，射线OC即为所求，这种作已知角平分线的方法的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
6．（3分）点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于（ ）
A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣1
7．（3分）从﹣2，﹣1，2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概率是（ ）
A．12 B．13 C．23 D．14
8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．72 B．24 C．48 D．96
9．（3分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
10．（3分）化简a2+b2a−b+2abb−a的结果是（ ）
A．a+b B．a﹣b C．(a+b)2a−b D．(a−b)2a+b
11．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（ ）
A．4 B．43 C．833 D．23
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC=15OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k的值为（ ）
A．3 B．2 C．52 D．4
13．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（ ）
A．﹣2和0 B．﹣4和2 C．﹣5和3 D．﹣6和4
14．（3分）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝3，BF＝2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为（ ）
A．55 B．255 C．455 D．433
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15．（3分）计算：8+|2−1|＝ ．
16．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝14cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，且△DBC的周长是24cm，则BC＝ cm．
17．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角100°，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠BED等于 度．
18．（3分）海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录．如图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案，则第5个图中有 个菱形，第n个图中有 个菱形（用含n的代数式表示）．
19．（3分）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“好数”．
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2＝6，6能被6整除；643不是“好数”，因为6+4＝10，10不能被3整除．问百位数字比十位数字大5的所有“好数”有 个．
三、解答题（本大题共7小题，共63分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
20．（7分）计算：20+（13）﹣1•4−4tan45°．
21．（7分）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯； B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济； E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．
请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有 人；
（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；
（3）最关注话题扇形统计图中的a＝ ，话题D所在扇形的圆心角是 度；
（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？
22．（7分）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为60°，房屋的顶层横梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，3≈1.7）
（1）求屋顶到横梁的距离AG；
（2）求房屋的高AB（结果精确到1m）．
23．（9分）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？
24．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交BC于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．
25．（11分）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．
26．（13分）在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是BC、AC的中点，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，连接BD、AE．
观察猜想
（1）如图①，当∠BAC＝60°时，填空：
①AEBD= ；
②直线BD、AE所夹锐角为 ；
类比探究
（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试判断AEBD的值及直线BD、AE所夹锐角的度数，并说明理由；
拓展应用
（3）在（2）的条件下，若DE=2，将△CDE绕着点C在平面内旋转，当点D落在射线AC上时，请直接写出AE2的值．
2021年山东省临沂市费县中考数学二模试卷
答案与解析
一.选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（3分）计算3+（﹣2）的结果是（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5
【分析】绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
【解答】解：3+（﹣2）＝3﹣2＝1．
故选：C．
2．（3分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体
【分析】根据三视图可得到所求的几何体是柱体，可得几何体的名称．
【解答】解：该几何体是长方体，
故选：D．
3．（3分）某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：
鞋的尺码（cm）
24
24.5
25
25.5
26
26.5
销售数量（双）
2
7
18
10
8
3
则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对鞋店下次进货最具有参考意义的是众数．
【解答】解：对鞋店下次进货来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数．
故选：C．
4．（3分）一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都在另一三角板的斜边上，则∠1的度数为（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠D＝45°，
故选：B．
