2021年山东省临沂市沂南县中考数学二模试卷及答案

这是一份2021年山东省临沂市沂南县中考数学二模试卷及答案，共28页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年山东省临沂市沂南县中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）12021的相反数为（　　）
A．2021 B．﹣2021 C．12021 D．−12021
2．（3分）我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”．2021年3月26日，国家航天局发布两幅由“天问一号”探测器拍摄的南、北半球火星侧身影像．该影像是探测器飞行至距离火星11000公里处，利用中分辨率相机拍摄的．将11000用科学记数法表示应为（　　）
A．11×103 B．1.1×104 C．1.1×105 D．0.11×106
3．（3分）将直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式折叠放在一起，若∠1＝51°，则∠2的度数为（　　）

A．51° B．39° C．49° D．32°
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．x2•x3＝2x6 B．3x2÷2x＝x
C．（−12x2y）3=−18x6y3 D．（x+y）2＝x2+y2
5．（3分）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
6．（3分）已知a﹣b＝1，则a3﹣a2b+b2﹣2ab的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
7．（3分）不等式组2x≤5x+6x＜1解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同，从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是（　　）
A．13 B．49 C．35 D．23
9．（3分）在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组8名同学捐款的金额（单位：元）如下表：
金额/元
10
12
14
20
人数
2
3
2
1
这8名同学捐款的平均金额为（　　）
A．15 B．14 C．13.5 D．13
10．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用根绳子去量一根木条．绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　）
A．y=x−4.5y=2x−1 B．y=x+4.5y=2x−1
C．y=x+4.50.5y=x−1 D．y=x−4.50.5y=x+1
11．（3分）如图，已知平行四边形ABCD，CD＝3cm，依下列步骤作图，并保留作图痕迹：
步骤1：以B为圆心，BE长为半径画弧①，分别交AB，BC于点E，F；
步骤2：以A为圆心，以BE长为半径画弧②，交AD于点G；
步骤3：以G为圆心，以EF长为半径画弧③，弧②和弧③交于点H，过H作射线，交BC于点M．则下列叙述不正确的是（　　）

A．∠AMC＝∠C B．AM＝CD C．AM平分∠BAD D．△BEF≌△AGH
12．（3分）已知y关于x的二次函数表达式是y＝ax2+4x﹣a，下列结论：①若a＝﹣1，函数的最大值是5；②若a＝﹣1，当x≥2时，y随x的增大而减少；③无论a为何值时，函数图象一定经过点（1，﹣4）；④无论a为何值时，函数图象与x轴有两个交点，其中正确的是（　　）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．②③④
13．（3分）如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点B，则k的值为（　　）

A．4 B．163 C．10 D．323
14．（3分）如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（　　）

A．3π B．32π C．233π D．33π
二、填空题（本大题共5个小题。每小题3分，共15分）
15．（3分）计算：（27−43）÷3=　 　．
16．（3分）计算a2−9a2−6a+9+a+23−a的结果是 　 　．
17．（3分）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数达到3.38万户，则该市5G用户数年平均增长率为 　 　．
18．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，边AB＝12，AD＝5，点P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合），将纸片沿AP折叠，则CD′的最小值为　 　．

19．（3分）教材中第28章通过锐角三角函数，建立直角三角形边角之间的关系．解决与直角三角形试题有关问题．
类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=底边腰=BCAB．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，sinα=35，其中α为锐角，则sadα的值为 　 　．

三、解答题（本大题共7小题，共63分）
20．（7分）解方程：2xx−3−1=13−x．
21．（7分）某校为了解学生的身体素质情况，在全校进行了一次体质健康测试，1分钟仰卧起坐是其中的一个测试项目．测试结束后，学校随机从男生、女生中各抽取20人的仰卧起坐成绩（单位：次）进行统计、分析，过程如下：
[收集数据]
男生：37 29 47 50 38 44 33 15 25 37 39 40 19 40 50 30 30 40 46 26
女生：30 12 30 45 14 50 40 33 36 28 48 26 30 37 18 30 47 24 50 38
【整理数据】
成绩x/次
10≤x≤20
20＜x≤30
30＜x≤40
40＜x≤50
男生
2
5
8
a
女生
3
b
5
5
【分析数据】
统计量
平均数
中位数
众数
方差
男生
35.75
c
40
90.99（精确到0.01）
女生
33.3
31.5
d
122.91
【应用数据】
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　，d＝　 　；
（2）若男生共有240人参加测试，请估计男生测试成绩大于40次的人数；
（3）有人认为，男生成绩比女生成绩更好些（不考虑男女差异），你认为理由是什么．
22．（7分）为了测量大树MN的高度，小华在地面上B点处测得大树顶端M的仰角为35°，小华继续向大树方向走8m到达点D时，又测得遮挡物E点的仰角为60°，已知A、E、M三点共线，小华的眼睛距地面的高度不变且距离为1.6m，即AB＝CD＝1.6m，遮挡物EF与大树MN的距离FN＝6m，EF⊥BN，MN⊥BN，（B，D，F，N在同一水平线上）．求大树的高MN（结果精确到1m）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，3≈1.7）

