高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3 函数的单调性和最值第1课时导学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3 函数的单调性和最值第1课时导学案，共9页。

第1课时 函数的单调性
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究．他经过测试，得到了以下一些数据：
以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数．艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．
[问题] 当时间间隔t逐渐增大，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？


知识点一 增函数、减函数的概念
设函数y＝f(x)的定义域是D：
(1)如果对于任意的x1，x2∈D，当x1(2)如果对于任意的x1，x2∈D，当x1f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是减函数．特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递减．
eq \a\vs4\al()
1．对区间D的要求
函数的单调性是函数在某个区间上的性质，这个区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分．
2．x1，x2的三个特征
(1)同区间性，即x1，x2∈D；
(2)任意性，即不可用区间D上的两个特殊值代替x1，x2；
(3)有序性，即需要区分大小，通常规定x13．自变量的大小与函数值的大小关系
(1)单调递增：x1(2)单调递减：x1f(x2)．
下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1①f(x)＝x2；②f(x)＝eq \f(1,x)；
③f(x)＝|x|；④f(x)＝2x＋1.
答案：②
知识点二 函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I为函数y＝f(x)的单调区间．
eq \a\vs4\al()
1．函数在某个区间上是单调增(减)函数，但是在整个定义域上不一定是单调增(减)函数．如函数y＝eq \f(1,x)(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但是在整个定义域上不具有单调性．
2．一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．如函数y＝eq \f(1,x)(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，不能认为y＝eq \f(1,x)(x≠0)的单调减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
1．区间A一定是函数的定义域吗？
提示：不一定，可能是定义域的一部分．
2．函数y＝eq \f(1,x)在定义域上是减函数吗？
提示：y＝eq \f(1,x)在定义域上不是减函数，但是它有两个单调递减区间(－∞，0)，(0，＋∞)．
1．下列函数中，在R上是增函数的是( )
A．y＝|x| B．y＝x
C．y＝x2 D．y＝eq \f(3,x)
解析：选B 根据题意，依次分析选项：对于A，y＝|x|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x，x≥0，,－x，x<0，))在R上不是增函数，不符合题意；对于B，y＝x是正比例函数，在R上是增函数，符合题意；对于C，y＝x2是二次函数，在R上不是增函数，不符合题意；对于D，y＝eq \f(3,x)是反比例函数，在R上不是增函数，不符合题意．
2．如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，则函数的单调递减区间是________，在区间________上是增函数．
解析：观察图象可知单调递增区间为[－5，－2]，[1，3]，单调递减区间为[－2，1]，[3，5]．
答案：[－2，1]和[3，5] [－5，－2]和[1，3]
3．若函数f(x)＝ax－3在R上单调递增，则a的取值范围为________．
答案：(0，＋∞)
[例1] 判断函数f(x)＝eq \f(1,x2－1)在区间(1，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义证明．
[解] 函数f(x)＝eq \f(1,x2－1)在区间(1，＋∞)上是减函数．
证明如下：
任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝eq \f(1,xeq \\al(2,1)－1)－eq \f(1,xeq \\al(2,2)－1)
＝eq \f(xeq \\al(2,2)－xeq \\al(2,1),（xeq \\al(2,1)－1）（xeq \\al(2,2)－1）)＝eq \f(（x2＋x1）（x2－x1）,（xeq \\al(2,1)－1）（xeq \\al(2,2)－1）).
∵x10，
又x1，x2∈(1，＋∞)，
∴x2＋x1>0，xeq \\al(2,1)－1>0，xeq \\al(2,2)－1>0.
∴eq \f(（x2＋x1）（x2－x1）,（xeq \\al(2,1)－1）（xeq \\al(2,2)－1）)>0，
即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减．
eq \a\vs4\al()
利用定义证明函数单调性的步骤