5．（3分）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：如图，（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N．（2）分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC，射线OC即为所求，这种作已知角平分线的方法的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【分析】利用基本作图得到OM＝ON，CM＝CN，加上OC为公共边，则根据全等三角形的判定方法可判断△OMC≌△ONC．
【解答】解：由作法得OM＝ON，CM＝CN，
而OC为公共边，
所以根据“SSS”可判定△OMC≌△ONC，
所以∠MOC＝∠NOC，即OC平分∠MON．
故选：A．
6．（3分）点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于（ ）
A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣1
【分析】把点P的坐标代入一次函数解析式，得出3a﹣b＝﹣2，代入2（3a﹣b）+1即可．
【解答】解：∵点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，
∴b＝3a+2，
则3a﹣b＝﹣2．
∴6a﹣2b+1＝2（3a﹣b）+1＝﹣4+1＝﹣3
故选：C．
7．（3分）从﹣2，﹣1，2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概率是（ ）
A．12 B．13 C．23 D．14
【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到该点在第三象限的结果数，再利用概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下
共有6种等可能情况，该点在第三象限的情况数有（﹣2，﹣1）和（﹣1，﹣2）这2种结果，
∴该点在第三象限的概率为26=13，
故选：B．
8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．72 B．24 C．48 D．96
【分析】根据菱形的性质得O为BD的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得BD的长度，最后由菱形的面积公式求得面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴BD＝2OH，
∵OH＝4，
∴BD＝8，
∵OA＝6，
∴AC＝12，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×12×8=48．
故选：C．
9．（3分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
【分析】根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量×（1+增长率）2＝2019年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：5000（1+x）2＝7500，
故选：C．
10．（3分）化简a2+b2a−b+2abb−a的结果是（ ）
A．a+b B．a﹣b C．(a+b)2a−b D．(a−b)2a+b
【分析】根据同分母分式相加减的运算法则计算即可．同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．
【解答】解：原式=a2+b2a−b−2aba−b
=a2+b2−2aba−b
=(a−b)2a−b
＝a﹣b．
故选：B．
11．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（ ）
A．4 B．43 C．833 D．23
【分析】连接CD，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根据圆内接四边形的性质得到∠D＝180°﹣∠B＝60°，求得∠CAD＝30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接CD，
∵AB＝BC，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°，
∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，
∵AD是直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠CAD＝30°，AD＝8，
∴CD=12AD＝4，
∴AC=AD2−CD2=82−42=43，
故选：B．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC=15OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k的值为（ ）
A．3 B．2 C．52 D．4
【分析】作AE⊥BC于E，连接OA，根据等腰三角形的性质以及OC=15OB得出OC=12CE，根据相似三角形的性质求得S△CEA＝1，进而根据题意求得S△AOE=32，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
【解答】解：作AE⊥BC于E，连接OA，
∵AB＝AC，
∴CE＝BE，
∵OC=15OB，
∴OC=14BC=14×2CE=12CE，
∵AE∥OD，
∴△COD∽△CEA，
∴S△CEAS△COD=（CEOC）2＝4，
∵△BCD的面积等于1，OC=15OB，
∴S△COD=14S△BCD=14，
∴S△CEA＝4×14=1，
∵OC=12CE，
∴S△AOC=12S△CEA=12，
∴S△AOE=12+1=32，
∵S△AOE=12k（k＞0），
∴k＝3，
故选：A．
13．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（ ）
A．﹣2和0 B．﹣4和2 C．﹣5和3 D．﹣6和4
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）的两个整数根，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，
∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为﹣3和1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，
又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．
∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣5，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，
∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣n的交点的横坐标在﹣5与﹣3之间和1与3之间，
∴关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是﹣4和2，
故选：B．
14．（3分）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝3，BF＝2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为（ ）
A．55 B．255 C．455 D．433
【分析】首先求出△ABD的面积．根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据12•BD•h=12•BF•DF，求出BD即可解决问题．
【解答】解：∵DG＝GE，
∴S△ADG＝S△AEG＝2，
∴S△ADE＝4，
由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，
