初中6.4 探索三角形相似的条件同步练习题

探索三角形相似的条件

一、单选题

1．如图，在三角形纸片ABC中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（　　）

A． B．

C． D．

2．如图，甲、乙中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对甲、乙中两个三角形，下列说法正确的是（　　）

A．都相似                               B．都不相似

C．只有甲中两个三角形相似               D．只有乙中两个三角形相似

3．如图，下列不能判定与相似的是（　　）

A． B． C． D．

4．下列说法，其中正确的有（　　）

①各有一个角是60°的两个等腰三角形相似；

②各有一个角是80°的两个等腰三角形相似；

③各有一个角是100°的两个等腰三角形相似；

④两边成比例的两个等腰三角形相似．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．如图，是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，AM的延长线交BC于点，交DC的延长线于点，图中相似三角形有（　　）

A．6对 B．5对 C．4对 D．3对

6．如图，，，AE、FD分别交BC于点G、H，则图中的相似三角形共有（　　）

A．3对 B．4对 C．5对 D．6对

7．如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，有如下几种剪法，其中满足剪下的阴影三角形与△ABC相似的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8．如图，和中，，则添加下列条件后无法判定的是（　　）

A． B． C． D．

9．如图， 已知在 中， 点 在边 上， 那么下列条件中 不能判定 的是（　　）

A． B．

C． D．

10．如图，P是直角△ABC斜边AB上任意一点（A，B两点除外），过点P作一条直线，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线可以作（　　）

A．4条 B．3条 C．2条 D．1条

11．在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（　　）

A． B． C． D．

12．如图，四边形是正方形，是边的中点，是边上的一动点，下列条件中，，△ABP不与△ECP相似的是（　　）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．如图，在中，，若，，则的长为______cm．

14．如图，△ABC中，点D在边AB上，要使△ABC∽△ACD，添加一个条件是_______．（一种即可）

15．如图，AD是的中线，是AD的中点，BE的延长线交AC于点，那么______．

16．如图，在RtABC中，∠C=90°，∠A=60°，点P是AC的中点，若过点P的任意直线m截得的三角形与原ABC相似，那么这样的直线m的条数是___________．

三、解答题

17．如图，在△ABC和△ACD 中，AD⊥CD于点D，AC⊥BC于点C．请再添加一个条件，使，并加以证明．

18．如图，已知∠EAC＝∠DAB，∠D＝∠B，求证：△ABC∽△ADE．

19．如图，中，， 于， 平分交于，交于．求证：

20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，四边形ABCD是平行四边形，边CD与⊙O交于点E，连接AE．

(1)求证△ABC∽△ADE；

(2)求证：AD是⊙O的切线．

21．如图，在中，，，，将沿着图示中虚线剪开，使剪下的小三角形与相似，下面有四种不同的剪法．

(1)请选择其中一种正确的剪法______（填序号）；

(2)写出所选剪法中两个三角形相似的证明过程．

参考答案：

1．B

解：在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12．

A．因为 ，对应边， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；

B．因为 ，对应边，又∠A＝∠A，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；

C．因为 ，对应边，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；

D、因为 ，对应边， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；

故选：B．

2．C

解：∵甲中两个三角形的两个内角分别为75°、35°和70°、75°，

∴两个三角形的另一个内角的度数分别为70°和35°，

∴两个三角形的三个内角分别对应相等，

∴甲中两个三角形相似，

∵，

∴乙中两个三角形不相似，

∴只有甲中两个三角形相似，

故选：C．

3．A

解：虽然，但∠ABD≠∠C，

∴△ABD与△ACB不相似，

∴选项A符合；

∵，∠A＝∠A，

∴△ABD∽△ACB，

∴选项B不符合；

∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，

∴△ABD∽△ACB，

∴选项C不符合；

∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，

∴△ABD∽△ACB，

∴选项D不符合.

故选：A．

4．B

解：各有一个角是60°的两个等腰三角形都为等边三角形，它们相似，所以①正确；

顶角为80度的等腰三角形与底角为80度的等腰三角形不相似，所以②错误；

各有一个角是100°的两个等腰三角形的底角都为40度，它们相似，所以③正确；

两边成比例的两个等腰三角形不相似，所以④错误．

故选B．

5．A

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ ， ， ，

∵，

∴ ，

∵，

∴

∴，

则图中相似三角形有6对，它们分别是：，，，

故选：A．

6．D

解：∵，，

∴△BFH∽△BAG，

△BAG∽△CEG，

△BFH∽△CEG，

△BFH∽△CDH，

△CEG∽△CDH，

△CDH∽△BAG.

∴相似三角形共有6对.

故选C.

