2021年山东省临沂市蒙阴县中考数学二模试卷及答案

这是一份2021年山东省临沂市蒙阴县中考数学二模试卷及答案，共28页。

2021年山东省临沂市蒙阴县中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）的相反数是　　
A．2021 B． C． D．
2．（3分）如图，，，，则　　度．

A．70 B．150 C．90 D．100
3．（3分）如果不等式的解集是，那么的取值范围是　　
A． B． C． D．
4．（3分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为　　

A．1 B．2 C． D．4
5．（3分）已知，，则的值为　　
A． B．20 C． D．40
6．（3分）如图，已知等腰中，，是高和高的交点，，则线段的长度为　　

A． B．2 C． D．
7．（3分）下列运算正确的是　　
A． B．
C． D．
8．（3分）甲袋中装有2张相同的卡片，颜色分别为红色和黄色；乙袋中装有3张相同的卡片，颜色分别为红色、黄色、绿色．从这两个口袋中各随机抽取1张卡片，取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率是　　
A． B． C． D．
9．（3分）化简的结果是　　
A． B． C． D．
10．（3分）某公司有10名员工，每人年收入数据如下表：
年收入万元
4
6
8
10
人数人
3
4
2
1
则他们年收入数据的众数与中位数分别为　　
A．4，6 B．6，6 C．4，5 D．6，5
11．（3分）如图，点、、在上，若，，则图中阴影部分的面积是　　

A． B． C． D．
12．（3分）已知关于的一次函数图象经过点、，则，的大小关系为　　
A． B． C． D．
13．（3分）李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的速度是250米分钟，步行的速度是80米分钟．他家离学校的距离是2900米．若他骑车和步行的时间分别为分钟和分钟，则列出的方程组是　　
A． B．
C． D．
14．（3分）如图①，为矩形的边上一点，，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是．现，两点同时出发，设运动时间为，的面积为，若与的对应关系如图②所示，则矩形的面积是　　

A． B． C． D．
二．填空题（每题3分，共15分）
15．（3分）计算：　　．
16．（3分）如图，在中，，，．将绕点旋转后得到△，则点的坐标为　　．

17．（3分）学校进行了一次智力测试，共25题．规定答对一题得2分，答错一题扣1分，未答的题不得分也不扣分．小刚同学共得了34分，且已知他有奇数道题目未答，则他有　　道题未答．
18．（3分）如图，在中，、分别是的中线和角平分线，，，则的长为　　．

19．（3分）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算时，如图，在中，，，延长使，连接，得，所以．类比这种方法，计算的值为 　　．

三．解答题（共63分）
20．（7分）解分式方程：．
21．（7分）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，某校举办了以“感悟汉字深厚底蕴，弘扬中华传统文化”为主题的汉字听写大赛，全校3600名学生都参加了此次大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
成绩分





频数
10
30
40

50
频率
0.05
0.15

0.35
0.25
（1）　　；　　；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）这次比赛成绩的中位数会落在　　分数段；
（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，估计该校参加这次比赛的3600名学生中成绩“优”等约有多少人？

22．（7分）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳与地面保持垂直，吊臂与水平线的夹角为，吊臂底部距地面．
（1）当吊臂底部与货物的水平距离为时，求吊臂的长；
（2）如果该吊车吊臂的最大长度为，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计，计算结果精确到，参考数据：，，

23．（9分）甲、乙两车从M地到480千米的N地，甲车比乙车晚出发2小时，乙车途中因故停车检修，图中线段DE、折线OABC分别表示甲、乙两车所行路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解决如下问题：

（1）求两车在途中第二次相遇时，它们距目的地的路程；
（2）甲车出发多长时间，两车在途中第一次相遇？
24．（9分）如图，已知是的直径，是的弦，点在外，连接，的平分线交于点．
（1）若，求证：是的切线；
（2）若，，求弦的长．

25．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点坐标为，抛物线的对称轴方程为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点从点出发，在线段上以每秒3个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设的面积为，点运动时间为，试求与的函数关系，并求的最大值；
（3）在点运动过程中，是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．

26．（13分）如图，四边形是正方形，点为对角线的中点．
（1）问题解决：如图①，连接，分别取，的中点，，连接，则与的数量关系是　　，位置关系是　　；
（2）问题探究：如图②，△是将图①中的绕点按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．判断的形状，并证明你的结论；
（3）拓展延伸：如图③，△是将图①中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．若正方形的边长为1，求的面积．