∴S△ABD＝S△ADE＝4，∠BFD＝90°，
∴12•（AF+DF）•BF＝4，
∴12•（3+DF）•2＝4，
∴DF＝1，
∴DB=BF2+DF2=12+22=5，
设点F到BD的距离为h，则有12•BD•h=12•BF•DF，
∴h=255，
故选：B．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15．（3分）计算：8+|2−1|＝ 32−1 ．
【分析】先化简二次根式和绝对值，然后再进行计算即可．
【解答】解：8+|2−1|
＝22+2−1
＝32−1，
故答案为：32−1．
16．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝14cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，且△DBC的周长是24cm，则BC＝ 10 cm．
【分析】由边AB的垂直平分线与AC交于点D，故AD＝BD，于是将△BCD的周长转化为BC与边长AC的和来解答．
【解答】解：∵C△DBC＝24cm，
∴BD+DC+BC＝24cm①，
又∵MN垂直平分AB，
∴AD＝BD②，
将②代入①得：AD+DC+BC＝24cm，
即AC+BC＝24cm，
又∵AC＝14cm，
∴BC＝24﹣14＝10cm．
故填10．
17．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角100°，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠BED等于 80 度．
【分析】证明∠ABE+∠ADE＝180°，推出∠BAD+∠BED＝180°即可解决问题．
【解答】解：∵∠ABC＝∠ADE，∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ABE+∠ADE＝180°，
∴∠BAD+∠BED＝180°，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转角100°，得到△ADE，
∴∠BAD＝100°，
∴∠BED＝180°﹣100°＝80°．
故答案：80．
18．（3分）海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录．如图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案，则第5个图中有 41 个菱形，第n个图中有 （2n2﹣2n+1） 个菱形（用含n的代数式表示）．
【分析】根据已知图形得出图形中菱形的个数为序数的平方与序数减一的平方的和，据此求解可得．
【解答】解：∵第1个图中菱形的个数1＝12+02，
第2个图中菱形的个数5＝22+12，
第3个图中菱形的个数13＝32+22，
第4个图中菱形的个数25＝42+32，
∴第5个图中菱形的个数为52+42＝41，
第n个图中菱形的个数为n2+（n﹣1）2＝n2+n2﹣2n+1＝2n2﹣2n+1，
故答案为：41，（2n2﹣2n+1）．
19．（3分）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“好数”．
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2＝6，6能被6整除；643不是“好数”，因为6+4＝10，10不能被3整除．问百位数字比十位数字大5的所有“好数”有 7 个．
【分析】设十位数数字为a，则百位数字为a+5（0＜a≤4的整数），得出百位数字和十位数字的和为2a+5，再分别取a＝1，2，3，4，计算判断即可得出结论．
【解答】解：611，617，721，723，729，831，941共7个，理由：
设十位数数字为a，则百位数字为a+5（0＜a≤4的整数），
∴a+a+5＝2a+5，
当a＝1时，2a+5＝7，
∴7能被1，7整除，
∴满足条件的三位数有611，617，
当a＝2时，2a+5＝9，
∴9能被1，3，9整除，
∴满足条件的三位数有721，723，729，
当a＝3时，2a+5＝11，
∴11能被1整除，
∴满足条件的三位数有831，
当a＝4时，2a+5＝13，
∴13能被1整除，
∴满足条件的三位数有941，
即满足条件的三位自然数为611，617，721，723，729，831，941共7个．
故答案为：7．
三、解答题（本大题共7小题，共63分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
20．（7分）计算：20+（13）﹣1•4−4tan45°．
【分析】先计算20、4、（13）﹣1、tan45°，再按运算顺序求值即可．
【解答】解：原式＝1+3×2﹣4×1
＝1+6﹣4
＝3．
21．（7分）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯； B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济； E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．
请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有 200 人；
（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；
（3）最关注话题扇形统计图中的a＝ 25 ，话题D所在扇形的圆心角是 36 度；
（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？
【分析】（1）根据选择B的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的居民人数；
（2）根据（1）中的结果和统计图中的数据，可以计算出选择A和C的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，可以得到a和话题D所在扇形的圆心角的度数；
（4）根据题意和统计图中的数据，可以计算出计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少．
【解答】解：（1）调查的居民共有：60÷30%＝200（人），
故答案为：200；
（2）选择C的居民有：200×15%＝30（人），
选择A的有：200﹣60﹣30﹣20﹣40＝50（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）a%＝50÷200×100%＝25%，
话题D所在扇形的圆心角是：360°×20200=36°，
故答案为：25，36；
（4）10000×30%＝3000（人），
答：该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有3000人．
22．（7分）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为60°，房屋的顶层横梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，3≈1.7）
（1）求屋顶到横梁的距离AG；
（2）求房屋的高AB（结果精确到1m）．
【分析】（1）根据题意得到AG⊥EF，EG=12EF，∠AEG＝∠ACB＝35°，解直角三角形即可得到结论；
（2）过E作EH⊥CB于H，设EH＝x，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）∵房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，EF∥BC，
∴AG⊥EF，EG=12EF，∠AEG＝∠ACB＝35°，
在Rt△AGE中，∠AGE＝90°，∠AEG＝35°，
∵tan∠AEG＝tan35°=AGEG，EG＝6，
∴AG＝6×0.7＝4.2（米）；
答：屋顶到横梁的距离AG约为4.2米；
（2）过E作EH⊥CB于H，
设EH＝x，
在Rt△EDH中，∠EHD＝90°，∠EDH＝60°，
∵tan∠EDH=EHDH，
∴DH=xtan60°，
在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝35°，
