专题9.1 解析几何（选填题）（全国卷理科数学专用）-高考数学满分突破之5年全国卷高考真题（2016-2021）与优质模拟题（理科）

专题9.1 解析几何（选填题）

A组 5年高考真题

1．【2019年高考全国Ⅰ理】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【解析】法一：如图，由已知可设，则，

由椭圆的定义有．

在中，由余弦定理推论得．

在中，由余弦定理得，解得．

所求椭圆方程为，故选B．

法二：由已知可设，则，

由椭圆的定义有．

在和中，由余弦定理得，

又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．

2． 【2018高考全国2理12】已知是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，等腰三角形，，则的离心率为              （   ）

A．                  B．              C．                 D．

【答案】D

【解析】试题分析：先根据条件得，再利用正弦定理得关系，即得离心率．

试题解析：因为为等腰三角形，，

由斜率为得，，由正弦定理得，故选D．

3．（2017新课标Ⅲ文理）已知椭圆：的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（   ）

A．          B．           C．          D．

【答案】A【解析】以线段为直径的圆是，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，整理为，即，即 ，，故选A． 

4．（2016年全国III文理）已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为

A．    B．    C．     D．

【答案】A

【解析】由题意设直线的方程为，分别令与得，，设OE的中点为H，由，得，即，整理得，所以椭圆离心率为，故选A．

5．【2021年高考全国Ⅲ卷理数11】已知双曲线的左、右焦点，离心率为．是上的一点，且．若的面积为，则              （   ）

A．                B．                 C．                 D．

【答案】A

【思路导引】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案．

【解析】解法一：，，根据双曲线的定义可得，

，即，

，，，即，解得，故选A．

解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为．∴=4，则，

又∵，∴．

解法三：设，则，，，求的．

6．【2019年高考全国Ⅱ理】设F为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点．若，则C的离心率为

A．   B．  

C．2  D．

【答案】A

【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，

又，为以为直径的圆的半径，

∴，，

又点在圆上，，即．

，故选A．

7．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为

A．  B．

C．  D．

【答案】A

【解析】由，

又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，则，

，故选A．

【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．

8．【2018高考全国1理11】已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为．若为直角三角形，则              （   ）

A．    B．3    C．            D．4

【答案】B

【解析】【基本解法1】（直接法）

∵双曲线，∴渐近线方程为

，倾斜角分别为，∴，

不妨设，

∴，∵，

∴在中，，

∴在中，．

【基本解法2】（直接法）根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，

从而得到，∴直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，

可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，

求得，故选B．

9．（2018全国Ⅰ理8）设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于两点，则 （   ）

A．5    B．6    C．7    D．8

【答案】D

【解析】根据题意，过点且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，从而可以求得，故选D．

10．（2017新课标Ⅰ理）已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为（   ）

A．16     B．14       C．12      D．10

【答案】A【解析】由已知垂直于轴是不符合题意，所以的斜率存在设为，的斜率为，由题意有，设，，，

此时直线方程为，

取方程，得，

∴

同理得 

由抛物线定义可知

当且仅当（或）时，取得等号．

11．（2017新课标Ⅲ理）已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为

A．     B．     C．    D．

【答案】B【解析】由题意可得：，，又，解得，，

则的方程为，故选B．

12．【2021全国Ⅰ理4】已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为，到

轴的距离为，则 （   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【思路导引】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案．

【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得，故选

13．（2015新课标1理）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在的正半轴上，则该圆的标准方程为_________．

【答案】 【解析】 由题意圆过三个点，设圆心为，其中，由，解得，所以圆的方程为．

B组 能力提升

 14．（2021届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）已知点是双曲线上一点，若点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【解析】设点的坐标为，有，得.

双曲线的两条渐近线方程为和，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，

所以，则，即，故，即，所以.

