2022年江苏省苏州市中考数学全真模拟卷（01）（word版含答案）

这是一份2022年江苏省苏州市中考数学全真模拟卷（01）（word版含答案），共44页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年苏州市中考数学全真模拟卷（01）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．－2022的相反数是（     ）
A．－2022 B．2022 C． D．－
2．如果2xm-1y2与－x2yn是同类项，则nm的值是（       ）
A．4 B．6 C．8 D．9
3．函数中自变量x的取值围是（       ）
A． B． C． D．
4．若x＝2021是关于x的一元二次方程ax2﹣2bx﹣1＝0的一个根，则2020﹣4042b+20212a的值为（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
5．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．则回答正确的是（　　）
已知：如图，∠BEC＝∠B+∠C．求证：AB∥CD．
证明：延长BE交※于点F，
则∠BEC＝180°﹣∠FEC＝◎+∠C．
又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝▲．
故AB∥CD（@相等，两直线平行）．

A．◎代表∠FEC B．@代表同位角
C．▲代表∠EFC D．※代表AB
6．如图，在半径为的中，弦AB与CD交于点E，，，，则CD长是（       ）
A． B． C． D．

第6题 第7题
7．我校兴趣小组同学为测量校外“御墅临枫”的一栋电梯高层AB的楼高，从校前广场的C处测得该座建筑物顶点A的仰角为45°，沿着C向上走到30米处的D点．再测得顶点A的仰角为22°，已知CD的坡度：i=1：2，A、B、C、D在同一平面内，则高楼AB的高度为（　　）（参考数据；sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
A．60 B．70 C．80 D．90
8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（，0），顶点D的坐标为（0，），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，……，按这样的规律进行下去，第2021个正方形的边长为（       ）

A． B． C． D．
9．直线，在上任选一点，将一直角三角板直角顶点放在处，，当，此时的大小是（     ）

A． B． C． D．
10．如图，点是反比例函数上的一个动点，点分别在轴、轴上．当点到所在直线距离最大时，点的坐标是（       ）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请把答案填写在答题卡相应位置上）
11．已知（a﹣1）2+|b+2|＝0，则（a+b）2022的值是______．
12． 2021年5月16日全球新冠肺炎疫情简报，日新增62.1万，国内日接种新冠疫苗超1370万剂次，疫情第二年更“致命”，数据13700000用科学计数法可以表示为______．
13．因式分解：______．
14．已知a是一元二次方程2x2﹣3x﹣5＝0的根，则代数式2a﹣的值为___．
15．人字折叠梯完全打开后如图1所示，B，C是折叠梯的两个着地点，D是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图，已知，BD＝140cm，∠BAC＝40°，则点离地面的高度为______cm．（结果精确到0.1 cm；参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94）

16．如图，是一个小型花园，阴影部分为一个圆形水池，已知，，，若从天空飘落下一片树叶恰好落入花园里，则落入水池的概率________（填>、<或=）．

第16题 第17题 第18题
17．（2021·江苏徐州·二模）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE＝1， P、Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长最小时，四边形AEPQ的面积是______．
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=4，BC=6，AD=3，E为对角线BD上的动点，点F在边AB上，且满足．连接AE，记△AEF的S面积为S1，△BCE的面积为S2，若，则a的取值范围是________．
三、解答题（本大题共10小题，共76分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算和解方程：
（1）计算：            （2）解方程：



20．（1）解方程：



（2）解不等式组：       




21．某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元；
（2）如果某超市计划购进一批甲、乙两种玩具共20件，其中甲的数量不少于乙种数量的2倍，请问该超市如何采购，至少要投入多少元才能完成采购计划?