∵tan∠ECH=EHCH，
∴CH=xtan35°，
∵CH﹣DH＝CD＝8，
∴xtan35°−xtan60=8，
解得：x≈9.52，
∴AB＝AG+BG＝13.72≈14（米），
答：房屋的高AB约为14米．
23．（9分）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？
【分析】（1）分段函数，利用待定系数法解答即可；
（2）利用（1）的结论，把y＝80代入求出x的值即可解答．
【解答】解：（1）当0≤x≤15时，设y＝kx（k≠0），
则：20＝15k，
解得k=43，
∴y=43x；
当15＜x≤60时，设y＝k′x+b（k'≠0），
则：20=15k'+b170=60k'+b，
解得k'=103b=−30，
∴y=103x−30，
∴y=43x(0≤x≤15)103x−30(15＜x≤60)；
（2）当y＝80时，80=103x−30，解得x＝33，
33﹣15＝18（天），
∴这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果．
24．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交BC于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．
【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；
（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．
【解答】解：（1）连接OD，如图，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAE＝∠OAD，
∴∠ADO＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE∥BC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OF＝1，BF＝2，
∴OB＝3，
∴AF＝4，BA＝6．
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
∴∠ADB＝∠DFB，
又∵∠DBF＝∠ABD，
∴△DBF∽△ABD，
∴BDBA=BFBD，
∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．
∴BD＝23．
解法二：利用勾股定理求出DF，再利用勾股定理求出BD即可．
25．（11分）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．
【分析】（1）由二次函数的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式；
（2）求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x＝﹣2，函数有最大值4；当x=12时函数有最小值−94，进而求得它们的差；
（3）由题意得x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，解方程求得x1＝﹣1，x2＝4﹣m，根据题意得到4﹣m＞3，解得m＜1．
【解答】解：（1）由二次函数y＝x2+px+q的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，
∴1−p+q=04+2p+q=0，解得p=−1q=−2，
∴此二次函数的表达式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=−1+22=12，
∴在﹣2≤x≤1范围内，当x＝﹣2，函数有最大值为：y＝4+2﹣2＝4；当x=12时函数有最小值：y=14−12−2=−94，
∴y的最大值与最小值的差为：4﹣（−94）=254；
（3）y＝（2﹣m）x+2﹣m与二次函数y＝x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b，
∴x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4﹣m，
∵a＜3＜b，
∴a＝﹣1，b＝4﹣m＞3，
故解得m＜1，即m的取值范围是m＜1．
26．（13分）在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是BC、AC的中点，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，连接BD、AE．
观察猜想
（1）如图①，当∠BAC＝60°时，填空：
①AEBD= 1 ；
②直线BD、AE所夹锐角为 60° ；
类比探究
（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试判断AEBD的值及直线BD、AE所夹锐角的度数，并说明理由；
拓展应用
（3）在（2）的条件下，若DE=2，将△CDE绕着点C在平面内旋转，当点D落在射线AC上时，请直接写出AE2的值．
【分析】（1）如图①中，延长BD交AE的延长线于T，BT交AC于O．证明△BCD≌△ACE（SAS）即可解决问题．
（2）如图②中，设AC交BD于O，AE交BD于T．证明△BCD∽△ACE，推出AEBE=ACBC=22，∠CBD＝∠CAE可得结论．
（3）分两种情形：①如图③﹣1中，当点D落在线段AC上时，作EH⊥AC于H．②如图③﹣2中，当点D在AC的延长线上时，分别利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）如图①中，延长BD交AE的延长线于T，BT交AC于O．
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ACB是等边三角形，
∴CA＝CB，∠ACB＝60°，
∵CD=12BC，CE=12AC，∠ECD＝∠ACB＝60°，
∴CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE，∠CBD＝∠CAE，
∴AEBD=1，
∵∠BOC＝∠AOT，
∴∠ATB＝∠ACB＝60°，
∴直线BD、AE所夹锐角为60°，
故答案为1，60°．
（2）如图②中，设AC交BD于O，AE交BD于T．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴CB=2AC，∠ACB＝45°，
∵CD=12BC，CE=12AC，∠ECD＝∠ACB＝45°，
∴CD=2CE，∠BCD＝∠ACE，
∴BCAC=CDCE=2，
∴△BCD∽△ACE，
∴AEBE=ACBC=22，∠CBD＝∠CAE，
∵∠BOC＝∠AOT，
∴∠ATB＝∠ACB＝45°，
∴直线BD、AE所夹锐角为45°．
（3）①如图③﹣1中，当点D落在线段AC上时，作EH⊥AC于H．
由题意，DE＝EC=2，CD=2DE＝2，
∵EH⊥CD，∠CED＝90°，
∴EH＝DH＝HC=12CD＝1，AC＝2EC＝22，
∴AH＝AC﹣CH＝22−1，
在Rt△AEH中，AE2＝AH2+EH2＝（22−1）2+12＝10﹣42
②如图③﹣2中，当点D在AC的延长线上时，同法可得AE2＝（22+1）2+12＝10+42，
综上所述，满足条件的AE2的值为10±42．
2021年山东省临沂市费县中考数学二模试卷
一.选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（3分）计算3+（﹣2）的结果是（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5
2．（3分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体
3．（3分）某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：
鞋的尺码（cm）
24
24.5
25
25.5
26
26.5
销售数量（双）
2
7
18
10
8
3
则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