23．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF＝EF，EF与AC交于点G．
（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OA＝2，∠A＝30°，求图中阴影部分的面积．

24．（9分）某公司开发出一款新的节能产品该产品的成本价为8元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为13元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘制成如图所示的图象，图中的折线ABC表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系．
（1）直接写出y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围．
（2）若该节能产品的日销售利润为w（元），求w与x之间的函数解析式，日销售利润不超过1950元的共有多少天？
（3）若5≤x≤17，求第几天的日销售利润最大，最大的日销售利润是多少元？

25．（11分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（3，2），且过点（0，11）．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位长度后得到新抛物线．
①若新抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且OB＝3OA，求m的值；
②若P（x1，y1），Q（x2，y2）是新抛物线上的两点，当n≤x1≤n+1，x2≥4时，均有y1≤y2，求n的取值范围．
26．（13分）如图，四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△EBN≌△ABM；
（2）当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，以B为原点，BC为x轴正方向建立直角坐标系，若菱形ABCD的边长为2，求M点的坐标．


2021年山东省临沂市沂南县中考数学二模试卷
答案与解析
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）12021的相反数为（　　）
A．2021 B．﹣2021 C．12021 D．−12021
【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此判断即可．
【解答】解：12021的相反数是−12021．
故选：D．
2．（3分）我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”．2021年3月26日，国家航天局发布两幅由“天问一号”探测器拍摄的南、北半球火星侧身影像．该影像是探测器飞行至距离火星11000公里处，利用中分辨率相机拍摄的．将11000用科学记数法表示应为（　　）
A．11×103 B．1.1×104 C．1.1×105 D．0.11×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将11000用科学记数法表示为1.1×104．
故选：B．
3．（3分）将直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式折叠放在一起，若∠1＝51°，则∠2的度数为（　　）

A．51° B．39° C．49° D．32°
【分析】根据平行线的性质，即可得出∠1+∠AEH＝180°，再根据等腰直角三角形EFG中，∠FEG＝90°，即可得到∠2＝180°﹣90°﹣51°＝39°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1+∠AEH＝180°，即∠1+∠2+∠FEG＝180°，
又∵等腰直角三角形EFG中，∠FEG＝90°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣∠1，
∵∠1＝51°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣51°＝39°．

故选：B．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．x2•x3＝2x6 B．3x2÷2x＝x
C．（−12x2y）3=−18x6y3 D．（x+y）2＝x2+y2
【分析】选项A同底数幂的乘法计算，选项B利用单项式除以单项式计算，选项C利用积的乘方进行计算，选项D利用完全平方公式，即可得出结论．
【解答】解：选项A、x2•x3＝x2+3＝x5，不符合题意；
选项B、3x2÷2x=32x，不符合题意；
选项C、（−12x2y）3=−18x6y3，符合题意；
选项D、（x+y）2＝x2+2xy+y2，不符合题意；
故选：C．
5．（3分）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看，是一个矩形，矩形内部有一条横向的虚线．
故选：D．
6．（3分）已知a﹣b＝1，则a3﹣a2b+b2﹣2ab的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】先将前两项提公因式，然后把a﹣b＝1代入，化简后再与后两项结合进行分解因式，最后再代入计算．
【解答】解：a3﹣a2b+b2﹣2ab＝a2（a﹣b）+b2﹣2ab＝a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2＝1．
故选：C．
7．（3分）不等式组2x≤5x+6x＜1解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先求出每个不等式的解集，后把解集表示到数轴上即可．
【解答】解：2x≤5x+6①x＜1②，
解①得x≥﹣2；
解②x＜1，
表示到数轴上如下：
，
故选：A．
8．（3分）现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同，从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是（　　）
A．13 B．49 C．35 D．23
【分析】用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“两球颜色相同”的结果数，进而求出概率．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：