22．某校为了进一步宣传垃圾分类相关知识，举办了全体1200名学生参加的垃圾分类知识竞赛，并随机抽取了参加竞赛的40名选手的成绩（满分100分，得分为正整数且无满分，最低75分），将抽出的成绩分成五组，绘制了不完整的统计图表．
分数段
频数
频率
74.5～79.5
2
0.05
79.5～84.5
m
0.2
84.5～89.5
12
0.3
89.5～94.5
14
n
94.5～99.5
4
0.1
(1)表中m＝_____，n＝_____；
(2)请在图中补全频数分布直方图；
(3)小明同学的成绩被抽取到了，且他的成绩是40位参赛选手成绩的中位数，则他的成绩落在的分数段为_____；
(4)请你估计全校成绩为优秀（90分及以上）的学生人数．




23．在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的个红球和个白球，把它们充分搅匀．
（1）“从中任意抽取个球不是红球就是白球”是_____事件，“从中任意抽取个球是黄球”是______事件；
（2）为了更好的迎接“《生物多样性公约》第次缔约方大会”（简称“”）某校决定开展使城市形象大变化、大转身的“城市美容”演讲，学校要在甲、乙两名同学中选取一名同学作为主持人，制定如下规则：从盒子中同时抓两个球，若两球颜色相同，则选甲；若两球颜色不同，则选乙．你认为这个规则公平吗？请用列表法或画树状图的方法说明理由．






24．如图，一扇窗户垂直打开，即，是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在上滑动，将窗户按图示方向向内旋转到达位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测出此时为，的长为．求滑动支架的长．







25．如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，已知∠A=90°，AB=AC，A (-4，0)、B(0，2)、C(d，4)．
（1）求d的值：
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数y1的图象上．请求出这个反比例函数y1和此时的直线B′C′的解析式y2；
（3）当x满足什么条件时，y1＞y2．


26．如图，如图，△ABC中，点O是边AB上任意一点，以O为圆心，OB为半径的圆交AC于E，交AB交于D，给出下列信息：①∠C＝90°；②∠BDF＝∠F；③AC是⊙O的切线；

（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由．你选择的条件是，结论是（只要填写序号）．
（2）如果CF＝1，sinA=，求⊙O的半径．


27．（1）问题背景：如图1，∠ACB＝∠ADE＝90°，AC＝BC，AD＝DE，求证：△ABE∽△ACD；
（2）尝试应用：如图2，E为正方形ABCD外一点，∠BED＝45°，过点D作DF⊥BE，垂足为F，连接CF．求的值；
（3）拓展创新：如图3，四边形ABCD是正方形，点F是线段CD上一点，以AF为对角线作正方形AEFG，连接DE，BG．当DF＝1，S四边形AEDF＝5时，则BG的长为　　．



28．立志成为数学家的波波，根据黄金分割点的概念和勾股定理研究出如下定义：
如图1，点M，N在线段上，点M在点N的左侧，若线段，，满足，则称点M、N是线段的钻石分割点．

（1）【类比探究】如图2，D、E是、上两点，且，M、N是边的钻石分割点，连接、分别交于点G、H．求证：G、H是线段的钻石分割点．
（2）【知识迁移】如图3，点是反比例函数上的动点，直线与坐标轴分别交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D，且交线段于E、F．证明：E、F是线段的钻石分割点．
（3）【拓展应用】如图4，已知一次函数与坐标轴交于A、B两点，与二次函数交于C、D两点，若C、D是线段的钻石分割点，求m的值．





一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2021·江苏宿迁·二模）－2022的相反数是（     ）
A．－2022 B．2022 C． D．－
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相反数的定义：只有符号不同的两个数，由此可进行排除选项．
【详解】
解：-2022的相反数是2022；
故选B．
【点睛】
本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2．（2021·江苏南京一模）如果2xm-1y2与－x2yn是同类项，则nm的值是（       ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】C
【解析】
【分析】
根据同类项的定义可求出m和n的值，再代入中，求值即可．
【详解】
根据题意可得出，
即．
∴．
故选C．
【点睛】
本题考查同类项的定义，代数式求值．掌握“字母相同，并且相同字母的指数也相同的两个式子叫同类项”是解答本题的关键．
3．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学一模）函数中自变量x的取值围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件求解即可．
【详解】
．
．
故选A．
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件，掌握以上知识是解题的关键．
4．（2021·江苏连云港·模拟预测）若x＝2021是关于x的一元二次方程ax2﹣2bx﹣1＝0的一个根，则2020﹣4042b+20212a的值为（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】A
【解析】
【分析】
将x＝2021代入方程得出20212a﹣4042b＝1，再整体代入计算可得．
【详解】
解：把x＝2021代入方程ax2﹣2bx﹣4＝0得20212a﹣4042b﹣1＝0，
∴20212a﹣4042b＝1，
∴2020﹣4042b+20212a
＝2020﹣（20212a﹣4042b）
＝2020﹣1
＝2019．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解和代数式求解，准确计算是解题的关键．
5．（2021·江苏盐城·模拟预测）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．则回答正确的是（　　）
已知：如图，∠BEC＝∠B+∠C．求证：AB∥CD．
证明：延长BE交※于点F，
则∠BEC＝180°﹣∠FEC＝◎+∠C．
又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝▲．
故AB∥CD（@相等，两直线平行）．