4．（3分）一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都在另一三角板的斜边上，则∠1的度数为（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
5．（3分）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：如图，（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N．（2）分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC，射线OC即为所求，这种作已知角平分线的方法的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
6．（3分）点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于（ ）
A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣1
7．（3分）从﹣2，﹣1，2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概率是（ ）
A．12 B．13 C．23 D．14
8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．72 B．24 C．48 D．96
9．（3分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
10．（3分）化简a2+b2a−b+2abb−a的结果是（ ）
A．a+b B．a﹣b C．(a+b)2a−b D．(a−b)2a+b
11．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（ ）
A．4 B．43 C．833 D．23
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC=15OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k的值为（ ）
A．3 B．2 C．52 D．4
13．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（ ）
A．﹣2和0 B．﹣4和2 C．﹣5和3 D．﹣6和4
14．（3分）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝3，BF＝2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为（ ）
A．55 B．255 C．455 D．433
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15．（3分）计算：8+|2−1|＝ ．
16．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝14cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，且△DBC的周长是24cm，则BC＝ cm．
17．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角100°，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠BED等于 度．
18．（3分）海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录．如图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案，则第5个图中有 个菱形，第n个图中有 个菱形（用含n的代数式表示）．
19．（3分）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“好数”．
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2＝6，6能被6整除；643不是“好数”，因为6+4＝10，10不能被3整除．问百位数字比十位数字大5的所有“好数”有 个．
三、解答题（本大题共7小题，共63分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
20．（7分）计算：20+（13）﹣1•4−4tan45°．
21．（7分）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯； B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济； E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．
请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有 人；
（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；
（3）最关注话题扇形统计图中的a＝ ，话题D所在扇形的圆心角是 度；
（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？
22．（7分）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为60°，房屋的顶层横梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，3≈1.7）
（1）求屋顶到横梁的距离AG；
（2）求房屋的高AB（结果精确到1m）．
23．（9分）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？
24．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交BC于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．
25．（11分）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．
26．（13分）在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是BC、AC的中点，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，连接BD、AE．
观察猜想
（1）如图①，当∠BAC＝60°时，填空：
①AEBD= ；
②直线BD、AE所夹锐角为 ；
类比探究
（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试判断AEBD的值及直线BD、AE所夹锐角的度数，并说明理由；
拓展应用
（3）在（2）的条件下，若DE=2，将△CDE绕着点C在平面内旋转，当点D落在射线AC上时，请直接写出AE2的值．
2021年山东省临沂市费县中考数学二模试卷
答案与解析
一.选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（3分）计算3+（﹣2）的结果是（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5
【分析】绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
【解答】解：3+（﹣2）＝3﹣2＝1．
故选：C．
2．（3分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体
【分析】根据三视图可得到所求的几何体是柱体，可得几何体的名称．
【解答】解：该几何体是长方体，
故选：D．
3．（3分）某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：
鞋的尺码（cm）
24
24.5
25
25.5
26
26.5
销售数量（双）
2
7
18
10
8
3