[跟踪训练]
1．(多选)下列函数在(－∞，0)上为增函数的是( )
A．y＝|x|＋1 B．y＝eq \f(|x|,x)
C．y＝－eq \f(x2,|x|) D．y＝x＋eq \f(x,|x|)
解析：选CD y＝|x|＋1＝－x＋1(x<0)在(－∞，0)上为减函数；y＝eq \f(|x|,x)＝－1(x<0)在(－∞，0)上既不是增函数也不是减函数；y＝－eq \f(x2,|x|)＝x(x<0)在(－∞，0)上是增函数；y＝x＋eq \f(x,|x|)＝x－1(x<0)在(－∞，0)上也是增函数，故选C、D.
2．利用单调性的定义，证明函数y＝eq \f(x＋2,x＋1)在(－1，＋∞)上是减函数．
证明：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝eq \f(x1＋2,x1＋1)－eq \f(x2＋2,x2＋1)＝eq \f(x2－x1,（x1＋1）（x2＋1）).
因为－10，x1＋1>0，x2＋1>0，
所以eq \f(x2－x1,（x1＋1）（x2＋1）)>0，即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)．
所以y＝eq \f(x＋2,x＋1)在(－1，＋∞)上是减函数.
[例2] (链接教科书第63页B组2题)已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R.
(1)画出函数的图象；
(2)根据图象写出它的单调区间．
[解] (1)f(x)＝x2－4|x|＋3＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－4x＋3，x≥0，,x2＋4x＋3，x<0.))
图象如图所示：
(2)由图象可知函数f(x)的单调递增区间为(－2，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2]，[0，2]．
eq \a\vs4\al()
求函数单调区间的2种方法
(1)定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解；
(2)图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间．
[跟踪训练]
求函数f(x)＝eq \f(1,x－1)的单调减区间．
解：函数f(x)＝eq \f(1,x－1)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
设x1，x2∈(－∞，1)，且x1f(x1)－f(x2)＝eq \f(1,x1－1)－eq \f(1,x2－1)＝eq \f(x2－x1,（x1－1）（x2－1）).
因为x10，x1－1<0，x2－1<0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞).
[例3] (1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________；
(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．
[解析] (1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.∴实数a的取值范围为(－∞，－4]．
(2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
且f(2x－3)>f(5x－6)，
∴2x－3>5x－6，即x<1.
∴实数x的取值范围为(－∞，1)．
[答案] (1)(－∞，－4] (2)(－∞，1)
[母题探究]
1．(变条件)若本例(1)的函数f(x)在(1，2)上是单调函数，求a的取值范围．
解：由题意可知－(a＋1)≤1或－(a＋1)≥2，即a≤－3或a≥－2.
所以a的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞)．
2．(变条件)若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的范围．
解：由题意可知，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－3>0，,5x－6>0，,2x－3<5x－6，))解得x>eq \f(3,2).
∴x的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)).
eq \a\vs4\al()
1．利用单调性比较大小或解不等式的方法
(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上；
(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
2．已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法
(1)将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的取值范围；
(2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围．
[跟踪训练]
1．若函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是( )
A．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))B．f(－1)C．f(－2)D．f(－2)解析：选D ∵f(x)在(－∞，－1]上是增函数，
且－2<－eq \f(3,2)<－1，
∴f(－2)2．若f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)解析：依题意，得不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥0，,－2x＋8≥0，,x>－2x＋8，))
解得eq \f(8,3)答案：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8,3)，4))
复合函数y＝f(g(x))的单调性
[典例] 已知函数f(x)＝eq \f(2,x－1)，x∈[2，6]．
(1)试判断此函数在x∈[2，6]上的单调性；
(2)根据(1)的判断过程，归纳出解题步骤．
提示：(1)函数f(x)＝eq \f(2,x－1)可分解为函数y＝eq \f(2,u)和函数u＝x－1.
因为x∈[2，6]，所以u∈[1，5]，显然函数u＝x－1在x∈[2，6]上单调递增，函数y＝eq \f(2,u)在u∈[1，5]上单调递减，由复合函数的单调性，知f(x)＝eq \f(2,x－1)在x∈[2，6]上单调递减．
(2)解题步骤为：先求函数的定义域，接着分解复合函数，再判断每一层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性．
[结论] 复合函数的单调性：一般地，对于复合函数y＝f(g(x))，单调性如表所示，简记为“同增异减”.
[迁移应用]
求函数f(x)＝eq \r(8－2x－x2)的单调区间．
解：由题意可知8－2x－x2≥0，解得－4≤x≤2，
∴函数f(x)的定义域为[－4，2]．
设y＝eq \r(u)，u＝8－2x－x2.
二次函数u＝8－2x－x2＝－(x＋1)2＋9的单调递增区间是(－∞，－1]，单调递减区间是(－1，＋∞)．
∴函数y＝f(x)的单调递增区间是[－4，－1]，单调递减区间是(－1，2]．
1．函数f(x)在R上是减函数，则有( )
A．f(3)C．f(3)>f(5) D．f(3)≥f(5)
解析：选C 因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，所以f(3)>f(5)．
2．函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
解析：选B 易知函数f(x)＝－x2＋2x＋3是图象开口向下的抛物线，其对称轴为x＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞)．
3．若函数y＝ax与y＝－eq \f(b,x)在(0，＋∞)上都单调递增，则函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上( )
A．单调递增 B．单调递减
C．先增后减 D．先减后增
解析：选A 由于函数y＝ax与y＝－eq \f(b,x)在(0，＋∞)上均单调递增，故a>0，b>0，故二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象开口向上，且对称轴为直线x＝－eq \f(b,2a)<0，故函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上单调递增．
4．(多选)如果函数f(x)在[a，b]上单调递增，则对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的是( )
A.eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．f(a)≤f(x1)D．f(x1)≠f(x2)
解析：选ABD 由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上单调递增，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A、B正确；对于C，若x1>x2，则f(x1)>f(x2)，故C不正确；对于D，因为f(x)在区间[a，b]上单调，且x1≠x2，所以f(x1)≠f(x2)，故D正确．
5．已知函数y＝－x2＋4ax在区间[－1，2]上单调递减，则实数a的取值范围是________．
解析：根据题意，知函数y＝－x2＋4ax为二次函数，且开口向下，其对称轴为x＝2a，
若其在区间[－1，2]上单调递减，则2a≤－1，
所以a≤－eq \f(1,2)，即a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2))).
答案：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))
新课程标准解读
核心素养
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性
数学抽象
2.理解单调性的作用和实际意义
逻辑推理、数学运算
3.借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和意义
数学抽象、数学运算
时间间隔t
刚记忆完毕
20分钟后
60分钟后
8～9小时后
1天后
2天后
6天后
一个月后
记忆量y (百分比)
100
58.2
44.2
35.8
33.7
27.8
25.4
21.1
利用定义判断或证明函数的单调性
求函数的单调区间
函数单调性的应用
g(x)
f(x)
f(g(x))
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增