A．◎代表∠FEC B．@代表同位角
C．▲代表∠EFC D．※代表AB
【答案】C
【解析】
【分析】
利用邻补角的概念、等量代换及平行线的判定求解可得．
【详解】
证明：延长交于点，
则．
又，得．
故（内错角相等，两直线平行）．
所以※代表，◎代表，▲代表，代表内错角，
故选：．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定，解题的关键是掌握邻补角的概念、等量代换及平行线的判定．
6．（2022·江苏镇江·模拟预测）如图，在半径为的中，弦AB与CD交于点E，，，，则CD长是（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，由垂径定理得出DF=CF，AG=BG=AB=2，得出EG=AG-AE=1，由勾股定理得出OG=1，证出△EOG是等腰直角三角形，得出∠OEG=45°，OE=，求出∠OEF=30°，由直角三角形的性质得出OF=，由勾股定理得出DF=，即可得出答案．
【详解】
解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：

则DF=CF，AG=BG=AB=2，
∵AE=1
∴EG=AG-AE=1，
在Rt△BOG中，
∴，
∴EG=OG，
∴△EOG是等腰直角三角形，
∴∠OEG=45°，OE=，
∵∠DEB=75°，
∴∠OEF=30°，
∴OF=OE=，
在Rt△ODF中，，
∴CD=2DF=；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
7．（2021·江苏徐州·模拟预测）我校兴趣小组同学为测量校外“御墅临枫”的一栋电梯高层AB的楼高，从校前广场的C处测得该座建筑物顶点A的仰角为45°，沿着C向上走到30米处的D点．再测得顶点A的仰角为22°，已知CD的坡度：i=1：2，A、B、C、D在同一平面内，则高楼AB的高度为（　　）（参考数据；sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）

A．60 B．70 C．80 D．90
【答案】D
【解析】
【分析】
作AH⊥ED交ED的延长线于H，根据坡度的概念分别求出CE、DE，根据正切的定义求出AB．
【详解】
解：作AH⊥ED交ED的延长线于H，

设DE＝x米，
∵CD的坡度：i＝1：2，
∴CE＝8x米，
由勾股定理得，DE2+CE2＝CD8，即x2+（2x）2＝（30）2，
解得，x＝30，
则DE＝30米，CE＝60米，
设AB＝y米，则HE＝y米，
∴DH＝y﹣30，
∵∠ACB＝45°，
∴BC＝AB＝y，
∴AH＝BE＝y+60，
在Rt△AHD中，tan∠DAH＝
则≈0.4，
解得，y＝90，
∴高楼AB的高度为90米，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（，0），顶点D的坐标为（0，），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，……，按这样的规律进行下去，第2021个正方形的边长为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理，得出，继而得知，利用勾股定理计算出正方形的边长，从中找出规律，问题也就迎刃而解了.
【详解】
解：根据题意，得：2，
（两直线平行，同位角相等）．
，
，
顶点的坐标为（，0），顶点D的坐标为（0，），
∴OA，OD，
在直角中，根据勾股定理得
，
∴AD＝AB＝1，
，
∵，
，
，
同理得：，••••••
第2021个正方形的边长为，
故选：B．
【点睛】
本题综合考查了相似三角形的判定、勾股定理、解直角三角形，正方形的性质等知识点，另外在解题过程中，要认真挖掘题中隐藏的规律，这样可以降低解题的难度，提高解题效率.
9．（2021江苏无锡·模拟预测）直线，在上任选一点，将一直角三角板直角顶点放在处，，当，此时的大小是（     ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
过作，利用平行线的性质可求解，即可得，再根据平行线的判定与性质可求解的度数．
【详解】
解：过作，则∠MGE=∠BEG，