则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对鞋店下次进货最具有参考意义的是众数．
【解答】解：对鞋店下次进货来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数．
故选：C．
4．（3分）一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都在另一三角板的斜边上，则∠1的度数为（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠D＝45°，
故选：B．
5．（3分）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：如图，（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N．（2）分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC，射线OC即为所求，这种作已知角平分线的方法的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【分析】利用基本作图得到OM＝ON，CM＝CN，加上OC为公共边，则根据全等三角形的判定方法可判断△OMC≌△ONC．
【解答】解：由作法得OM＝ON，CM＝CN，
而OC为公共边，
所以根据“SSS”可判定△OMC≌△ONC，
所以∠MOC＝∠NOC，即OC平分∠MON．
故选：A．
6．（3分）点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于（ ）
A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣1
【分析】把点P的坐标代入一次函数解析式，得出3a﹣b＝﹣2，代入2（3a﹣b）+1即可．
【解答】解：∵点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，
∴b＝3a+2，
则3a﹣b＝﹣2．
∴6a﹣2b+1＝2（3a﹣b）+1＝﹣4+1＝﹣3
故选：C．
7．（3分）从﹣2，﹣1，2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概率是（ ）
A．12 B．13 C．23 D．14
【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到该点在第三象限的结果数，再利用概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下
共有6种等可能情况，该点在第三象限的情况数有（﹣2，﹣1）和（﹣1，﹣2）这2种结果，
∴该点在第三象限的概率为26=13，
故选：B．
8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．72 B．24 C．48 D．96
【分析】根据菱形的性质得O为BD的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得BD的长度，最后由菱形的面积公式求得面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴BD＝2OH，
∵OH＝4，
∴BD＝8，
∵OA＝6，
∴AC＝12，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×12×8=48．
故选：C．
9．（3分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
【分析】根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量×（1+增长率）2＝2019年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：5000（1+x）2＝7500，
故选：C．
10．（3分）化简a2+b2a−b+2abb−a的结果是（ ）
A．a+b B．a﹣b C．(a+b)2a−b D．(a−b)2a+b
【分析】根据同分母分式相加减的运算法则计算即可．同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．
【解答】解：原式=a2+b2a−b−2aba−b
=a2+b2−2aba−b
=(a−b)2a−b
＝a﹣b．
故选：B．
11．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（ ）
A．4 B．43 C．833 D．23
【分析】连接CD，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根据圆内接四边形的性质得到∠D＝180°﹣∠B＝60°，求得∠CAD＝30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接CD，
∵AB＝BC，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°，
∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，
∵AD是直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠CAD＝30°，AD＝8，
∴CD=12AD＝4，
∴AC=AD2−CD2=82−42=43，
故选：B．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC=15OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k的值为（ ）
A．3 B．2 C．52 D．4
【分析】作AE⊥BC于E，连接OA，根据等腰三角形的性质以及OC=15OB得出OC=12CE，根据相似三角形的性质求得S△CEA＝1，进而根据题意求得S△AOE=32，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
【解答】解：作AE⊥BC于E，连接OA，
∵AB＝AC，
∴CE＝BE，
∵OC=15OB，
∴OC=14BC=14×2CE=12CE，
∵AE∥OD，
∴△COD∽△CEA，
∴S△CEAS△COD=（CEOC）2＝4，
∵△BCD的面积等于1，OC=15OB，
∴S△COD=14S△BCD=14，
∴S△CEA＝4×14=1，
∵OC=12CE，
∴S△AOC=12S△CEA=12，
∴S△AOE=12+1=32，
∵S△AOE=12k（k＞0），
∴k＝3，
故选：A．
13．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（ ）
A．﹣2和0 B．﹣4和2 C．﹣5和3 D．﹣6和4
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）的两个整数根，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，
∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为﹣3和1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，
又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．
∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣5，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，
∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣n的交点的横坐标在﹣5与﹣3之间和1与3之间，
∴关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是﹣4和2，
故选：B．
