北师大版七年级下册第一章 整式的乘除4 整式的乘法练习题

第7练 整式的乘法—多项式乘多项式（培优）

1．要使（x2﹣x+5）（2x2﹣ax﹣4）展开式中不含x2项，则a的值等于（　　）

A．﹣6 B．6 C．14 D．﹣14

【分析】根据多项式乘以多项式的法则进行展开，然后按照x的降序排列，使x的二次项的系数为0即可．

【详解】解：（x2﹣x+5）（2x2﹣ax﹣4）

＝2x4﹣ax3﹣4x2﹣2x3+ax2+4x+10x2﹣5ax﹣20

＝2x4﹣（a+2）x3+（a+6）x2+（4﹣5a）x﹣20，

∵展开式中不含x2项，

∴a+6＝0，

∴a＝﹣6，

故选：A．

2．下列有四个结论，其中正确的是（　　）

①若（x﹣1）x+1＝1，则x只能是2；

②若（x﹣1）（x2+ax+1）的运算结果中不含x2项，则a＝1

③若a+b＝10，ab＝2，则a﹣b＝2

④若4x＝a，8y＝b，则22x﹣3y可表示为

A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④

【分析】①根据不等于1的数的零次幂也为1，可判断是否正确；再用排除法判断A和C错误，然后只需判断③是否正确即可．

【详解】解：①若（x﹣1）x+1＝1，则x可以为﹣1，此时（﹣2）0＝1，故①错误，从而排除选项A和C；

由于选项B和D均含有②④，故只需考查③

∵（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝102﹣4×2＝92

∴a﹣b＝±，故③错误．

故选：D．

3．已知a、b、c三个数中有两个奇数，一个偶数，n是整数，如果S＝（a+n+1）+（b+2n+2）+（c+3n+3），那么（　　）

A．S是偶数 

B．S是奇数 

C．S的奇偶性与n的奇偶性相同 

D．S的奇偶不能确定

【分析】弄清a+n+1，b+2n+2，c+3n+3的奇偶性即可．可将3数相加，可知和为偶数，再根据三数和为偶数必有一数为偶数的性质可得积也为偶数．

【详解】解：（a+n+1）+（b+2n+2）+（c+3n+3）＝a+b+c+6（n+1）．

∵a+b+c为偶数，6（n+1）为偶数，

∴a+b+c+6（n+1）为偶数

∴S是偶数．

故选：A．

4．已知（x﹣2）（x2+mx+n）的乘积展开式中不含x2和x项，则m﹣n的值为 　　．

【分析】直接根据多项式乘多项式法则进行计算，由不含某一项就是说这一项的系数为0，得出m，n的值，即可得出答案

【详解】解：∵原式＝x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，

∵乘积展开式中不含x2和x项，

∴m﹣2＝0，n﹣2m＝0，

解得m＝2，n＝4，

∴m﹣n＝2﹣4＝﹣2．

故答案为﹣2．

5．若代数式x（x+1）（x+2）（x+3）+p恰好能分解为两个二次整式的乘积（其中二次项系数均为1且一次项系数相同），则p的取值范围是　　．

【分析】由题意设x（x+1）（x+2）（x+3）+p＝（x2+ax+m）（x2+ax+n），将等式两边分别展开，利用对应项的系数相等，可得用m，n表示p的式子，利用配方法可得p的取值范围．