，，
，
∴∠MGE=20°，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
10．（2021·江苏·苏州草桥中学一模）如图，点是反比例函数上的一个动点，点分别在轴、轴上．当点到所在直线距离最大时，点的坐标是（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
过点M作MB⊥AP，垂足为B，分析得出当AB最小时，MB最大，过点P作PN⊥x轴，垂足为N，证明△PAN∽△AMO，得到AN=4PN，设PN=x，表示出点P坐标，代入反比例函数表达式，求出x值即可．
【详解】
解：过点M作MB⊥AP，垂足为B，
可知△AMB为直角三角形，
∵AM固定不变，则当AB最小时，MB最大，
此时点B与点A重合，
过点P作PN⊥x轴，垂足为N，
∵∠MAP=90°，
∴∠PAN+∠MAO=90°，又∠PAN+∠APN=90°，
∴∠MAO=∠APN，又∠PNA=∠MOA=90°，
∴△PAN∽△AMO，
∴，即，
∴AN=4PN，
∴ON=AO+AN=2+4PN，设PN=x，
∴P（-2-4x，x），代入中，
得：，
解得：x=1或x=（舍），
∴P（-6，1），
故选A．

【点睛】
本题考查了反比例函数综合，相似三角形的判定和性质，最短距离，解题的关键是分析出MB最小时的位置情况，从而构造相似三角形得到线段的关系．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请把答案填写在答题卡相应位置上）
11．（2021·江苏泰州·一模）已知（a﹣1）2+|b+2|＝0，则（a+b）2021的值是 __．
【答案】1
【解析】
【分析】
由（a﹣1）2+|b+2|＝0，（a﹣1）2，|b+2|都是非负的可得：a﹣1=0，b+2=0，可解出a，b，然后代入计算即可．
【详解】
解：∵（a﹣1）2+|b+2|＝0，而（a+1）2≥0，|b+2|≥0，
∴a﹣1＝0，b+2＝0，
解得：a＝1，b＝﹣2，
则（a+b）2022＝（1﹣2）2022＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查平方运算和绝对值运算的非负性，正确得出a，b的值是解题的关键．
12．（2021·江苏连云港三模）2021年5月16日全球新冠肺炎疫情简报，日新增62.1万，国内日接种新冠疫苗超1370万剂次，疫情第二年更“致命”，数据13700000用科学计数法可以表示为______．
【答案】13700000＝1.37×107
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
解：把13700000表示成a×10n（其中，1≤a＜10，n为整数）的形式，
故13700000＝1.37×107，
故答案为：13700000＝1.37×107．
【点睛】
此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．（2022·江苏·靖江外国语学校模拟预测）因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】
解：原式，
，
．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．（2021·江苏扬州三模）已知a是一元二次方程2x2﹣3x﹣5＝0的根，则代数式2a﹣的值为___．
【答案】3
【解析】
【分析】
把代入已知方程可求得，然后等式两边都除以a整理即可．
【详解】
解 a是一元二次方程2x2﹣3x﹣5＝0的根，
把x＝a代入2x2﹣3x﹣5＝0得2a2﹣3a﹣5＝0，
所以2a2﹣3a＝5，
∵a≠0，
∴等式两边都除以a得即．
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，理解一元二次方程的根的定义和掌握整体代入法是解题关键．
15．（2021·江苏南京·模拟预测）人字折叠梯完全打开后如图1所示，B，C是折叠梯的两个着地点，D是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图，已知，BD＝140cm，∠BAC＝40°，则点离地面的高度为______cm．（结果精确到0.1 cm；参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94）

