人教版新课标A选修1-21.2独立性检验的基本思想及其初步应用习题

这是一份人教版新课标A选修1-21.2独立性检验的基本思想及其初步应用习题，共12页。

1. “双减”政策实施后，小学生的周末体育锻炼时间得到增加，为了解低年级（一、二、三年级）和高年级（四、五、六年级）学生的周末体育锻炼时间是否有差异，研究人员随机调查了100名小学生，所得数据统计如下表所示．已知从这100人中随机抽取1人，抽到周末体育锻炼时间超过120min 的学生的概率为34.

(1)求m，n的值；

(2)是否有99.9%的把握认为低年级和高年级学生的周末体育锻炼时间有差异？
附表及公式：
K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d,n=a+b+c+c+d

2. 2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会将在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行．某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取了600人进行调查，经统计男生与女生的人数之比是11:13，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的23，女生中有75人对冰壶运动没有兴趣．
(1)完成下面2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？

(2)按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出2人作为冰壶运动的宣传员，求选出的2人中至少有一位是女生的概率．
附：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+dn=a+b+c+d.

3. 2020年3月，工业和信息化部信息通信发展司发布《工业和信息化部关于推动5G加快发展的通知》，鼓励基础电信企业通过套餐升级优惠、信用购机等举措，促进5G终端消费，加快用户向5G迁移．为了落实通知要求，掌握用户升级迁移情况及电信企业服务措施，某市调研部门]随机选取了甲、乙两个电信企业的用户共165户作为样本进行满意度调查，并针对企业服务措施设置了达标分数线，按照不低于80分的定为满意，低于80分的为不满意，调研人员制作了如图所示的2×2列联表．
已知从样本的165户中随机抽取1户为满意的概率是911．
(1)请将2×2列联表补充完整，并判断能否有95%的把握认为“满意度与电信企业服务措施有关系”？
(2)视样本的频率为概率，在该市乙企业的所有用户中任取3户，记取出的3户中不满意的户数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
（参考公式：K2=n(ad−bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d)

4. 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：

(1)求这1000名患者的潜伏期的样本平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果四舍五入为整数）；

(2)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过8天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断，能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为潜伏期与患者年龄有关；

5. 疫苗是全球最终战胜新冠肺炎疫情的关键，自觉接种疫苗，构筑防疫屏障，是公民应尽的责任．接种新冠疫苗后可能会有一些不良反应，这与个人的体质有关系．在接种新冠疫菌后的不良反应中，主要有发热、疲乏、头痛，接种部位出现红晕，肿胀、酸痛等表现．为了解某地接种新冠疫苗后有不良反应与性别的关系，某机构随机抽取了该地区200名疫苗接种者进行调查，得到统计数据如表（不完整）；

(1)求2×2列联表中的数据x，y，m，n的值，并判断是否有90%的把握认为有不良反应与性别有关；

(2)用频率估计概率，现从该地区的疫苗接种者中随机抽取5人对疫苗接种进行独立评分，其中无不良反应记2分，有不良反应记−1分，记5人所得评分之和为X．求X的分布列和数学期望．
附：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.

6. 文明交通，安全出行，是一座城市文明的重要标志．驾驶非机动车走机动车道（简称：不依规行驶）是一大交通顽疾，某市加大整治力度，不依规行驶现象明显减少，下表是2021年1月——5月不依规行驶的次数统计：

(1)求y关于x的经验回归方程y=bx+a，并预测6月份不依规行驶的次数（精确到个位）；

(2)交警随机抽查了非机动车司机50人，得到如下2×2列联表：
依据α=0.05的独立性检验，能否认为依规行驶与年龄有关联？
附：①对于一组数据xi,yii=1,2,⋯n，其经验回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为： b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2，a=y−bx，
②临界值表：
计算公式： χ2=nad−bc2a+ba+cb+dc+d，其中n=a+b+c+d.

7. 为检查“创建全国文明城市”（以下称“创城”）活动成果，某市统计了自宣传发动“创城”以来的几个月中，在市区某主要路段的骑行者和行人过马路情况，并从中随机抽查了60人，得到2×2列联表如下：

(1)补全上述列联表；

(2)根据小概率值α=0.1的χ2独立性检验，有没有充分证据推断：过马路“不走斑马线行为”与骑车有关？
附：χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．

8. 移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到2×2列联表如下：

（1）将上2×2列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？

（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为X，求X的分布列及期望．
（参考公式：k2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（其中n＝a+b+c+d）

9. 某种疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型．为了解该疾病类型与性别是否有关，在某地区随机抽取了男女患者各200名，每位患者患Ⅰ型或Ⅱ型病中的一种，得到下面的列联表：