7．C

解：如图1，过点作于点，

，

，

，

，

，

在和中，，但或者，但，

则与不相似；

如图2，，

，

在和中，，

；

如图3和图4，剪下的阴影三角形均与有一组公共角，还有一组大小均为的相等的角，

所以图3和图4中，剪下的阴影三角形均与相似；

综上，满足剪下的阴影三角形与相似的个数是3个，

故选：C．

8．D

解：∵，，

∴       ，

故选项A不符合题意；

∵，，

∴，

故选项B不符合题意；

∵，，

∴，

故选项C不符合题意；

∵，但不一定相等，

∴不一定相似，

则添加条件后无法判定；

故选项D符合题意．

故选D．

9．A

解：而不一定相等，不能判断，故A符合题意；

，

而

故B不符合题意；

，

故C不符合题意；

，

故D不符合题意；

故选A

10．B

解：如图，过点P可作PE∥BC或PE″∥AC，

∴△APE∽△ABC、△PBE″∽△ABC；

过点P还可作PE′⊥AB，可得：∠EPA＝∠C＝90°，∠A＝∠A

∴△APE∽△ACB；

∴满足这样条件的直线的作法共有3种．

故选：B

11．C

解：当CD是AB的垂线时，△ACD∽△CBD．

∵CD⊥AB，

∴∠CDA＝∠BDC＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，

∴∠A＝∠BCD，

∴△ACD∽△CBD．

根据作图痕迹可知，

A选项中，CD是∠ACB的角平分线，不符合题意；

B选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；

C选项中，CD是AB的垂线，符合题意；

D选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；

故选C．

12．A

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B=∠C=90°，AB=CD=BC，

∵E是CD的中点，

∴CE:CD=1:2，

即CE:AB=1:2，

A、∵BP=PC，

∴BP=PC=BC，

没办法判定△ABP与△ECP中各边成比例，故A错误；

B、∵∠APE=90°，

∴∠APB+∠CPE=90°，

∵∠BAP+∠APB=90°，

∴∠BAP=∠CPE，

∴△ABP∽△PCE，故B正确；

C、∵∠APB=∠EPC，

∴△ABP∽△EPC，故C正确；

D、∵BP=2PC，

∴PC:BP=1:2，

∴PC:BP=CE:AB=1:2，

∴△ABP∽△PCE，故D正确．

故选：A．

13．4

解：∵，

∴．

∵，，

∴，

解得：．

故答案为：4．

14．∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或．

解：∵∠CAD =∠BAC，

根据两对角对应相等的两个三角形相似，可添加∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB，

∵∠CAD =∠BAC，∠ACD =∠B；

∴△ACD∽△ABC．

∵∠CAD =∠BAC，∠ADC =∠ACB；

∴△ACD∽△ABC．

根据两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，可添加，

∵，∠CAD =∠BAC，

∴△ACD∽△ABC．

∴当∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或时，△ACD∽△ABC．

故答案为：∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或．

15．##1:2

解：过D作BF的平行线，交AC边于G，如下图所示：

∵D为BC中点，DG∥BF，

∴∠CGD=∠CFB，

又∵∠C=∠C，

∴△CDG∽△CBF，

∴，即：CG=CF=FG，

又E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，DG∥BF，

同理可得：△AEF∽△ADG，

∴，即：AF=AG=FG，

∴AF=FG=GC，

∴.

故答案为：．

16．4

解：∵是直角三角形，

∴只要创造出一个直角时，才能满足题目中的条件，有以下几种情况：

当时，可得相似三角形；

当时，可得相似三角形；

当时，可得相似三角形；

当时，可得相似三角形；

∴满足条件的直线m有4条；

故答案是4．

17．添加条件：AB//CD，证明见解析（答案不唯一）

解：添加条件：．

证明：∵，，

∴，

∵，

∴，

∴．

18．见解析

解：∵∠EAC＝∠DAB，

∴∠EAC+∠DAC=∠DAB+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，

又∵∠B=∠D，

∴△ABC∽△ADE．

19．见解析

解：∵△ABC中，∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAD=90°，

∵AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∴∠C+∠CAD=90°，

∴∠C=∠BAD，

∵FB平分∠ABC，

∴∠ABF=∠EBD，

∴．

20．(1)见解析 (2)见解析

(1)

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B＝∠D．

∵四边形ABCE为⊙O的内接四边形，

∴∠B+∠AEC＝180°．

∵∠AED+∠AEC＝180°．

∴∠B＝∠AED．

∵AB＝AC，

∴AB＝∠ACB

∴∠ACB＝∠AED．

∴△ABC∽△ADE．

(2)

解：如图，连接AO并延长，交BC于点M，连接OB、OC．

∵AB＝AC，OB＝OC，

∴AM垂直平分BC．

∴∠AMC＝90°．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC．

∴∠DAO＝90°．

∵点A在⊙O上，

∴AD是⊙O的切线．

21．(1)①，③   (2)证明见解析

(1)

解：①剪下的角与原三角形有两个对应角相等，故两三角形相似，所以①正确；

②由题，，，，虽然，但无法确定夹角相等， 也无法确定DE与BC的比值，故 ，不相似，所以②错误．

③由题，，，，

∴，；

即，

∵是公共角．

∴

故③正确

④在，角形中有，但是无法确定，无法确定所以④错误．

故选：①，③

(2)

解：①∵，

∴

根据相似三角形的判定：两角分别对应相等的三角形是相似三角形

∴．

解：③∵，，，，

∴，；

即，

∵是公共角．

∴

根据相似三角形的判定：两别对应成比例，夹角相等的两个三角形相似．