【答案】131.6
【解析】
【分析】
求出∠BDE的度数，利用余弦值求出DE即可．
【详解】
解：，，
，
，
，
，
在Rt△BDE中，，
，
点离地面的高度为：，
故答案为：131.6．
【点睛】
此题考查了解直角三角形的实际应用，正确掌握各三角函数值的计算公式是解题的关键．
16．（2021·江苏邗江·二模）如图，是一个小型花园，阴影部分为一个圆形水池，已知，，，若从天空飘落下一片树叶恰好落入花园里，则落入水池的概率________（填>、<或=）．

【答案】
【解析】
【分析】
通过已知条件求出圆的半径，根据圆的面积占比就可以推算出概率，进一步得到答案．
【详解】
解：如下图：设圆O与△ABC的三边相切于点D、E、F，

连接OD、OE、OF，设半径为r
∴，，
∴
又∵
∴为直角三角形，且
∴四边形为矩形
又∵
∴四边形为正方形
∴
又∵圆是三角形的内切圆，
∴
∴，，
∴
解得：
所以的的面积，
∵
∴树叶恰好落入水池的概率大于；
故答案为：＞
【点睛】
本题考查三角形的内切圆与概率的实际应用，根据面积占比推算概率是常考的知识点.
17．（2021·江苏徐州·二模）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE＝1， P、Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长最小时，四边形AEPQ的面积是______．

【答案】####
【解析】
【分析】
根据最短路径的求法，先确定点E关于BC的对称点E′，再确定点A关于DC的对称点A′，连接A′E′即可得出P，Q的位置；再根据相似得出相应的线段长从而可求得四边形AEPQ的面积．
【详解】
解：如图所示：

作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，此时四边形AEPQ的周长最小，
∵AD＝A′D＝3，BE＝BE′＝1，
∴AA′＝6，AE′＝4．
∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，
∴，，，
∴
∴
∴DQ＝AE′＝2，
∵BP∥AA′，
∴△BE′P∽△AE′A′，
∴＝，即＝，BP＝，
S四边形AEPQ＝S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣S△BEP
＝
＝
＝．
故答案为：
【点睛】
此题考查轴对称、相似三角形的判定及性质、平行线的性质等知识，利用轴对称作出辅助线确定得出P、Q的位置是解题关键．
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=4，BC=6，AD=3，E为对角线BD上的动点，点F在边AB上，且满足．连接AE，记△AEF的S面积为S1，△BCE的面积为S2，若，则a的取值范围是________．

【答案】
【解析】
【分析】
过点E作EH⊥AB于点H，作EG⊥BC于点G，证明△BHE∽△BAD，得到，根据得到，可证明△EHF∽△EGC，可得CE⊥EF，设EH=x，表示出S1和S2，得到，分别得到EH最大和最小时的情况，可得对应EH值，代入可得a的取值范围．
【详解】
解：过点E作EH⊥AB于点H，作EG⊥BC于点G，则四边形HEGB为矩形，
∵HE∥AD，
∴△BHE∽△BAD，
∴，
又，
∴，
∵∠EHF=∠EGC=90°，
∴△EHF∽△EGC，
∴∠HEF=∠GEC，
∴∠HEG=∠FEC=90°，即CE⊥EF，
设EH=x，∵，
∴HB=EG=，CG=BC-BG=6-x，，
∴HF=，BF=BH-HF=，
AF=AB-BF=，
∴===，
==4x，
∴，
∵点F在AB上，
∴当F与B重合时，EH最小，此时EH=，
当E与D重合时，EH最大，此时EH=AD=3，
∴，
故答案为：．

【点睛】
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，线段的最值问题，解题的关键是求出EH的最大值和最小值．
三、解答题（本大题共10小题，共76分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学一模）计算和解方程：
（1）计算：            
（2）解方程：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值的意义，二次根式的性质，特殊角的锐角三角函数，零次幂进行计算即可；
（2）根据分式方程的步骤将其化为整式方程再进行计算即可，最后检验．
【详解】
（1）解：原式