参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）的相反数是　　
A．2021 B． C． D．
【解答】解：，
2021的相反数是，
故选：．
2．（3分）如图，，，，则　　度．

A．70 B．150 C．90 D．100
【解答】解：如图，延长交于点，
，
，
又，
，
又，
．
故选：．

3．（3分）如果不等式的解集是，那么的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：的解集是，
，
解得，
故选：．
4．（3分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为　　

A．1 B．2 C． D．4
【解答】解：

．
故该几何体的体积为2．
故选：．
5．（3分）已知，，则的值为　　
A． B．20 C． D．40
【解答】解：

，
将，代入得．
故的值为．
故选：．
6．（3分）如图，已知等腰中，，是高和高的交点，，则线段的长度为　　

A． B．2 C． D．
【解答】解：，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故选：．
7．（3分）下列运算正确的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：，故本选项不合题意；
，故本选项不合题意；
，故本选项符合题意；
．，故本选项不合题意．
故选：．
8．（3分）甲袋中装有2张相同的卡片，颜色分别为红色和黄色；乙袋中装有3张相同的卡片，颜色分别为红色、黄色、绿色．从这两个口袋中各随机抽取1张卡片，取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率是　　
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图如图：

共有6个等可能的结果，取出的两张卡片中至少有一张是红色的结果有4个，
取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率为，
故选：．
9．（3分）化简的结果是　　
A． B． C． D．
【解答】解：原式


．
故选：．
10．（3分）某公司有10名员工，每人年收入数据如下表：
年收入万元
4
6
8
10
人数人
3
4
2
1
则他们年收入数据的众数与中位数分别为　　
A．4，6 B．6，6 C．4，5 D．6，5
【解答】解：10名员工的年收入出现次数最多的是6万元，共出现4次，因此众数是6，
将这10名员工的年收入从小到大排列，处在中间位置的数是6万元，因此中位数是6，
故选：．
11．（3分）如图，点、、在上，若，，则图中阴影部分的面积是　　

A． B． C． D．
【解答】解：，
，
故选：．
12．（3分）已知关于的一次函数图象经过点、，则，的大小关系为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
值随值的增大而增大．
又，
．
故选：．
13．（3分）李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的速度是250米分钟，步行的速度是80米分钟．他家离学校的距离是2900米．若他骑车和步行的时间分别为分钟和分钟，则列出的方程组是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：他骑车和步行的时间分别为分钟，分钟，由题意得：
，
故选：．
14．（3分）如图①，为矩形的边上一点，，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是．现，两点同时出发，设运动时间为，的面积为，若与的对应关系如图②所示，则矩形的面积是　　

A． B． C． D．
【解答】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点运动到点时，，，
过点作于，

由三角形面积公式得：，
解得，
，
由图2可知当时，点与点重合，

，
矩形的面积为．
故选：．
二．填空题（每题3分，共15分）
15．（3分）计算：　10　．
【解答】解：原式
．
故答案为：10．
16．（3分）如图，在中，，，．将绕点旋转后得到△，则点的坐标为　或　．

【解答】解在中，，，，
，
当绕点顺时针旋转后得到△，如图，

△，
，，
；
当绕点逆时针旋转后得到△，如图，

同理：．
故答案为或．
17．（3分）学校进行了一次智力测试，共25题．规定答对一题得2分，答错一题扣1分，未答的题不得分也不扣分．小刚同学共得了34分，且已知他有奇数道题目未答，则他有　5　道题未答．
【解答】解：设小刚答对了道题，道题未答，则答错了道题，
依题意，得：，
．
又为正整数，为正奇数，且，
当时，．
故答案为：5．
18．（3分）如图，在中，、分别是的中线和角平分线，，，则的长为　　．

【解答】解：在中，是的中线，，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
19．（3分）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算时，如图，在中，，，延长使，连接，得，所以．类比这种方法，计算的值为 　　．

【解答】解：如图，在等腰直角中，，延长至点，使得，则．

，
，
，
设，则，，
，
．
故答案为：．
三．解答题（共63分）
20．（7分）解分式方程：．
【解答】解：方程两边同乘，
得，
整理得，，
解得，
经检验：是原方程的根，
原方程的根是．
21．（7分）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，某校举办了以“感悟汉字深厚底蕴，弘扬中华传统文化”为主题的汉字听写大赛，全校3600名学生都参加了此次大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
成绩分





频数
10
30
40

50
频率
0.05
0.15

0.35
0.25
（1）　70　；　　；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）这次比赛成绩的中位数会落在　　分数段；
（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，估计该校参加这次比赛的3600名学生中成绩“优”等约有多少人？