14．（3分）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝3，BF＝2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为（ ）
A．55 B．255 C．455 D．433
【分析】首先求出△ABD的面积．根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据12•BD•h=12•BF•DF，求出BD即可解决问题．
【解答】解：∵DG＝GE，
∴S△ADG＝S△AEG＝2，
∴S△ADE＝4，
由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，
∴S△ABD＝S△ADE＝4，∠BFD＝90°，
∴12•（AF+DF）•BF＝4，
∴12•（3+DF）•2＝4，
∴DF＝1，
∴DB=BF2+DF2=12+22=5，
设点F到BD的距离为h，则有12•BD•h=12•BF•DF，
∴h=255，
故选：B．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15．（3分）计算：8+|2−1|＝ 32−1 ．
【分析】先化简二次根式和绝对值，然后再进行计算即可．
【解答】解：8+|2−1|
＝22+2−1
＝32−1，
故答案为：32−1．
16．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝14cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，且△DBC的周长是24cm，则BC＝ 10 cm．
【分析】由边AB的垂直平分线与AC交于点D，故AD＝BD，于是将△BCD的周长转化为BC与边长AC的和来解答．
【解答】解：∵C△DBC＝24cm，
∴BD+DC+BC＝24cm①，
又∵MN垂直平分AB，
∴AD＝BD②，
将②代入①得：AD+DC+BC＝24cm，
即AC+BC＝24cm，
又∵AC＝14cm，
∴BC＝24﹣14＝10cm．
故填10．
17．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角100°，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠BED等于 80 度．
【分析】证明∠ABE+∠ADE＝180°，推出∠BAD+∠BED＝180°即可解决问题．
【解答】解：∵∠ABC＝∠ADE，∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ABE+∠ADE＝180°，
∴∠BAD+∠BED＝180°，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转角100°，得到△ADE，
∴∠BAD＝100°，
∴∠BED＝180°﹣100°＝80°．
故答案：80．
18．（3分）海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录．如图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案，则第5个图中有 41 个菱形，第n个图中有 （2n2﹣2n+1） 个菱形（用含n的代数式表示）．
【分析】根据已知图形得出图形中菱形的个数为序数的平方与序数减一的平方的和，据此求解可得．
【解答】解：∵第1个图中菱形的个数1＝12+02，
第2个图中菱形的个数5＝22+12，
第3个图中菱形的个数13＝32+22，
第4个图中菱形的个数25＝42+32，
∴第5个图中菱形的个数为52+42＝41，
第n个图中菱形的个数为n2+（n﹣1）2＝n2+n2﹣2n+1＝2n2﹣2n+1，
故答案为：41，（2n2﹣2n+1）．
19．（3分）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“好数”．
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2＝6，6能被6整除；643不是“好数”，因为6+4＝10，10不能被3整除．问百位数字比十位数字大5的所有“好数”有 7 个．
【分析】设十位数数字为a，则百位数字为a+5（0＜a≤4的整数），得出百位数字和十位数字的和为2a+5，再分别取a＝1，2，3，4，计算判断即可得出结论．
【解答】解：611，617，721，723，729，831，941共7个，理由：
设十位数数字为a，则百位数字为a+5（0＜a≤4的整数），
∴a+a+5＝2a+5，
当a＝1时，2a+5＝7，
∴7能被1，7整除，
∴满足条件的三位数有611，617，
当a＝2时，2a+5＝9，
∴9能被1，3，9整除，
∴满足条件的三位数有721，723，729，
当a＝3时，2a+5＝11，
∴11能被1整除，
∴满足条件的三位数有831，
当a＝4时，2a+5＝13，
∴13能被1整除，
∴满足条件的三位数有941，
即满足条件的三位自然数为611，617，721，723，729，831，941共7个．
故答案为：7．
三、解答题（本大题共7小题，共63分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
20．（7分）计算：20+（13）﹣1•4−4tan45°．
【分析】先计算20、4、（13）﹣1、tan45°，再按运算顺序求值即可．
【解答】解：原式＝1+3×2﹣4×1
＝1+6﹣4
＝3．
21．（7分）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯； B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济； E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．
请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有 200 人；
（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；
（3）最关注话题扇形统计图中的a＝ 25 ，话题D所在扇形的圆心角是 36 度；
（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？
【分析】（1）根据选择B的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的居民人数；
（2）根据（1）中的结果和统计图中的数据，可以计算出选择A和C的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，可以得到a和话题D所在扇形的圆心角的度数；
（4）根据题意和统计图中的数据，可以计算出计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少．
【解答】解：（1）调查的居民共有：60÷30%＝200（人），
故答案为：200；
（2）选择C的居民有：200×15%＝30（人），
选择A的有：200﹣60﹣30﹣20﹣40＝50（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）a%＝50÷200×100%＝25%，
话题D所在扇形的圆心角是：360°×20200=36°，
故答案为：25，36；
（4）10000×30%＝3000（人），
答：该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有3000人．
22．（7分）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为60°，房屋的顶层横梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，3≈1.7）
（1）求屋顶到横梁的距离AG；
（2）求房屋的高AB（结果精确到1m）．
【分析】（1）根据题意得到AG⊥EF，EG=12EF，∠AEG＝∠ACB＝35°，解直角三角形即可得到结论；