(1)根据列联表，判断是否有99%的把握认为所患疾病类型与性别有关．

(2)某药品公司欲研发此疾病的治疗药物，现有两种试验方案，每种方案至多安排2个接种周期，且该药物每次接种后出现抗体的概率为p0方案一：每个周期必须接种3次，若在第一个周期内3次出现抗体，则终止试验：否则进入第二个接种周期．
方案二：每个周期至多接种3次，若第一个周期前两次接种后均出现抗体，则终止本周期的接种，进入第二个接种周期，否则需依次接种完3次，再进入第二个接种周期；若第二个接种周期第1次接种后出现抗体，且连同第一个接种周期共3次出现抗体，则终止试验，否则需依次接种完3次．
假设每次接种后出现抗体与否相互独立．用随机变量X和Y分别表示按方案一和方案二进行一次试验的费用．
①求EX和EY；
②从平均费用的角度考虑，哪种方案较好？
参考公式： x2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
参考数据：

10. 东江湖位于湖南省郴州市东北部的资兴市境内，是湖南省唯一一个同时拥有国家5A级旅游区、国家风景名胜区、国家生态旅游示范区，国家森林公园、国家湿地公园、国家水利风景区“六位一体”的旅游区．境内主要景观有：雾漫小东江、东江大坝、龙景峡谷、兜率灵岩、东江漂流、三湘四水·东江湖文化旅游街（含东江湖奇石馆，摄影艺术馆、人文潇湘馆），还有仿古画舫，豪华游艇游湖及惊险刺激的的水上跳伞、水上摩托等．东江湖融山的隽秀，水的神韵于一体，挟南国秀色，禀历史文明于一身，被誉为“人间天上一湖水，万千景色在其中”．每年都吸引无数游客来此游玩，某调查机构在景区随机调查了10名青少年人和8名中老年人，并请他们谈谈是否有“二次游”愿望，结果10名青少年人中有45的人认为他有“二次游”愿望，8名中老年人中有14的人也这样认为，其他人无“二次游”愿望．
(1)根据以上统计数据，完成下列2×2列联表，分析是否有95%把握认为有“二次游”愿望与年龄有关？

