2021年山东省临沂市沂水县中考数学二模试卷及答案

这是一份2021年山东省临沂市沂水县中考数学二模试卷及答案，共30页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年山东省临沂市沂水县中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列各数中，比小的数是　　
A． B． C． D．0
2．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒秒纳秒）．用科学记数法表示10纳秒为　　
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
3．如图，在中，，，点是边上任意一点，过点作交于点，则的度数是　　

A． B． C． D．
4．下列计算正确的是　　
A． B．
C． D．
5．不等式组的解集在数轴上表示为　　
A． B．
C． D．
6．如图所示，该几何体的俯视图是　　

A． B． C． D．
7．同时掷两枚质地均匀的硬币3次，其中1次两枚正面都朝上，1次一枚正面朝上一枚反面朝上，1次两枚反面都朝上，则再次掷出这两枚硬币，两枚正面都朝上的概率是　　
A． B． C． D．
8．如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是　　

A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定
B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好
C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高
D．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳
9．如图，在中，在边上，，是的中点，连接并延长交于，若，则　　

A． B．2 C．3 D．4
10．对于反比例函数为任意实数），下列说法正确的是　　
A．随的增大而增大
B．图象是轴对称图形，对称轴只有一条是直线
C．当时，
D．当时，
11．《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？若设人数为人，羊价钱，则下面所列方程组正确的是　　
A． B．
C． D．
12．如图，在中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则的长为　　

A． B． C． D．
13．已知，则的值为　　
A． B． C． D．2
14．如图，在中，，点为的中点，是上的一点，且．若，则的长是　　

A． B．4 C． D．6
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15．计算：　　．
16．计算：　　．
17．如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，已知，连接，则　　．

18．如图，是半圆的直径，为半圆上一点，连接，，为弧上一点．连接，交于点，连接，若四边形为平行四边形，，则的长为 　　．

19．如图1，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．设，，则，所以，即叫做黄金比．一些美术家认为：人的上、下身长之比接近黄金比，可以增加美感．如图2的人体雕像高为，下身长为，为增加视觉美感，若图中为2米，则为 　　米．

三、解答题（本大题共7小题，共63分）
20．（7分）解方程：．
21．（7分）为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂．该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择．试用时，设定分装的标准质量为每袋，与之相差大于为不合格．为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：
收集数据从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋，测得实际质量（单位：如下：
甲：501 497 498 502 513 489 506 490 505 486 502 503 498 497 491 500 505 502 504 505
乙：505 499 502 491 487 506 493 505 499 498 502 503 501 490 501 502 511 499 499 501
整理数据整理以上数据，得到每袋质量的频数分布表和频数分布直方图．







甲
2

4
7

1
乙

3
5

3
1
分析数据根据以上数据，得到以下统计量．
统计量
平均数
中位数
方差
不合格率
甲
499.7
501.5
42.01

乙
499.7

31.81

根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的　　，　　，　　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）综合上表中的统计量，判断工厂应选购哪台分装机，并说明理由．

22．（7分）如图，公路为东西走向，在点北偏东方向上，距离5千米处是学校；在点北偏东方向上距离千米处是学校，求学校，两点之间的距离．（参考数据：，，

23．（9分）已知、两地之间有一条长240千米的公路．甲车从地出发匀速开往地，甲车出发两小时后，乙车从地出发匀速开往地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和（千米）与甲车行驶的时间（时之间的函数关系如图所示．
（1）甲车的速度为　　千米时，的值为　　．
（2）求乙车出发后，与之间的函数关系式．
（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．

24．（9分）如图，在中，，点是边上一点，以为直径的与边有公共点，且．
（1）求证：是的切线：
（2）若，，求的半径．

25．（11分）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上的点．

（1）当点是与的交点时，如图1，求的度数；
（2）若点是上任意一点时，将绕点逆时针旋转得到，连接，，求证：；
（3）当点在何处时，的值最小，说明理由．

26．（13分）已知二次函数，，为常数，且的图象经过点，，三点．
（1）若点为该函数图象的顶点．
①求二次函数的解析式；
②点是该二次函数图象上的一点，若，求点的坐标；
（2）若该函数图象关于直线对称．当时，求的取值范围．

2021年山东省临沂市沂水县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列各数中，比小的数是　　
A． B． C． D．0
【分析】根据正数负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：，，，而，
，
比小的数是．
故选：．
2．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒秒纳秒）．用科学记数法表示10纳秒为　　
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：秒纳秒，
纳秒秒 00001秒秒．
故选：．
3．如图，在中，，，点是边上任意一点，过点作交于点，则的度数是　　

A． B． C． D．
【分析】由得到，然后得到，最后由得到．
【解答】解：，
，
，
，
，
故选：．
4．下列计算正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方法则、完全平方公式、多项式乘多项式法则一一判断即可．
【解答】解：，故不正确，不符合题意；
，故不正确，不符合题意；
，故不正确，不符合题意；
，故正确，符合题意；
故选：．
5．不等式组的解集在数轴上表示为　　
A． B．
C． D．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可
【解答】解：由，得，
由，得，
不等式组的解集是，
故选：．
6．如图所示，该几何体的俯视图是　　