（2）过E作EH⊥CB于H，设EH＝x，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）∵房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，EF∥BC，
∴AG⊥EF，EG=12EF，∠AEG＝∠ACB＝35°，
在Rt△AGE中，∠AGE＝90°，∠AEG＝35°，
∵tan∠AEG＝tan35°=AGEG，EG＝6，
∴AG＝6×0.7＝4.2（米）；
答：屋顶到横梁的距离AG约为4.2米；
（2）过E作EH⊥CB于H，
设EH＝x，
在Rt△EDH中，∠EHD＝90°，∠EDH＝60°，
∵tan∠EDH=EHDH，
∴DH=xtan60°，
在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝35°，
∵tan∠ECH=EHCH，
∴CH=xtan35°，
∵CH﹣DH＝CD＝8，
∴xtan35°−xtan60=8，
解得：x≈9.52，
∴AB＝AG+BG＝13.72≈14（米），
答：房屋的高AB约为14米．
23．（9分）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？
【分析】（1）分段函数，利用待定系数法解答即可；
（2）利用（1）的结论，把y＝80代入求出x的值即可解答．
【解答】解：（1）当0≤x≤15时，设y＝kx（k≠0），
则：20＝15k，
解得k=43，
∴y=43x；
当15＜x≤60时，设y＝k′x+b（k'≠0），
则：20=15k'+b170=60k'+b，
解得k'=103b=−30，
∴y=103x−30，
∴y=43x(0≤x≤15)103x−30(15＜x≤60)；
（2）当y＝80时，80=103x−30，解得x＝33，
33﹣15＝18（天），
∴这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果．
24．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交BC于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．
【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；
（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．
【解答】解：（1）连接OD，如图，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAE＝∠OAD，
∴∠ADO＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE∥BC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OF＝1，BF＝2，
∴OB＝3，
∴AF＝4，BA＝6．
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
∴∠ADB＝∠DFB，
又∵∠DBF＝∠ABD，
∴△DBF∽△ABD，
∴BDBA=BFBD，
∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．
∴BD＝23．
解法二：利用勾股定理求出DF，再利用勾股定理求出BD即可．
25．（11分）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．
【分析】（1）由二次函数的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式；
（2）求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x＝﹣2，函数有最大值4；当x=12时函数有最小值−94，进而求得它们的差；
（3）由题意得x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，解方程求得x1＝﹣1，x2＝4﹣m，根据题意得到4﹣m＞3，解得m＜1．
【解答】解：（1）由二次函数y＝x2+px+q的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，
∴1−p+q=04+2p+q=0，解得p=−1q=−2，
∴此二次函数的表达式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=−1+22=12，
∴在﹣2≤x≤1范围内，当x＝﹣2，函数有最大值为：y＝4+2﹣2＝4；当x=12时函数有最小值：y=14−12−2=−94，
∴y的最大值与最小值的差为：4﹣（−94）=254；
（3）y＝（2﹣m）x+2﹣m与二次函数y＝x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b，
∴x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4﹣m，
∵a＜3＜b，
∴a＝﹣1，b＝4﹣m＞3，
故解得m＜1，即m的取值范围是m＜1．
26．（13分）在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是BC、AC的中点，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，连接BD、AE．
观察猜想
（1）如图①，当∠BAC＝60°时，填空：
①AEBD= 1 ；
②直线BD、AE所夹锐角为 60° ；
类比探究
（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试判断AEBD的值及直线BD、AE所夹锐角的度数，并说明理由；
拓展应用
（3）在（2）的条件下，若DE=2，将△CDE绕着点C在平面内旋转，当点D落在射线AC上时，请直接写出AE2的值．
【分析】（1）如图①中，延长BD交AE的延长线于T，BT交AC于O．证明△BCD≌△ACE（SAS）即可解决问题．
（2）如图②中，设AC交BD于O，AE交BD于T．证明△BCD∽△ACE，推出AEBE=ACBC=22，∠CBD＝∠CAE可得结论．
（3）分两种情形：①如图③﹣1中，当点D落在线段AC上时，作EH⊥AC于H．②如图③﹣2中，当点D在AC的延长线上时，分别利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）如图①中，延长BD交AE的延长线于T，BT交AC于O．
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ACB是等边三角形，
∴CA＝CB，∠ACB＝60°，
∵CD=12BC，CE=12AC，∠ECD＝∠ACB＝60°，
∴CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE，∠CBD＝∠CAE，
∴AEBD=1，
∵∠BOC＝∠AOT，
∴∠ATB＝∠ACB＝60°，
∴直线BD、AE所夹锐角为60°，
故答案为1，60°．
（2）如图②中，设AC交BD于O，AE交BD于T．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴CB=2AC，∠ACB＝45°，
∵CD=12BC，CE=12AC，∠ECD＝∠ACB＝45°，
∴CD=2CE，∠BCD＝∠ACE，
∴BCAC=CDCE=2，
∴△BCD∽△ACE，
∴AEBE=ACBC=22，∠CBD＝∠CAE，
∵∠BOC＝∠AOT，
∴∠ATB＝∠ACB＝45°，
∴直线BD、AE所夹锐角为45°．
（3）①如图③﹣1中，当点D落在线段AC上时，作EH⊥AC于H．
由题意，DE＝EC=2，CD=2DE＝2，
∵EH⊥CD，∠CED＝90°，
∴EH＝DH＝HC=12CD＝1，AC＝2EC＝22，
∴AH＝AC﹣CH＝22−1，
在Rt△AEH中，AE2＝AH2+EH2＝（22−1）2+12＝10﹣42
②如图③﹣2中，当点D在AC的延长线上时，同法可得AE2＝（22+1）2+12＝10+42，
综上所述，满足条件的AE2的值为10±42．
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