数学必修 第一册4.2 简单幂函数的图像和性质学案设计

这是一份数学必修 第一册4.2 简单幂函数的图像和性质学案设计，共10页。


我们以前学过函数y＝x，y＝x2，y＝eq \f(1,x).
[问题] (1)这三个函数的解析式有什么共同的特点吗？
(2)你能根据初中学过的整数指数幂的运算，把这三个函数的解析式改写成统一的形式吗？



知识点一 幂函数的概念
一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数．
eq \a\vs4\al()
幂函数的特征
(1)xα的系数为1；
(2)xα的底数是自变量x，指数α为常数；
(3)项数只有一项．
1．在函数y＝eq \f(1,x4)，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为________．
解析：函数y＝eq \f(1,x4)＝x－4为幂函数；
函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；
函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α为常数)的形式，所以它不是幂函数；
函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数．
答案：1
2．已知f(x)＝(m＋1)xm＋2是幂函数，则m＝________．
解析：∵函数f(x)＝(m＋1)xm＋2是幂函数，
∴m＋1＝1，即m＝0.
答案：0
知识点二 五个幂函数的图象与性质
1．五个常见幂函数的图象
2．五个常见幂函数的性质
eq \a\vs4\al()
观察五种特殊的幂函数在第一象限内的图象，可知，幂函数y＝xα的图象在第一象限内具有如下特征：直线y＝1，y＝x将直角坐标平面的第一象限在直线x＝1的右侧部分分为(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)三个区域，如图所示，若α∈(1，＋∞)⇔y＝xα的图象经过区域(Ⅰ)；若α∈(0，1)⇔y＝xα的图象经过区域(Ⅱ)；若α∈(－∞，0)⇔y＝xα的图象经过区域(Ⅲ)，并且在直线x＝1的右侧，从x轴起，幂函数y＝xα的指数α由小到大递增，即“指大图高”“指小图低”．