共有9种可能出现的结果，其中“两球颜色相同”的有4种，
∴P（两球颜色相同）=49．
故选：B．
9．（3分）在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组8名同学捐款的金额（单位：元）如下表：
金额/元
10
12
14
20
人数
2
3
2
1
这8名同学捐款的平均金额为（　　）
A．15 B．14 C．13.5 D．13
【分析】直接利用加权平均数的定义列式计算即可．
【解答】解：这8名同学捐款的平均金额为10×2+12×3+14×2+20×18=13（元），
故选：D．
10．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用根绳子去量一根木条．绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　）
A．y=x−4.5y=2x−1 B．y=x+4.5y=2x−1
C．y=x+4.50.5y=x−1 D．y=x−4.50.5y=x+1
【分析】根据“用根绳子去量一根木条．绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意得：y=x+4.50.5y=x−1．
故选：C．
11．（3分）如图，已知平行四边形ABCD，CD＝3cm，依下列步骤作图，并保留作图痕迹：
步骤1：以B为圆心，BE长为半径画弧①，分别交AB，BC于点E，F；
步骤2：以A为圆心，以BE长为半径画弧②，交AD于点G；
步骤3：以G为圆心，以EF长为半径画弧③，弧②和弧③交于点H，过H作射线，交BC于点M．则下列叙述不正确的是（　　）

A．∠AMC＝∠C B．AM＝CD C．AM平分∠BAD D．△BEF≌△AGH
【分析】根据角的尺规作图和平行四边形的性质求解可得．
【解答】解：根据题意可得∠DAM＝∠ABC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AD∥BC，
∴∠DAM+∠AMC＝180°，∠D+∠ACD＝180°，
∴∠AMC＝∠C，故A正确；
∵AB＝AM，
∵AB＝CD，
∴AM＝CD，故B正确；
∵∠B＝∠GAH，
∵BE＝BF＝AH＝AG，
∴△BEF≌△AGH（SAS），故D正确；
故选：C．
12．（3分）已知y关于x的二次函数表达式是y＝ax2+4x﹣a，下列结论：①若a＝﹣1，函数的最大值是5；②若a＝﹣1，当x≥2时，y随x的增大而减少；③无论a为何值时，函数图象一定经过点（1，﹣4）；④无论a为何值时，函数图象与x轴有两个交点，其中正确的是（　　）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．②③④
【分析】利用配方法，当a＝﹣1时，y＝﹣（x﹣2）2+5，则根据二次函数的性质可对①②进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征可对③进行判断；根据根的判别式的意义对④进行判断．
【解答】解：当a＝﹣1时，y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5，
∴当x＝2时，y有最大值5，所以①正确；
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x≥2时，y随x的增大而减少，所以②正确；
当x＝1时，y＝ax2+4x﹣a＝a+4﹣a＝4，
∴无论a为何值时，函数图象一定经过点（1，﹣4），所以③正确；
∵a≠0，Δ＝42﹣4a•（﹣a）＝4a2+16＞0，
∴当a取不等于0的任意数时，函数图象与x轴有两个交点，所以④错误．
故选：C．
13．（3分）如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点B，则k的值为（　　）

A．4 B．163 C．10 D．323
【分析】设A（t，0），利用两点间的距离公式得到（t+2）2+32＝52，解方程得到A（2，0），设C（0，m），根据矩形的性质通过点的平移得到B（4，m﹣3），则利用AC＝BD得到22+m2＝（4+2）2+（m﹣3﹣3）2，解方程得B点坐标，然后把B点坐标代入y=kx中可得到k的值．
【解答】解：设A（t，0），
∵D（﹣2，3），AD＝5，
∴（t+2）2+32＝52，解得t＝2，
∴A（2，0），
设C（0，m），
∵D点向右平移2个单位，向上平移（m﹣3）个单位得到C点，
∴A点向右平移2个单位，向上平移（m﹣3）个单位得到B点，
∴B（4，m﹣3），
∵AC＝BD，
∴22+m2＝（4+2）2+（m﹣3﹣3）2，解得m=173，
∴B（4，83），
把B（4，83）代入y=kx得k＝4×83=323．
故选：D．

