2021学年第一章 集合与函数概念综合与测试学案

学案  第一章函数综合

知识要点

一、定义域  值域

1.设函数，则的定义域为　　

A． B． C． D．

2.若函数f（3x-1）的定义域是[0,1]，则函数f（2x）+f（3x-2）的定义域为        .

3.已知函数的定义域是R，则m的取值范围为        .

4.函数f（x）=的值域为[0，+，则实数a的取值范围        .

5.已知函数f（x）=，（x>0），求f（x）的值域        .

6.已知f（x）=是定义在[,2]上的函数，则f（x）的值域为        .

二、函数表示法

1.若，则的解析式为(   )

A． B．

C． D．

2.已知函数f（x）=3x-1，若f[g(x)]=2x+3,则函数g（x）的解析式.

3．已知函数，则_________.

4．给定映射，则在映射f下，的原象是_____.

三、单调性与最值

1. 若函数f（x）=在（-，2）上单调递减，则a的取值范围         .

2.已知a∈R且a≠1，求函数f(x)＝在[1，4]上的最值.

3.已知函数f（x）=.

（1）求函数的单调区间； （2）求函数的最值.

4. 利用单调性定义判断函数在 [1，4]上的单调性并求其最值．

四、奇偶性

1.已知函数是定义在上的奇函数.若，则的值为（   ）

A． B．2 C．3 D．

2.已知是定义在上的奇函数，若，，则的值为__________．

3．函数为偶函数，且在单调递减，则的解集为______________.

五、综合

1.设定义在上的函数对于任意实数，都有成立，且，当时，．

（1）判断的单调性，并加以证明；

（2）试问：当时，是否有最值?如果有，求出最值；如果没有，说明理由；

（3）解关于的不等式，其中．

2.已知函数f（x）=的定义域为（-1,1），满足f（-x）=f（x），且f（）=.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）证明f（x）在（-1,1）上是增函数；

（3）解不等式f（2x-1）+f（x）<0.

3.已知定义在R上的函数f（x）在上单调递减，且f（x+1）是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数m的取值范围是

小试牛刀：

1．函数的定义域是_____．

2．函数的定义域为___________；值域为____________．

3.已知函数f（x）=，g（x）=kx+2，若对任意的[-1,2]，总存在[1，]，使得g（）>f（），则实数k的取值范围（    ）

4．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

5．已知定义在上的奇函数和偶函数，则（　　）

A．是奇函数 B．是奇函数

C．是偶函数 D．是偶函数

6．定义在上的偶函数，当，都有，且，则不等式的解集是（   ）

A．     B．    C．   D．

7．已知奇函数f（x）定义在（-1,1）上，且对任意（-1,1） （）都有<0成立，若f（2x-1）+f（3x-2）>0成立，则x的取值范围为（    ）

A．（0,1） B．（，1） C．（） D．（0，）

答案

一、

1.选B[2,4]

2.定义域永远指的是x，括号内地位相等，所以定义域为[，1]

3.开口向上且△≤0，则m[0，4]

4.取遍问题，先考虑二次项系数为0 成立，

其次是二次式开口向上，△≥0，所以综上a

5.结论，值域为（-1，1）

6.齐次式分离 变对勾函数 考虑定义域内单调性问题 值域为[，]

二、

1. 换元法：f（x）=
2. g（x）=
3. 8
4. （1，1）

三、

1. [0，] 先考虑a=0，在考虑二次函数对称轴及开口方向。
2. 当a<1时，最大值为，最小值为

当a>1时，最大值为，最小值为

3. （1）单调增区间为（0，4），单调减区间为（4,8）

（2）最大值为4，最小值为0

4. 首先用定义法证明f（x）的单调性，证明在[1，4]上先减后增

  在（1，2）上单调递减，在（2，4）上单调递增

  最大值为5，在x=1或者4处取到，最小值为4，在x=2处取到。

四、

1.b-3+b-1=0，即b=2，又因为a=1，所以a+b=3

2.为奇函数    ，又

是周期为的周期函数

又，

3. b-2a=0，所以b=2a，f（x）=a（），所以当f（x）>0时，即a>0，所以（）（2，+）

五、

1. （1）在上是减函数，证明见解析；（2）的最大值是，最小值是；（3）当时，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为．
2. 分析：

（1）单调减函数，利用定义证明

（2）因为f（x）在区间上单调递减，所以在x=-1处取最大值为1，在x=2处取最小值为0

（3）因为f（x+y）=f（x）+f（y）-2，所以原式为f（）+f（2b）<f（）+f（2x）

即f（+2b）<f（+2x），又因为f（x）是单调递减函数，所以+2b>+2x

（bx-2）（x-b）>0，根据条件知当b>0时为（）（），当b<0 时为（b，）

3.(1)；（2）见解析.(3) 原不等式的解集为.

（1）f（x）的定义域为（-1，1），关于原点对称，且f（-x）=-f（x）；

∴f（x）为奇函数；  ∴； ∴b=0，则；

∴； ∴a=1； ∴；

（2）证明：设-1＜x1＜x2＜1，则：

=；

∵-1＜x1＜x2＜1；

∴x1-x2＜0，1-x1x2＞0，＞0；

∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在（-1，1）上是增函数；

（3）f（x）显然为奇函数；

∴由f（2x-1）+f（x）＜0得，f（2x-1）＜-f（x）；

∴f（2x-1）＜f（-x）；

由（1）知f（x）在（-1，1）上是增函数，则：

-1＜2x-1＜-x＜1，

解得；

∴原不等式的解集为．

小试牛刀：

2. 由题知x-1>0，所以为x（1，+），值域为（0，+）
3. []
4. 注意分段函数单调时的三件套，选C

5.A．若f（x）=x，g（x）=2，满足条件，则f（x）+g（x）不是奇函数，故A错误，

B．|f（-x）|g（-x）=|-f（x）|g（x）=|f（x）|g（x）是偶函数，故B错误，

C．f（-x）•g（-x）=-f（x）•g（x），则函数是奇函数，故C错误，

D．f（|-x|）•g（-x）=f（|x|）•g（x），则f（|x|）•g（x）是偶函数，故D正确

故选：D．

6.由题意，对于任意，都有，

可得函数在上为递减函数，

又由函数是R上的偶函数，所以函数在上为递增函数，

且，

由可得：

当时，，即，可得，

当时，，即，可得，

综上可得不等式的解集为，

故选C.

7.∵对任意的x1，x2∈（﹣1，1）（x1≠x2），都有成立，

∴函数f（x）在（﹣1，1）上单调递减

∵函数是奇函数，

∴等价于f（2x﹣1）＞f（2﹣3x）

∴ ，解得＜x＜

故选：C．