2021年九年级中考复习数学高分冲刺训练——几何专题：胡不归问题(一)及答案

这是一份2021年九年级中考复习数学高分冲刺训练——几何专题：胡不归问题(一)及答案，共24页。试卷主要包含了如图，在直角坐标系中，直线l1等内容，欢迎下载使用。

备战2021年九年级中考复习数学高分冲刺训练
——几何专题：胡不归问题（一）

1．如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则AP+PD的最小值为　 　．

2．如图，M为矩形ABCD中AD边中点，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE＝2DF，若AB＝1，BC＝2，则ME+2AF的最小值为　 　．

3．如图，在直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+与x轴交于点C，与y轴变于点A，分别以OC、OA为边作矩形ABCO，点D、E在直线AC上，且DE＝1，则BD+CE的最小值是　 　．

4．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于　 　．

5．菱形ABCD边长为4，∠ABC＝60°，点E为边AB的中点，点F为AD上一动点，连接EF、BF，并将△BEF沿BF翻折得△BE′F，连接E'C，取E'C的中点为点G，连接DG，则2DG+E′C最小值为　 　．

6．如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为AC中点，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是　 　．

7．如图，已知点A坐标为（，1），B为x轴正半轴上一动点，则∠AOB度数为　 　，在点B运动的过程中AB+OB的最小值为　 　．

8．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为　 　．


9．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是　 　．

10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B为（0，1），若C为线段OA上一动点，则BC+AC的最小值是　 　．

11．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，P为AC上一动点，AB＝10，则2BP+AP的最小值为　 　．

12．如图，矩形ABCD中AB＝3，BC＝，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE+CE的最小值为　 　．

13．在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，P是AB边上一动点，则PC+AP的最小值为　 　．

14．如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC+PB的最小值为　 　．

15．在平面直角坐标系中，已知，A（2，0），C（0，﹣1），若P为线段OA上一动点，则CP+AP的最小值为　 　．
16．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝4，E，F分别是BD，BC上的一动点，且BF＝2DE，则AF+2AE的最小值是　 　．

17．如图，AB＝AC，A（0，），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A﹣D﹣C，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为　 　．

18．如图，P为菱形ABCD内一点，且P到A、B两点的距离相等，若∠C＝60°，CD＝4，则PB+PD的最小值为　 　．

19．如图，在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，D为AB的中点，E为线段AC上任意一点（不与端点重合），当E点在线段AC上运动时，则DE+CE的最小值为　 　．

20．如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝8，BC＝3，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于　 　．

21．如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+PD的最小值等于　 　．


22．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝3，CD⊥AB于点D，点E是线段CD的一个动点，则BE+CE的最小值是　 　．


参考答案
1．解：如图，过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，

∵四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°，
∴∠DAC＝∠CAB＝30°，
∴PE＝AP，
∵∠DAF＝60°，
∴∠ADF＝30°，
∴AF＝AD＝6＝3，
∴DF＝3，
∵AP+PD＝PE+PD，
∴当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时，
PE+DP的值最小，最小值为DF的长，
∴AP+PD的最小值为3．
故答案为：3．
2．解：如图，过点M作MH⊥BC于H．设DF＝x，则BE＝2x．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，
∵MH⊥BC，
∴∠MHB＝90°，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM＝DM＝BH＝1，AB＝MH＝1，
∴EH＝1﹣2x，
∴ME+2AF＝+2＝+，
欲求ME+2AF的最小值，相当于在x轴上找一点Q（2x，0），使得点Q到J（0，4），和K（1，1）的距离之和最小（如下图），