14．（3分）如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（　　）

A．3π B．32π C．233π D．33π
【分析】连接AC，AO，由AB⊥CD，利用垂径定理得到G为AB的中点，由中点的定义确定出OG的长，在直角三角形AOG中，由AO与OG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而确定出AB的长，由CO+GO求出CG的长，在直角三角形AGC中，利用勾股定理求出AC的长，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，如图中红线所示，当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长AG，在直角三角形ACG中，利用锐角三角函数定义求出∠ACG的度数，进而确定出AG所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出AG的长，即可求出点F所经过的路径长．
【解答】解：连接AC，AO，
∵AB⊥CD，
∴G为AB的中点，即AG＝BG=12AB，
∵⊙O的半径为4，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，
∴OG＝2，
∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AG=AO2−OG2=23，
又∵CG＝CO+GO＝4+2＝6，
∴在Rt△AGC中，根据勾股定理得：AC=AG2+CG2=43，
∵CF⊥AE，
∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，
当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，
∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长AG，
在Rt△ACG中，tan∠ACG=AGCG=33，
∴∠ACG＝30°，
∴AG所对圆心角的度数为60°，
∵直径AC＝43，
∴AG的长为60π×23180=233π，
则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为233π．
故选：C．

二、填空题（本大题共5个小题。每小题3分，共15分）
15．（3分）计算：（27−43）÷3=　73　．
【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的混合运算法则计算即可．
【解答】解：原式＝（33−233）÷3
=733÷3
=73．
故答案为：73．
16．（3分）计算a2−9a2−6a+9+a+23−a的结果是 　1a−3　．
【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式=(a−3)(a+3)(a−3)2−a+2a−3
=a+3a−3−a+2a−3
=1a−3，
故答案为：1a−3．
17．（3分）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数达到3.38万户，则该市5G用户数年平均增长率为 　30%　．
【分析】设该市5G用户数年平均增长率为x，利用2021年底全市5G用户数＝2019年底全市5G用户数×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设该市5G用户数年平均增长率为x，
依题意得：2（1+x）2＝3.38，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去），
∴该市5G用户数年平均增长率为30%．
故答案为：30%．
18．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，边AB＝12，AD＝5，点P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合），将纸片沿AP折叠，则CD′的最小值为　8　．

【分析】连接AC，当点D'在AC上时，CD'有最小值，根据矩形的性质和折叠的性质解答即可．
【解答】解：连接AC，当点D'在AC上时，CD'有最小值，

∵四边形ABCD是矩形，AB＝12，AD＝5，
∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，
∴AC=AB2+BC2=122+52=13，
由折叠性质得：AD＝AD'＝5，∠AD'P＝∠D＝90°，
∴CD'的最小值＝AC﹣AD'＝13﹣5＝8，
故答案为：8．
19．（3分）教材中第28章通过锐角三角函数，建立直角三角形边角之间的关系．解决与直角三角形试题有关问题．
类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=底边腰=BCAB．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，sinα=35，其中α为锐角，则sadα的值为 　105　．

【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，在Rt△ABD中，设BD＝3k，AB＝5k，再利用勾股定理求出AD，从而求出CD，然后在Rt△BDC中，求出BC，最后进行计算即可解答．
【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，