A． B． C． D．
【分析】根据俯视图的概念求解可得．
【解答】解：该几何体的俯视图是

故选：．
7．同时掷两枚质地均匀的硬币3次，其中1次两枚正面都朝上，1次一枚正面朝上一枚反面朝上，1次两枚反面都朝上，则再次掷出这两枚硬币，两枚正面都朝上的概率是　　
A． B． C． D．
【分析】先列举出同时掷两枚质地均匀的硬币一次所有四种等可能的结果，然后根据概率的概念即可得到两枚硬币都是正面朝上的概率．
【解答】解：同时掷两枚质地均匀的硬币一次，
共有正正、反反、正反、反正四种等可能的结果，
两枚硬币都是正面朝上的占一种，
所以两枚硬币都是正面朝上的概率为，
故选：．
8．如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是　　

A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定
B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好
C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高
D．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳
【分析】折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好
【解答】解：．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定，正确；
．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好，正确；
．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高，正确
．就甲、乙、丙三个人而言，丙的数学成绩最不稳，故错误．
故选：．
9．如图，在中，在边上，，是的中点，连接并延长交于，若，则　　

A． B．2 C．3 D．4
【分析】过点作交于，如图，先由，根据平行线分线段成比例得到，再由得到比利式，然后利用比例的性质求的长．
【解答】解：过点作交于，如图，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．

10．对于反比例函数为任意实数），下列说法正确的是　　
A．随的增大而增大
B．图象是轴对称图形，对称轴只有一条是直线
C．当时，
D．当时，
【分析】根据反比例函数的性质对各项进行逐一分析即可．
【解答】解：，
在每一个象限随的增大而增大，
故错误，不符合题意；
图象是轴对称图形，对称轴有两条，一是直线，另一条是；
故错误，不符合题意；
当时，，
故错误，不符合题意；
，
在每一个象限随的增大而增大，
当时，则，
故正确，符合题意．
故选：．
11．《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？若设人数为人，羊价钱，则下面所列方程组正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决．
【解答】解：设人数为人，羊价钱，
由题意可得：，
故选：．
12．如图，在中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则的长为　　

A． B． C． D．
【分析】由基本作图得到，加上平分，则根据等腰三角形的性质得到，，再根据平行四边形的性质得，得出，于是得到，根据等腰三角形的判定得，然后再根据等腰三角形的性质得到，最后利用勾股定理计算出，从而得到的长．
【解答】解：连接，与交于点，如图
，平分，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
在中，，
．
故选：．

13．已知，则的值为　　
A． B． C． D．2
【分析】由，通分得，推出，即，所以．
【解答】解：，
，
，
，
．
故选：．
14．如图，在中，，点为的中点，是上的一点，且．若，则的长是　　

A． B．4 C． D．6
【分析】延长至，使，连接，证出是的中位线，得出，证明是等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案．
【解答】解：延长至，使，连接，

，
，
为的中点，
，
是的中位线，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
故选：．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15．计算：　　．
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：．
故答案为：．
16．计算：　　．
【分析】观察可知分母不同，需要找最简公分母，化为同分母分式，再化简即得答案．
【解答】解：原式





，
故答案为：，
17．如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，已知，连接，则　　．

【分析】由折叠的性质可知：，，从而可证明，然后再根据，即：，由平行线的性质可知，从而易证，据此可得答案．
【解答】解：由折叠的性质可知：，，
．
，即：．
又，
．
．
，
，
．
故答案为：．
18．如图，是半圆的直径，为半圆上一点，连接，，为弧上一点．连接，交于点，连接，若四边形为平行四边形，，则的长为 　6　．

【分析】如图，连接．证明，利用勾股定理构建关系式，可得结论．
【解答】解：如图，连接．

是直径，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
故答案为：6．
19．如图1，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．设，，则，所以，即叫做黄金比．一些美术家认为：人的上、下身长之比接近黄金比，可以增加美感．如图2的人体雕像高为，下身长为，为增加视觉美感，若图中为2米，则为 　　米．

【分析】由题意得，即可得出答案．
【解答】解：雕像的腰部以下与全身的高度比值接近黄金比，
，
米，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共63分）
20．（7分）解方程：．
【分析】将方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【解答】解：方程，
因式分解得：，
可得：或，
解得：，．
21．（7分）为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂．该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择．试用时，设定分装的标准质量为每袋，与之相差大于为不合格．为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：
收集数据从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋，测得实际质量（单位：如下：
甲：501 497 498 502 513 489 506 490 505 486 502 503 498 497 491 500 505 502 504 505
乙：505 499 502 491 487 506 493 505 499 498 502 503 501 490 501 502 511 499 499 501
整理数据整理以上数据，得到每袋质量的频数分布表和频数分布直方图．