作点J关于x轴的对称点J′，连接KJ′交x轴于Q，连接JQ，此时JQ+QK的值最小，最小值＝KJ′，
∵J′（0，﹣4），K（1，1），
∴KJ′＝＝，
∴ME+2AF的最小值为，
故答案为．
3．解：如图，过点B作BM∥AC交x轴于M，在直线BM上截取BB′＝DE＝1，过点B′作B′F⊥OM于F，过点E作EH⊥OC于H，连接B′H．

y＝﹣x+与x轴交于点C，与y轴变于点A，
∴A（0，），C（，0），
∴OA＝，OC＝，
∴tan∠ACO＝＝，
∴∠ACO＝30°，
∵EH⊥OC，
∴EH＝EC，
∵BB′＝DE，BB′∥DE，
∴四边形DBB′E是平行四边形，
∴BD＝B′E，
∵BM∥AC，
∴∠BMC＝∠ACO＝30°，
∵∠BCM＝90°，BC＝，
∴BM＝2BC＝3，
∴B′M＝1+3，
∵∠MFB′＝90°，
∴B′F＝MB′＝，
∵BD+EC＝B′E+EH≥B′H，B′H≥B′F，
∴BD+EC≥，
∴BD+EC的最小值为，
故答案为．
4．解：如图，过点P作PE⊥AD交AD的延长线于E，过点B作BM⊥AE于M．

在Rt△ABM中，∵∠AMB＝90°，∠A＝30°，AB＝6，
∴BM＝AB＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠PDE＝∠A＝30°，
∵∠PED＝90°，
∴PE＝PD，
∵PB+PD＝BP+PE，
∵BP+PE≥BM，
∴BP+PE≥3，
∴BP+PE的最小值为3，
∴PB+PD的最小值为3．
5．解：过点DA作DH⊥BC交BC的延长线于H，取BC的中点M，连接GM，在MC上截取MQ，使得MQ＝，连接GQ，DG．

∵AE＝EB＝2，
由翻折的性质可知，BE′＝BE＝2，
∵CG＝GE′，CM＝MB，
∴GM＝BE′＝1，
∵BM＝MC＝2，MQ＝，
∴MG2＝MQMC，
∴＝，
∵∠GMQ＝∠GMC，
∴△GMQ∽△CMG，
∴＝＝，
∴GQ＝GC＝CE′，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝4，
∴∠DCH＝∠ABC＝60°，
∵DH⊥CH，
∴CH＝CDcos60°＝2，DH＝CH＝2，
∵QH＝QC+CH＝+2＝，
∴QD＝＝＝，
∵2DG+CE′＝2（DG+CE′）＝2（DG+GQ）≥2DQ＝，
∴2DG+CE′的最小值为．
故答案为．
6．解：过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DH⊥AB于点H，则CD+DH≥CF，
∵△ABC是等边三角形，AB＝10，
∴∠A＝∠ABC＝60°，AB＝AC＝10
∴CF＝ACsinA＝10×＝5，
∵点E为AC中点，
∴∠ABE＝＝30°，
∴DH＝，
∴CD+BD＝CD+DH≥CF，
∴CD+BD≥5，
∴CD+BD的最小值是5，

故答案为：5．
7．解：过A作AC⊥x轴于点C，延长AC到点D，使AC＝CD，过D作DE⊥OA于点E，与x轴交于点F，

∵点A坐标为（，1），
∴AC＝CD＝1，OC＝，
∴tan∠AOB＝，
∴∠AOB＝30°，
∴∠DAE＝60°，EF＝OF，
∴DE＝ADsin60°＝，
当点B与点F重合时，AB+OB＝AF+OF＝DF+EF＝DE＝，
根据垂线段最短定理知，此时AB+OB＝为最小值．
故答案为30°；．
8．解：如图，过点A作AH⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H．

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵MH⊥BC，
∴∠BHM＝90°，
∴MH＝BM，
∴AM+BM＝AM+MH，
∵AT⊥BC，
∴∠ATB＝90°，
∴AT＝ABsin60°＝4，
∵AM+MH≥AT，
∴AM+MH≥4，
∴AM+BM≥4，
∴AM+BM的最小值为4，
故答案为4．
9．解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．

∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∵tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，
则有：100＝a2+4a2，
∴a2＝20，
∴a＝2或﹣2（舍弃），
∴BE＝2a＝4，
∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，
∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））
∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，
∴sin∠DBH＝＝＝，
∴DH＝BD，
∴CD+BD＝CD+DH，
∴CD+DH≥CM，
∴CD+BD≥4，
∴CD+BD的最小值为4．
故答案为4．
10．解：过点A作直线AD交y轴于点D，使sin∠OAD＝，过点C作CE⊥AD，交AD于点E，

在Rt△AOD中，
sin∠OAD＝，
∴＝，
设OD＝2x，则AD＝3x，
∵A（25，0），
∴OD2+OA2＝AD2
即（2x）2+（3x）2＝（5）2
解得x＝2，
∴OD＝2x＝4，
∵B（0，1），
∴BD＝5，
在Rt△ACE中，
∵sin∠OAE＝，
∴＝，
∴CE＝AC，
∴BC+AC＝BC+CE
当B，C，E在同一直线上，即BE⊥AD时，BC+AC的值最小，最小值等于垂线段BE的长，
此时，△BDE是直角三角形，
∴∠OAD＝∠DBE，
∴sin∠DBE＝，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝，
在Rt△BDE中，
BE2＝BD2﹣DE2＝25﹣＝，
∴BE＝，
∴BC+AC的值最小值是，
故答案为：．
11．解：如图，在射线AC的下方作射线AM，使得∠CAM＝45°，过点P作PH⊥AM于H，过点B作BT⊥AM于T，交AC于K．

在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝10，∠ABC＝60°，
∴BC＝ABcos60°＝5，AC＝ABsin60°＝5，
∵∠ATK＝90°，∠TAK＝45°，
∴∠AKT＝∠CK＝∠CBK＝45°，
∴CK＝BC＝5，AK＝AC﹣CK＝5﹣5，
∴KT＝AK＝﹣，BK＝5，
∴BT＝KT+BK＝，
∵∠PHA＝90°，
∴PH＝PA，
∴2PB+PA＝2（PB+PA）＝2（PB+PH），
∵PB+PH≥BT，
∴PB+PH≥，
∴PB+PH的最小值为，
∴2PB+PA的最小值为5+5．
12．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴tan∠CAB＝＝，
∴∠CAB＝30°，
∴AC＝2BC＝2，
在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．
∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，
∴ET＝AE，
∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2，
∴CH＝ACsin6°＝2×＝3，
∵AE+EC＝CE+ET≥CH，
∴AE+EC≥3，
∴AE+EC的最小值为3，
故答案为3．

13．解：如图，

在△ABC外作∠MAB＝∠BAC＝30°
过点C作CE⊥AM于点E，交AB于点P，
∴EP＝AP
当CP⊥AM时，PC+AP＝PC+PE的值最小，
最小值是CE的长，
在Rt△ACE中，∠CEA＝60°，AC＝4
∴CE＝ACsin60°＝2．
∴PC+AP的最小值为2．
故答案为2．
14．解：如图所示，过P作PD⊥AB于D，
∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，
令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，
∴A（0，﹣3），B（3，0），
∴AO＝BO＝3，
又∵∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∴PD＝PB，
∴PC+PB＝（PC+PB）＝（PC+PD），
当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，
此时，△ACD是等腰直角三角形，
又∵点C（0，1）在y轴上，
∴AC＝1+3＝4，
∴CD＝AC＝2，
即PC+PD的最小值为，
∴PC+PB的最小值为＝4，
故答案为：4．