(2)从这10名青少年人中抽取2人，8名中老年人中抽取1人，将3人中有“二次游”愿望人数记为X，求X的分布列及数学期望．
附：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
参考答案与试题解析
2022年高二下数学选修1-2第一章独立性检验的基本思想及初步应用
一、 解答题 （本题共计 10 小题 ，每题 10 分 ，共计100分 ）
1.
【答案】
解析（Ⅰ）依题意，m+45=100×34=75，解得m=30，
故n=100−75−20=5．
（Ⅱ）依题意，K2=100×30×5−45×20250×50×75×25=12>10.828，
故有99.9%的把握认为低年级和高年级学生的周末体育锻炼时间有差异．
2.
【答案】
解：(1)根据题意得到如下2×2列联表：
所以K2=600×150×75−125×2502275×325×400×200
=4800143≈33.566>10.828，
所以有99.9%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关．
(2)对冰壶运动有兴趣的一共有400人，从中抽取8人，
抽到的男生人数、女生人数分别为：
8×150400=3(人），8×250400=5（人）.
记3名男生分别是a，b，c，5名女生分别是A，B，C，D，E，
则从中选出2人的基本事件是：
ab，ac，aA，aB，aC，aD，aE，
bc，bA，bB，bC，bD，bE，cA，
cB，cC，cD，cE，AB，AC，AD，
AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，
共28个，
选出的2人至少有一位是女生的事件有25个，
所以选出的2人至少有一位是女生的概率P=2528．
3.
【答案】
解：(1)设样本中乙企业用户中满意的有x户，结合列联表知，
P=75+x165=911，解得x＝60；
所以，填写2×2列联表是：
K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d=16575×20−10×602135×30×85×80=16534≈4.853 >3.841,
故可以判断有95%的把握认为“满意度与电信企业服务措施有关系”.
(2)设“从样本中的乙企业用户中任取一户为不满意”为事件A，则PA=2080=14，
由题意可知：ξ的可能值为0，1，2，3，ξ∼B3,14,
则Pξ=0=1−143=2764 ，Pξ=1=C31⋅14⋅1−142=2764,
Pξ=2=C32⋅142⋅1−14=964 ，Pξ=3=143=164.
所以ξ的分布列为
从而ξ的数学期望为Eξ=3×14=34.
4.
【答案】
解：(1)x=11000×(1×50+3×150+5×200
+7×300+9×200+11×60+13×40)=6.58≈7（天）；
(2)根据题意，补充完整的列联表如下：
则K2=75×35−65×252×200100×100×140×60=5021≈2.381<3.841，
所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，不能认为潜伏期与患者年龄有关 ；
5.
【答案】
解：(1)由题意得，m=200−160=40，x=160−100=60，
n=x+20=60+20=80，y=m−20=20，
所以K2=200×100×20−20×602160×40×120×80=2512≈2.083<2.706，
故没有90%的把握认为有不良反应与性别有关；
(2)用频率估计概率，接种疫苗后有不良反应的概率是15，
无不良反应的概率是45，
由题意可得，X的取值是−5，−2，1，4，7，10，
则PX=−5=155=13125
PX=−2=C54154×45=203125=4625，
PX=1=C53153×452=1603125=32625，
PX=4=C52152×453=6403125=128625，
PX=7=C51×15×454=12803125=256625，
PX=7=C15×15×454=12803125=256625，
PX=10=455=10243125，
所以X的分布列为：
故E(X)=7.
6.
【答案】
解：(1)∵x=1+2+3+4+55=3 ，y=51+40+35+28+215=35，
∴b=(1×51+2×40+3×35+4×28+5×21)−5×3×35(12+22+32+42+52)−5×32=−7.2，
a=35+7.2×3=56.6，
∴y关于x的经验回归方程y=−7.2x+56.6，
把x=6代入，
得y=−7.2×6+56.6=13.4≈13，
∴预测6月份不依规行驶的次数约为13．
(2)根据列联表中的数据．经计算得到χ2=50×22×12−8×82302×202≈5.556>3.841=χ0.05，
根据小概率值α=0.05的独立性检验，认为依规行驶与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．
不依规行驶者中老年人和青年人的频率分别为1115，415，可见老年人约是青年人的3倍，所以老年人更容易违规行驶．
7.
【答案】
解：(1)列联表如下：
(2)根据列联表，得
χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d
=60×6×22−8×24230×30×14×46≈0.373<2.706，
根据小概率值α=0.1的χ2独立性检验，没有充分证据推断过马路“不走斑马线行为”与骑车有关．
8.
【答案】
解：(1)根据所给数据得到如下2×2列联表：
根据公式可得K2=100(40×40−10×10)250×50×50×50=36>2.706，
所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为支付方式与年龄有关．
(2)根据分层抽样，可知35岁以下（含35岁）的人数为8人，35岁以上的有2人，
则X的可能为1，2，3，
P(X=1)=C81C22C103=8120，P(X=2)=56120，
P(X=3)=C83C103=56120，
其分布列为
E(X)=1×8120+2×56120+3×56120=125．
9.
【答案】
解：(1）假设H0：所患疾病类型与性别没有关系．
则可求得z2=400×150×75−50×1252200×200×275×125=8011≈7.27，
由于z2≈7.27>6.635，且当H0成立时， PX2≥6.635≈0.010，所以有99%的把握认为所患疾病类型与性别有关．
（2）①采用方案一，一次试验的费用X可能的取值为3m，6m．
因为PX=3m=p3,PX=6m=1−p3
所以EX=3mp3+6m1−p3=6m−3mp3．
采用方案二，一次试验的费用￥可能的取值为3m，4m，5m，6m．
因为PY=3m=p3,PY=4m=1−p3+p1−pp2=2p​，
PY=5m=p21−p ，PY=6m=1−p3−2p3−p−p21−p=2p4−2p3−p2+1.
所以E(Y)=3mp3+4m×2p3(1−p)+5mp2(1−p)+6m(2p4−2p3−p2+1)
=m4p4−6p3−p2+6 .
②因为EY=EX=m4p4−6p3−p2+6−6m−3mp3
=m4p4−3p3−p2=mp24p2−3p−1=mp24p+1p−1.
又010.
【答案】
解：(1)
K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d=18×6×8−2×2210×8×10×8=5.445>3.841,
∴ 有95%把握认为有“二次游”愿望与年龄有关．
(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3,
PX=0=C80C22C102⋅68=6360 ，PX=1=98360，
PX=2=C82C20C102⋅68+C81C21C102⋅210=200360 ，PX=3=C82C20C102⋅28=56360,
∴ 随机变量X的分布列为
∴ EX=0×6360+1×98360+2×200360+3×56360=3720.满意
不满意
合计
甲企业用户
75
乙企业用户
20
合计
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
月份x
1
2
3
4
5
违章次数y
51
40
35
28
21
不走斑马线
走斑马线
合计
骑车
6
步行
22
30
合计
60
α
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
χα
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
35岁以下（含35岁）
35岁以上
合计
使用移动支付
40
50
不使用移动支付
40
合计
100
P(K2≥k)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
满意
不满意
合计
甲企业用户
75
10
85
乙企业用户
60
20
80
合计
135
30
165
不走斑马线
走斑马线
合计
骑行
6
24
30
步行
8
22
30
合计
14
46
60
35岁以下（含35岁）
35岁以上
合计
使用移动支付
40
10
50
不使用移动支付
10
40
50
合计
50
50
100
X
1
2
3
P
8120
56120
56120