【解答】解：（1）；，
故答案为：70，0.20；
（2）补全频数分布直方图如图所示：

（3）将200个数据从小到大排列后，处在第100、101位的两个数落在，
故答案为：，
（4）（人；
答：这次比赛的3600名学生中成绩“优”等约有900人．
22．（7分）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳与地面保持垂直，吊臂与水平线的夹角为，吊臂底部距地面．
（1）当吊臂底部与货物的水平距离为时，求吊臂的长；
（2）如果该吊车吊臂的最大长度为，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计，计算结果精确到，参考数据：，，

【解答】解：（1）在中，
，，
；
故答案为：11.4；
（2）过点作地面于，交水平线于点，
在中，
，，，
，
即，
答：如果该吊车吊臂的最大长度为，那么从地面上吊起货物的最大高度是．

23．（9分）甲、乙两车从M地到480千米的N地，甲车比乙车晚出发2小时，乙车途中因故停车检修，图中线段DE、折线OABC分别表示甲、乙两车所行路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解决如下问题：

（1）求两车在途中第二次相遇时，它们距目的地的路程；
（2）甲车出发多长时间，两车在途中第一次相遇？
【解答】解：（1）设甲车所行使路程y与时间x的函数关系式为y＝k1x+b1，
把（2，0）和（10，480）代入，得，
解得：，
∴y与x的函数关系式为y＝60x﹣120；
由图可得，交点F表示第二次相遇，F点的横坐标为6，此时y＝60×6﹣120＝240，
∴F（6，240），
故两车在途中第二次相遇时它们距目的地的路程为480﹣240＝240（千米）；
（2）设线段BC对应的函数关系式为y＝k2x+b2，
把（6，240）、（8，480）代入，得，
解得，
故y与x的函数关系式为y＝120x﹣480，
则当x＝4.5时，y＝120×4.5﹣480＝60．
可得：点B的纵坐标为60，
∵线段AB表示因故停车检修，
∴交点P的纵坐标为60，
把y＝60代入y＝60x﹣120中，
有60＝60x﹣120，
解得x＝3，
则交点P的坐标为（3，60），
∵交点P表示第一次相遇，
∴甲车出发的时间为：3﹣2＝1（小时）．
24．（9分）如图，已知是的直径，是的弦，点在外，连接，的平分线交于点．
（1）若，求证：是的切线；
（2）若，，求弦的长．

【解答】（1）证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：连接，
的平分线交于点，
，
，
，
是的直径，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．

25．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点坐标为，抛物线的对称轴方程为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点从点出发，在线段上以每秒3个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设的面积为，点运动时间为，试求与的函数关系，并求的最大值；
（3）在点运动过程中，是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）点坐标为，抛物线的对称轴方程为．
，
把点、、点，分别代入，得
，
解得，
所以该抛物线的解析式为：；

（2）设运动时间为秒，则，．
．
由题意得，点的坐标为．
在中，．
如图1，过点作于点．
，
，
，即，
．
，
当存在时，，
当时，
．
答：运动1秒使的面积最大，最大面积是；

（3）如图2，
在中，．
设运动时间为秒，则，．
．
当时，，即，
化简，得，解得，
当时，
（在图2中，当时，
化简，得，解得，
综上所述：或时，为直角三角形．


26．（13分）如图，四边形是正方形，点为对角线的中点．
（1）问题解决：如图①，连接，分别取，的中点，，连接，则与的数量关系是　　，位置关系是　　；
（2）问题探究：如图②，△是将图①中的绕点按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．判断的形状，并证明你的结论；
（3）拓展延伸：如图③，△是将图①中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．若正方形的边长为1，求的面积．

【解答】解：（1）点为对角线的中点，
，，
为的中点，为的中点，
，，
，；
故答案为：，．
（2）的形状是等腰直角三角形．理由如下：
连接并延长交于点，

四边形是正方形，
，，
将绕点按顺时针方向旋转得到△，
△是等腰直角三角形，，，
，，
又点是的中点，
，
△，
，，
，
，
△为等腰直角三角形．
，，
也为等腰直角三角形．
又点为的中点，
，且，
的形状是等腰直角三角形；
（3）延长交边于点，连接，．

四边形是正方形，是对角线，
，
由旋转得，四边形是矩形，
，，
为等腰直角三角形．
点是的中点，
，，，
△，
，，
，
，
△为等腰直角三角形，
点是的中点，
，，
，
，
，
．
．