甲
2

4
7

1
乙

3
5

3
1
分析数据根据以上数据，得到以下统计量．
统计量
平均数
中位数
方差
不合格率
甲
499.7
501.5
42.01

乙
499.7

31.81

根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的　2　，　　，　　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）综合上表中的统计量，判断工厂应选购哪台分装机，并说明理由．

【分析】（1）根据题意可得甲机器中质量在的数量，据此可得的值；根据乙机器中质量在的数量，据此可得的值；根据中位数的定义可得的值；
（2）先求出、的值，再补全频数分布直方图即可；
（3）从平均数、中位数、方差几个方面综合来说明并进行判断．
【解答】解：（1）甲机器中质量在范围的有490、491共2个，故；
在乙机器中质量在围的有487 共1个，故；
在乙机器中20袋质量从小到大排列在中间的两个数是501、501，故，
故答案为：2；1；501；
（2）由（1）可得，，
补全频数分布直方图如下：

（3）选择乙机器，理由：甲与乙的平均数相同，中位数相差不大，乙的方差较小且不合格率较小，所以乙机器的分装合格率更高，且稳定性更好，
22．（7分）如图，公路为东西走向，在点北偏东方向上，距离5千米处是学校；在点北偏东方向上距离千米处是学校，求学校，两点之间的距离．（参考数据：，，

【分析】过点作，，在中求出，，在中求出，，继而得出，的长度，在中利用勾股定理可得出的长度．
【解答】解：过点作，过作于，如图：
在中，，，
，
，，
在中，，，
，
，
，
，
，，
在中，，
答：学校、两点之间的距离为．

23．（9分）已知、两地之间有一条长240千米的公路．甲车从地出发匀速开往地，甲车出发两小时后，乙车从地出发匀速开往地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和（千米）与甲车行驶的时间（时之间的函数关系如图所示．
（1）甲车的速度为　40　千米时，的值为　　．
（2）求乙车出发后，与之间的函数关系式．
（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．

【分析】（1）根据图象可知甲车行驶2行驶所走路程为80千米，据此即可求出甲车的速度；进而求出甲车行驶6小时所走的路程为240千米，根据两车同时到达各自的目的地可得；
（2）运用待定系数法解得即可；
（3）分两车相遇前与相遇后两种情况列方程解答即可．
【解答】解：（1）由题意可知，甲车的速度为：（千米时）；
，
故答案为：40；480；

（2）设与之间的函数关系式为，
由图可知，函数图象经过，，
，解得，
与之间的函数关系式为；

（3）两车相遇前：，解得；
两车相遇后：，解得，
答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是小时或小时．
24．（9分）如图，在中，，点是边上一点，以为直径的与边有公共点，且．
（1）求证：是的切线：
（2）若，，求的半径．

【分析】（1）连接、，由证得，得出，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出，再由，得出，求出长即可．
【解答】（1）证明：连接、，如图所示：
在和中，
，
，
，
，
，
即，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
的半径长为．

25．（11分）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上的点．

（1）当点是与的交点时，如图1，求的度数；
（2）若点是上任意一点时，将绕点逆时针旋转得到，连接，，求证：；
（3）当点在何处时，的值最小，说明理由．

【分析】（1）根据等边三角形的性质和正方形的性质得出，进而利用三角形外角性质解答即可；
（2）根据证明和全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（3）当点位于，交点时，的值最小，根据证明和全等，进而利用全等三角形的性质解答．
【解答】（1）解：是等边三角形，
，，
四边形是正方形，
，，
，，
，
是正方形的对角线，
，
是的外角，
；
（2）证明：由旋转可知，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）当点位于，交点时，的值最小，理由如下：
在和中，
，
，
，
将绕点旋转，得到，
，，
，
在和中，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
即，，，四点共线时，有最小值．
26．（13分）已知二次函数，，为常数，且的图象经过点，，三点．
（1）若点为该函数图象的顶点．
①求二次函数的解析式；
②点是该二次函数图象上的一点，若，求点的坐标；
（2）若该函数图象关于直线对称．当时，求的取值范围．
【分析】（1）①设抛物线为顶点式，将代入，即可求得答案；
②如图1，设交抛物线的对称轴于点，过点作于点，先证得是等腰直角三角形，再证得是等腰直角三角形，得出，再利用待定系数法求得直线的解析式为，联立方程组即可求得答案；
（2）先根据题意求得，再利用对称轴的范围即可求得答案．
【解答】解：（1）①点为该函数图象的顶点，
设，将代入，得，
解得：，
，
二次函数的解析式为；
②如图1，设交抛物线的对称轴于点，过点作于点，
由①知：抛物线的对称轴为直线，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
设直线的解析式为，将，代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为，
联立方程组，得：，
解得：（舍去）或，
点的坐标为；
（2）把，代入，得：
，
，
当时，，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
解得：，
，
，
的取值范围为．