（2）解：
解得：
检验：是原方程的解．
【点睛】
本题考查了绝对值的意义，二次根式的性质，特殊角的锐角三角函数，零次幂，解分式方程等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．
20．（2021·江苏·苏州市振华中学校一模）（1）解方程：
（2）解不等式组：       
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用公式法求解可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】
解：（1），，，
△，
则，
解得：，；
（2）解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
【点睛】
本题主要考查解一元一次不等式组和一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
21．（2021·江苏宿迁二模）某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元；
（2）如果某超市计划购进一批甲、乙两种玩具共20件，其中甲的数量不少于乙种数量的2倍，请问该超市如何采购，至少要投入多少元才能完成采购计划?
【答案】（1）甲30元/件，乙27元/件；（2）甲14件，乙6件，投入582元
【解析】
【分析】
（1）设甲种玩具的进价x元/件，甲种玩具的进价y元/件，根据5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元列二元一次方程组．解方程组即可；
（2）设甲种玩具计划购进m件，乙种玩具购进（20-m）件，列一次函数n=540+3m，再根据甲的数量不少于乙种数量的2倍，列不等式，再根据函数性质即可求解．
【详解】
解：（1）设甲种玩具的进价x元/件，甲种玩具的进价y元/件，
根据题意得，
解得，
经检验符合题意，
答每件甲种、乙种玩具的进价分别是30元，27元；
（2）设甲种玩具计划购进m件，乙种玩具购进（20-m）件，
要投入的钱数n=30m+27(20-m)=540+3m，
根据题意，
解得，
∴m=14,15,16,17,18,19,
∵n=540+3m，k=3＞0，
∴n随m的增大而增大，
∴当m=14时，投入最小为n=540+3×14=582元．
【点睛】
本题考查列二元一次方程组解应用题，列一次函数，利用函数性质与一元一次不等式结合是解题关键．
22．（2021·江苏常州·模拟预测）某校为了进一步宣传垃圾分类相关知识，举办了全体1200名学生参加的垃圾分类知识竞赛，并随机抽取了参加竞赛的40名选手的成绩（满分100分，得分为正整数且无满分，最低75分），将抽出的成绩分成五组，绘制了不完整的统计图表．
分数段
频数
频率
74.5～79.5
2
0.05
79.5～84.5
m
0.2
84.5～89.5
12
0.3
89.5～94.5
14
n
94.5～99.5
4
0.1
(1)表中m＝_____，n＝_____；
(2)请在图中补全频数分布直方图；
(3)小明同学的成绩被抽取到了，且他的成绩是40位参赛选手成绩的中位数，则他的成绩落在的分数段为_____；
(4)请你估计全校成绩为优秀（90分及以上）的学生人数．
【答案】(1)8，0.35
(2)见解析
(3)
(4)540人
【解析】
【分析】
（1）根据频率=频数÷总数求解可得；
（2）根据（1）的数据即可补全图形；
（3）根据中位数的概念求解可得；
（4）用总人数乘以样本中第4、5组的频率和即可．
(1)
解：m=40×0.2=8，n=14÷40=0.35，
故答案为：8，0.35；
(2)
解：补全图形如下：
，
(3)
解：由于40个数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在84.5～89.5，
∴测他的成绩落在分数段84.5～89.5内，
故答案为：84.5～89.5．
(4)
解：估计全校成绩为优秀（90分及以上）的学生人数为1200×（0.35+0.1）=540（人）．
【点睛】
本题考查频数分布直方图，中位数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．（2021·江苏模拟预测）在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的个红球和个白球，把它们充分搅匀．
（1）“从中任意抽取个球不是红球就是白球”是_____事件，“从中任意抽取个球是黄球”是______事件；
（2）为了更好的迎接“《生物多样性公约》第次缔约方大会”（简称“”）某校决定开展使城市形象大变化、大转身的“城市美容”演讲，学校要在甲、乙两名同学中选取一名同学作为主持人，制定如下规则：从盒子中同时抓两个球，若两球颜色相同，则选甲；若两球颜色不同，则选乙．你认为这个规则公平吗？请用列表法或画树状图的方法说明理由．
【答案】（1）必然，不可能；（2）公平，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）直接利用必然事件以及不可能事件的定义分别求解即可得出答案；
（2）首先根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出两个球颜色相同的情况数和不同的情况数，再利用概率公式即可求出答案．
【详解】
解：（1）不透明的盒子中装有大小和形状相同的个红球和个白球，
“从中任意抽取个球不是红球就是白球”是必然事件；
“从中任意抽取个球是黄球”是不可能事件；
故答案为：必然，不可能；
（2）根据题意画图如下：