1．已知幂函数的图象过点(2，4)，则其解析式为( )
A．y＝x＋2 B．y＝x2
C．y＝eq \r(x) D．y＝x3
解析：选B 设幂函数的解析式为y＝xα，当x＝2时，y＝4，故2α＝4，即α＝2.
2．在下列四个图形中，y＝xeq \s\up6(－eq \f(1,2))的图象大致是( )
解析：选D 函数y＝xeq \s\up6(－eq \f(1,2))的定义域为(0，＋∞)，是减函数．
3．当x∈(0，1)时，x2________x3.(填“>”“＝”或“<”)
答案：>
[例1] (1)在函数y＝x－2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________．
[解析] (1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B.
(2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.
[答案] (1)B (2)5或－1
eq \a\vs4\al()
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.
[跟踪训练]
(多选)下列函数中是幂函数的是( )
A．y＝eq \f(1,x) B．y＝2x2
C．y＝2x＋1 D．y＝xeq \s\up6(－eq \f(1,2))
解析：选AD 幂函数是形如y＝xα(α为常数)的函数，A是α＝－1的情形，D是α＝－eq \f(1,2)的情形，所以A和D都是幂函数；B中x2的系数是2，不是幂函数；易知C不是幂函数.
[例2] (链接教科书第66页思考交流)如图，函数y＝eq \f(1,x)，y＝x，y＝1的图象和直线x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧.若幂函数f(x)的图象经过的部分是④⑧，则f(x)可能是( )
A．y＝x2 B．y＝eq \f(1,\r(x))
C．y＝xeq \s\up6(\f(1,2)) D．y＝x－2
[解析] ∵函数y＝xα的图象过④⑧部分，∴函数y＝xα在第一象限内单调递减，∴α<0.又易知x＝2时，y>eq \f(1,2)，∴只有B选项符合题意．故选B.
[答案] B
eq \a\vs4\al()
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)；
(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(类似于y＝x－1或y＝x\s\up6(\f(1,2))或y＝x3))来判断．
[跟踪训练]
点(eq \r(2)，2)与点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)解：设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.
∵(eq \r(2))α＝2，(－2)β＝－eq \f(1,2)，
∴α＝2，β＝－1，
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，
(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；
(3)当x∈(0，1)时，f(x)[例3] (1)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,4)))，试求f(x)的解析式，作出图象，写出定义域及单调区间．
(2)比较下列各组数的大小：
①2.3eq \s\up6(\f(3,4))，2.4eq \s\up6(\f(3,4))；
②(eq \r(2))eq \s\up6(－eq \f(3,2))，(eq \r(3))eq \s\up6(－eq \f(3,2))；
③(－0.31)eq \s\up6(\f(6,5))，0.35eq \s\up6(\f(6,5)).
[解] (1)因为f(x)＝xα的图象过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,4)))，所以f(2)＝eq \f(1,4)，即2α＝eq \f(1,4)，得α＝－2，即f(x)＝x－2，f(x)的图象如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调递减区间为(0，＋∞)，单调递增区间为(－∞，0)．
(2)①∵y＝xeq \s\up6(\f(3,4))为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4，
∴2.3eq \s\up6(\f(3,4))<2.4eq \s\up6(\f(3,4)).
②∵y＝xeq \s\up6(－eq \f(3,2))为(0，＋∞)上的减函数，且eq \r(2)∴(eq \r(2))eq \s\up6(－eq \f(3,2))>(eq \r(3))eq \s\up6(－eq \f(3,2)).
③∵y＝xeq \s\up6(\f(6,5))为R上的偶函数，∴(－0.31)eq \s\up6(\f(6,5))＝0.31eq \s\up6(\f(6,5)).
又函数y＝xeq \s\up6(\f(6,5))在[0，＋∞)上单调递增，且0.31<0.35，
∴0.31eq \s\up6(\f(6,5))<0.35eq \s\up6(\f(6,5))，即(－0.31)eq \s\up6(\f(6,5))<0.35eq \s\up6(\f(6,5)).
[母题探究]
1．(变设问)本例(1)条件不变，试判断f(x)的奇偶性．
解：由f(x)＝x－2，
则f(－x)＝(－x)－2＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
2．(变条件)本例(1)中点P变为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8，\f(1,2)))，其他条件不变．
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)判断函数f(x)的单调性．
解：∵f(x)的图象过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8，\f(1,2)))，
∴8α＝eq \f(1,2)，即23α＝2－1，
∴3α＝－1，即α＝－eq \f(1,3)，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝xeq \s\up6(－eq \f(1,3)) (x≠0)．
(1)∵f(－x)＝(－x) eq \s\up6(－eq \f(1,3))＝eq \f(1,\r(3,－x))＝－eq \f(1,\r(3,x))＝－f(x)，
又f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
∴f(x)是奇函数．
(2)∵－eq \f(1,3)<0，∴f(x)＝xeq \s\up6(－eq \f(1,3))在(0，＋∞)上是减函数．
由(1)知f(x)是奇函数，
∴f(x)＝xeq \s\up6(－eq \f(1,3))在(－∞，0)上也是减函数．
∴f(x)＝xeq \s\up6(－eq \f(1,3))eq \f(1,3)在(0，＋∞)和(－∞，0)上都是减函数．
eq \a\vs4\al()
1．幂函数的常用性质
(1)幂函数y＝xαeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＝\f(q,p)，p，q∈Z，p>1，p与q互质))奇偶性的判断方法：
①若p，q同为奇数，则y＝xα为奇函数；
②若p为奇数，q为偶数，则y＝xα为偶函数；
③若p为偶数，则y＝xα为非奇非偶函数．
(2)幂函数单调性判断：幂函数y＝xα在区间(0，＋∞)上，当α>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数．
2．比较幂值大小的2种方法