在Rt△ABD中，sinA=BDAB=35，
设BD＝3k，AB＝5k，
∴AD=AB2−BD2=(25k)2−(3k)2=4k，
∵AB＝AC＝5k，
∴CD＝AC﹣AD＝5k﹣4k＝k，
在Rt△BDC中，BC=BD2+CD2=(3k)2+k2=10k，
∴sadA=BCAB=10k5k=105，
∴sadα的值为105，
故答案为：105．
三、解答题（本大题共7小题，共63分）
20．（7分）解方程：2xx−3−1=13−x．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解；原方程化为：2x﹣（x﹣3）＝﹣1，
解得，x＝﹣4，
经检验，x＝﹣4是原方程的根．
21．（7分）某校为了解学生的身体素质情况，在全校进行了一次体质健康测试，1分钟仰卧起坐是其中的一个测试项目．测试结束后，学校随机从男生、女生中各抽取20人的仰卧起坐成绩（单位：次）进行统计、分析，过程如下：
[收集数据]
男生：37 29 47 50 38 44 33 15 25 37 39 40 19 40 50 30 30 40 46 26
女生：30 12 30 45 14 50 40 33 36 28 48 26 30 37 18 30 47 24 50 38
【整理数据】
成绩x/次
10≤x≤20
20＜x≤30
30＜x≤40
40＜x≤50
男生
2
5
8
a
女生
3
b
5
5
【分析数据】
统计量
平均数
中位数
众数
方差
男生
35.75
c
40
90.99（精确到0.01）
女生
33.3
31.5
d
122.91
【应用数据】
（1）填空：a＝　5　，b＝　7　，c＝　37.5　，d＝　30　；
（2）若男生共有240人参加测试，请估计男生测试成绩大于40次的人数；
（3）有人认为，男生成绩比女生成绩更好些（不考虑男女差异），你认为理由是什么．
【分析】（1）将男女生成绩重新排列，再根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）用总人数乘以男生成绩超过40次的人数所占比例即可；
（3）从平均数、中位数、方差的意义求解即可．
【解答】解：（1）男生：15、19、25、26、29、30、30、33、37、37、38、39、40、40、40、44、46、47、50、50，
女生：12、14、18、24、26、28、30、30、30、30、33、36、37、38、40、45、47、48、50、50，
∴a＝5，b＝7，男生成绩的中位数c=37+382=37.5，女生成绩的众数d＝30，
故答案为：5、7、37.5、30；
（2）估计男生测试成绩大于40次的人数为240×520=60（人）；
（3）男生的平均成绩大于女生，而且男生成绩的中位数大于女生、方差小于女生，即男生高分人数多且成绩稳定．
22．（7分）为了测量大树MN的高度，小华在地面上B点处测得大树顶端M的仰角为35°，小华继续向大树方向走8m到达点D时，又测得遮挡物E点的仰角为60°，已知A、E、M三点共线，小华的眼睛距地面的高度不变且距离为1.6m，即AB＝CD＝1.6m，遮挡物EF与大树MN的距离FN＝6m，EF⊥BN，MN⊥BN，（B，D，F，N在同一水平线上）．求大树的高MN（结果精确到1m）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，3≈1.7）

【分析】延长AC交EF于P，交MN于Q，则QN＝AB＝1.6m，PQ＝FN＝6m，由锐角三角函数定义求出EP=3CP，设CP＝xm，则EP=3xm，再由锐角三角函数定义得t3x8+x≈0.7，解得x＝5.6，则AQ＝19.6（m），然后由锐角三角函数定义求出MQ的长，即可解决问题．
【解答】解：延长AC交EF于P，交MN于Q，如图所示：
则QN＝AB＝1.6m，PQ＝FN＝6m，
在Rt△ECP中，∠ECP＝60°，tan∠ECP=EPCP=tan60°=3，
∴EP=3CP，
设CP＝xm，则EP=3xm，
∴AP＝AC+CP＝（8+x）m，AQ＝AC+CP+PQ＝8m+xm+6m＝（14+x）m，
∵tan∠EAP=EPAP=tan35°≈0.7，
∴3x8+x≈0.7，
解得：x＝5.6，
∴AQ＝19.6（m），
∵tan∠MAQ=MQAQ=tan35°≈0.7，
∴MQ≈0.7AQ＝0.7×19.6＝13.72（m），
∴MN＝MQ+QN＝13.72+1.6≈15（m），
答：大树的高MN约为15m．

23．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF＝EF，EF与AC交于点G．
（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OA＝2，∠A＝30°，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠AEO，∠B＝∠BEF，于是得到∠OEG＝90°，即可得到结论；
（2）由AD是⊙O的直径，得到∠AED＝90°，根据三角形的内角和得到∠EOD＝60°，求得∠EGO＝30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠A＝∠AEO，
∵BF＝EF，
∴∠B＝∠BEF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠AEO+∠BEF＝90°，
∴∠OEG＝90°，
∴EF是⊙O的切线；

（2）∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠EOD＝60°，
∴∠EGO＝30°，
∵AO＝2，
∴OE＝2，
∴EG＝23，
∴阴影部分的面积=12×2×23−60⋅π×22360=23−23π．

24．（9分）某公司开发出一款新的节能产品该产品的成本价为8元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为13元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘制成如图所示的图象，图中的折线ABC表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系．
（1）直接写出y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围．
（2）若该节能产品的日销售利润为w（元），求w与x之间的函数解析式，日销售利润不超过1950元的共有多少天？
（3）若5≤x≤17，求第几天的日销售利润最大，最大的日销售利润是多少元？