【详解】解：由题意设x（x+1）（x+2）（x+3）+p＝（x2+ax+m）（x2+ax+n），

∵x（x+1）（x+2）（x+3）+p＝x4+6x3+11x2+6x+p，

（x2+ax+m）（x2+ax+n）＝x4+2ax3+（a2+m+n）x2+a（m+n）x+mn，

∴2a＝6．

∴a＝3．

∴3（m+n）＝6，p＝mn．

∴m+n＝2．

∴p＝mn＝m（2﹣m）＝2m﹣m2＝﹣（m2﹣2m+1）+1＝1﹣（m﹣1）2．

∵（m﹣1）2≥0，

∴1﹣（m﹣1）2≤1．

∴p≤1．

故答案为：p≤1．

6．设M＝（x﹣2）（x﹣5），N＝（x﹣3）（x﹣4），则M　　N．（填＜，＝，＞）

【分析】先用多项式乘以多项式的法则展开，然后作差，如果差为正数，那么前者大；如果差为负数，后者大．

【详解】解：M＝x2﹣5x﹣2x+10

＝x2﹣7x+10，

N＝x2﹣4x﹣3x+12

＝x2﹣7x+12，

M﹣N

＝（x2﹣7x+10）﹣（x2﹣7x+12）

＝x2﹣7x+10﹣x2+7x﹣12

＝﹣2＜0，

∴M＜N．

故答案为：＜．

7．已知关于x的代数式（2x+1）与（x+m）的乘积中，不含有x的一次项，求m的值．

【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再得出答案即可．

【详解】解：（1）（2x+1）（x+m）＝2x2+（1+2m）x+m，

①∵乘积中不含x的一次项，

∴1+2m＝0，

m＝﹣，

即当m＝﹣时，乘积中不含x的一次项．

8．（1）如果（x﹣3）（x+2）＝x2+mx+n，那么m的值是 　　，n的值是 　　；

（2）如果（x+a）（x+b）＝x2﹣2x+，

①求（a﹣2）（b﹣2）的值；

②求++1的值．

【分析】（1）先去括号，合并同类项，根据等式的恒等性，列等式，计算；

（2）先去括号，合并同类项，根据等式的恒等性，求出（a+b）、ab的值，①把（a+b）、ab的值代入整理后的整式计算即可；

②通分后，配方，再把（a+b）、ab的值带入后计算．

【详解】解：（1）∵（x﹣3）（x+2）＝x2+mx+n，

∴x2﹣x﹣6＝x2+mx+n，

∴m＝﹣1，n＝﹣6，

故答案为：﹣1，﹣6；

（2）∵，

∴a+b＝﹣2，，

①（a﹣2）（b﹣2）

＝ab﹣2（a+b）+4

＝

＝，

②

＝

＝

＝

＝13．

9．某公司门前一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米的长方形空地要铺地砖，如图所示，空白的A、B两正方形区域是建筑物，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为（a+b）米．

（1）求铺设地砖的面积是多少平方米；

（2）当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是多少？

【分析】（1）长方形空地的面积减去建筑物A、B的面积即可；

（2）把a＝2，b＝3时代入计算即可．

【详解】解：（1）铺设地砖的面积为：（6a+2b）（4a+2b）﹣2（a+b）2

＝24a2+20ab+4b2﹣2a2﹣4ab﹣2b2

＝22a2+16ab+2b2（平方米），

答：铺设地砖的面积为（22a2+16ab+2b2）平方米；

（2）当a＝2，b＝3时，

原式＝22×22+16×2×3+2×32

＝202（平方米），

答：当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是202平方米．

10．在计算时我们如果能总结规律，并加以归纳，得出数学公式，一定会提高解题的速度，在详解下面问题中请留意其中的规律．

（1）计算后填空：（x+1）（x+2）＝　　     ；（x+3）（x﹣1）＝　　     ；

（2）归纳、猜想后填空：（x+a）（x+b）＝x2+　   　x+　   　；

（3）运用（2）猜想的结论，直接写出计算结果：（x+2）（x+m）＝　               　．

【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则进行计算即可；

（2）根据（1）的结果得出规律即可；

（3）根据（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab得出即可．

【详解】解：（1）（x+1）（x+2）＝x2+2x+x+2

＝x2+3x+2；

（x+3）（x﹣1）＝x2﹣x+3x﹣3＝x2+2x﹣3，

故答案为：x2+3x+2，x2+2x﹣3；

（2）（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab．

故答案为：（a+b），ab；

（3）（x+2）（x+m）＝x2+（2+m）x+2m．

故答案为：x2+（2+m）x+2m．