[跟踪训练]
1．已知a＝3eq \s\up6(\f(4,5))，b＝4eq \s\up6(\f(2,5))，c＝25eq \s\up6(\f(1,5))，则( )
A．bC．b解析：选C 因为a＝3eq \s\up6(\f(4,5))＝9eq \s\up6(\f(2,5))，b＝4eq \s\up6(\f(2,5))，c＝25eq \s\up6(\f(1,5))＝5eq \s\up6(\f(2,5))，由幂函数y＝xeq \s\up6(\f(2,5))的单调性，所以b2．若幂函数f(x)过点(2，8)，则满足不等式f(a－3)>f(1－a)的实数a的取值范围是________．
解析：设幂函数为f(x)＝xα，因为其图象过点(2，8)，所以2α＝8，解得α＝3，所以f(x)＝x3.因为f(x)＝x3在R上为增函数，所以由f(a－3)>f(1－a)，得a－3>1－a，解得a>2.
所以满足不等式f(a－3)>f(1－a)的实数a的取值范围是(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)
函数y＝x＋eq \f(1,x)的图象与性质的探究
学习了幂函数的图象，类比实数的加、减、乘、除运算，我们对幂函数也进行了相关运算，得到了新的函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)，利用计算机软件，我们绘制出它的图象，如图．
[问题探究]
参考幂函数的性质，探究函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质．
提示：(1)定义域：∵x≠0，
∴函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)的定义域为{x|x≠0}；
(2)函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)；
(3)奇偶性：∵f(－x)＝－x－eq \f(1,x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＝－f(x)，
∴函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)为奇函数；
(4)单调性：由函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)的图象可知，函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上为增函数，在(－1，0)，(0，1)上为减函数．
[迁移应用]
试探究函数f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a<0)的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出它的简图．
解：(1)定义域：{x|x≠0}；
(2)值域：R；
(3)奇偶性：奇函数；
(4)函数f(x)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数．
证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝x1＋eq \f(a,x1)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(a,x2)))
＝(x1－x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,x1x2)))，
因为0又a<0，所以1－eq \f(a,x1x2)>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数；
同理可证，函数f(x)在区间(－∞，0)上是增函数．
其简图如图所示．
1．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上是减函数的是( )
A．y＝x－2 B．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝xeq \s\up6(\f(1,3))
解析：选A 所给选项都是幂函数，其中y＝x－2和y＝x2是偶函数，y＝x－1和y＝xeq \s\up6(\f(1,3))不是偶函数，故排除选项B、D，又y＝x2在区间(0，＋∞)上是增函数，不合题意，y＝x－2在区间(0，＋∞)上是减函数，符合题意．故选A.
2．已知幂函数f(x)＝xα，当x>1时，恒有f(x)A．(0，1) B．(－∞，1)
C．(0，＋∞) D．(－∞，0)
解析：选B 当x>1时，恒有f(x)1时，函数f(x)＝xα的图象在y＝x的图象的下方，作出幂函数f(x)＝xα在第一象限的图象(图略)．由图象可知α<1时满足题意，故选B.
3．若a＝(－1.2)eq \s\up6(\f(2,3))，b＝1.1eq \s\up6(\f(2,3))，c＝0.9eq \s\up6(\f(2,3))，它们的大小关系是( )
A．cC．b解析：选D a＝(－1.2)eq \s\up6(\f(2,3))＝1.2eq \s\up6(\f(2,3))，
∵当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上递增，∴1.2eq \s\up6(\f(2,3))>1.1eq \s\up6(\f(2,3))>1eq \s\up6(\f(1,3))，
即a>b>1.而c<1，∴a>b>c.
4．已知幂函数y＝(m2＋m－5)xeq \a\vs4\al(m2－2m－3)，当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，则实数m的值为________．
解析：∵y＝(m2＋m－5)xeq \a\vs4\al(m2－2m－3)是幂函数，
∴m2＋m－5＝1，即(m－2)(m＋3)＝0，∴m＝2或m＝－3.
当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3是幂函数，且满足当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小；
当m＝－3时，m2－2m－3＝12，y＝x12是幂函数，但不满足当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，故舍去．
∴实数m的值为2.
答案：2
新课程标准解读
核心素养
通过具体实例，结合y＝x，y＝eq \f(1,x)，y＝x2，y＝eq \r(x)，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数，会求幂函数的解析式
数学抽象、直观想象、逻辑推理
解析式
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝eq \f(1,x)
y＝xeq \s\up6(\f(1,2))
图象
定义域
eq \a\vs4\al(R)
eq \a\vs4\al(R)
eq \a\vs4\al(R)
{x|x≠0}
[0，＋∞)
值域
eq \a\vs4\al(R)
[0，＋∞)
eq \a\vs4\al(R)
{y|y≠0}
[0，＋∞)
奇偶性
eq \a\vs4\al(奇)函数
eq \a\vs4\al(偶)函数
eq \a\vs4\al(奇)函数
eq \a\vs4\al(奇)函数
非奇非偶函数
单调性
在(－∞，＋∞)上单调递增
在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增
在(－∞，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减
在[0，＋∞)上单调递增
公共点
都经过点(1，1)
幂函数的概念
幂函数的图象及应用
幂函数的性质及应用