故选A。

15．（2021届河南省六市高三第一次模拟）已知为圆：上任意一点，，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为(    )

A． B．

C．（） D．（）

【答案】B

【解析】如图所示：连接，根据垂直平分线知，

故，故轨迹为双曲线，

，，，故，故轨迹方程为，故选B。

16．（2021届河南省洛阳市高三第二次统考）抛物线的焦点为，点是上一点，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，所以，故选B。

17．（2021届河南省濮阳市高三模拟）已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（　　）

A． B．8 C． D．4

【答案】C

【解析】F（1，0），故直线AB的方程为y＝x﹣1，联立方程组，可得x2﹣6x+1＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系可知x1+x2＝6，x1x2＝1．

由抛物线的定义可知：|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，

∴||FA|﹣|FB||＝|x1﹣x2|＝，故选C。

18．（2021届陕西省西安中学高三第一次模拟）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由于直线的斜率k,所以一条渐近线的斜率为，即，所以，故选B。

19．（2021届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）已知抛物线，点为抛物线上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，则线段长度的取值范围为__________.

【答案】

【解析】如图，连接，易得，所以四边形的面积为，且四边形的面积为三角形面积的两倍，所以，所以，

当最小时，最小，设点，则，

所以当时，，则，

当点的横坐标时，，此时，

因为随着的增大而增大，所以的取值范围为.

20．（2021届河南省濮阳市高三模拟）已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，若，，则双曲线的离心率为__________.

【答案】

【解析】设，

由双曲线的定义得出：

，

，

由图可知：，

又，

即，

则，

为等腰三角形，

，

设，

，则，

，

即，解得：，

则，

，解得：，

，解得：，

，

在中，由余弦定理得：

，

即：，

解得： ，即.

21．（2021届河南省天一大联考“顶尖计划”高三一联）已知双曲线：（，），直线：与双曲线的两条渐近线分别交于，两点.若（点为坐标原点）的面积为32，且双曲线的焦距为，则双曲线的离心率为________.

【答案】或

【解析】

联立解得.

所以的面积，所以.

而由双曲线的焦距为知，，所以.

联立解得或

故双曲线的离心率为或。

22．（2021届河南省新乡市高三第二次模拟）已知双曲线-=1(a>0，b>0)与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点为P，若|FP|=5，则点F到双曲线的渐近线的距离为_____.

【答案】

【解析】由题意得F(2，0)，因为点P在抛物线y2=8x上，|FP|=5，设点为，

由抛物线定义知，，解得，

不妨取P(3，2)，代入双曲线-=1，得-=1，

又因为a2+b2=4，解得a=1，b=，因为双曲线的渐近线方程为，

所以双曲线的渐近线为y=±x，由点到直线的距离公式可得，

点F到双曲线的渐近线的距离。

23．（2021届黑龙江省齐齐哈尔高三二模）已知点为双曲线的右焦点，两点在双曲线上，且关于原点对称，若，设，且，则该双曲线的焦距的取值范围是________.

【答案】

【解析】如图，

设双曲线的左焦点为，连接，由于.所以四边形为矩形，

故.

在中，

由双曲线的定义可得

，

，故答案为。

24．（2021届湖北省黄冈中学高三高考模拟）过直线上一动点向圆引两条切线MA，MB，切点为A，B，若，则四边形MACB的最小面积的概率为________．

【答案】.

【解析】由圆的方程得，所以圆心为，半径为，四边形的面积，若四边形的最小面积，所以的最小值为，而，即的最小值，此时最小为圆心到直线的距离，此时，因为，所以，所以的概率为。

25．（2021届湖南省岳阳市高三第二次教学质量检测）已知双曲线的左右焦点为，过作轴的垂线与相交于两点，与轴相交于.若，则双曲线的离心率为_________.

【答案】

【解析】,，又，则.

，，，即

解得，即。

26．（2021届山西省大同市第一中学高三一模）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_______.

【答案】

【解析】

方法1：由题意可知，

由中位线定理可得，设可得，

联立方程

可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方，

求得，所以

方法2：焦半径公式应用

解析1：由题意可知，

由中位线定理可得，即

求得，所以。

27．（2021届四川省成都市高三第二次诊断）经过椭圆中心的直线与椭圆相交于、两点（点在第一象限），过点作轴的垂线，垂足为点.设直线与椭圆的另一个交点为.则的值是________________．

【答案】0

【解析】设点，则、，设点，

则，两式相减得，即，

即，

由斜率公式得，，，故，

因此，。