专题11.1 坐标系与参数方程（全国卷理科数学专用）-高考数学满分突破之5年全国卷高考真题（2016-2021）与优质模拟题（理科）

专题11.1 坐标系与参数方程

A组 5年高考真题

1．（2021全国Ⅰ文理21）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）当时，是什么曲线？

（2）当时，求与的公共点的直角坐标．

【解析】（1）当时，曲线的参数方程为（为参数），两式平方相加得，

∴曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆．

（2）当时，曲线的参数方程为（为参数），∴，曲线的参数方程化为为参数），两式相加得曲线方程为，得，平方得，

曲线的极坐标方程为，曲线直角坐标方程为，

联立方程，整理得，解得或（舍去），，公共点的直角坐标为．

2．（2021全国Ⅱ文理21）已知曲线的参数方程分别为（为参数），（为参数）．

（1）将的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．设的交点为，求圆心在极轴上，且经过极点和的圆的极坐标方程．

【解析】（1）由得的普通方程为：，

由得：，两式作差可得的普通方程为：．

（2）由得：，即．

设所求圆圆心的直角坐标为，其中，则，解得：，

所求圆的半径，所求圆的直角坐标方程为：，即，

所求圆的极坐标方程为．

3．（2021全国Ⅲ文理22）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数且），与坐标轴交于两点．

（1）求；

（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程．

【解析】（1）令，则，解得或（舍），则，即．

令，则，解得或（舍），则，即．

．

（2）由（1）可知，则直线的方程为，即．

由可得，直线的极坐标方程为．

4．（2019全国1文理22）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值．

【解析】（1）因为，且，所以C的直角坐标方程为．

的直角坐标方程为．

（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）．

C上的点到的距离为．

当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为．

5．（2019全国II文理22）在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P．

（1）当时，求及l的极坐标方程；

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．

【解析】（1）因为在C上，当时，．

由已知得．

设为l上除P的任意一点．在中，

经检验，点在曲线上．

所以，l的极坐标方程为．

（2）设，在中， 即．．

因为P在线段OM上，且，故的取值范围是．

所以，P点轨迹的极坐标方程为 ．

6．(2019全国III文理22）如图，在极坐标系Ox中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧．

（1）分别写出，，的极坐标方程；

（2）曲线由，，构成，若点在M上，且，求P的极坐标．

【解析】（1）由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为，，，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为．

（2）设，由题设及（1）知

若，则，解得；

若，则，解得或；

若，则，解得．

综上，P的极坐标为或或或．

7．(2018全国Ⅰ文理) 在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求的直角坐标方程；

(2)若与有且仅有三个公共点，求的方程．

【解析】(1)由，得的直角坐标方程为．

(2)由(1)知是圆心为，半径为的圆．

由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．

当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．

经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．

当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．

经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．

综上，所求的方程为．

8．（2018全国Ⅱ文理)在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．

(1)求和的直角坐标方程；

(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．

【解析】(1)曲线的直角坐标方程为．

当时，的直角坐标方程为；

当时，的直角坐标方程为．

(2)将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程

．①

因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．

又由①得，故，于是直线的斜率．

9．（2018全国Ⅲ）[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系中，的参数方程为，（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于，两点．

(1)求的取值范围；

(2)求中点的轨迹的参数方程．

【解析】(1)的直角坐标方程为．

当时，与交于两点．

当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．

综上，的取值范围是．

(2)的参数方程为为参数，．

设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．

于是，．又点的坐标满足

所以点的轨迹的参数方程是为参数，．

10．（2017全国Ⅰ文理）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，(为参数)，直线的参数方程为(为参数)．

(1)若，求与的交点坐标；

(2)若上的点到距离的最大值为，求．

【解析】（1）曲线的普通方程为．

当时，直线的普通方程为．

由解得或，从而与的交点坐标为，．

（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为

．

当时，的最大值为．由题设得，所以；

当时，的最大值为．由题设得，所以．

综上，或．

11．（2017全国Ⅱ文理）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为．

(1)为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；

(2)设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．

【解析】（1）设的极坐标为，的极坐标为．

由椭圆知，．由得的极坐标方程，因此的直角坐标方程为．

（2）设点的极坐标为．由题设知，，于是面积

．

当时，取得最大值，所以面积的最大值为．

12．（2017全国Ⅲ文理）在直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)，直线的参数方程为（为参数）．设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线．

(1)写出的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设：，为与的交点，求的极径．

【解析】（1）消去参数得的普通方程，消去参数得的普通方程．

设，由题设得，消去得，所以的普通方程为．

（2）的极坐标方程为，联立得，故，从而，代入得，所以交点的极径为．

13．（2016全国I文理）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：．

（I）说明是哪种曲线，并将的方程化为极坐标方程；

（II）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在 上，求a．

【解析】(1)（均为参数），∴ ①

∴为以为圆心，为半径的圆．方程为．

∵，∴，即为的极坐标方程．

(2)，两边同乘得，，

即 ②

：化为普通方程为，由题意：和的公共方程所在直线即为，

①—②得：，即为，∴，∴．

14．（2016全国II文理）在直角坐标系中，圆C的方程为．

（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

（II）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A、B两点，，求l的斜率．

【解析】（Ⅰ）整理圆的方程得，由可知圆的极坐标方程为．

(Ⅱ)记直线的斜率为，则直线的方程为，由垂径定理及点到直线距离公式知：，即，整理得，则．

15．（2016全国III文理）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）写出的普通方程和的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点P在上，点Q在上，求的最小值及此时P的直角坐标．

【解析】（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为．

（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以 的最小值，即为到的距离的最小值，．

当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为．