一共有种可能出现的结果，其中两个球是同色的有种情况，
则甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，
，
这个规则公平．
【点睛】
本题考查了必然，不可能，不确定事件的定义，列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，熟悉相关性质是解题的关键．
24．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学一模）如图，一扇窗户垂直打开，即，是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在上滑动，将窗户按图示方向向内旋转到达位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测出此时为，的长为．求滑动支架的长．

【答案】
【解析】
【分析】
题目中出现了特殊角度和，因此可以构造直角三角形，再利用特殊角的三角函数值，即可求解出对应线段的长度．
【详解】
解：如图，过点B作于点E，

由题意可知：
∵
∴
在中，
∴
∴
∵
∴
答：滑动支架的长为．
【点睛】
本题主要考查了特殊角度的三角函数值，在遇到特殊角度时，适当添加垂线，构造直角三角形是解决本题的关键．
25．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，已知∠A=90°，AB=AC，A (-4，0)、B(0，2)、C(d，4)．
（1）求d的值：
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数y1的图象上．请求出这个反比例函数y1和此时的直线B′C′的解析式y2；
（3）当x满足什么条件时，y1＞y2．

【答案】（1）−6；（2）y1＝，y2＝− x＋6；（3）0＜x＜6或x＞12
【解析】
【分析】
（1）作CN⊥x轴于点N，根据HL证明Rt△CAN≌Rt△AOB，求出NO的长度，进而求出d；
（2）设△ABC沿x轴的正方向平移c个单位，用c表示出C′和B′，根据两点都在反比例函数图象上，求出k的值，进而求出c的值，即可求出反比例函数和直线B′C′的解析式；
（3）直接从图象上找出y1＞y2时，x的取值范围．
【详解】
解：（1）作CN⊥x轴于点N，

∵A (-4，0)、B(0，2)、C(d，4)，
∴CN＝4，AO＝4，OB=2
在Rt△CAN和Rt△AOB中，
，
∴Rt△CAN≌Rt△AOB（HL），
∴AN＝BO＝2，NO＝NA＋AO＝6，
又∵点C在第二象限，
∴d＝−6；
（2）设△ABC沿x轴的正方向平移c个单位，
则C′（−6＋c，4），则B′（c，2）
又点C′和B′在该比例函数图象上，
把点C′和B′的坐标分别代入y1＝，
得−24＋4c＝2c，
解得c＝12，
即反比例函数解析式为y1＝，
此时C′（6，4），B′（12，2），
设直线B′C′的解析式y2＝mx＋n，
代入C′、B′得，
∴，
∴直线C′B′的解析式为y2＝− x＋6；
（3）由图象可知反比例函数y1和此时的直线B′C′的交点为C′（6，4），B′（12，2），
若y1＞y2，则0＜x＜6或x＞12．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及平移的知识，解决第（2）问关键求出c的值，此题难度不是很大．
26．（2021·江苏·高港实验学校二模）如图，如图，△ABC中，点O是边AB上任意一点，以O为圆心，OB为半径的圆交AC于E，交AB交于D，给出下列信息：①∠C＝90°；②∠BDF＝∠F；③AC是⊙O的切线；

（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由．你选择的条件是，结论是（只要填写序号）．
（2）如果CF＝1，sinA=，求⊙O的半径．
【答案】（1）①②；③；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件证明AC是⊙O的切线即可；
（2）设，根据切线的性质和三角函数的定义求解即可；
【详解】
（1）条件是①②；结论是③；
∵∠BDF＝∠F，
∴，
令，
∴，