15．解：如图，

取一点D（0，1），连接AD，作CN⊥AD于点N，PM⊥AD于点M，
在Rt△AOD中，
∵OA＝2，OP＝1
∴AD＝＝3
∠PAM＝∠DAO，∠AMP＝∠AOD＝90°
∴△APM∽△ADO
∴＝
即＝
∴PM＝AP
∴PC+AP＝PC+PM
∴当CP⊥AD时，CP+AP＝CP+PM的值最小，最小值为CN的长．
∵△CND∽△AOD
∴＝
即＝
∴CN＝．
所以CP+AP的最小值为．
故答案为．
16．解：连接DF，延长AB到T，使得BT＝AB，连接DT．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，BC∥AD，
∴tan∠DBA＝＝，∠ADE＝∠DBF，
∴∠DBA＝30°，
∴BD＝2AD，
∵BF＝2DE，
∴＝＝2，
∴△DBF∽△ADE，
∴＝＝2，
∴DF＝2AE，
∴AF+2AE＝AF+DF，
∵FB⊥AT，BA＝BT，
∴FA＝FT，
∴AF+2AE＝DF+FT≥DT，
∵DT＝＝＝4，
∴AF+2AE≥4，
∴AF+2AE的最小值为4，
故答案为：4．
17．解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D′．

∵运动时间t＝+＝+CD，
∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴BO＝OC＝1，
∵A（0，），C（1，0），AB＝AC，AO⊥BC，
∴OB＝OC＝1，AB＝AC＝＝＝4，
∵∠DAH＝∠BAO，∠DHA＝∠AOB＝90°，
∴△AHD∽△AOB，
∴＝，
∴DH＝AD，
∴AD+CD＝CD+DH，
∴当C，D，H共线且和CM重合时，运动时间最短，
∵BCAO＝ABCM，
∴CM＝，
∴AM＝＝＝，
∵AD′＝4MD′，设MD′＝m，则AD′＝4m，
则有：16m2﹣m2＝，
∴m＝或﹣（舍弃），
∴AD′＝，
∴D（0，），
故答案为（0，）．
18．解：如图，连接PA，连接BD，过点P作PE⊥AD于E，过点B作BF⊥AD于F．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C＝60°，
∴△ABD，△DCB都是等边三角形，
∴AD＝DB，∠ADB＝60°，
∵PA＝PB，DA＝DB，
∴PD⊥AB，
∴∠ADP＝∠BDP＝∠ADB＝30°，
∵PE⊥AD，
∴∠PED＝90°，
∴PE＝PD，
∴PB+PD＝PB+PE，
∵BF⊥AD，
∴PB+PE≥BF，
∵BF＝ABsin60°＝2，
∴PB+PD≥2，
∴PB+PD最小值为2．
故答案为2．
19．解：如图，

在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，
作CG∥AB
∴∠GCA＝∠CAB＝30°
过点D作DF⊥CG交AC于点E，
∴EF＝CE
所以DE+CE＝DE+EF＝DF最小，
∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，
∴AB＝＝2
∵D为AB的中点，
∴CD＝AD＝AB＝
∵∠DCF＝60°
∴DF＝DCcos60°＝
所以DE+CE的最小值为．
故答案为．
20．解：如图过点P作AD的垂线交AD延长线于点E，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EDP＝∠DAB＝30°，
∴EP＝DP，
要求PB+PD的最小值，即求PB+EP的最小值，
当点B、P、E三点共线时，
PB+EP取最小值，最小值为BE的长，
∵在Rt△ABE中，∠EAB＝30°，AB＝8，
∴BE＝AB＝4．
故答案为：4．
21．解：如图，过点P作AD的垂线，交AD延长线于点E，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EDP＝∠DAB＝30°，
∴EP＝DP，即DP＝2EP，
∴2PB+PD＝2（PB+PE），
当点B、P、E三点共线时，PB+EP有最小值，最小值等于BE的长，此时2PB+PD的最小值等于2BE的长，
∵此时在Rt△ABE中，∠EAB＝30°，AB＝6，
∴BE＝AB＝3，
∴2PB+PD的最小值等于6．
故答案为：6．
22．解：如图，作EF⊥AC于F，

∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵tanA＝，设AD＝a，CD＝3a