【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）根据题意和（1）中的函数关系式可以写出w与x的函数关系式，求得日销售利润不超过1950元的天数；
（3）根据题意和（2）中的关系式可以求得第几天的日销售利润最大，最大的日销售利润是多少元．
【解答】解：（1）当1≤x≤10时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
k+b=45010k+b=180，得k=−30b=480，
即当1≤x≤10时，y与x的函数关系式为y＝﹣30x+480，
当10＜x≤30时，设y与x的函数关系式为y＝mx+n，
10m+n=18030m+n=600，得m=21n=−30，
即当10＜x≤30时，y与x的函数关系式为y＝21x﹣30，
由上可得，y=−30x+480(1≤x≤10)21x−30(10＜x≤30)；
（2）由题意可得，
当1≤x≤10时，w＝（13﹣8）y＝5y＝5×（﹣30x+480）＝﹣150x+2400，
当10＜x≤30时，w＝（13﹣8）y＝5y＝5×（21x﹣30）＝105x﹣150，
即w=−150x+2400(1≤x≤10)105x−150(10＜x≤30)，
当﹣150x+2400＝1950时，得x＝3，
当105x﹣150＝1950时，得x＝20，
∵20﹣3+1＝18，
∴日销售利润不超过1950元的共有18天；
（3）∵当5≤x≤10时，w＝﹣150x+2400，
∴当x＝5时，w取得最大值，此时w＝1650，
∵当10＜x≤17时，w＝105x﹣150，
∴当x＝17时，w取得最大值，此时w＝1635，
综上所述：当x＝5时，w取得最大值，w＝1650，
答：第5日的销售利润最大，最大销售利润为1650元．
25．（11分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（3，2），且过点（0，11）．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位长度后得到新抛物线．
①若新抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且OB＝3OA，求m的值；
②若P（x1，y1），Q（x2，y2）是新抛物线上的两点，当n≤x1≤n+1，x2≥4时，均有y1≤y2，求n的取值范围．
【分析】（1）设抛物线解析式为顶点式y＝a（x﹣3）2+2，把点（0，11）代入求值即可；
（2）①利用抛物线解析式求得点A、B的坐标，根据抛物线的对称性质和方程思想求得m的值即可；
②根据抛物线的对称性质知：当x＝4和x＝﹣2时，函数值相等．结合图象，得n≥﹣2且n+1≤4．解该不等式组得到：﹣2≤n≤3．
【解答】解：（1）∵顶点为（3，2），
∴y＝ax2+bx+c＝y＝a（x﹣3）2+2（a≠0）．
又∵抛物线过点（0，11），
∴a（0﹣3）2+2＝11，
∴a＝1．
∴y＝（x﹣3）2+2；

（2）由平移的性质知，平移后的抛物线的表达式为y＝（x﹣3+2）2+2﹣m＝x2﹣2x+3﹣m，
①分情况讨论：
若点A，B均在x轴正半轴上，设A（x，0），则B（3x，0），
由对称性可知：12（x+3x）＝1，解得x=12，
故点A的坐标为（12，0），
将点A的坐标代入y＝x2﹣2x+3﹣m得：0=14−1+3﹣m，
解得m=94
若点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，设A（x，0），则B（﹣3x，0），
由对称性可知：12（x﹣3x）＝1，
解得x＝﹣1，
故点A的坐标为（﹣1，0），
同理可得m＝6，
综上：m=94或m＝6；

②∵新抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＝4和x＝﹣2时，函数值相等．
又∵当n≤x1≤n+1，x2≥4时，均有y1≤y2，

∴结合图象，得n≥−2n+1≤4，
∴﹣2≤n≤3．
26．（13分）如图，四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△EBN≌△ABM；
（2）当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，以B为原点，BC为x轴正方向建立直角坐标系，若菱形ABCD的边长为2，求M点的坐标．

【分析】（1）根据△ABE是等边三角形和菱形的性质证明△EBN≌△ABM；
（2）连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，求出EC的值即可；
（3）根据题意和菱形的性质求出直线BD和直线CE的解析式，求出交点即可．
【解答】（1）证明：∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°．
∵∠MBN＝60°，∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN．
即∠MBA＝∠NBE，
又∵MB＝NB，
在△AMB和△ENB中，
BA=BE∠MBA=∠NBEMB=NB，
∴△AMB≌△ENB；
（2）如图1，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，
理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN，
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形．
∴BM＝MN，
∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．
根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM＝EC最短，
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长；
（3）解：如图2，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝120°﹣60°＝60°．
∵菱形ABCD的边长为2，即BC＝BE=2，可求得BF＝1，EF=3，
∴C（2，0），E（﹣1，3）），
求得直线CE：y=−33x+233；
同上可求得直线BD：y=33x；
由题意得y=−33x+233y=33x，
解得x=1y=33，
即M（1，33）．