连接OE，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
即，
∴AC是⊙O的切线；
（2）设，
∴，
由（1）可得，
∵，
∴，
∵为BD的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，
∴，
∴，
∴的半径为．
【点睛】
本题主要考查了圆的切线证明、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义，准确理解计算是解题的关键．
27．（2021·江苏南京·三模）（1）问题背景：如图1，∠ACB＝∠ADE＝90°，AC＝BC，AD＝DE，求证：△ABE∽△ACD；
（2）尝试应用：如图2，E为正方形ABCD外一点，∠BED＝45°，过点D作DF⊥BE，垂足为F，连接CF．求的值；
（3）拓展创新：如图3，四边形ABCD是正方形，点F是线段CD上一点，以AF为对角线作正方形AEFG，连接DE，BG．当DF＝1，S四边形AEDF＝5时，则BG的长为　　．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）由等腰直角三角形的性质可得，，，根据两边对应成比例且夹角相等可得；
（2）根据条件，证明即可；
（3）由相似三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案．
【详解】
（1）证明：如图，，，，
，且，，
，，
；
（2）解：如图2，连接，

，，
，
在正方形中，，
，，
，
；
（3）解：如图3，连接，过点作于点，

四边形是正方形，
，，，，
四边形是正方形，
，，，，
，，，，
，，
，，
，，
设，则，，
，
，
，解得：（舍去），，
．
故答案为：．
【点睛】
本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握正方形以及相似三角形的的性质．
28．（2021·江苏工业园区·一模）立志成为数学家的波波，根据黄金分割点的概念和勾股定理研究出如下定义：
如图1，点M，N在线段上，点M在点N的左侧，若线段，，满足，则称点M、N是线段的钻石分割点．

（1）【类比探究】如图2，D、E是、上两点，且，M、N是边的钻石分割点，连接、分别交于点G、H．求证：G、H是线段的钻石分割点．
（2）【知识迁移】如图3，点是反比例函数上的动点，直线与坐标轴分别交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D，且交线段于E、F．证明：E、F是线段的钻石分割点．
（3）【拓展应用】如图4，已知一次函数与坐标轴交于A、B两点，与二次函数交于C、D两点，若C、D是线段的钻石分割点，求m的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）由DE∥AB证明△DCG∽△CAM，△CGH∽△CMN，△CHE∽△CNB，得到DG、GH、HE与AM、MN、NB之间的关系式，可证明DG2+HE2=GH2，从而证明G、H是线段DE的钻石分割点；
（2）可由直线y=-x+4与坐标轴分别交于A、B两点求出点A、B的坐标，用含a的代数式分别表示点P、E、F的坐标，再由两点的距离用含a的代数式分别表示AE2、FB2、EF2，证明AE2+FB2=EF2，从而证明E、F是线段AB的钻石分割点；
（3）由y=-2x+6与y=x2-4x+m联立成方程组并且解方程组，用含m的代数式分别表示点C、D的坐标，根据直线y=-2x+6与坐标轴交于A、B两点求出点A、B的坐标，由C、D是线段AB的钻石分割点列方程求m的值．
【详解】
解：（1）证明：如图2，，
，，
，，
，
；
同理，
、是线段的钻石分割点，
，
，
、是线段的钻石分割点

（2）如图3，直线与坐标轴分别交于、两点，
，；
点在双曲线上，
，
，，，
，
，
，
，
，
、是线段的钻石分割点．

（3）如图4，直线与轴、轴分别交于、两点，
，；
由，得，整理，得，
直线与抛物线有两个交点，
△，
，
解得；
抛物线与轴的交点在点的上方，
，
的取值范围是；
解方程组，得，，
，，，，
、是线段的钻石分割点，
，
，
整理，得，
进一步整得，
解得，（不符合题意，舍去），
的值为．

【点睛】
此题重点考查相似三角形的判定与性质、一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质以及勾股定理、解一元二次方程、二次根式的化简等知识与方法，由于解题过程中涉及的等式变形较为复杂，所以在进行整理时应注重准确性，此题属于考试压轴题